Как найти сколько делителей имеет число

Как найти сколько делителей имеет число


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Число называется делителем (или множителем) другого числа в том случае, если при делении на него получается целый результат без остатка.[1]
 Для малого числа (например, 6) определить количество делителей довольно легко: достаточно выписать все возможные произведения двух целых чисел, которые дают заданное число. При работе с большими числами определить количество делителей становится сложнее. Тем не менее, если вы разложите целое число на простые множители, то легко сможете определить число делителей с помощью простой формулы.

  1. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 1

    1

    Запишите заданное целое число вверху страницы. Вам понадобится достаточно места для того, чтобы расположить ниже числа дерево множителей. Для разложения числа на простые множители можно использовать и другие методы, которые вы найдете в статье Как разложить число на множители.

    • Например, если вы хотите узнать, сколько делителей, или множителей имеет число 24, запишите 24 вверху страницы.

  2. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 2

    2

    Найдите два числа (помимо 1), при перемножении которых получается заданное число. Таким образом вы найдете два делителя, или множителя данного числа. Проведите от данного числа две ветки вниз и запишите на их концах полученные множители.

  3. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 3

    3

    Поищите простые множители. Простым множителем называется такое число, которое делится без остатка лишь на само себя и на 1.[2]
     Например, число 7 является простым множителем, так как оно делится без остатка лишь на 1 и 7. Для удобства обводите найденные простые множители кружком.

    • Например, 2 является простым числом, поэтому обведите 2 кружком.

  4. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 4

    4

    Продолжайте раскладывать составные (не простые) числа на множители. Проводите следующие ветки от составных чисел до тех пор, пока все множители не станут простыми. Не забывайте обводить простые числа кружками.

  5. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 5

    5

    Представьте каждый простой множитель в степенной форме. Для этого подсчитайте, сколько раз встречается каждый простой множитель в нарисованном дереве множителей. Это число и будет степенью, в которую необходимо возвести данный простой множитель.[3]

  6. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 6

    6

    Запишите разложение числа на простые множители. Первоначально заданное число равно произведению простых множителей в соответствующих степенях.

    • В нашем примере 24=2^{{3}}times 3^{{1}}.

    Реклама

  1. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 7

    1

  2. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 8

    2

    Подставьте в формулу величины степеней. Будьте внимательны и используйте степени при простых множителях, а не сами множители.

  3. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 9

    3

    Сложите величины в скобках. Просто прибавьте 1 к каждой степени.

  4. Изображение с названием Determine the Number of Divisors of an Integer Step 10

    4

    Перемножьте полученные величины. В результате вы определите количество делителей, или множителей данного числа n.

    Реклама

Советы

  • Если число представляет собой квадрат целого числа (например, 36 является квадратом числа 6), то оно имеет нечетное количество делителей. Если же число не является квадратом другого целого числа, количество его делителей четно.

Реклама

Похожие статьи

Об этой статье

Эту страницу просматривали 120 713 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Здравствуйте, дорогие читатели! Как посчитать, сколько делителей у какого-нибудь числа? Если это число маленькое, то никаких сложностей не возникает. Например, для числа 10, мы легко можем найти все делители и посчитать их количество простым перебором. А вот как узнать, на какое количество различных чисел делится, например, число 720? Можно, конечно, опять же перебрать все делители, но это будет довольно трудоемко. При чем, 720 – еще и довольно маленькое число.

Сегодня, я Вам расскажу, как находить количество делителей любого натурального числа, зная всего лишь одну простую формулу.

Как легко найти количество натуральных делителей любого числа

На самом деле, наша сегодняшняя формула будет даже проще, чем те, которые изображены на картинке выше)

Вы находитесь на канале Trifler, где я разбираю интересные математические задачи, а также рассуждаю на некоторые околоматематические темы. Если Вы искренне увлечены математикой, но еще не подписаны на этот канал, то самое время это исправить! Подписаться

Чудо-формула

Ну что ж, пора переходить от разговоров к делу.

Мы знаем, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, которые являются его делителями. Так как один и тот же простой делитель может встречаться несколько раз, то любое натуральное числа можно записать так:

Как легко найти количество натуральных делителей любого числа

Если не совсем понятно, о чем идет речь, то потом посмотрите пример ниже. На самом деле, все очень просто.

Так вот, после того, как мы найдем такое представление числа n, количество его делителей можно будет посчитать по формуле:

Как легко найти количество натуральных делителей любого числа

Посмотрим, как все это считается на примере

Пример

Как легко найти количество натуральных делителей любого числа

Раскладываем это число на простые множители, чтобы получить нужное представление:

Как легко найти количество натуральных делителей любого числа

Теперь, запишем число 720 в каноническом виде:

Как легко найти количество натуральных делителей любого числа

Ну и все, остается только применить чудо-формулу:

Как легко найти количество натуральных делителей любого числа

Вот и все, получили, что у числа 720 имеется 30 различных натуральных делителей. Стоит сделать замечание:

По этой формуле мы считаем количество делителей вместе с единицей и самим числом.

Если Вам понравилась статья, то обязательно ставьте лайки и комментируйте ее. Это поспособствует тому, чтобы ее увидело много людей!

Читайте также ТОП-3 статьи, выпущенные в этом месяце на моем канале:

  1. Quincy: робот, который обучит Ваших детей математике, английскому и рисованию
  2. Почему вторая степень это квадрат, а третья – куб
  3. Необычное тригонометрическое уравнение
Источник

В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.

Как найти все делители числа

Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0.

Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1, -1, a, -a. Возьмем простое число 7: у него есть делители 7, -7, 1 и -1, и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1, -1, 367 и -367.

Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.

Теорема 1

Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d=p1t2·p2t2·…·pntn, где t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.

Доказательство 1

Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d, если есть такое число q, что делает верным равенство a=d·q, т.е. q=p1(s1−t1)·p2(s2-t2)·…·pn(sn-tn).

Любое число, делящее a, будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p1, p2, …, pn, оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s1, s2, …, sn.

Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.

Для этого нужно выполнить следующие действия:

  1. Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn.
  2. Найти все значения d=p1t2·p2t2·…·pntn, где числа t1, t2, …, tn будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.

Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.

Пример 1

Условие: найти все делители 8.

Решение

Разложим восьмерку на простые множители и получим 8=2·2·2.  Переведем разложение в каноническую форму и получим 8=23. Следовательно, a=8, p1=2, s1=3.

Поскольку все делители восьмерки будут значениями p1t1=2t1, то t1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s1=3. Таким образом, если t1=0, то 2t1=20=1, если 1, то 2t1=21=2, если 2, то 2t1=22=4, а если 3, то 2t1=23=8.

Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:

t1 2t1
0 20=1
1 21=2
2 22=4
3 23=8

Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1, 2, 4 и 8, а отрицательными −1, −2, −4 и −8.

Ответ: делителями данного числа будут ±1, ±2, ±4, ±8.

Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.

Пример 2

Условие: найдите все делители числа 567, являющиеся натуральными числами.

Решение

Начнем с разложения данного числа на простые множители.

56718963217133337

Приведем разложение к каноническому виду и получим 567=34·7. Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t1 и t2 значения 0, 1, 2, 3, 4 и 0, 1, вычисляя при этом значения 3t1·7t2. Результаты будем вносить в таблицу:

t1 t2 3t1·7t2
0 0 30·70=1
0 1 30·71=7
1 0 31·70=3
1 1 31·71=21
2 0 32·70=9
2 1 32·71=63
3 0 33·70=27
3 1 33·71=189
4 0 34·70=81
4 1 34·71=567

Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27, 63, 81, 189, 1, 3, 7, 9, 21 и 567.

Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.

Пример 3

Условие: найти все делители 3 900, которые будут больше 0.

Решение

Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900=22·3·52·13. Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2t1·3t2·5t3·13t4 значения t1, равные 0, 1 и 2, t2=0,1, t3=0, 1, 2, t4=0, 1. Результаты представляем в табличном виде:

t1 t2 t3 t4 2t1·3t2·5t3·13t4
0 0 0 0 20·30·50·130=1
0 0 0 1 20·30·50·131=13
0 0 1 0 20·30·51·130=5
0 0 1 1 20·30·51·131=65
0 0 2 0 20·30·52·130=25
0 0 2 1 20·30·52·131=325
0 1 0 0 20·31·50·130=3
0 1 0 1 20·31·50·131=39
0 1 1 0 20·31·51·130=15
0 1 1 1 20·31·51·131=195
0 1 2 0 20·31·52·130=75
0 1 2 1 20·31·52·131=975
t1 t2 t3 t4 2t1·3t2·5t3·13t4
1 0 0 0 21·30·50·130=2
1 0 0 1 21·30·50·131=26
1 0 1 0 21·30·51·130=10
1 0 1 1 21·30·51·131=130
1 0 2 0 21·30·52·130=50
1 0 2 1 21·30·52·131=650
1 1 0 0 21·31·50·130=6
1 1 0 1 21·31·50·131=78
1 1 1 0 21·31·51·130=30
1 1 1 1 21·31·51·131=390
1 1 2 0 21·31·52·130=150
1 1 2 1 21·31·52·131=1950
t1 t2 t3 t4 2t1·3t2·5t3·13t4
2 0 0 0 22·30·50·130=4
2 0 0 1 22·30·50·131=52
2 0 1 0 22·30·51·130=20
2 0 1 1 22·30·51·131=260
2 0 2 0 22·30·52·130=100
2 1 0 1 22·30·52·131=1300
2 1 0 0 22·31·50·130=12
2 1 0 1 22·31·50·131=156
2 1 1 0 22·31·51·130=60
2 1 1 1 22·31·51·131=780
2 1 2 0 22·31·52·130=300
2 1 2 1 22·31·52·131=3900

Ответ: делителями числа 3 900 будут:195, 260, 300, 325, 390, 650, 780, 975, 75, 78, 100, 130, 150, 156, 13,15, 20, 25, 26, 30, 39, 50,52, 60, 65, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 1 300, 1 950, 3 900

Как определить количество делителей конкретного числа

Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a=p1s1·p2s2·…·pnsn, нужно найти значение выражения (s1+1) ·(s2+1) ·…·(sn+1). О количестве наборов переменных t1, t2, …, tn мы можем судить по величине записанного выражения.

Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900, которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900=22·3·52·13. Значит, s1=2, s2=1, s3=2, s4=1. Теперь подставим значения s1, s2, s3 и s4 в выражение (s1+1) ·(s2+1) ·(s3+1) ·(s4+1) и вычислим его значение. Имеем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36. Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.

Пример 4

Условие: определите, сколько делителей имеет 84.

Решение 

Раскладываем число на множители.

844221712237

Записываем каноническое разложение: 84=22·3·7. Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: (2+1)·(1+1)·(1+1) =12. Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2:2·12=24.

Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.

Как вычислить общие делители нескольких чисел

Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.

Разберем пару таких задач.

Пример 5

Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50? Вычислите их все.

Решение

Начнем с вычисления НОД (140, 50).

Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:

140=50·2+40, 50=40·1+10, 40=10·4, значит, НОД (50, 140)=10.

Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 20·50=1, 20·51=5, 21·50=2 и  21·51=10. Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1, 2, 5 и 10, а всего их четыре.

Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10, 5, 2 и 1.

Пример 6

Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585, 315, 90 и 45.

Решение

Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90=2·3·3·5, 45=3·3·5, 315=3·3·5·7 и 585=3·3·5·13, то таким делителем будет 5: НОД (90, 45, 315, 585) =3·3·5=32·5.

Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.

Считаем:

НОД (90, 45, 315, 585) =32·5:(2+1)·(1+1) =6.

Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.

Источник

Найти все делители числа

Онлайн калькулятор поможет найти количество делителей числа, сколько делителей имеет число, выпишет все делители числа. Все простые делители, на которые данное число делится нацело можно получить из разложения числа на простые множители.

Найдем делители следующих чисел:
делители числа 2 = 1, 2;
делители числа 5 = 1, 5 ;
делители числа 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 ;
делители числа 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18 ;
делители числа 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ;
делители числа 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

×

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

×

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Смотрите также

Источник


Download Article


Download Article

A divisor, or factor, is a number that divides evenly into a larger integer.[1]
 It is easy to determine how many divisors a small integer (such as 6) has by simply listing out all the different ways you can multiply two numbers together to get to that integer. When working with larger integers, finding the number of divisors is more difficult. However, once you have factored the integer into prime factors, you can use a simple formula to reach your answer.

  1. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 1

    1

    Write the integer at the top of the page. You need to leave enough room so that you can set up a factor tree below it. You can use other methods to factor a number. Read Factor a Number for more instructions.

    • For example, if you want to know many divisors, or factors, the number 24 has, write 24 at the top of the page.

  2. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 2

    2

    Find two numbers you can multiply together to get the number, not including 1. These are two divisors, or factors, of the number. Draw a split branch coming down from the original number, and write the two factors below it.[2]

    Advertisement

  3. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 3

    3

    Look for prime factors. A prime factor is a number that is only evenly divisible by 1 and itself.[3]
     For example, 7 is a prime number, because the only numbers that evenly divide into 7 are 1 and 7. Circle any prime factors so that you can keep track of them.

    • For example, 2 is a prime number, so you would circle the 2 on your factor tree.

  4. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 4

    4

    Continue to factor non-prime numbers. Keep drawing branches down from the non-prime factors until all of your factors are prime. Circle the prime numbers to keep track of them.[4]

  5. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 5

    5

    Write an exponential expression for each prime factor. To do this, look for multiples of each prime factor in your factor tree. The number of times the factor appears equals the exponent of the factor in your exponential expression.[5]

  6. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 6

    6

    Write the equation for the prime factorization of the number. The original number you are working with is equal to the product of the exponential expressions.[6]

    • For example 24=2^{{3}}times 3^{{1}}.

    7. Advertisement

  1. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 7

    1

  2. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 8

    2

    Plug in the value of each exponent into the formula. Be careful to use the exponents, not the prime factors.

  3. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 9

    3

    Add the values in parentheses. You are simply adding 1 to each exponent.

  4. Image titled Determine the Number of Divisors of an Integer Step 10

    4

    Multiply the values in parentheses. The product will equal the number of divisors, or factors, in the number n.[8]

    5. Advertisement

Add New Question

  • Question

    Is 8 the number of divisors excluding the numbers 24 and 1? Would 10 be a more apt answer?

    Community Answer

    No. The 8 divisors include the factors 24 and 1. To see this, you can list out all the ways to multiply two numbers to get to 24, and count all the unique factors.

    1 x 24
    2 x 12
    3 x 8
    4 x 6

    So, as shown above, there are 8 different divisors of 24, including 1 and 24.

  • Question

    How do you find the odd divisors of an integer?

    Community Answer

    One way to do this would be to make a factor tree, and then look for all of the odd divisors.

  • Question

    What is the sum of the divisors of 600?

    Donagan

    The sum of the divisors is 19. The number of divisors is 6.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

  • When the number is a perfect square (such as 36), the number of divisors will be odd. When it’s not a square, the number of divisors will be even.

Thanks for submitting a tip for review!

Advertisement

Video

References

About This Article

Article SummaryX

If you need to determine the number of divisors of an integer, factor that integer and write the equation for the prime factorization of the number. Plug in the value of each exponent into the formula for determining the number of divisors, or factors, in a number. Once you’ve put the values into the formula, add the values in parentheses, then multiply all of the values in the parentheses. The product will equal the number of divisors in the integer. To learn the formula for determining the number of divisors, keep reading!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 201,073 times.

Reader Success Stories

  • Sabbir Hossain

    Sabbir Hossain

    Apr 24, 2017

    “It helps me a lot by giving me a short technique. ”

Did this article help you?

Источник

Добавить комментарий