Привет! Сегодня рассмотрим интересную задачу из второй части ОГЭ про рабочих, которые изготавливают детали.
Решение без лишних пояснений ждёт вас в конце статьи)
Первый рабочий изготавливает за час на 6 деталей больше, чем второй. При этом заказ из 360 деталей он выполняет на 2 часа раньше, чем второй. Сколько деталей изготавливает второй рабочий за час?
- Шаг №1
Разберемся в условии задачи. Величина «количество деталей в час» очень напоминает скорость. Она показывает, сколько деталей изготавливает рабочий за 1 час, а значит, вычисляется по формуле:
Эта формула очень похожа на формулу скорости: расстояние поделить на время, только вместо расстояния в числителе здесь объём работы.
Пусть скорость изготовления деталей у второго рабочего равна v2. Эту скорость нас и просят найти, а неизвестные, которые просят найти, мы обозначаем в задачах за «Х». Следовательно,
v2 = Х (деталей/час)
А первый рабочий в час делает на 6 деталей больше, чем второй. Значит, скорость его работы равна
v1= Х + 6 (деталей/час)
А как же найти время работы? Как в задачах на движение мы находим время как расстояние/скорость, так и в данном случае, заменив расстояние объёмом работы, мы получаем формулу:
Нам сказано, что рабочие выполняют заказ в 360 деталей. Поэтому именно эту величину и примем за объём работы:
V= 360 (деталей)
- Шаг №2
Теперь давайте оформим таблицу, в которую занесем все наши данные. Так мы точно не запутаемся!
Нам осталось подставить в выражение t2 – t1 = 2 значения t1 и t2 из таблицы. Тогда мы получаем уравнение:
- Шаг №3
Решаем полученное уравнение.
Это уравнение дробно-рациональное, то есть «Х» в нём стоит в знаменателе. Поэтому начнём мы с того, что запишем ОДЗ (область допустимых значений). ОДЗ показывает, каким числом «Х» может быть, а каким – нет.
«Х» стоит в знаменателе, а основное, что мы знаем про знаменатель – это то, что он не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Запишем знаменатели наших дробей и отметим, что они не равны нулю:
1) Х ≠ 0
2) Х + 6 ≠ 0; х ≠ – 6
3) Кроме того, за «Х» мы обозначили именно скорость, которая, что логично, в данной ситуации не может быть отрицательной. Поэтому х > 0.
Переходим к дальнейшему решению. Мы разобрались с ОДЗ, а значит, можем с чистой совестью избавиться от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) – это наименьшее число, которое делится на все знаменатели рассматриваемых дробей. В нашем случае это х(х + 6). Он делится и на «Х», и на (х + 6). Вперед!
В первой дроби «Х» в числителе сокращается с «Х» в знаменателе, а во второй дроби скобка (х + 6) в числителе сокращается со знаменателем
х + 6. Таким образом получаем:
360*(х + 6) – 360х = 2х*(х + 6)
Давайте все элементы перенесём в одну сторону. Напомню, что при переносе элемента в противоположную от знака “равно” сторону, он должен поменять знак. То есть если справа мы видим 2х*(х + 6), то влево мы должны перенести – 2х*(х + 6). При этом справа ничего не остаётся, следовательно, ставим ноль. Получаем:
360*(х + 6) – 360х – 2х*(х + 6) = 0
В нашем уравнении очень большие числа. Удобнее будет их сократить, поделив уравнение на 2:
360*(х + 6) – 360х – 2х*(х + 6) = 0 │: 2
180*(х + 6) – 180х – х*(х + 6) = 0
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
180х + 1080 – 180х – х^2 – 6х = 0
Слагаемые 180х и – 180х равны по модулю и противоположны по знаку, значит, они в сумме дают ноль и их можно вычеркнуть.
1080 – х^2 – 6х = 0
Обратите внимание, что в этом уравнении перед х^2 стоит минус, но если его не будет, то работать будет намного проще. Давайте умножим уравнение на – 1, чтобы привести его в стандартный вид и избавиться от минуса перед х^2.
1080 – х^2 – 6х = 0 │* (- 1)
х^2 + 6х – 1080 = 0
Мы получили несложное квадратное уравнение. Для того, чтобы найти его корни, давайте вспомним формулу дискриминанта и корней:
D = 36 – 4*1*(- 1080) = 36 + 4*1080 = 36 + 4320 = 4356 = 66^2
Х1 = – 6 + 66 / 2 = 60 / 2 = 30
Х2 = – 6 – 66 / 2 < 0
Как видим, второй корень будет отрицательным, а ранее мы писали, что «Х» должен быть больше нуля. Значит, это решение нам не подходит. Остаётся только один корень: 30. Это и есть наш ответ!
Ответ: второй рабочий изготавливает 30 деталей в час.
А вот и решение без лишних пояснений:
Надеюсь, всё было максимально понятно:)
До новых встреч!!
Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Примем за Х количество деталей, которые изготавляет за час второй рабочий, тогда первый рабочий за час изготовит ( Х + 10 ) деталей.
Всю работу первый выполнит за 60 / ( Х + 10 ) часов, а второй за 60 / Х часов. По условию, первый рабочий сделал все детали на 3 часа быстрее второго рабочего, а значит можно составить уравнение:
60 / Х – 60 / ( Х + 10 ) = 3
60 * ( Х + 10 ) – 60 * Х = 3 * Х * ( Х + 10 )
600 = 3 * ( Х² + 10 * Х )
200 = Х² + 10 * Х
Х² + 10 * Х – 200 = 0
D = b² – 4ac = 10² + 800 = 900 в уравнении два корня
Х = ( – b ± √D ) / 2 = ( – 10 ± √900 ) / 2 = ( – 10 ± 30 ) / 2
Х1 = 10 или Х2 = – 20 ( не подходит по условию )
Ответ: второй рабочий изготавливает 10 деталей за час.
система выбрала этот ответ лучшим
Corelpainter
[211K]
более месяца назад
Нам нужно найти в этой задаче норму в час по изготовлению деталей вторым рабочим, поэтому обозначим его норму деталей в час как неизвестное х.
Мы видим по условию задачи, что первому рабочему удаётся делать за час на 1О деталей больше по сравнению со вторым, то есть всего первому удаётся сделать в час (х+1О) деталей. Теперь рассчитаем сколько часов тратят и первый и второй рабочие по отдельности на изготовление 6ОО деталей. Получим что у первого рабочего это составит (6О/(x+1О)) часов, а у второго – (6О/x) часов. Мы знаем, что первому удалось на три часа раньше закончить заказ, поэтому мы смело составляем следующее уравнение:
6О/Х – 6О/(Х-1О) = 3
Далее приводим его к общему знаменателю:
6Ох – 6О(х – 10) = 3х(х – 1О
6Ох – 6Ох + 6ОО = 3х^2 – 3Ох
3х^2 – 3Ох = 6Ох – 6Ох + 6ОО
Получаем вот такое квадратное уравнение:
3х^2 – 3Ох -6ОО = О
х^2 – 1Ох -2ОО = О
Х = 1О
Simple Ein
[191K]
более месяца назад
Примем за Х – количество деталей в час, который делает второй рабочий. Тогда Х – 10 – количество деталей в час, который делает первый рабочий.
Всего – 60 деталей. Первый делает работу быстрее на 3 часа.
Составим уравнение и решим его.
60/Х – 60/(Х-10) = 3.
Преобразуем уравнение.
- 60(Х-10) + 60Х = 3Х(Х-10).
Раскроем скобки.
60Х + 600 – 60Х = 3Х^2 – 30Х.
Получаем квадратное уравнение.
3Х^2 – 30Х – 600 = 0.
Сократив на 3.
Х^2 – 20Х – 200 = 0.
Найдем корни уравнения. Их 2: х = 10, х = – 20. Отрицательный корень отбрасываем. В ответе указываем 10.
arina-mich
[15.8K]
5 лет назад
При решении математических задачи применяем не только правила математики, но и логику.
Согласно условиям задачи, за 3 часа первый рабочий сделает не только столько же деталей, сколько и второй рабочий, но и дополнительно 3*10=30 деталей.
Следовательно, за эти же 3 часа второй рабочий сделал 60-30=30 деталей. А за час он делает 30/3=10 деталей.
Второй рабочий делает в час 10 деталей.
Проверяем.
60/10=6 часов работы для выполнения заказа вторым рабочим.
10+10=20 деталей делает за час первый рабочий.
60/20=3 часа работы для выполнения заказа первым рабочим.
Следовательно, один и тот же заказ первый рабочий выполнит за 3 часа, а второй рабочий – за 6 часов. Итог – первый рабочий выполняет заказ на 3 часа быстрее.
ольген
[49.7K]
5 лет назад
Примем за Х число деталей, выполняемых за 1 час вторым рабочим. Тогда первый рабочий за 1 час делает Х+10 деталей. Норму в 60 деталей каждый из них выполнит за время: 1-ый -60/(Х+10), а 2-ой рабочий за 60Х. Составим уравнение: 60/Х – 60/(Х-10) = 3.
Находим общий знаменатель Х(Х-10) и дополнительные множители: Х-10 ; Х и Х(Х-10) соответственно к каждому члену уравнения и получаем уравнение вида:
3Х^2+ 30Х -600 = 0. Находим корни квадратного уравнения Х1 = 10, Х2 = -20 (не удовл,). Следовательно, второй рабочий делает в час 10 деталей. Ответ: 10 деталей.
Master-Margarita
[135K]
5 лет назад
Решение:
Обозначим за х количество деталей созданных 1-м рабочим.
(х – 10) количество деталей сделанных за час 2-м рабочим.
60 : (х – 10) – 60 : х = 3.
60*х – 60*(х – 10) = 3*х*(х – 10).
60*х – 60*х +600 = 3*х² – 30*х.
3*х² – 30*х – 600 = 0.
Отсюда получаем квадратное уравнение вида:
х² – 10*х – 200 = 0.
D = 10²-4*1*200 = 900 = 30².
х1 = (-10+30):2 = 10.
х2 = (-10-30):2 = -20.
Два корня: х = 10, х = – 20. Только один корень положительный.
Ответ: 10 деталей.
Лёля Про
[20.9K]
5 лет назад
Имея условие задачи может узнать сколько деталей делает первый рабочий за час
60/3=20 деталей в час
Теперь узнаем сколько деталей делает второй рабочий
20-10=10 деталей в час
Второй рабочий выполнит заказ за 6 часов,что на три часа позже сам первый рабочий
Ответ:10 деталей в час делает второй рабочий
Евгений трохов
[56.3K]
5 лет назад
Пусть первый делает в час Х деталей,тогда второй (Х-10) деталей.Составим уравнение времени . (60/Х)+3=60/(Х-10),отсюда получим квадратное уравнение Х^2-10X-200=0,решая его получим Х1=-10(не имеет смысла) и Х2=20.А у нас второй рабочий делает (Х-10) деталей,то есть 20-10=10 деталей в час.
Знаете ответ?
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 1 деталь больше?
2
Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 1 деталь больше второго?
3
На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
4
На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
5
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
Пройти тестирование по этим заданиям
2-й способ решения — без таблицы
Как обойтись без составления таблицы?
Сразу составить уравнение.
Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.
Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.
Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.
Напомню, что первый работал на ( displaystyle 2) часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить ( displaystyle 2):
( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2)
То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.
А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.
Во-первых, сравним формулы:
| Движение | Работа |
| ( displaystyle v=frac{S}{t}) | ( displaystyle P=frac{A}{t}) |
| Скорость движения | Скорость выполнения работы, т.е. производительность |
| Пройденный путь | Выполненная работа |
| Потраченное на движение время | Потраченное на работу время |
Теперь рассмотрим задачу:
Пример №1
Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.
Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?
Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).
Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:
( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).
То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.
Как решать задачи на совместную работу
Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).
Пример №2
Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).
За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?
Решение
Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.
Придумал?
Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).
А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.
Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!
Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.
Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.
Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).
С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час, – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть производительности складываются:
( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}})
То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: ( displaystyle v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}).
Итак,
( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).
Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):
( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)
Итак, правило:
При совместной работе производительности складываются
А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.
Пример 8
На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?
Решение:
Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).
Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).
Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).
( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.
То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).
Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:
Еще один тип текстовых задач в вариантах ЕГЭ по математике — это задачи на работу.
Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: 
. Здесь 
— работа, 
— время, а величина 
, которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.
Правила решения задач на работу очень просты.
, то есть работа производительность время. Из этой формулы легко найти или .- Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.
- Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.
- В качестве переменной удобно взять именно производительность.
Покажем, как все это применяется на практике.
1. Заказ на 
деталей первый рабочий выполняет на 
час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на деталь больше?
Так же, как и в задачах на движение, заполним таблицу.
В колонке «работа» и для первого, и для второго рабочего запишем: . В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй рабочий, то есть какова его производительность. Примем ее за 
. Тогда производительность первого рабочего равна 
(он делает на одну деталь в час больше). 
, время работы первого рабочего равно 
, время работы второго равно 
.
|
|
|
|
| первый рабочий | |
|
|
| второй рабочий | |
|
|
Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, 
на меньше, чем 
, то есть
Мы уже решали такие уравнения. Оно легко сводится к квадратному:
Дискриминант равен 
. Корни уравнения: 
, 
. Очевидно, производительность рабочего не может быть отрицательной — ведь он производит детали, а не уничтожает их 🙂 Значит, отрицательный корень не подходит.
Ответ: 
.
2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 
дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу.
А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную удобно обозначить производительность. Пусть — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за 
.
По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, 
. Отсюда 
.
Работая вместе, эти двое сделали всю работу за дней. При совместной работе производительности складываются, значит,
.
Итак, первый рабочий за день выполняет 
всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 
дней.
Ответ: .
3. Первая труба пропускает на литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом литров она заполняет на 
минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 
литров?
Всевозможные задачи про две трубы, которые наполняют какой-либо резервуар для воды — это тоже задачи на работу. В них также фигурируют известные вам величины — производительность, время и работа.
Примем производительность первой трубы за . Именно эту величину и требуется найти в задаче. Тогда производительность второй трубы равна , поскольку она пропускает на один литр в минуту больше, чем первая. Заполним таблицу
|
|
|
|
| первая труба | |
 |
|
| вторая труба | |
 |
|
Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, 
. Составим уравнение:
и решим его.
Ответ: .
. Андрей и Паша красят забор за 
часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей — за 
часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Мы уже решали задачи на движение. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть — производительность Андрея, — производительность Паши, а 
— производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.
| производительность | работа | |
| Андрей | |
|
| Паша | |
|
| Володя | |
|
| Вместе |  |
|
Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
Аналогично,
Тогда
.
Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за 
часов.
Ответ: .
Читаем дальше: Задачи на проценты
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задачи на работу на ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
07.05.2023
