Как найти сколько кубиков у параллелепипеда

Представим себе такую историю…

– Паша, а ты когда-нибудь собирал кубик Рубика? – спросил Саша.

– Конечно! И не один раз, – ответил Паша. –
Кстати, кубик Рубика отличная игрушка-головоломка,
которая развивает логическое мышление.

– Да, мне тоже он очень нравится! – продолжил
Саша. – Я вот сегодня собрал кубик Рубика за 15 минут.
Пока собирал, задумался, а сколько всего маленьких кубиков в нём?

– И в правду, – задумался Паша, – и сколько
же их там?

– Не знаю! – ответил Саша. – Сколько ни
пытался их пересчитать, всё сбивался. В общем, так и не получилось у меня их
сосчитать.

– А давай спросим у Электроши!
– предложил Паша. – Он точно знает, как их посчитать.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу о
прямоугольном параллелепипеде, давайте немного разомнёмся и выполним устные
задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас
должно было получиться!

– А теперь вернёмся к вашему вопросу, –
продолжил Электроша. – Только сначала ответьте мне на
вопрос: какую форму имеет кубик Рубика?

– Кубик Рубика
имеет форму прямоугольного параллелепипеда, а точнее – форму куба, – ответили
мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Важным свойством любого геометрического тела
является его вместимость, то есть объём фигуры. Величина объёма
даёт нам представление о том, какую часть пространства занимает интересующий
нас объект.

Кстати, с такой величиной, как объём, мы
очень часто встречаемся в нашей жизни. Может, вы сможете привести примеры,
когда мы интересуемся объёмом? – спросил у ребят Электроша.

– Например, объём коробки с соком, объём
бассейна, объём школьного кабинета, – начал Саша.

– Ещё нам нужно знать объём топливного бака
машины, показатели потребления газа или воды на счётчиках, – продолжил Паша.

– Хорошие примеры! – похвалил ребят Электроша. – А как вы думаете, что нужно знать для того,
чтобы измерить объём? – спросил у ребят Электроша.

– Наверное, нужно знать единицу измерения
объёмов, – предположили мальчишки.

– Правильно! – подтвердил Электроша.
– Напомню, что для измерения отрезков мы вводили единичный отрезок, для
измерения углов – единичный угол, а для измерения площадей фигур – единичный
квадрат.

Для измерения объёмов также вводятся единицы
измерения. За единицу измерения объёма выбирают куб, ребро которого равно
единичному отрезку. Такой куб называют единичным.

Например, объём куба с ребром 1 миллиметр
называют кубическим миллиметром. Пишут так: .

Объём куба с ребром 1 сантиметр называют кубическим
сантиметром. Пишут так: .

Объём куба с ребром 1 дециметр называют кубическим
дециметром. Пишут так: .

Всем хорошо известна и такая единица объёма,
как 1 литр. Пишут так  дм³   л. Это другое название кубического
дециметра.

Объём куба с ребром 1 метр называют кубическим
метром. Пишут так: .

Объём куба с ребром 1 километр называют кубическим
километром. Пишут так: .

Легко заметить, что название единицы объёма
получается из названия единицы длины присоединением прилагательного
«кубический».

– Как вы думаете, что значит измерить объём
фигуры? – спросил у ребят Электроша.

– Измерить
объём фигуры – значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней
помещается, –
сказали мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Проще всего измерить объём прямоугольного
параллелепипеда. Чем мы сейчас и займёмся.

– Посмотрите: на листке бумаги изображён
прямоугольный параллелепипед со следующими измерениями: длина 5 сантиметров,
ширина 2 сантиметра и высота 3 сантиметра. Давайте посчитаем, сколько единичных
кубов может в нём поместиться.

– Начнём укладывать кубики на дно
прямоугольного параллелепипеда, – предложили мальчишки. – Итак, сначала положим
на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 сантиметр вдоль длинной стены.
Видим: поместилось 5 таких кубиков. Затем вдоль этих кубиков уложим ещё 1 ряд.
Тоже получим ещё пять кубиков.

– Хорошо! – сказал Электроша.
– Тогда сколько всего кубиков у вас поместилось на дне прямоугольного
параллелепипеда?

– На дне параллелепипеда помещается слой из единичных кубиков, то есть слой из 10 кубов.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – А чтобы заполнить
весь прямоугольный параллелепипед, сколько в него нужно вложить таких слоёв?

– Так как высота нашего параллелепипеда 3 сантиметра,
то в него вместится 3 слоя кубиков, в каждом из которых будет по 10 кубиков.
Тогда получается, что весь прямоугольный параллелепипед можно заполнить 30 кубиками.

– Всё правильно! – согласился Электроша. – Мы получили, что всего в нашем параллелепипеде
помещается единичных кубов. Поэтому объём нашего параллелепипеда равен  (см³).

– Электроша,
получается, что три измерения прямоугольного параллелепипеда позволяют
посчитать, сколько всего кубиков в нём поместится? – спросил Паша.

– Да, – ответил Электроша.
– Запомните! Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению
трёх его измерений.

Формулу для вычисления объёма прямоугольного
параллелепипеда в буквенном виде можно записать следующим образом: , где   – объём, , и – измерения прямоугольного параллелепипеда.
При вычислениях обязательно нужно обращать внимание, чтобы все измерения
прямоугольного параллелепипеда были выражены в одинаковых единицах.

– А теперь давайте решим одну задачку, –
предложил Электроша. – Определите объём блока бумаги,
если длина одного листа 20 миллиметров, ширина – 15 миллиметров, а всего в
блоке помещается 500 таких листов (считать толщину листа равной 1 миллиметру).

– Сначала вычислим площадь одного листа, –
сказал Паша, – она будет равна  (мм²).

– А потом площадь этого листа умножим на
количество листов, помещающихся в блоке, – продолжил Саша, – то есть  (мм³).

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Обратите внимание: блок бумаги имеет форму
прямоугольного параллелепипеда. Значит, мы с вами сейчас нашли объём
параллелепипеда, но с помощью другой формулы. Запомните! Объём
прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

В буквенном виде эту формулу записывают так: , где – площадь основания прямоугольного
параллелепипеда,   – его высота.

– А теперь давайте всё же вернёмся к вашему
первоначальному вопросу, – продолжил Электроша. – Вы
хотели выяснить, сколько кубиков содержится в кубике Рубика.
Мы с вами уже определили, что эта замечательная игрушка имеет форму прямоугольного
параллелепипеда, а если быть точнее, то форму куба. Может, вы уже сможете
посчитать количество маленьких кубиков, из которых состоит кубик Рубика?

– Так, – начал рассуждать Саша, – длина
нашего кубика Рубика состоит из 3 маленьких кубиков, точно
такие же ширина и высота. Значит, в нашем кубике Рубика
помещается  маленьких кубиков.

– Всё правильно! – сказал Электроша.
– Изначально кубик Рубика состоял из 27 связных между
собой разноцветных кубиков, но затем его конструкция упростилась до набора из 26
маленьких кубиков, а вместо внутреннего кубика разместился хитроумный
скрепляющий механизм. Кстати, а вы знаете кем, как и когда была придумана эта
замечательная игрушка? – спросил Электроша.

– Не знаем, – ответили мальчишки.

– Скажу вам только, что знаменитый кубик Рубика придумал венгерский преподаватель архитектуры Эрно Рубик в 1974 году.

А вот уже историю его создания и
усовершенствования вы можете изучить на досуге.

– А теперь смотрите, мы с вами определили,
что наш кубик Рубика имеет форму куба. Поскольку у
куба все рёбра равны, то его объём вычисляют по формуле:  , где  – длина ребра куба. Именно поэтому третью
степень числа называют кубом числа.

А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы
всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: объём класса 96 кубических
метров. Найдите высоту стены, если площадь пола 32 квадратных метра.

Решение: класс имеет форму прямоугольного
параллелепипеда. Нам известна площадь пола, то есть площадь основания
прямоугольного параллелепипеда. Значит, можем воспользоваться формулой для
вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и
высоту: . Выразим из этой формулы высоту: . И подставим в получившуюся формулу объём класса и площадь пола:  (м). Получаем, что высота стены равна 3 метрам.

Следующее задание: длина аквариума 80 сантиметров,
ширина 45 сантиметров, высота 65 сантиметров. Сколько литров воды нужно налить,
чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 5 сантиметров?

Решение: высота нашего аквариума 65
сантиметров, а воду нужно налить так, чтобы её уровень был ниже верхнего края
аквариума на 5 сантиметров. Значит, от высоты аквариума отнимем 5 сантиметров: . Получим, что высота уровня воды равна 60 сантиметрам. Воспользуемся
формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда:
. Получим, что в аквариум нужно налить  (см³). Переведём в литры. Мы знаем, что  л  дм³ , а значит, равен  см³ . Тогда получаем, что в
аквариум нужно налить  см³  л.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Математика

5 класс

Урок №31

Прямоугольный параллелепипед

Перечень рассматриваемых вопросов:

– куб;

– параллелепипед;

– элементы параллелепипеда;

– развёртка параллелепипеда.

Тезаурус

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Грань – плоская поверхность предмета, составляющая угол с другой такой же поверхностью.

Основания параллелепипеда – это его верхняя и нижняя грани.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 класс. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мир, в котором мы живём, состоит из огромного количества разных по форме, цвету и размеру предметов. Изучая их свойства, люди открывают что-то новое. Например, математики в окружающем пространстве обращают внимание на геометрические тела: цилиндры, кубы и так далее.

Сегодня мы рассмотрим прямоугольный параллелепипед – многогранник, название которого с древнегреческого переводится как «идущие рядом плоскости».

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью прямоугольниками, то есть шестью гранями. Грань, на которую поставлен параллелепипед, и ей противоположную называют нижним и верхним основаниями.

Остальные четыре грани называют боковыми гранями.

Стороны граней параллелепипеда называют рёбрами. Их двенадцать.

Концы рёбер называют вершинами. Их в параллелепипеде восемь.

Каждая вершина является общим концом трёх рёбер.

Длины двух рёбер основания, выходящих из одной вершины, называют длиной и шириной прямоугольного параллелепипеда.

Длину бокового ребра называют высотой.

Таким образом, длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, называют длиной, шириной, высотой. Иначе длину, ширину и высоту называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны между собой, называется кубом. Каждая грань куба – квадрат.

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда и куба.

У прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны.

Все грани куба равны между собой.

Построим прямоугольник заданной длины а и высоты h.

Для этого от каждой вершины отложим отрезок, равный половине ширины b под углом 45 градусов. И соединим концы отрезков, причём невидимые грани – пунктирной линией.

Изготовить параллелепипед можно несколькими способами. Например, с помощью развёртки. Для этого на бумаге вычерчивается макет, который выглядит как приведённый шаблон. Обратите внимание, что на картинке даны припуски для того, чтобы можно было склеить параллелепипед.

Другой способ изготовления параллелепипеда – модульная сборка. Она требует ряда последовательных действий.

1) Вырежьте из бумаги шесть одинаковых квадратов.

2) Согните их к середине, как показано на картинке.

3) Согните верхние и нижние края заготовки, как показано на рисунке.

4) Верхний уголок опустите вниз, а нижний – загните наверх. После этого получится квадрат.

5) Сделайте шесть таких заготовок и соедините их в один параллелепипед. Для этого каждый острый уголок вставьте в кармашек соседней части кубика.

Тренировочные задания

№ 1. Какова площадь верхней грани параллелепипеда?

S = ___ см²

Решение: площадь верхней грани параллелепипеда соответствует площади прямоугольника. Верхняя грань параллелепипеда имеет длину 15см и ширину 3см. Значит, далее по формуле вычисляем площадь:

S = а ·b = 15 см · 3 см = 45 см²

Ответ: 45 см²

№ 2. На рисунке изображен куб, состоящий из нескольких маленьких кубиков. Сколько маленьких кубиков ушло на построение данного куба?

Решение: для решения задачи нужно посмотреть, сколько маленьких кубиков расположено на одной грани куба. Их 9 штук. Всего на рисунке изображено три грани. Таким образом, чтобы найти общее количество маленьких кубиков, следует умножить количество кубиков, умещающихся на одной грани, на количество граней: 9 · 3= 27 штук.

Ответ: 27 штук.

а) Расскажите по рисунку, сколько кубиков объемом один кубический сантиметр каждый можно разместить в один слой, полностью закрывающий основание параллелепипеда.
Как найти число таких кубиков, если известны длина и ширина основания прямоугольного параллелепипеда?

б) Расскажите по рисунку, сколько всего кубиков объемом один кубический сантиметр каждый разместилось в прямоугольном параллелепипеде.
Как найти число таких кубиков, если известны длина, ширина и высота параллелепипеда?

Как найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его ширина, длина и высота?