Как найти сколько квадратов поместится в прямоугольнике

Здравствуйте! Сможете ли Вы справиться с задачкой из обычной школьной программы четвертого класса? Казалось бы, что задачи, которые решает четвероклассник, может решить и каждый взрослый. Давайте проверим!

Задача 1. Посчитать площадь большого треугольника, используя в качестве мерки площадь маленького треугольника:

По сути, нам нужно понять, сколько маленьких треугольников можно поместить в большой. Напомню, что задача предлагается в четвертом классе, когда дети еще не знают формул, по которым можно рассчитать площадь треугольника.

Подумайте, как решить эту задачу! А я пока дам небольшую подсказку и расскажу о задачах, которые решают четвероклассники до этого.

Задача 2. Рассчитать площадь большого прямоугольника, используя в качестве мерки площадь квадрата:

Эта задача, как мы видим, решается довольно просто. Напрямую считаем, сколько маленьких квадратов можно поместить в большой прямоугольник. Замечаем, что по высоте у нас помещается три ряда квадратов, т.к. высота маленького = 2 клеточки, а высота большого = 6 клеточек. По длине можно разместить 6 квадратов, в каждом из трех рядов. Итого, умножаем 6 на 3 и получаем в ответе 18 ед^2.

Дальше предлагается уже более сложная задача, которую нельзя решить простым наложением и нужно как-то трансформировать мерку.

Задача 3. Рассчитать площадь большой заштрихованной фигуры, используя в качестве мерки площадь маленькой.

Уже эта задача оказывается более сложной, т.к. у нас не получается целиком размещать мерки в большой фигуре, полностью покрыв ее площадь. Для решения задачи, необходимо как-то трансформировать мерку. Если внимательно на нее посмотреть, то можно заметить, что она занимает 5 клеточек, т.е. е площадь равна пяти клеткам. Теперь остается только посчитать, сколько клеточек содержится в большой фигуре. Получаем, что в ней 30 клеточек. Теперь нам остается только разделить 30 на 5 и получить правильный ответ. Площадь большой фигуры равняется 6 площадям маленьких фигур.

Теперь, после того, как мы поняли, что можно как-то изменять мерку, попробуем вернуться к самой первой задаче и решить ее. Еще раз посмотри на рисунок:

Напрямую, наложить мерку на большую фигуру не получается, поэтому пробуем превратить нашу мерку и нашу фигуру во что-то более удобное. Заметим, что если мы разводим нашу фигуру, а затем сложим между собой фигуру и ее дубликат, то мы получим прямоугольник, площадь которого в два раза больше площади искомого треугольника:

Но, теперь для удобства нужно преобразовать и саму мерку, превратив ее в прямоугольник, аналогично тому, как мы сделали ранее. При этом, получим мерку, площадь которой равна 2 ед^2.

Теперь остается только посчитать, сколько квадратов поместится в прямоугольник. Т.к. мы удваивали и площадь мерки и площадь основной фигуры, то полученное число и будет являться результатом. По высоте у нас помещается 2 квадрата. По длине – 5. Следовательно, всего помещается 5*2=10 квадратов.

Ответ. S=10 ед^2.

Если Вам понравилась статья – подписывайтесь на мой канал и узнавайте еще больше интересного!

As shown in one answer and
another answer,
The maximum number of squares of edge-length $E$ that can fit in a rectangle
of width $W$ and height $H$ is

$$ leftlfloorfrac WErightrfloor times leftlfloorfrac HErightrfloor, $$

and one way to fit that number of squares in the rectangle is to construct a grid of squares $leftlfloorfrac WErightrfloor$ squares wide by
$leftlfloorfrac HErightrfloor$ squares high in the lower left corner of the rectangle.

The proofs do not actually require any of these numbers to be an integer, but you may assume $E$ is an integer for the purpose of your question.

As mentioned in a comment (which could have been an answer), the edge length $E$
that you want is the largest integer such that
$leftlfloorfrac WErightrfloor times leftlfloorfrac HErightrfloor geq n.$

I do not see an obvious way to find the correct value of $E$ without allowing for some trial and error. But you can estimate the value to get the answer relatively quickly.
Let
$$ s = sqrt{frac{Wtimes H}{n}}. $$
Then $s$ is an upper bound on the possible length $E$; you cannot fit $n$ squares of side greater than $s$ in the rectangle, because the squares would have a greater area than the rectangle. Therefore $E leq s.$

But we can do better than that, because we need whole rows and columns of squares inside the rectangle. If $s$ does not evenly divide both $W$ and $H$, the largest grid of whole squares of edge-length $s$ we can fit in the rectangle will not be enough squares.
The only way to get more squares is to reduce the edge length until we can fit at least one more row or one more column in the rectangle.
That is, we need either $leftlceil H/s rightrceil$ rows
or $leftlceil W/s rightrceil$ columns. So we conclude that

$$ E leq
maxleft{frac{W}{leftlceil frac Ws rightrceil},
frac{H}{leftlceil frac Hs rightrceil}right}
= maxleft{frac{W}{leftlceil sqrt{frac{ntimes W}{H}}, rightrceil},
frac{H}{leftlceil sqrt{frac{ntimes H}{W}}, rightrceil}right}. $$

We can start at the largest integer less than or equal to the expression on the right, and if that value of $E$ is too large, try smaller values.

Example: Let $W=945$, $H=447$, and $n=34.$ Then

begin{align}
sqrt{frac{ntimes W}{H}} &approx 8.48, \
sqrt{frac{ntimes H}{W}} &approx 4.01, \
frac{W}{leftlceil sqrt{frac{ntimes W}{H}}, rightrceil}
&= frac{945}{9} = 105, \
frac{H}{leftlceil sqrt{frac{ntimes H}{W}}, rightrceil}
&= frac{447}{5} = 89.4. \
end{align}

The greater of the values $105$ and $89.4$ is $105.$
Trying $E = 105,$ we find we can fit $4$ rows by $9$ columns of squares of that size in the rectangle, and $4 times 9 = 36,$ so we can omit two squares from the grid and we have fit $n=34$ squares in the rectangle.
Any larger square can fit at most $4$ rows by $8$ columns, which gives only $32$ squares, so $E=105$ is the correct answer.

а) 
Найдем площадь исходного прямоугольника:
S пр. = 4 см × 5 см =  20 см²
Площадь одного квадрата:
Sкв. = 1 см  × 1 см  =  1 см²
Определим сколько квадратов поместится в исходном прямоугольнике:
20 см² :  1 см² =  20  квадратов
Ответ №1  :  20 квадратов.б)
Большую сторону прямоугольника  – увеличили на 2 см.
Получается площадь “добавленной фигуры” , т.е. нового прямоугольника:
S =  2 см × 4 см  =  8 см ²
Определим сколько квадратов по 1 см² поместится в данной фигуре:
8 см²  :   1 см²  =  8  штук 
Ответ №2:   8 штук.

 
Вы можете решить данные задания , при этом не считая площади фигур,  только по чертежу.  Начертите прямоугольник – разделите его на квадраты и их посчитайте. Получится  20 квадратов.

Затем дочертите  еще  2 см  к одной стороне , разделите эту фигуру на квадраты  – получится  8 квадратов.

 НО! Математически такую задачу  без определения площади  – не решить.