Как найти сколько сантиметров гипотенуза - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Прямоугольный треугольник и его гипотенуза (c), а также катеты a и b.

Гипотенуза (греч. ὑποτείνουσα, натянутая^[1]) — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Например, если длина одного из катетов равна 3 м (квадрат его длины равен 9 м²), а длина другого — 4 м (квадрат его длины равен 16 м²), то сумма их квадратов равна 25 м². Длина гипотенузы в этом случае равна квадратному корню из 25 м², то есть 5 м.

Вычисление длины гипотенузы[править | править код]

Длину гипотенузы можно найти, применив теорему Пифагора.

Пусть и — длины катетов, тогда гипотенузу можно найти по формуле

${displaystyle c={sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Если известна длина одного из катетов и угол, отличный от прямого, то можно найти длину гипотенузы по формулам:

${displaystyle c={frac {a}{sin alpha }}}$

для противолежащего угла alpha

, и

${displaystyle c={frac {a}{cos beta }}}$

для прилежащего угла beta

См. также[править | править код]

Синус
Треугольник
Тригонометрия

Примечания[править | править код]

↑ Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М..: Высшая школа, 1978, с. 26.

Источник

Гипотенуза — сторона в прямоугольном треугольнике, находящаяся напротив прямого угла. Две других стороны — катеты. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов.

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (формула: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты). Очень часто для вычисления гипотенузы используется именно эта теорема.

Как найти гипотенузу?

Как найти гипотенузу, зная катеты?

Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).

Например:

Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:

c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.

Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).

Как найти катет в прямоугольном треугольнике

По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:

Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:

(c — гипотенуза, a и b — катеты)

Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.

Применяем формулу b = √c² — a² ⇔

b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.

Как найти гипотенузу, зная катет и угол?

Если есть противолежащий катет — теорема синусов

Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).

Формула:

Например:

Известна одна сторона треугольника 𝐴𝐶 = √2 и ∠β = 45º.

∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).

Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.

Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.

Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:

BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º

В таблице вы найдёте значения для синуса:

sin 45º	√2/2
sin 60º	√3/2
sin 90º	1

В условии задачи нам дано: 𝐴𝐶 = √2, значит:

BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º

Подставляем значения синуса из таблицы:

BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔

BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)

Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:

AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2

Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.

Если есть прилежащий катет — по косинусу

Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).

Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.

Например:

Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).

Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.

Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.

BC = 1/ (√2/2) = √2

Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.

Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).

Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.

Например:

Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.

Формула b = √2a². Подставляем:

b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899

Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):

c² = a² + b²

c² = 7² + 7²

c² = 49 + 49

c² = 98

c = √98

c ≈ 9.899

Ответ: гипотенуза равна 9.899.

Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.

Источник

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Главная
/
Математика
/
Геометрия
/
Как найти стороны прямоугольного треугольника

Чтобы посчитать стороны прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

для гипотенузы (с):

длины катетов a и b
длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

для катета:

длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Катет a =
Катет b =
Гипотенуза c =

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

c² = a² + b²⇒

c = √(a² + b²)

a — известная длина первого катета прямоугольного треугольника в см (сантиметрах);

b — известная длина второго катета прямоугольного треугольника в см (сантиметрах);

c — длина гипотенузы прямоугольного треугольника в см (сантиметрах).

Например:

Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см.

Краткое решение: c = √(a² + b²) = √(5² + 12²) = 13 см

Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 4 см.

Краткое решение: c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = 5 см

Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см.

Краткое решение: c = √(a² + b²) = √(6² + 8²) = 10 см

Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 9 см и 12 см.

Краткое решение: c = √(a² + b²) = √(9² + 12²) = 15 см

Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 25 см и 60 см.

Краткое решение: c = √(a² + b²) = √(25² + 60²) = 65 см

Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 12 см и 16 см.

Краткое решение: c = √(a² + b²) = √(12² + 16²) = 20 см

Источник

Гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она лежит напротив прямого угла. Длина гипотенузы может быть найдена различными способами.

Если известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.
${a^2}+{b^2}={c^2}$

Соответственно длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:

$c=sqrt{{a^2}+{b^2}}$

К примеру: катет a = 3 см, катет b = 4 см.
Чтобы найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, подставим числа в формулу. $c=sqrt{{3^2}+{4^2}}=sqrt{9+16}=sqrt{25}$ =5 см

Преобразовав эту формулу можно найти и длину одного неизвестного катета.
$a=sqrt{{c^2}-{b^2}}$ , $b=sqrt{{c^2}-{a^2}}$

Калькулятор нахождения гипотенузы в прямоугольном треугольнике

Катет a=	Катет b=
Ответ: Гипотенуза= 5.000

В случае если известна длина катета A и гипотенузы C, угол α можно определить по формуле:
Второй угол будет вычисляться так: β = 180°-90°-α. Зная, что сумма всех углов составляет 180°, вычитаем прямой угол и уже известный.

К примеру: A = 3 см, C=5 см, подставляем значения в формулу: =0,6
По таблицу синусов угол α будет приблизительно равен 36°, соответственно угол β = 54°.