Как найти сколько треугольников в многоугольнике

Как найти сколько треугольников в многоугольнике

We will learn how to find the number of
triangles contained in a polygon.

If the polygon has ‘n’ sides, then the
number of triangle in a polygon is (n – 2).

In a triangle there are three sides. In the
adjoining figure of a triangle ABC we can observe that the number of triangles
contained = 3 – 2 = 1.

Number of Triangle Contained in a Triangle

In a quadrilateral there are four sides.
Number of triangles contained in a quadrilateral = 4 – 2 = 2.

In the adjoining figure of a quadrilateral
ABCD, if diagonal BD is drawn, the quadrilateral will be divided into two
triangles i.e. ∆ABD and ∆BDC.

Number of Triangles Contained in a Quadrilateral

In a pentagon there are five sides. Number
of triangles contained in a pentagon = 5 – 2 = 3.

In the adjoining figure of a pentagon
ABCDE, on joining AC and AD, the given pentagon is divided into three triangles
i.e. ∆ABC, ∆ACD and ∆ADE.

Number of Triangles Contained in a Pentagon

In a hexagon there are six sides. Number of
triangles contained in a hexagon = 6 – 2 = 4.

In the adjoining figure of a hexagon ABCDEF,
on joining AC, AD and AE, the given hexagon is divided into four triangles i.e.
∆ABC, ∆ACD, ∆ADE and ∆AEF.

Number of Triangles Contained in a Hexagon

● Polygons

Polygon and its Classification

Terms Related to Polygons

Interior and Exterior of the Polygon

Convex and Concave Polygons

Regular and Irregular Polygon

Number of Triangles Contained in a Polygon

Angle Sum Property of a Polygon

Problems on Angle Sum Property of a Polygon

Sum of the Interior Angles of a Polygon

Sum of the Exterior Angles of a Polygon

Didn’t find what you were looking for? Or want to know more information
about Math Only Math.
Use this Google Search to find what you need.

Источник

Сколько треугольников в пятиугольнике со звездой?

Ответ обоснуйте, чтобы было понятно, что не от балды.

Такое задание предлагают второклассникам в учебнике Петерсона. Хотя оно и взрослого может поставить в тупик. Чтобы его решить, нужно сделать следующее. Взять большой лист белой бумаги, нарисовать на нем много данных фигур покрупнее. Далее взять цветные карандаши и начинать раскрашивать треугольники. Причем это нужно делать не хаотично, а систематизировано. Сначала красим маленькие треугольники, затем треугольники побольше и так далее. В общем если вы все сделаете правильно, то у вас должно получиться 35 треугольников.

Если затрудняетесь, то вот отличная раскрашенная картинка всех треугольников.

модератор выбрал этот ответ лучшим

Salve 2022
[133K]

3 года назад 

Из школьных заданий определить количество геометрических фигур в другой геометрической фигуре – самая распространенная, которая развивает внимательность и пространственное воображение.

Нам для решения загадки предоставлена геометрическая фигура, которая является по всем стандартом пятиугольником, внутри которой изображена фигура в виде пятиконечной звезды.

Если раскрасить треугольники разными цветами, то получится 35 треугольников.

Примерно так получается 35 треугольников.

Элени­я
[445K]

3 года назад 

Знание геометрии пригодится, чтобы разделить вписанный пентакль в многоугольник.

Видим шестиугольную фигуру, в которую вписана другая фигура – “пятиконечная звезда”. Сам по себе шестиугольник будет образовывать треугольники, если провести диагонали из вершин к другим вершинам:

сколько треугольников

В многоугольнике можно выделить многими способами треугольники.

сколько треугольников в пентаграмме

Также, звезда тоже образована множеством треугольников.

сколько треугольников в пентаграмме

Еще появляются треугольники, которые образуются между обоими фигурами. Так сколько же в всего треугольников?

Итак, посчитаем общее количество, сколько всего треугольников? Их много, поэтому начнем по порядку. Чтобы решить головоломку, необходимо тщательно сопоставить все варианты, быть внимательными и не упустить ни один из них.

сколько треугольников

Чтобы учесть каждый из треугольников, не пропустив, обозначим все разным цветом. И остается только сложить!

Здесь по пять “красных”, “желтых”, “синих”, “серых” и “зеленых” фигур, а “лиловых” – десять.

Посчитаем общее количество, согласно всем результатам. Это “пять” раз по “пять” (“двадцать пять”) и один раз по “десять”, всего – “тридцать пять” штук. У нас получается цифра – “35”.

35 треугольников.

После того, как сам нашёл эти треугольники – нашёл аналогичный вопрос на этом сайте с таким же ответом: вопрос “Сколько треугольников найдете?” (можно найти поиском по сайту).

Тупо копирую наиболее наглядный ответ оттуда.

Ответ: на рисунке 35 треугольников вписано в пятиугольник.

1) Для начала посчитаем самые маленькие треугольники, то есть те, которые ничем не перечёркиваются. Получилось, что их 10 (на моём рисунке 5 красных и 5 зелёных).

2) Теперь посчитаем самые крупные треугольники. Их получилось тоже 10 (5 красных – боковых и 5 центральных жёлтых).

3) Теперь посчитаем оставшиеся – средние по размеру треугольники.

Их у меня получилось 15.

Сначала я нашёл 10 средних треугольников (2 жёлтых, 4 красных и 4 зелёных).

Затем я пригляделся и увидел внутри фигуры ещё 5 больших треугольников. Их я выделил синим цветом.

Итого суммируем и получаем 35 (10+10+15).

Евген­ий трохо­в
[56.5K]

5 лет назад 

Обозначим вершины большого пятиугольника цифрами 1,2,3,4,5.Тогда будет 5 треугольников образованных вершинами пятиугольника (1,2,3),(2,3,4),(3,4­,5)(4,5,1),(5,1,2).По­смотрите на свой рисунок.Видно что каждый такой треугольник пересечён двумя прямыми(углом звезды исходящей из вершины).Тогда получается что каждый треугольник добавляет еще по 5 треугольников.( 3 по одному и 2 состоящих из объединения двух малых).Это ещё 25 треугольников.Ещё 5 треугольников дают треугольники образованные из двух вершин большого пятиугольника и одной вершины малого внутреннего пятиугольника.И ещё 5 треугольников образованных вершинами (1,2,4),(2,3,5),(3,4­,1),(4,5,2),(5,1,3),и­того 5+25+5+5=40 треугольников.

Zummy out off
[226K]

3 года назад 

Очень хорошая задача на внимательность и на развитие пространственного воображения.

Нужно очень внимательно шаг за шагом просматривать все фигуры, которые образованы линиями, искать среди фигур треугольники. Трудно это сделать, если смотреть на исходную фигуру. Лучше всего нарисовать эту же фигуру на листе бумаги и закрашивать треугольники один за другим, от самых мелких до самых крупных.

Жалко, что уже много ответов в интернете на эту задачу. Скорее всего, ученик сразу в поиске найдёт результат. Но результат нужно представить в виде решения, то есть все фигуры найти.

Вот один из вариантов решения.

Добры­й Мстит­ель
[255K]

4 года назад 

Второклассника придется вооружиться терпением, чтобы определить количество треугольников в пятиугольника со щвездой. Взяв цветные карандаши или фломастеры, на листе бумаге нарисовать сначала фигуры, желательно много, они пригодятся для решения. Потом начинаем раскрашивать треугольники, начиная с самых маленьких, затем раскрашивание более большие и так доходим до самых больших, которые тоже разукрашиваем. Треугольники можно раскрашивать в разные цвета. Потом ведём подсчет, получается ровно 35.

Верный ответ: 35 треугольников.

[поль­зоват­ель забло­киров­ан]
[321K]

4 года назад 

В задании/головоломке вопрос: такая геометрическая фигура, как пятиугольник со звездой, разделенная на треугольники, в пятиугольник образуется множество треугольников, которые нужно подсчитать. Существуют подсчеты,которые можно получить путем раскрашивания треугольников, можно просто выделять стороны треугольников.

Правильным ответом будет количество – 35.

danil­aups
[4.9K]

3 года назад 

Интересная задачка, взята она кстати из учебника для вторых классов по математике Петерсона. Сказать по правде, прочтя вопрос, сразу стал глазами искать эти самые треугольники, всего насчитал 32. Затем, опустив взгляд чуть ниже, стал читать ответы других пользователей, оказалось что я обсчитался на три треугольника, что и не удивительно, все таки аудитория не целевая для таких задач. Как вы уже наверно догадались правильный ответ 35 треугольников, есть разные способы их подсчета, использовав любой их которых вы так или иначе развиваете свои умственные способности, особенно если это происходит во втором классе.

владс­андро­вич
[766K]

4 года назад 

Всего должно получиться 35 треугольников:

Очень удобно считать их выделив по цветам, а именно:тех которые идут красного и зеленого цвета, идет по пять и это уже выходит = 10.

Затем желтым и красным цветом вы видите самые крупные треугольники и их выходит тоже =10.

В завершении вы видите треугольники, которые считаются средними и их выходит 15, а если сложить все, то = 35.

SvetK­it
[4K]

3 года назад 

Эта фигура является пятиугольником. Звезда тоже пятиконечная. Выбираем один треугольник, например, образованный стороной пятиугольника и лучами звезды с вершиной напротив этой стороны. Если внимательно приглядеться, то можно увидеть такую закономерность: лучи звезды и плюс дополнительно стороны этого пятиугольника образовывают по пять одинаковых треугольников, смещенных по кругу. Также, группами по пять штук, расположены и все остальные треугольники. Таких видов треугольников насчитывается 7. Итого, общее число треугольников в данной фигуре 7×5 равно 35.

Знаете ответ?
Источник

Немногие геометрические фигуры столь же разнообразны, как многоугольники. Они включают в себя знакомый треугольник, квадрат и пятиугольник, но это только начало. 

В геометрии многоугольник — это любая двумерная форма, которая удовлетворяет следующим условиям:

  • Состоит из трех или более прямых
  • Закрыто без отверстий или разрывов в форме
  • Имеет пары линий, которые соединяются в углах или  вершинах,  где они образуют углы
  • Имеет равное количество сторон и внутренних углов

Двумерный означает плоский, как лист бумаги. Кубы не являются полигонами, потому что они трехмерны. Круги не являются полигонами, потому что они не содержат прямых линий.

Специальный вид многоугольника может иметь углы, которые не все равны. В этом случае это называется неправильным многоугольником.

Источник

Считать треугольники легко. Но школьники во время тестов и олимпиад тратят на эти задания слишком много времени, а потом не успевают решить задачи, которые приносят много очков. Считают они чаще бессистемно и поэтому путаются.

Во вчерашнем коротком видео мы попросили вас сосчитать треугольники.

Начинать считать треугольники нужно с вершин.

Мы решили показать как быстро и правильно посчитать треугольники на любом чертеже.

Вот наш чертеж.

Как быстро сосчитать треугольники и не запутаться

В нашем случае треугольников много, но ведь бывают чертежи и попроще. И если принцип будет понятен, то вы справитесь и с более сложным рисунком. А рассказываем еще и потому, что вы сможете подсказать своим детям или внукам, как быстро это делать, так как в школьных заданиях, и даже на олимпиадах такие задачи встречаются часто.

В решении таких головоломок требуется, конечно, и умение запоминать то, что уже посчитано.

Вот так считали мы. Но мы делали это в уме. А для вас показываем схематично.

Для того, чтобы быстро посчитать треугольники среди множества пересеченных между собой линий, нужно выбрать и отметить главные точки пересечений. Они и станут вершинами наших треугольников.

У нас получилось 12 вершин.

Как быстро сосчитать треугольники и не запутаться

Теперь считать легко.

На картинке ниже в вершинах указано количество треугольников

Получаем по вершинам

№1 — 6 ▲ + №2 — 5 ▲ + №3 — 5▲ + №4 — 4 ▲ + №5 — 4 ▲ №6 — 3 ▲ + №7 — 3 ▲ + №8 — 2 ▲ + №9 — 1 ▲ + №10 — 2 ▲ + №11 — 3 ▲ + №12 — 4 ▲

Как быстро сосчитать треугольники и не запутаться

Можно посмотреть подробнее

Как быстро сосчитать треугольники и не запутаться

Ответ

Как быстро сосчитать треугольники и не запутаться

Пишите нам! Всем спасибо, успехов и удачи!

Источник

 

 Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение29.07.2022, 11:27 


29/07/22
12

Сколько треугольников можно составить из вершин выпуклого многоугольника с $n$ сторонами? А сколько, если ни одна из сторон многоугольника не является стороной какого-либо треугольника?
* В первом вопросе, я думаю, что количество треугольников можно составить из вершин выпуклого многоугольника с n сторонами равно: $$n(n - 1)(n - 2)$$ Потому что количество способов выбрать первую вершину равно $n$, вторую вершину $n - 1$ и третью вершину $n - 2$. Однако я думаю, что этот результат неверен, потому что есть повторяющиеся треугольники, но я не знаю, как найти и доказать количество повторяющихся треугольников.
* Во втором вопросе, у меня есть 2 идеи по этой проблеме:
– Первый подход заключается в нахождении количества треугольников, не имеющих общих сторон с многоугольником. (напрямую)
– Второй подход заключается в нахождении количества треугольников, которые имеют хотя бы одну общую сторону с многоугольником, а затем вычитание их из общего числа треугольников. (косвенно)
Тем не менее, я очень борюсь с количеством способов выбрать вершину или сторону треугольников.
Из-за этих проблем мне нужна помощь, чтобы решить ее. Пожалуйста, дайте мне подробное объяснение вашей идеи.

Профиль  

Lia 

Posted automatically

Сообщение29.07.2022, 12:16 


20/03/14
18/06/23
12046

Профиль  

Lia 

Posted automatically

Сообщение30.07.2022, 12:30 


20/03/14
18/06/23
12046

 i 		 Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

Профиль  

gris 

 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение30.07.2022, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14204

Любые три вершины многоугольника являются вершинами треугольника, то есть можно использовать комбинаторную формулу $C_n^3$, что совпадает в вашей с точностью до множителя $1/6$.
Тут надо ещё определить, какие треугольники не различаются в подсчёте. Может быть равные в чисто геометрическом смысле, или отличающиеся только последовательностью вершин?
Нужно ли всё же подсчитывать треугольники только из диагоналей? Тогда можно и вашим способом выбрать первую вершину, потом вторую из числа несоседних, а третью из числа несоседних с обоими.

Профиль  

nothingg 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение30.07.2022, 20:00 


29/07/22
12

Любые три вершины многоугольника являются вершинами треугольника, то есть можно использовать комбинаторную формулу $C_n^3$, что совпадает в вашей с точностью до множителя $1/6$.
Тут надо ещё определить, какие треугольники не различаются в подсчёте. Может быть равные в чисто геометрическом смысле, или отличающиеся только последовательностью вершин?
Нужно ли всё же подсчитывать треугольники только из диагоналей? Тогда можно и вашим способом выбрать первую вершину, потом вторую из числа несоседних, а третью из числа несоседних с обоими.

1. Первый вопрос: Я думаю, что повторяющиеся треугольники отличаются только последовательностью вершин, верно? Таким образом, количество треугольников, образованных вершинами $n$-угольника, равно: $$n(n-1)(n-2)/6$$ Поскольку каждый треугольник повторяется 3 раза по 3 его вершинам и по 2 раза по каждой своей вершине, то в сумме он повторяется $3times2=6$. По теме думаю все таки надо считать треугольники только от диагоналей.
2. Второй вопрос: Я знаю, что есть $n$ способов выбрать первую вершину. Однако я не понимаю, как считать способы выбора второй вершины и третьей вершины в соответствии с вашей идеей. Пожалуйста, помогите мне объяснить эту проблему подробно.

Профиль  

Otta 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение30.07.2022, 21:34 
Заслуженный участник


09/05/13
18/06/23
8903

nothingg

Чего тут объяснять. А сколько способов выбрать нужным образом вторую?

Профиль  

nothingg 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение31.07.2022, 11:37 


29/07/22
12

nothingg

Чего тут объяснять. А сколько способов выбрать нужным образом вторую?

Мне нужно объяснить, как найти количество способов выбрать вторую вершину и третью вершину. Я думаю, что количество второй вершины, следуя приведенной выше идее, равно $n - 3$, потому что нам нужно исключить выбранную вершину и 2 соседние вершины. Таким образом, номер третьей вершины, которая не является смежной с обеими вершинами выше, равен $n - 5$, потому что нам нужно исключить 3 вершины выше, 1 вершину, которую мы недавно выбрали, и 1 вершину, смежную с вершиной, которую мы недавно выбрали. Однако я думаю, что в моих рассуждениях много пробелов, потому что я не могу их доказать. Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$

Профиль  

EUgeneUS 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение31.07.2022, 11:53 

Аватара пользователя


11/12/16
11893
уездный город Н

Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$

Согласно этой формуле
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин квадрата – ноль.
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин треугольника – шесть.

Профиль  

nothingg 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение31.07.2022, 13:18 


29/07/22
12

Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$

Согласно этой формуле
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин квадрата – ноль.
а) количество треугольников, которые можно составить из вершин треугольника – шесть.

Я думаю, что ваш ответ не имеет отношения к этой задаче.

Профиль  

nnosipov 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение31.07.2022, 13:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8862

Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$

Да, это правильный ответ на 2-й пункт задачи. Попробуйте его получить, подсчитывая те треугольники, у которых хотя бы одна из сторон совпадает с какой-нибудь стороной заданного $n$-угольника.

Профиль  

gris 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение31.07.2022, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14204

nothingg

, обратите внимание, что у первой вершины две соседние и у второй две. Но если вторая вершина находится через шаг от первой (по или против часовой стрелки), то тогда один сосед является общим, и они вдвоём делают запретными пять мест, а свободными остаются остальные $n-5$ (надо учесть, что это действует, начиная с шестиугольника!), но когда вторая вершина находится на расстоянии двух и больше шагов от первой, то соседи вершин не пересекаются и они вдвоём делают запретными шесть мест, а свободными остаются остальные $n-6$ (надо учесть, что это действует, начиная с семиугольника!) То есть при суммарном подсчёте надо учесть два варианта. Сколько в каждом вариантов для второй вершины и сколько для третьей. Раскрываем скобки и группируем. Да, правильные ответ правилен, но он действует при $nge 6$
Пока писал, уже написали:(

Профиль  

EUgeneUS 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение31.07.2022, 14:09 

Аватара пользователя


11/12/16
11893
уездный город Н

да, уже написали.
Мой комментарий, имеет отношение к задаче, но я ошибся – у Вас был ответ на второй вопрос :roll: :facepalm:
На второй вопрос – это верный ответ.

Да, правильные ответ правилен, но он действует при $nge 6$

Он действует для $n ge 4$ :wink:

Профиль  

nothingg 

 Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение31.07.2022, 21:53 


29/07/22
12

Более того, правильный ответ на эту задачу: $$n(n-4)(n-5)/6$$

Да, это правильный ответ на 2-й пункт задачи. Попробуйте его получить, подсчитывая те треугольники, у которых хотя бы одна из сторон совпадает с какой-нибудь стороной заданного $n$-угольника.

Я попробую эту идею!

— 31.07.2022, 21:56 —

да, уже написали.
Мой комментарий, имеет отношение к задаче, но я ошибся – у Вас был ответ на второй вопрос :roll: :facepalm:
На второй вопрос – это верный ответ.

Да, правильные ответ правилен, но он действует при $nge 6$

Он действует для $n ge 4$ :wink:

Извините, я не подумал о случае $nge4$. Спасибо, что сообщили мне о недостатке в моих рассуждениях!

Профиль  

Lia 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение31.07.2022, 21:57 


20/03/14
18/06/23
12046

 ! 		 nothingg
Обращение на “ты” является нарушением правил форума.

Профиль  

nothingg 

Re: Сколько треугольников можно составить из вершин правильного

Сообщение31.07.2022, 22:43 


29/07/22
12

nothingg

, обратите внимание, что у первой вершины две соседние и у второй две. Но если вторая вершина находится через шаг от первой (по или против часовой стрелки), то тогда один сосед является общим, и они вдвоём делают запретными пять мест, а свободными остаются остальные $n-5$ (надо учесть, что это действует, начиная с шестиугольника!), но когда вторая вершина находится на расстоянии двух и больше шагов от первой, то соседи вершин не пересекаются и они вдвоём делают запретными шесть мест, а свободными остаются остальные $n-6$ (надо учесть, что это действует, начиная с семиугольника!) То есть при суммарном подсчёте надо учесть два варианта. Сколько в каждом вариантов для второй вершины и сколько для третьей. Раскрываем скобки и группируем. Да, правильные ответ правилен, но он действует при $nge 6$
Пока писал, уже написали:(

Я так понимаю вашу мысль: количество способов выбрать первую вершину равно $n$, тогда при выборе второй вершины вы разделили это на 2 случая
– Случай 1: вторая вершина находится через шаг от первой (по или против часовой стрелки) поэтому в этом случае есть 2 способа выбрать вторую вершину. При выборе третьей вершины мне нужно исключить 2 выбранные вершины, 2 вершины, смежные с первой вершиной, и вершину, смежную со второй вершиной, поэтому существует $n - 5$ способов выбрать третью.
– Случай 2: вторая вершина находится на расстоянии двух и больше шагов от первой поэтому в этом случае есть $n - 5$ способов выбрать вторую вершину, потому что мне нужно исключить 1 выбранную вершину, 2 вершины, смежные с первой, и 2 вершины, смежные с 2 соседними вершинами первой вершины. При выборе третьей вершины мне нужно исключить 5 вершин, о которых я говорил выше, и вторую, которую я выбрал недавно, поэтому есть $n - 6$ способов выбрать третью.
Поскольку порядок вершин не имеет значения, нам нужно разделить результат на $3! = 6$.
Результат: $$frac{ntimes2times(n-5)+ntimes(n-5)times(n-6)}{6}=frac{ntimes(n-4)times(n-5)}{6}$$

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Добавить комментарий