Как найти сколько углов имеет выпуклый многоугольник

В геометрии многоугольниками называют плоские замкнутые фигуры, состоящие из нескольких прямых отрезков. Суммарная длина всех сторон называется периметром.

Поговорим подробнее о видах многоугольников и их характеристиках.

При изучении темы, что такое многоугольники, применяются следующие термины:

• Вершины многоугольника.
• Стороны замкнутой ломаной.
• Углы, образованные между смежными сторонами.
• Отрезки между несмежными вершинами называются диагоналями.
• Сумма длин всех сторон фигуры является периметром.
• Внутренние углы между соседними сторонами. Число углов равно числу сторон и вершин.

Наименования данных фигур зависят от количества сторон:

• Треугольник – это 3 стороны.
• Четырехугольник имеет 4 стороны.
• Пятиугольник – это 5 сторон и пр.

Все фигуры имеют буквенные обозначения, необходимо правильно проставлять их при вершинах.

Например, обозначение пятиугольника ABCDE будет выглядеть так:

В этом пятиугольнике вершинами являются точки: A, B, C, D и E.

Отрезки: AB, BC, CD, DE и EA являются сторонами пятиугольника.

Виды многоугольников

Различают несколько видов этих фигур: выпуклые, вогнутые, правильные и неправильные.

Какие многоугольники называются выпуклыми и невыпуклыми (вогнутыми)? Чтобы определить, какой многоугольник называется выпуклым, достаточно знать его определение.

Если стороны, при продолжении до прямой линии, не пересекают плоскость, то это выпуклый многоугольник.

Определение невыпуклого многоугольника: если при продолжении сторон прямые линии пересекают плоскость фигуры, то она является вогнутой.

Что такое правильные многоугольники

Выпуклые многоугольники, у которых все стороны и все углы равны, называются правильными.

На рисунке показан правильный многоугольник.

Как найти периметр многоугольника и определить диагонали

Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон.

Для четырехугольника ABCD периметр будет равен сумме его сторон: AB + BC + CD + DA.

Диагональю многоугольника является отрезок, который соединяет вершины противоположных углов.

Например, отрезок AD будет являться диагональю фигуры ABCDEF:

Свойство треугольников: если треугольник не имеет углов с общими сторонами, диагональ он иметь не может.

Если из вершин провести несколько диагоналей, то они разделят фигуру на несколько треугольников:

Количество треугольников будет на 2 меньше, чем число сторон:

Если t — количество треугольников, а n — количество сторон, то формула будет выглядеть так: t = n – 2.

Разделение многоугольника диагоналями на несколько треугольников помогает быстро найти площадь.

Чтобы найти площадь многоугольника, нужно разделить его на треугольники, затем найти их площадь и сложить полученные результаты.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Научимся находить сумму углов выпуклого четырёхугольника, не только внешних, но и внутренних. Но сначала определим, какие углы называются внутренними углами выпуклого многоугольника.

Внутренним называется угол между смежными сторонами.

Например, ∠ABC является внутренним для ABCDEF.

Внешним называют угол между стороной фигуры и линейным продолжением близлежащего отрезка.

Например, ∠LBC является внешним углом для ABCDEF.

Правило: сумма углов выпуклого многоугольника всегда равно числу его сторон. Это определение относится ко всем углам.

Это значит, чтобы найти количество углов, достаточно посчитать количество всех его сторон. Значит сумма углов четырехугольника будет равна четырем.

Сумма внутренних углов

Правило для нахождения суммы углов гласит: чтобы найти сумму всех внутренних углов выпуклого многоугольника, нужно умножить уменьшенное на 2 количество его сторон на 180°.

Обозначения выглядят следующим образом:

• сумма углов – s;
• число сторон – n;
•  два прямых угла (2 · 90 = 180°) – 2d.

Формула многоугольника для нахождения суммы углов: s = 2d · (n – 2).

Найти сумму углов также можно с помощью деления фигуры на треугольники. Она будет равна сумме углов всех треугольников (180° · n).

Пример:

Если у фигуры 4 треугольника, то сумму всех углов находим по следующей формуле: s = 2d (n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Это означает, что сумма внутренних углов – это постоянная величина, которая зависит от количества его сторон.

Сумма внешних углов

Определение: Сумму всех внешних углов многоугольника находим по формуле: s = 4d.

Где:

• s — сумма внешних углов;
• 4d — четыре прямых угла (4 · 90 = 360°).

Сумма смежных (внутреннего и внешнего) углов, лежащих при вершине, равна 180° · (2d).

Например, ∠1 и ∠2:

Если имеется n вершин, то сумма внутренних и внешних и углов будет равна 2dn.

Зная основные формулы и определения для многоугольников, можно легко справиться с любой задачей.

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Понятие многоугольника

Определение 1

Многоугольником называется геометрическая фигура в плоскости, которая состоит из попарно соединенных между собой отрезков, соседние из которых не лежат на одной прямой.

При этом отрезки называются сторонами многоугольника, а их концы – вершинами многоугольника.

Определение 2

$n$-угольником называется многоугольник, у которого $n$ вершин.

Виды многоугольников

Определение 3

Если многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется выпуклым (рис. 1).

Рисунок 1. Выпуклый многоугольник

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение 4

Если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы одной прямой, проходящей через его стороны, то многоугольник называется невыпуклым (рис. 2).

Рисунок 2. Невыпуклый многоугольник

Сумма углов многоугольника

Введем теорему о сумме углов -угольника.

Теорема 1

Сумма углов выпуклого -угольника определяется следующим образом

[(n-2)cdot {180}^0]

Доказательство.

Пусть нам дан выпуклый многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5dots A_n$. Соединим его вершину $A_1$ со всеми другими вершинами данного многоугольника (рис. 3).

Рисунок 3.

При таком соединении мы получим $n-2$ треугольника. Просуммировав их углы мы получим сумму углов данного -угольника. Так как сумма углов треугольника равняется ${180}^0,$ получим, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

[(n-2)cdot {180}^0]

Теорема доказана.

«Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник» 👇

Понятие четырехугольника

Используя определение $2$, легко ввести определение четырехугольника.

Определение 5

Четырехугольником называется многоугольник, у которого $4$ вершины (рис. 4).

Рисунок 4. Четырехугольник

Для четырехугольника аналогично определены понятия выпуклого четырехугольника и невыпуклого четырехугольника. Классическими примерами выпуклых четырехугольников являются квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм (рис. 5).

Рисунок 5. Выпуклые четырехугольники

Теорема 2

Сумма углов выпуклого четырехугольника равняется ${360}^0$

Доказательство.

По теореме $1$, мы знаем, что сумма углов выпуклого -угольника определяется по формуле

[(n-2)cdot {180}^0]

Следовательно, сумма углов выпуклого четырехугольника равняется

[left(4-2right)cdot {180}^0={360}^0]

Теорема доказана.

Примеры задач

Пример 1

Определить сумму углов выпуклого девятиугольника, семиугольника и двенадцатиугольника.

Решение.

Для решения будем пользоваться теоремой $1$. Получим:

Сумма углов выпуклого пятиугольника равняется

[left(5-2right)cdot {180}^0=3cdot {180}^0={540}^0]

Сумма углов выпуклого девятиугольника равняется

[left(9-2right)cdot {180}^0=7cdot {180}^0={1260}^0]

Сумма углов выпуклого двенадцатиугольника равняется

[left(12-2right)cdot {180}^0=10cdot {180}^0={1800}^0]

Пример 2

Сколько углов имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равняется ${1620}^0$.

Решение.

Используя формулу задачи $1$, имеем

[left(n-2right)cdot {180}^0={1620}^0] [n-2=9] [n=11]

Ответ: $11$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 12.05.2023

Теорема

(о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

(n — количество сторон многоугольника).

Другой вариант формулировки этой теоремы:

Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).

Дано:

   

—  выпуклый n -угольник.

Доказать:

   

   

Доказательство:

1-й способ

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

Получили n треугольников.

   

   

   

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º

   

то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Сумма углов каждого треугольника равна 180º.

Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна

   

   

Что и требовалось доказать.

2-й способ

Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.

Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.

Следовательно, сумма углов многоугольника

   

   

Что и требовалось доказать.

Углы многоугольника

• Сумма внутренних углов
• Сумма внешних углов

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например,  ∠ABC  является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например,  ∠LBC  является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению  180°  и количеству сторон без двух.

s = 2d(n – 2),

где  s  — это сумма углов,  2d  — два прямых угла (то есть  2 · 90 = 180°),  а  n  — количество сторон.

Если мы проведём из вершины  A  многоугольника  ABCDEF  все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна  180°  (2d),  то сумма углов всех треугольников будет равна произведению  2d  на их количество:

s = 2d(n – 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна  360°  (или  4d).

s = 4d,

где  s  — это сумма внешних углов,  4d  — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна  180°  (2d),  так как они являются смежными углами. Например,  ∠1  и  ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет  n  сторон (и  n  вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех  n  вершинах будет равна  2dn.  Чтобы из этой суммы  2dn  получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть  2d(n – 2):

s = 2dn – 2d(n – 2) = 2dn – 2dn + 4d = 4d.