Как найти сколько вершин имеет многоугольник

Сколько вершин имеет правильный многоугольник, если каждый его угол=156 градусов?

Сколько вершин имеет правильный многоугольник, если каждый его угол=156 градусов? можете полностьЮ расписать и объяснить ответ?

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.
Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2)

180(n-2)=156n
180n-360=156n
180n-156n=360
24n=360
n=15
ОТВЕТ: 15 вершин

Как найти число вершин многоугольника

Тип 3 № 54114

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 170°. Найдите число вершин многоугольника.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 108°. Найдите число вершин многоугольника.

Сумма углов n-угольника равна 180°(n − 2). Каждый из них равен 108°, поэтому, с другой стороны, эта сумма равна 108°n. Решим уравнение 180°(n − 2) = 108°n. Получим 72°n = 360°, откуда n = 5. Таким образом, многоугольник имеет 5 вершин.

Приведём другое решение.

Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, где А и B — соседние вершины многоугольника, О — центр окружности (см. рис.). Углы при основании треугольника равны равны 54°, следовательно, угол при вершине равен 72°. Тогда n = 360° : 72° = 5. Таким образом, многоугольник имеет 5 вершин.

Решение №2071 Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 168°. Найдите число вершин многоугольника.

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 168°. Найдите число вершин многоугольника.

Решение:

В правильном многоугольнике все углы равны. Пусть n – количество углов и вершин. Тогда сумму углов многоугольника можно найти как:

n·168

Или по формуле суммы углов выпуклого n-угольника:

180·(n – 2)

Приравняем и найдём n:

n·168 = 180·(n-2)
n·168 = 180·n-2·180
360 = 180·n – 168·n
360 = 12n
n = 360/12 = 30

Vertices or a vertex is the technical term used in geometry for the corner points of a solid shape. A technical word is used to prevent confusion that might be used if the word “corner” was used is a description of a shape. A corner might refer to the point on the shape, but then it might also refer to the corners of the faces that make up the shape. The number of vertices can be worked out simply by counting or by using Euler’s formula.

Count the vertices or “corner points,” the points where the edges of the shape join up. Circle each with a pencil as you count it to avoid counting any twice. Check the entire shape to make sure all the vertices have been counted.

Rearrange Euler’s formula to calculate the number of vertices in any Platonic solid, tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, icosahedron. Euler’s formula is usually presented as follows: Faces + Vertices – Edges = 2 However, the formula can be rearranged to make the number of vertices the subject of the formula.

Rearrange the formula as follows: Add the Edges to each side of the equation to get: Faces + Vertices = Edges + 2 Now subtract the Faces from each side of the equation to get: Vertices = Edges + 2 – Faces

Use this equation to find the vertices from the number of faces and edges as follows: Add 2 to the number of edges and subtract the number of faces. For example, a cube has 12 edges. Add 2 to get 14, minus the number of faces, 6, to get 8, which is the number of vertices.

Tips

• Only use Euler’s equation for the Platonic solids listed, not for other shapes. For these you will have to count.

Teachs.ru

Многоугольник.

Прежде, чем ввести понятие многоугольника, рассмотрим геометрическую фигуру, состоящую из отрезков. Расположим отрезки так, чтобы начало одного отрезка совпадало с концом другого.

Таких отрезков может быть бесконечно много.

Определение. Ломаной называется геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.

Отрезки, из которых состоит ломаная называются звеньями ломаной, а концы этих отрезков – вершинами ломаной. Обозначается ломаная по своим вершинам. На рисунке сверху изображена ломаная или . У неё точки и – вершины, а отрезки – звенья. Соседние звенья называются смежными. и – смежные; и – смежные, и т.д.

Определение. Длиной ломаной называется сумма длин всех её звеньев.

На рисунке длина ломаной равна:

Существует две группы ломаных: замкнутые и незамкнутые.

Определение. Замкнутой называется ломаная, у которой её начало и конец совпадают.

– замкнутая ломаная. У неё точка является и началом и концом.

Замкнутые ломаные также разделяются на две группы:

• ломаные без самопересечения (когда несоседние звенья не пересекаются);

• ломаные, имеющие самопересечение (когда несоседние звенья пересекаются).

Не соседние звенья и , на рисунке слева, пересекаются. В таком случае говорят, что ломаная имеет самопересечение. На рисунке справа ломаная не имеет самопересечений.

Определение. Многоугольником называется замкнутая ломаная, не имеющая самопересечений.

Другими словами: если не соседние звенья ломаной не пересекаются, то это многоугольник. Звенья такой ломаной являются сторонами многоугольника, вершины ломаной – вершинами многоугольника, а длина ломаной является периметром многоугольника. Сторон у многоугольника может быть очень много, и, если нам точно не известно, сколько их, то говорят, что это -угольник и сторон у него .

Определение. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины.

В многоугольнике из вершины выходят три диагонали: . Из каждой следующей вершины будут выходить также по три диагонали. Назовите их.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.

Выпуклый многоугольник.

Рассмотрим два вида многоугольников.

Визуально видно, что в них есть принципиальная разница. В чём она? Приложите линейку к любой стороне красного многоугольника. Вы заметили, что весь многоугольник находится по одну сторону от линейки. Попробуйте это сделать со всеми остальными сторонами. Многоугольник всё также расположен по одну сторону от линейки.

Теперь перейдём к зелёному многоугольнику и проделаем то же самое: приложим линейку к каждой стороне. Тут вы должны заметить, что существуют две стороны, к которым прикладываем линейку и многоугольник делится на две части. В этом и есть принципиальная разница между этими двумя многоугольниками.

Определение. Выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Выпуклый многоугольник можно ещё определить так: это многоугольник, все диагонали которого лежат внутри многоугольника. Если в зелёном многоугольнике провести диагональ через две верхние вершины, то она окажется за пределами самого многоугольника. Поэтому, зелёный многоугольник не является выпуклым. Он называется невыпуклым.

Любой выпуклый многоугольник (кроме треугольника) можно разделить на треугольники его диагоналями. Выясним на примере нескольких многоугольников, сколько можно провести диагоналей из каждой вершины, и сколько получается треугольников.

Заметьте, в каждом многоугольнике количество его вершин отличается от количества полученных треугольников на одно и то же число: на 2. Такая зависимость будет сохраняться для любых выпуклых многоугольников. Если обозначить количество вершин буквой , то количество треугольников, полученных после проведения диагоналей из одной вершины, можно записать так: .

Теперь рассмотрим сумму внутренних углов многоугольника на примере четырёхугольника.

Сумма внутренних углов четырёхугольника равна: . По рисунку видно, что углы и разделены на два угла, значит, , а . Тогда, в сумму всех углов, вместо углов и подставим равные им суммы:

В этом равенстве в первой скобке записана сумма углов треугольника , а во второй скобке – сумма углов треугольника . Мы выяснили, что для того, чтобы найти сумму углов четырёхугольника, нужно умножить на , где – это количество треугольников.

Чуть выше мы выяснили, что количество треугольников в многоугольнике записывается в виде , значит, сумма углов четырёхугольника равна . Эта формула верна для всех выпуклых многоугольников. Проверьте самостоятельно её для пятиугольника, шестиугольника.

п. 42. Четырёхугольник.

Определение. Четырёхугольником называется геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек, три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Также, как и многоугольники, четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Выпуклый четырёхугольник называется простым. Именно такие четырёхугольники мы и будем изучать.

На рисунке а) показан выпуклый четырёхугольник, а на рисунке б) – невыпуклый.

Итак, четырёхугольник имеет:

• 4 вершины;

• 4 стороны;

• по 2 диагонали из каждой вершины.

Две не смежные стороны, также как и две не смежные вершины, четырёхугольника называются противоположными.

На рисунке а) противоположные стороны: и , и ; противоположные вершины: и , и .

Выпуклые (простые) четырёхугольники разделяются на виды:

1. Параллелограмм.

2. Прямоугольник.

3. Квадрат.

4. Ромб.

5. Трапеция.

6. Произвольный четырёхугольник.

Каждый из этих видов мы будем изучать отдельно.

1. На рисунке найдите многоугольники и укажите их номера.

2. На рисунке сверху найдите выпуклые многоугольники и укажите их номера.

3. На рисунке найдите многоугольники и укажите их номера.

4. На рисунке сверху найдите выпуклые многоугольники и укажите их номера.

5. На рисунке найдите многоугольники и укажите их номера.

6. На рисунке сверху найдите выпуклые многоугольники и укажите их номера.

7. На рисунке найдите многоугольники и укажите их номера.

1. На рисунке сверху найдите выпуклые многоугольники и укажите их номера.

1. В четырёхугольнике все стороны равны, а треугольник равносторонний. Найдите периметр пятиугольника , если периметр четырёхугольника равен см.

1. В четырёхугольнике все стороны равны, а треугольник – равносторонний. Найдите периметр многоугольника , если периметр четырёхугольника на см больше периметра равностороннего треугольника .

1. Треугольник – равносторонний и его периметр равен см. Найдите периметр многоугольника , если периметр шестиугольника в два раза больше периметра равностороннего треугольника .

1. В четырёхугольнике все стороны равны, а треугольник – равносторонний. Найдите периметр пятиугольника , если периметр треугольника равен см.

1. Дан четырёхугольник . Определите, что больше: периметр четырёхугольника или сумма длин его диагоналей и ?

1. Дан четырёхугольник . Определите, что больше: периметр четырёхугольника или сумма длин его диагоналей и ?

2. Дан четырёхугольник . Определите, что больше: периметр четырёхугольника или сумма длин его диагоналей и ?

1. Дан четырёхугольник . Определите, что больше: периметр четырёхугольника или сумма длин его диагоналей и ?

2. Найдите сумму углов выпуклого пятиугольника.

3. Найдите сумму углов выпуклого шестиугольника.

4. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.

5. Найдите сумму углов выпуклого восьмиугольника.

6. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

7. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна ?

8. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна ?

9. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна ?

10. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна ?

11. Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Определите, сколько вершин имеет этот многоугольник.

12. Сумма внутренних углов многоугольника в два раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Определите, сколько вершин имеет этот многоугольник.

13. Сумма внутренних углов многоугольника в два раза больше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Определите, сколько вершин имеет этот многоугольник.

14. Сумма внутренних углов многоугольника в три раза меньше суммы внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Определите, сколько вершин имеет этот многоугольник.

15. Определите, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внутренние углы прямые.

16. Определите, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые.

17. Определите, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы острые.

18. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый его угол равен ?

19. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый его угол равен ?

20. Какое наибольшее количество вершин может иметь выпуклый многоугольник, если любой его внешний угол больше ?

21. Какое наибольшее количество вершин может иметь выпуклый многоугольник, если любой его внешний угол больше ?

22. Какое наибольшее количество вершин может иметь выпуклый многоугольник, если любой его внутренний угол меньше ?

23. Какое наибольшее количество вершин может иметь выпуклый многоугольник, если любой его внутренний угол меньше ?

24. Периметр четырёхугольника равен 132 см, а одна из сторон больше каждой из других соответственно на см, см, см. Найдите стороны четырёхугольника.

25. Найдите стороны четырёхугольника, если они относятся как числа , а периметр четырёхугольника равен см.

26. В выпуклом пятиугольнике вершина соединена равными диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что . Докажите, что периметры четырёхугольников и равны.

27. Дан выпуклый девятиугольник с равными углами. Найдите эти углы.

28. В выпуклом четырёхугольнике . Докажите, что .

29. В выпуклом четырёхугольнике углы при вершинах и равны и . Найдите угол между биссектрисами углов при вершинах и .

30. В выпуклом четырёхугольнике угол между биссектрисами углов при вершинах и равен . Найдите углы и , если известно, что они равны.

10