Как найти скорость через длину стержня

    В
п. 3.1.2 рассмотрен метод решения задачи
скоростей, когда исходными данными
являются скорость полюса и угловая
скорость тела. Но скорость конкретной
точки плоской фигуры можно найти и в
том случае, если известны скорость
полюса и направление искомой скорости
точки. Для этого используем следующую
теорему: при
движении тела проекции скоростей двух
точек этого тела на прямую, проходящую
через точки, равны между собой
(рис. 3.4), т.е.

                                            
.
                                                    
(3.7)

Рис. 3.4.

Для определения скоростей точек с помощью этой теоремы рекомендуется изобразить тело в заданном положении, показать направление известной скорости` VAи искомой скорости` VВ, затем записать уравнение (3.7) и определить модуль VВ.

Задача
3.2 (12)

Рис. 3.5.

Стержень АВ (рис. 3.5) движется в плоскости чертежа, при этом конец А скользит по вертикальной стене, а конец В – по полу. Определить скорость конца В стержня в момент, когда стержень составляет с полом угол 300, если известно, что скорость конца А в этот момент 5 м/с.

   Решение

    Покажем
для заданного положения стержня
направления скоростей точек А и В.
Проектируя векторы
V_А
и

V_В
на линию АВ, получим

.

    Откуда

м/с.

    Метод
определения скоростей точек тела с
помощью теоремы о проекциях не
позволяет определить угловую скорость
тела. Метод не дает общей картины
(закономерности) распределения скоростей
в теле для данного момента времени, в
связи с чем трудно определить скорость
точки, направление которой неизвестно
(например,
V_С
на рис. 3.5).

    Этих
недостатков нет в методе, рассмотренном
в следующем подразделе.

3.1.4. Метод, основанный на использовании мгновенного центра скоростей

Рис. 3.6.

Мгновенный центр скоростей, или сокращенно МЦС, есть точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Мгновенный центр скоростей обозначается буквой Р (рис. 3.6). Скорости точек плоской фигуры распределены так, как если бы фигура совершала вращательное движение вокруг оси, проходящей через МЦС перпендикулярно плоскости движения. Поэтому скорость любой точки плоской фигуры перпендикулярна отрезку, соединяющему эту точку с МЦС, а модуль скорости равен произведению угловой скорости тела на расстояние точки до МЦС, т.е. (см. рис. 3.6)

                                
и
;
                                                  
(3.8)

                                
и
;

                                
и
и
т. п.

    Отсюда
               
и 
т.п.                                                 
(3.9)

    Из
анализа формул (3.8) и (3.9) видно, что для
определения скоростей надо знать
положение МЦС и скорость одной какой-нибудь
точки (последнее нужно для определения

).

    Рассмотрим
основные способы нахождения положения
МЦС.

    а)
В некоторых случаях удается сразу
указать точку плоской фигуры, скорость
которой в рассматриваемый момент времени
равна нулю. Эта точка и есть МЦС. Так, в
случае качения без скольжения тела по
неподвижной поверхности точка
соприкосновения тела с поверхностью
является мгновенным центром скоростей
(рис. 3.7). Примером служит качение колеса
по рельсу.

    б)
Если известны направления скоростей
каких-нибудь двух точек плоской фигуры
в данный момент, то МЦС находится на
пересечении перпендикуляров,
восстановленных в этих точках к
направлениям скоростей (перпендикуляры
АР и ВР на рис. 3.8).

           

             
    Рис.
3.7                              
Рис. 3.8                              
Рис. 3.9

    в)
Если скорости точек А и В (рис. 3.9) взаимно
параллельны, а точки лежат на общем
перпендикуляре к скоростям, то МЦС
(точка Р) находится на пересечении
указанного общего перпендикуляра АВ и
прямой 1–1, проведенной через концы
векторов скоростей этих точек. Это
следует из соотношения (3.9).

Рис. 3.10.

г) Если скорости двух точек А и В (рис. 3.10) параллельны, а точки не лежат на общем перпендикуляре к скоростям, то МЦС находится в бесконечности. В этом случае имеем мгновенное поступательное движение плоской фигуры. Угловая скорость фигуры при таком движении равна нулю. Действительно, из формулы (3.9) .

      Скорости
всех точек фигуры в этом случае одинаковы
по величине и направлению:
V_А
=
V_B
=
V_C
= … .

    Отметим,
что при мгновенном поступательном
движении только скорости точек одинаковы,
а их ускорения в общем случае различны.

    Укажем
последовательность определения скоростей
с использованием мгновенного центра
скоростей.

    1.
Изобразить на чертеже тело (плоскую
фигуру) в заданном положении и найти
мгновенный центр скоростей одним из
рассмотренных выше способов.

    2.
Указать направления векторов скоростей
точек фигуры и записать формулы для
вычисления их модулей в соответствии
с (3.8).

    3.
Определить угловую скорость по формуле
(3.9), учитывая, что скорость одной
какой-либо точки задана по условию
задачи.

    4.
Вычислить искомые модули скоростей
точек по формулам (3.8).

Задача
3.3 (13)

Рис. 3.11.

Колесо радиусом R = 0,5 м катится без скольжения по прямому рельсу (рис. 3.11). Скорость центра колеса в данный момент времени VC = 2 м/с. Определить угловую скорость колеса и скорости концов горизонтального и вертикального диаметров.

      Решение

1.
Мгновенным центром скоростей является
точка Р касания колеса с рельсом (см.
способ (а) нахождения МЦС).

    2.
Направления векторов скоростей точек
определяются как при   вращательном
движении колеса вокруг Р:
V_B

ВР;
V_D

DР;
V_E

EР;
V_С

СР.

    Их
модули:

;
;

;
.

    3.
Учитывая, что скорость точки С задана
(V_С
= 2м/с), определим угловую скорость колеса

1/с.

    4.
Вычислим искомые модули скоростей по
написанным выше формулам (п. 2):

м/с;

м/с;

м/с.

Задача
3.4 (12)

Рассмотрим
решение задачи 3.2 с помощью мгновенного
центра скоростей. Дополнительно определим
скорость середины С стержня и его угловую
скорость. Длина стержня 2 м.

    Решение

Рис. 3.12.

1. Так как направления скоростей точек А и В (рис. 3.12) стержня известны, то мгновенный центр скоростей Р определяем, проведя перпендикуляры АР и ВР к направлениям скоростей (способ (б) определения МЦС).

    2.
Вектор 
V_С
направлен перпендикулярно СР.

    Запишем
формулы для модулей скоростей:

,
,.

    3.
Определим угловую скорость стержня

1/с.

    4.
Вычислим искомые модули скоростей по
приведенным выше формулам:

м/с;

м/с.

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Кинематика часто рассматривает движение абсолютно твердых тел, то есть тел, расстояния между любыми двумя точками которых остаются постоянными. При этом существуют методы, значительно упрощающие решение кинематических задач. С одним из них мы сейчас познакомимся.

Пусть тела при движении соприкасаются, и скольжение между ними отсутствует. Тогда скорости обоих тел в точке соприкосновения полностью совпадают (рис. 1).

Рис. 1

Если же между телами есть проскальзывание, то совпадают лишь проекции скоростей на перпендикуляр к касательной в точке соприкосновения. При этом достаточно, чтобы касательная существовала хотя бы для одной из скользящих поверхностей (рис. 2).

Рис. 2.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Стержень ОА вращается по часовой стрелке с угловой скоростью ω, приводя в движение кирпич ABCD с боковой стороной а (рис. 3). Найти зависимость скорости кирпича υ от угла α.

Решение. Стержень и кирпич соприкасаются в точке А. Следовательно, скорости кирпича и стержня в этой точке в направлении MN  совпадают. Таким образом,

или

Рис. 3.

2. Источник света S находится на расстоянии l от экрана MN (рис. 4). В начальный момент времени плоский предмет высоты h начинает равномерно двигаться со скоростью υ от источника к экрану. Найти зависимость скорости движения края тени по экрану от времени.

Рис. 4.

Решение. В данной задаче в роли стержня выступает луч SB. В точке А луч «соприкасается» с предметом, а в точке В с экраном, образуя границу тени. Составим два уравнения, связывающих проекции скоростей в точках А и В:  — проекция на LК,  — проекция на MN. Здесь ω — угловая скорость вращения луча. Разделив второе равенство на первое и учитывая, что

 и

получим

Пусть теперь стержень АВ заданной длины l (рис. 5) движется произвольно. Скорости  и  его концов могут быть различны, но, так как длина стержня не меняется, проекции этих скоростей  и  должны быть равны: . Проекции скоростей  и  определяют круговое движение стержня с угловой скоростью  (проверьте это самостоятельно).

Рис. 5.

Решим две задачи.

3. Стержень АВ опирается своими концами о стороны тупого угла β (рис. 6). Верхний конец стержня тянут со скоростью υ вдоль стороны АО. Найти зависимость скорости u точки В от угла α.

Рис. 6.

Решение. Так как длина стержня АВ неизменна, проекции скоростей его концов на направление стержня одинаковы:

или

Рассмотрим случай, когда длина стержня изменяется во время движения («стержнем» может служить, например, отрезок, соединяющий две заданные точки, расстояние между которыми меняется). Тогда соотношение, связывающее проекции скоростей концов стержня, принимает вид

где u — скорость изменения длины стержня. (Модуль здесь нужен, так как неизвестно, какая из скоростей больше.)

4. Лодку с крутого берега тянут за веревку с постоянной скоростью υ. Найти зависимость скорости лодки u от угла α.

Решение. В данном случае нас интересует часть веревки АВ. Скорость ее сокращения равна υ. Векторы скоростей концов, веревки А и В показаны на рисунке 7.

Рис. 7.

Согласно утверждению, приведенному выше, имеем

или так как  то

Попробуйте самостоятельно решить подобные задачи.

1. Стержень ОА вращается по часовой стрелке с угловой скоростью ω, приводя в движение цилиндр радиуса r (рис. 8). Скольжения между цилиндром и плоскостью нет. Найти зависимость скорости цилиндра υ от угла α.

Рис. 8.

2. Кривошип АО длины r (рис. 9) вращается с угловой скоростью ω, длина шатуна АВ равна l. Найти скорость υ точки В шатуна, если .

Рис. 9.

3. Шарик, предварительно раскрутив вокруг оси, кладут на горизонтальную поверхность. Коэффициент трения шарика о поверхность отличен от нуля. Под действием силы трения шарик изменяет свое первоначальное вращательное движение и начинает каким-то образом двигаться по поверхности. Описать, как будет происходить это движение.

Ответы

1. (*На рисунке к этой задаче вектор скорости υ_Aц должен быть направлен под углом α/2 к стержню.)

В точке А проекции скоростей цилиндра υ_Aц и стержня υ_AС на направление АО´  совпадают. Значение υ_AС равно . Заметим, что мгновенная ось вращения цилиндра проходит через точку В. Поэтому υ_Aц направлена перпендикулярно АВ и равна ω·AB, где ω — угловая скорость вращения цилиндра. Поскольку

 и

получим

Из условия равенства проекции имеем

или

Откуда

2. Поскольку длина АВ неизменна, проектируя скорости концов шатуна на направление АВ, получим :

или

Воспользовавшись теоремой синусов

можно найти

Условие задачи:

В магнитном поле с индукцией 0,01 Тл вращается стержень длиной 0,2 м с постоянной угловой скоростью 100 рад/с. Определить ЭДС индукции, возникающую в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям индукции магнитного поля.

Задача №8.4.50 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(B=0,01) Тл, (l=0,2) м, (omega=100) рад/с, (rm E_i-?)

Решение задачи:

В данном случае ЭДС индукции в стержне (rm E_i), вращающемся в магнитном поле, нужно определять по такой формуле:

[{{rm E}_i} = Bupsilon l;;;;(1)]

В этой формуле (B) – индукция магнитного поля, (upsilon) – скорость центра масс стержня (т.е. скорость середины проводника), (l) – длина стержня.

На рисунке показано распределение скоростей точек стержня, например, (upsilon_к) – это скорость конца стержня. Очевидно, что точка стержня, находящаяся на оси вращения, имеет нулевую скорость. В этой задаче важно понять, что в формуле (1) используется именно скорость середины стержня (upsilon).

Скорость центра масс стержня (upsilon) легко найти по формуле:

[upsilon = frac{{omega l}}{2};;;;(2)]

Подставим выражение (2) в формулу (1):

[{{rm E}_i} = frac{{Bomega {l^2}}}{2}]

Подставим данные задачи в эту формулу и посчитаем численный ответ:

[{{rm E}_i} = frac{{0,01 cdot 100 cdot {{0,2}^2}}}{2} = 0,02;В]

Ответ: 0,02 В.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

8.4.49 Поток магнитной индукции в проводящем контуре, содержащем 100 витков
8.4.51 Найти максимальный магнитный поток через прямоугольную рамку, вращающуюся
8.4.52 При равномерном изменении силы тока через катушку из 500 витков в ней возникает