Как найти скорость центра масс формула

Как найти скорость центра масс формула

Определение центра масс, теория и онлайн калькуляторы

Определение центра масс

При исследовании поведения систем частиц, часто удобно использовать для описания движения такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой служит центр масс.

Для однородных тел обладающих симметрией центр масс часто совпадает с геометрическим центром тела. В однородном изотропном теле одной выделенной точке найдется симметричная ей точка.

Радиус-вектор и координаты центра масс

Предположим, что у нас имеются две частицы с равными массами, им соответствуют радиус-векторы: ${overline{r}}_1 и {overline{r}}_2$ . В этом случае центр масс расположен посередине между частицами. Центр масс (точка C) определён радиус-вектором ${overline{r}}_C$ (рис.1).

Определение центра масс, рисунок 1

Из рис.1 видно, что:

[{overline{r}}_C=frac{{overline{r}}_1+ {overline{r}}_2}{2}left(1right).]

Можно ожидать, что вместе с геометрическим центром системы радиус-вектор, которого равен ${overline{r}}_C,$ играет роль точка, положение которой определяет распределение массы. Ее определяют так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

[{overline{r}}_C=frac{{overline{r}}_1m_1+ {overline{r}}_2m_2}{m_1+m_2}left(2right).]

Радиус -вектор ${overline{r}}_C$, определенный выражением (2) – средне взвешенная величина радиус-векторов частиц ${overline{r}}_1$ и ${overline{r}}_2$. Это становится очевидным, если формулу (2) представить в виде:

[{overline{r}}_C=frac{m_1}{m_1+m_2}{overline{r}}_1+frac{m_2}{m_1+m_2}{overline{r}}_2left(3right).]

Выражение (3) показывает, что радиус-вектор каждой частицы входит в ${overline{r}}_C$ с весом, который пропорционален его массе.

Выражение (3) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом.

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус – вектор, определяющий положение центра масс находим как:

[{overline{r}}_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_i{overline{r}}_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(4right).]

Выражение (4) считают определением центра масс системы.

При этом абсцисса центра масс равна:

[x_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_ix_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(5right).]

Ордината ($y_c$) центра масс и его аппликата ($z_c$):

[y_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iy_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(6right).]

[z_c=frac{sumlimits^N_{i=1}{m_iz_i}}{sumlimits^N_{i=1}{m_i}}left(7right).]

Формулы (4-7) совпадают с формулами, которые используют для определения тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс (${overline{v}}_c=frac{d{overline{r}}_c}{dt}$) запишем как:

[{overline{v}}_c=frac{m_1{overline{v}}_1+m_2{overline{v}}_2+dots +m_n{overline{v}}_n}{m_1+m_2+dots +m_n}=frac{overline{P}}{M}left(8right),]

где $overline{P}$ – суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач на определение центра масс

Пример 2

Задание. Система составлена из материальных точек (рис.2), запишите координаты ее центра масс?

Определение центра масс, пример 1

Решение. Рассмотрим рис.2. Центр масс системы лежит на плоскости, значит, у него две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их используя формулы:

[left{ begin{array}{c}
x_c=frac{sumlimits_i{Delta m_ix_i}}{m};; \
y_с=frac{sumlimits_i{Delta m_iy_i}}{m}. end{array}
right.]

Вычислим массу рассматриваемой системы точек:

[m=m+2m+3m+4m=10 m.]

Тогда абсцисса центра масс $x_{c } $равна:

[x_c=frac{0cdot 4m+3mcdot b+2mcdot b}{10m}=0,5 b.]

Ордината $y_с$:

[y_с=frac{0cdot m+mcdot b+2mcdot b}{10m}=0,3 b.]

Ответ. $x_c=0,5 b$; $y_с=0,3 b$

Пример 2

Задание. Космонавт, имеющий массу $m$, неподвижен относительно корабля массы $M$. Двигатель космического аппарата выключен. Человек начинает подтягиваться к кораблю при помощи легкого троса. Какое расстояние пройдет космонавт ($s_1$), какое корабль ($s_2$) до точки встречи? В начальный момент расстояние между ними равно $s$.

Решение. Центр масс корабля и космонавта лежит на прямой, соединяющей эти объекты.

В космосе, где внешние силы отсутствуют, центр масс замкнутой системы (корабль-космонавт) либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. В избранной нами (инерциальной) системе отсчета он покоится. При этом:

[frac{s_1}{s_2}=frac{m_2}{m_1}left(2.1right).]

По условию:

[s=s_1+s_2left(2.2right).]

Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:

[s_1=sfrac{m_2}{m_1+m_2};; s_2=sfrac{m_1}{m_1+m_2}.]

Ответ. $s_1=sfrac{m_2}{m_1+m_2};; s_2=sfrac{m_1}{m_1+m_2}$

Читать дальше: период и частота колебаний.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

В
любой системе частиц можно найти точку,
называемую центром масс
,
которая обладает рядом важных свойств.
Её положение относительно начала данной
системы отчета, определяется
радиусом-вектором
.

Центр
масс совпадает с центром тяжести для
однородного поля сил тяготения.

Найдем
скорость движения центра масс системы

;

Если
,
то система, как целое, покоится, т.е.

имеет смысл скорости движения всей
системы, как целого. Поскольку,
,
то

т.е., импульс
системы равен произведению ее массы на
скорость движения центра масс.

3.4. Уравнение движения центра масс.

Основной
закон динамики

можно записать в иной форме, зная понятие
центра масс системы:

Это
есть уравнение
движения центра масс системы,
одно из важнейших уравнений механики.
Оно утверждает, что центр
масс любой системы частиц движется так,
как если бы вся масса системы была
сосредоточена в этой точке и к ней были
бы приложены все внешние силы.

Ускорение
центра масс системы совершенно не
зависит от точек приложения внешних
сил.

Если
,
то
,
значит

и

— это случай замкнутой системы в
инерциальной системе отсчета. Таким
образом, если центр масс системы движется
равномерно и прямолинейно, это означает,
что её импульс сохраняется в процессе
движения.

Пример:
однородный цилиндр массы

и радиуса

скатывается без скольжения по наклонной
плоскости, составляющей угол

с горизонтом. Найти уравнение движения?


Совместное
решение дает значение параметров

Уравнение движения
центра масс
совпадает
с основным уравнением динамики
материальной точки и является его
обобщением на систему частиц: ускорение
системы как целого пропорционально
результирующей всех внешних сил и
обратно пропорционально массе системы.

Систему
отсчета, жестко связанную с центром
масс, которая движется поступательно
относительно ИСО называют системой
центра масс. Ее особенностью является
то, что полный импульс системы частиц
в ней всегда равен нулю, так, как
.

4.Работа и энергия

4.1 Работа

Пусть
частица М под действием силы

совершает перемещение по некоторой
траектории 1-2. Сила, в общем случае, может
меняться во времени по модулю и
направлению, но на элементарном
перемещении

её можно считать
.

Действие
силы на перемещении

характеризуется физической величиной,
равной скалярному произведению
,
которая называется элементарной
работой силы

на перемещении
.
Её можно записать как
,
где

— угол между

и


– элементарный путь

проекция вектора

на вектор
,
или на направление s.

З

начит, элементарная работа

(*)


–
величина алгебраическая, она может быть
,
или
,
а также равна нулю при
.

Суммируя
элементарные работы (т.е., интегрируя )
по всем элементарным участкам пути от
1 к 2 найдем работу силы

на данном пути.

.

Геометрический
смысл этого выражения виден из рисунка,
на котором
–
площадь полоски шириной

и высотой
;
–
площадь под всей кривой. Над осью работа
силы положительна, под осью — отрицательна.

Размерность
работы
.

Найдем
для примера работу некоторых центральных
сил.

1.
Работа гравитационной или кулоновской
силы.

Пусть
в точке О находится неподвижная
материальная точка, действующая на
частицу М с силой
;

—орт радиуса- вектора
,

-постоянная, равная -jm1m2
 для
гравитационной и kq1q2
для кулоновской силы. Элементарная
работа этой силы на перемещении
:
;
Скалярное произведение—
приращение модуля вектора
;

Тогда

,
а работа на всем пути:
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 июля 2022 года; проверки требуют 3 правки.

Центр масс (тж. центр ине́рции) — геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого[1]. Радиус-вектор данной точки задаётся формулой

{displaystyle {vec {r}}_{c}=left(int rho ({vec {r}})dVright)^{-1}int rho ({vec {r}}){vec {r}}dV,}

где {displaystyle rho ({vec {r}})} — зависящая от координат плотность, а интегрирование осуществляется по объёму тела. Центр масс может оказаться как внутри, так и вне тела.

Использование понятия центра масс, а также системы координат, связанной с центром масс, удобно во многих приложениях механики и упрощает расчёты. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то её центр масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы теоремы Менелая и теоремы Чевы[2].

В случае систем материальных точек и тел в однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести, хотя в общем случае это разные понятия.

Центр масс в классической механике[править | править код]

Определение[править | править код]

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом[3]:

{vec r}_{c}={frac {sum limits _{i}m_{i}{vec r}_{i}}{sum limits _{i}m_{i}}},

где {vec r}_{c} — радиус-вектор центра масс, {vec r}_{i} — радиус-вектор i-й точки системы, {displaystyle m_{i}} — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

{vec r}_{c}={1 over M}int limits _{V}rho ({vec r}){vec r}dV,
M=int limits _{V}rho ({vec r})dV,

где M — суммарная масса системы, V — объём, rho  — плотность.
Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами M_{i}, то радиус-вектор центра масс такой системы R_{c} связан с радиус-векторами центров масс тел R_{{ci}} соотношением[4]:

{vec R}_{c}={frac {sum limits _{i}M_{i}{vec R}_{{ci}}}{sum limits _{i}M_{i}}}.

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами {displaystyle M_{1},M_{2},...M_{N}.} Радиус-вектор {displaystyle {vec {R}}_{c_{n}}} n-ной системы:

{displaystyle {vec {R}}_{c_{n}}={frac {sum limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{vec {r}}_{i_{n}}}{sum limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={frac {sum limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}, n=1,2,...N.}
{displaystyle {vec {R}}_{c}={frac {sum limits _{n}left({frac {sum limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}cdot M_{n}right)}{sum limits _{n}M_{n}}}={frac {sum limits _{i}M_{i}{vec {R}}_{ci}}{sum limits _{i}M_{i}}}.}

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Примеры[править | править код]

Центры масс плоских однородных фигур
  • У отрезка — середина.
  • У многоугольников :
    • У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
    • У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
  • У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии.
  • У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении {displaystyle {frac {4}{3pi }}} от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

x_{s}={frac {V_{y}}{2pi S}} и y_{s}={frac {V_{x}}{2pi S}}, где V_{x},V_{y} — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S — площадь фигуры.
Центры масс периметров однородных фигур
  • Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружности дополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружности дополнительного треугольника или с центром Шпикера.

Использование[править | править код]

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике[править | править код]

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

{vec r}_{c}={frac {sum limits _{i}{vec r}_{i}E_{i}}{sum limits _{i}E_{i}}},

где {vec r}_{c} — радиус-вектор центра масс, {vec r}_{i} — радиус-вектор i-й частицы системы, {displaystyle E_{i}} — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами[5].

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

{vec v}_{c}={frac {c^{2}}{sum limits _{i}E_{i}}}cdot sum limits _{i}{vec p}_{i}.

Смежные понятия[править | править код]

Центр масс vs. барицентр[править | править код]

Движение космических тел вокруг барицентра.

Термин «центр масс» синонимичен одному из значений понятия барицентр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр), однако последнее применяется преимущественно в задачах астрофизики и небесной механики. Под барицентром подразумевается общий для нескольких небесных тел центр масс, вокруг которого эти тела движутся. Примером может выступить совместное движение планеты и звезды (см. рис.) или компонент двойных звёзд. Центр масс (барицентр) в таком случае находится на отрезке длины l, соединяющем тела массами m_1 и m_2, на удалении {displaystyle s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})} от тела m_1.

Другое значение слова барицентр относится, скорее, к геометрии, нежели к физике; в этом значении выражение для координаты барицентра отличается от формулы для центра масс отсутствием плотности (как если бы всегда было {displaystyle rho =} const).

Центр масс vs. центр тяжести[править | править код]

Центр тяжести (в данном случае = центр масс), демонстрация

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также[править | править код]

  • Классическая механика
  • Теоретическая механика
  • Теорема о движении центра масс системы
  • Неваляшка
  • Барицентр
  • Центроид треугольника

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Тарг С. М.  Центр инерции (центр масс) // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624—625. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.
  2. ↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
  3. ↑ Журавлёв, 2001, с. 66.
  4. ↑ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.  Выпуск 2. Пространство. Время. Движение // Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965. — 164 с. — С. 68.
  5. ↑ Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

Литература[править | править код]

  • Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  • Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3..
Источник

В работе рассмотрены некоторые задачи на
движение центра масс, рассматриваемые на
школьном факультативе по физике в Лицее
научно-инженерного профиля города Королева.
Представляется, что данная статья может быть
полезной как для учителей физики школ с
углубленным изучением предмета, так и для
абитуриентов.

Теоретический материал.

Импульс или количество движения
материальной точки есть вектор, равный
произведению массы этой точки m на вектор ее
скорости v: .

Импульс силы – это вектор, равный
произведению силы на время ее действия: . Если сила не
является постоянным вектором, то под F
следует понимать среднее значение вектора силы
за рассматриваемый интервал времени.

Теорема об изменении импульса материальной
точки. Пусть на материальную точку m
действует постоянная сила F. Тогда

, или . Таким образом изменение
импульса материальной точки равно импульсу силы,
действующей на нее.

Импульс системы материальных точек равен
по определению сумме импульсов всех N точек
системы:

Изменение импульса системы материальных точек
равно импульсу равнодействующей внешних сил,
действующих на систему.

Изолированная (замкнутая) система – это
такая система материальных точек, на которую не
действуют внешние силы или их равнодействующая
равна нулю.

Закон сохранения импульса: импульс изолированной
системы материальных точек сохраняется, каково
бы ни было взаимодействие между ними:

Если внешние силы, действующие на систему не
равны нулю, но существует такое неизменное
направление (например, ось OX), что сумма проекций
внешних сил на это направление равна нулю, то
проекция импульса системы на это направление
сохраняется.

Центр масс системы материальных точек.
Центром масс N материальных точек m1,
m2,…, mN, положения которых
заданы радиус-векторами , называют воображаемую точку,
радиус-вектор которой определяется формулой:

.

Тогда координаты центра масс равны:

,

,

.

Скоростью центра масс является вектор

,

где –
скорость i-й точки.

Ускорением центра масс является вектор

где –
ускорение i-й точки.

Теорема об ускорении центра масс системы
материальных точек. Произведение суммы масс
точек системы на ускорение центра масс равно
сумме внешних сил, действующих на точки системы.

Если на систему материальных точек не
действуют внешние силы, то скорость центра масс
относительно любой инерциальной системы отсчета
сохраняется, каково бы ни было
взаимодействие внутри системы.

Если при этом скорость центра масс
относительно некоторой инерциальной системы
была равна нулю, то сохраняется и положение
центра масс.

Два этих утверждения являются прямыми
следствиями закона сохранения импульса.

Примеры задач.

Задача 1. Частица массы m движется со
скоростью v, а частица массы 2m движется со
скоростью 2v в направлении, перпендикулярном
направлению движения первой частицы. На каждую
частицу начинают действовать одинаковые силы.
После прекращения действия сил первая частица
движется со скоростью 2v направлении,
обратном первоначальному. Определите скорость
второй частицы. [1]

Решение.

Изменение импульса частицы массой m
вследствие действия импульса силы равно 3mv,
следовательно вторая частица приобретает точно
такой же импульс перпендикулярно направлению ее
движения. Полный импульс второй частицы
находится векторным сложением его составляющих
по двум перпендикулярным направлениям и равен 5mv.
Скорость второй частицы тогда равна 5v/2.

Задача 2. Ящик с песком массы М лежит на
горизонтальной плоскости, коэффициент трения с
которой равен µ. Под углом ? к вертикали в ящик со
скоростью v влетает пуля массы m и почти
мгновенно застревает в песке. Через какое время
после попадания пули в ящик, начав двигаться,
остановится? При каком значении ? он вообще не
сдвинется? [1]

Решение. Изменение импульса системы
материальных точек равно импульсу
равнодействующей внешних сил, действующих на
систему. По горизонтальной и вертикальной оси:

где u – скорость ящика сразу после того, как
пуля в нем застрянет, N – реакция опоры, – время, за
которое пуля застревает в песке. Из этих
уравнений следует

Так как пуля застревает почти мгновенно
последним членом в правой части можно
пренебречь. После того, как пуля застрянет, ящик
тормозит под действие силы трения с ускорением . Ящик
останавливается за время . Ящик не сдвинется, если .

Задача 3. По наклонной плоскости,
составляющей угол а с горизонтом, с
постоянной скоростью v съезжает ящик с песком
массой M. В него попадает летящая
горизонтально пуля массой m, и ящик при этом
останавливается. С какой скоростью u летела
пуля?

Решение. Вдоль наклонной плоскости изменение
импульса системы

Поперек наклонной плоскости

Тогда

и с учетом того, что (ящик съезжает с постоянной скоростью)

Задача 4. Обезьяна массы m
уравновешена противовесом на блоке А. Блок А
уравновешен грузом массы 2m на блоке В.
Система неподвижна. Как будет двигаться груз,
если обезьяна начнет равномерно выбирать
веревку со скоростью u относительно себя? Массой
блоков и трением пренебречь. [1]

Решение. Обезьяна получает импульс силы и начинает
двигаться со скоростью v к потолку. Точно
такой же импульс силы получает груз m и тоже
движется со скоростью v к потолку. Груз массой
2m получает импульс силы и тоже движется со скоростью v
к потолку. Блок А опускается вниз со скоростью v.
груз m движется относительно блока А
вверх со скоростью 2v. Веревка справа от блока
А движется от потолка со скоростью 3v.
относительно обезьяны веревка движется вниз со
скоростью 4v. Отсюда .

Задача 5. Из однородной круглой пластины
радиусом R вырезали круг вдвое меньшего
радиуса, касающийся края пластины. Найти центр
тяжести полученной пластины.

Решение. Пусть масса пластины до вырезания
равна M. Тогда масса вырезанной части равна M/4.
Предположим, что имеется в наличии вещество с
отрицательной массой, Тогда вырез можно получить
наложением на пластину пластинки с
отрицательной массой –M/4. Тогда, поместив
начало координат в центр круга и направив ось X
направо, положение центра масс получаем из
формулы для координаты центра масс:

.

Задача 6. На гладком полу стоит сосуд,
заполненный водой плотности p0; объем
воды V0. Оказавшийся на дне сосуда жук
объема V и плотности p через некоторое
время начинает ползти по дну сосуда со скоростью u
относительно него. С какой скоростью станет
двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь,
уровень воды все время остается горизонтальным.
[1]

Решение. Пусть скорость сосуда v, тогда
скорость жука относительно пола u+v.
Импульс системы по горизонтальной оси
сохраняется и равен нулю. Удобно рассматривать
жука как совокупность воды массой и сублимированного
вещества жука массой , которое перемещается относительно
всей воды. Тогда импульс системы

и

Задача 7. На дне маленькой запаянной
пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит
муха, масса которой равна массе пробирки, а
расстояние от поверхности стола равно длине
пробирки l. Нить пережигают, и за время
падения пробирки муха перелетает со дна в
верхний конец пробирки. Определить время, за
которое пробирка достигнет стола.

Решение. Ускорение центра масс системы
определяется силами тяжести, действующими на
пробирку и муху, и равно g. За время падения
центр масс системы переместился на l/2. Отсюда
время падения .

Задача 8. На нити, перекинутой через блок,
подвешены два груза неравной массы (m2
> m1). Определить ускорение центра масс
этой системы. Массой блока и нити пренебречь. [2]

Решение. Ускорение тяжелого груза направлено
вниз и, как известно, равно . Ускорение легкого груза такое
же по модулю, но направлено вверх. Ускорение
центра масс находим по формуле из теоретического
раздела

Задача 9. В сосуде, наполненном водой
плотности p, с ускорением а всплывает
пузырек воздуха, объем которого V. Найдите
силу давления со стороны сосуда на опору. Масса
сосуда вместе с водой равна m. [1]

Решение. Будем рассматривать системы как
совокупность сосуда с водой массой и шарика с отрицательной
массой ,
который поднимается вверх с ускорением a.
Тогда ускорение центра масс системы

и
направлено вниз. Из теоремы об ускорении центра
масс

, и отсюда
сила давления на опору, численно равная реакции
опоры N,

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 10. С горы с уклоном a () съезжают с
постоянной скоростью сани с седоком общей массой
M. Навстречу саням бежит и запрыгивает в них
собака массой m, имеющая при прыжке в момент
отрыва от поверхности горы скорость v,
направленную под углом () к
горизонту. В результате этого сани продолжают
двигаться по горе вниз со скоростью u. Найти
скорость саней до прыжка собаки. (Билет 3, 1991, МФТИ)
[3]

Ответ:

Задача 11. Человек, находящийся в лодке,
переходит с носа на корму. На какое расстояние S
переместится лодка длиной L, если масса
человека m, а масса лодки M? Сопротивлением
воды пренебречь.

Ответ:

Задача 12. На поверхности воды находится в
покое лодка. Человек, находящийся в ней,
переходит с кормы на нос. Как будет двигаться
лодка, если сила сопротивления движению
пропорциональна скорости лодки?

Ответ: Лодка сместится, а затем вернется в
исходное положение.

Задача 13. На первоначально неподвижной
тележке установлены два вертикальных
цилиндрических сосуда, соединенных тонкой
трубкой. Площадь сечения каждого сосуда S,
расстояние между их осями l. Один из сосудов
заполнен жидкостью плотности p. Кран на
соединительной трубке открывают. Найдите
скорость тележки в момент времени, когда
скорость уровней жидкости равна v. Полная
масса всей системы m. [1]

Ответ:

Задача 14. На тележке установлен
цилиндрический сосуд с площадью сечения S,
наполненный жидкостью плотности p. От сосуда
параллельно полу отходит длинная и тонкая
горизонтальная трубка, небольшой отрезок
которой вблизи конца загнут по вертикали вниз.
Расстояние от оси сосуда до отверстия трубки
равно L. Уровень жидкости в сосуде опускается
с ускорением а. Какой горизонтальной силой
можно удержать тележку на месте? [1]

Ответ:

Литература.

1. Задачи по физике: Учеб. пособие/ И.И. Воробьев,
П.И. Зубков, Г.А. Кутузова и др.; Под ред. О.Я.
Савченко. ? 2-е изд., перераб.  М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит. 1988. – 416 с.

2. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика:
Сборник задач для поступающих в вузы. Изд. 7-е, доп.
М: Ориентир. 2005. – 312 с.

3. Методическое пособие для поступающих в вузы /
Под. ред. Чешева Ю.В.  М.: Физматкнига, 2006. – 288 с.

Источник

Движение центра масс системы

Допустим, что у нас есть некоторая система, состоящая из n -ного количества материальных точек. Возьмем одну из них и обозначим ее массу как m k . Приложенные к точке внешние силы (как активные силы, так и реакции связей) имеют равнодействующую F k e . Внутренние силы имеют равнодействующую F k l . Наша система находится в движении, следовательно, нужная точка будет иметь ускорение a k . Зная основной закон динамики, мы можем записать следующую формулу:

m k a k = F k e + F k l .

Ее можно применить к любой точке системы. Значит, для всей системы целиком можно сформулировать следующие уравнения:

m 1 a 1 = F 1 e + F 1 l , m 2 a 2 = F 2 e + F 2 l , ⋯ m n a n = F n e + F n l .

Данная формула состоит из дифференциальных уравнений, описывающих движение системы в векторной форме. Если мы спроецируем эти равенства на соответствующие координатные оси, то у нас получатся дифференциальные уравнения движения в проекциях. Но в конкретных задачах чаще всего вычислять движение каждой точки системы не требуется: можно ограничиться характеристиками движения всей системы в целом.

Движение центра масс: основная теорема

Характер движения системы можно определить, зная закон, по которому движется ее центр масс.

Центр инерции системы (центр масс) – это воображаемая точка с радиус-вектором R , выражаемым через радиус-векторы r 1 , r 2 , . . . соответствующих материальных точек по формуле R = m 1 r 1 + m 2 r 2 + . . . + m n r n m .

Здесь сумма показателей в числителе m = m 1 + m 2 + . . . + m 3 выражает общую массу всей системы.

Для нахождения этого закона нам нужно взять уравнения движения системы, приведенные в предыдущем пункте, и сложить их правые и левые части. У нас получится, что:

∑ m k a k ¯ = ∑ F k ¯ e + ∑ F k ¯ l .

Взяв формулу радиус-вектора центра масс, получим следующее:

Теперь возьмем вторую производную по времени:

Здесь буквой a c ¯ обозначено ускорение, которое приобретает центр масс системы.

Свойство внутренних сил в системе гласит, что F k l равно нулю, значит, окончательное равенство будет выглядеть так:

M a c ¯ = ∑ F k ¯ e .

Это уравнение является записью закона движения центра масс. Запишем его:

Движение центра масс системы идентично движению материальной точки той же массы, что и вся система целиком, к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

Иначе говоря, произведение ускорения центра масс системы на массу самой системы будет равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на эту систему.

Возьмем полученное выше уравнение и спроецируем его правую и левую части на соответствующие координатные оси. У нас получится:

M x c ¨ = ∑ F k x ¯ e , M y c ¨ = ∑ F k y ¯ e , M z c ¨ = ∑ F k z ¯ e .

Эти равенства являются дифференциальными уравнениями движения центра масс в проекции на оси в декартовой системе координат.

Практическое значение теоремы о движении центра масс

Данная теорема имеет большую практическую ценность. Поясним, в чем именно она заключается.

  1. Любое тело, движущееся поступательно, может быть рассмотрено в качестве материальной точки, масса которой равна массе всего тела. Во всех других случаях такой подход возможен лишь тогда, когда для определения положения тела в пространстве нам будет достаточно знать, в каком положении находится его центр масс. Также важно, чтобы условия задачи допускали исключение вращательной части движения тела.
  2. С помощью теоремы движения центра масс системы мы можем не рассматривать в задачах неизвестные нам заранее внутренние силы.

Разберем пример применения теоремы для решения практической задачи.

Условие: к оси центробежной машины на нити подвешено кольцо из металла. Оно совершает равномерные вращательные движения с угловой скоростью, равной ω . Вычислите, на каком расстоянии центр кольца находится от оси вращения.

Решение

Очевидно, что система находится под воздействием силы тяжести N N ¯ α α . Также необходимо учесть силу натяжения нити и центростремительное ускорение.

Второй закон Ньютона для системы будет выглядеть так:

Теперь создадим проекции обеих частей равенства на оси абсцисс и ординат и получим:

N sin α = m a ; N cos α = m g .

Мы можем разделить одно уравнение на другое:

Поскольку a = υ 2 R , υ = ω R , то нужное нам уравнение будет выглядеть так:

Определение центра масс

При исследовании поведения систем частиц, часто удобно использовать для описания движения такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой служит центр масс.

Для однородных тел обладающих симметрией центр масс часто совпадает с геометрическим центром тела. В однородном изотропном теле одной выделенной точке найдется симметричная ей точка.

Радиус-вектор и координаты центра масс

Предположим, что у нас имеются две частицы с равными массами, им соответствуют радиус-векторы: $<overline>_1 и <overline>_2$ . В этом случае центр масс расположен посередине между частицами. Центр масс (точка C) определён радиус-вектором $<overline>_C$ (рис.1).

Из рис.1 видно, что:

Можно ожидать, что вместе с геометрическим центром системы радиус-вектор, которого равен $<overline>_C,$ играет роль точка, положение которой определяет распределение массы. Ее определяют так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

Радиус -вектор $<overline>_C$, определенный выражением (2) – средне взвешенная величина радиус-векторов частиц $<overline>_1$ и $<overline>_2$. Это становится очевидным, если формулу (2) представить в виде:

Выражение (3) показывает, что радиус-вектор каждой частицы входит в $<overline>_C$ с весом, который пропорционален его массе.

Выражение (3) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом.

Если положения N материальных точек системы задано при помощи их радиус-векторов, то радиус – вектор, определяющий положение центра масс находим как:

Выражение (4) считают определением центра масс системы.

При этом абсцисса центра масс равна:

Ордината ($y_c$) центра масс и его аппликата ($z_c$):

Формулы (4-7) совпадают с формулами, которые используют для определения тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Скорость центра масс

Выражение для скорости центра масс ($<overline>_c=frac>_c>

$) запишем как:

где $overline

$ – суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (8) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач на определение центра масс

Задание. Система составлена из материальных точек (рис.2), запишите координаты ее центра масс?

Решение. Рассмотрим рис.2. Центр масс системы лежит на плоскости, значит, у него две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их используя формулы:

Вычислим массу рассматриваемой системы точек:

Тогда абсцисса центра масс $x_ $равна:

Ответ. $x_c=0,5 b$; $y_с=0,3 b$

Задание. Космонавт, имеющий массу $m$, неподвижен относительно корабля массы $M$. Двигатель космического аппарата выключен. Человек начинает подтягиваться к кораблю при помощи легкого троса. Какое расстояние пройдет космонавт ($s_1$), какое корабль ($s_2$) до точки встречи? В начальный момент расстояние между ними равно $s$.

Решение. Центр масс корабля и космонавта лежит на прямой, соединяющей эти объекты.

В космосе, где внешние силы отсутствуют, центр масс замкнутой системы (корабль-космонавт) либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. В избранной нами (инерциальной) системе отсчета он покоится. При этом:

Физический факультатив. Тема: “Импульс, центр масс, движение центра масс”

В работе рассмотрены некоторые задачи на движение центра масс, рассматриваемые на школьном факультативе по физике в Лицее научно-инженерного профиля города Королева. Представляется, что данная статья может быть полезной как для учителей физики школ с углубленным изучением предмета, так и для абитуриентов.

Импульс или количество движения материальной точки есть вектор, равный произведению массы этой точки m на вектор ее скорости v: .

Импульс силы – это вектор, равный произведению силы на время ее действия: . Если сила не является постоянным вектором, то под F следует понимать среднее значение вектора силы за рассматриваемый интервал времени.

Теорема об изменении импульса материальной точки. Пусть на материальную точку m действует постоянная сила F. Тогда

, или . Таким образом изменение импульса материальной точки равно импульсу силы, действующей на нее.

Импульс системы материальных точек равен по определению сумме импульсов всех N точек системы:

Изменение импульса системы материальных точек равно импульсу равнодействующей внешних сил, действующих на систему.

Изолированная (замкнутая) система – это такая система материальных точек, на которую не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю.

Закон сохранения импульса: импульс изолированной системы материальных точек сохраняется, каково бы ни было взаимодействие между ними:

Если внешние силы, действующие на систему не равны нулю, но существует такое неизменное направление (например, ось OX), что сумма проекций внешних сил на это направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление сохраняется.

Центр масс системы материальных точек. Центром масс N материальных точек m1, m2,…, mN, положения которых заданы радиус-векторами , называют воображаемую точку, радиус-вектор которой определяется формулой:

.

Тогда координаты центра масс равны:

,

,

.

Скоростью центра масс является вектор

,

где – скорость i-й точки.

Ускорением центра масс является вектор

где – ускорение i-й точки.

Теорема об ускорении центра масс системы материальных точек. Произведение суммы масс точек системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на точки системы.

Если на систему материальных точек не действуют внешние силы, то скорость центра масс относительно любой инерциальной системы отсчета сохраняется, каково бы ни было взаимодействие внутри системы.

Если при этом скорость центра масс относительно некоторой инерциальной системы была равна нулю, то сохраняется и положение центра масс.

Два этих утверждения являются прямыми следствиями закона сохранения импульса.

Задача 1. Частица массы m движется со скоростью v, а частица массы 2m движется со скоростью 2v в направлении, перпендикулярном направлению движения первой частицы. На каждую частицу начинают действовать одинаковые силы. После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью 2v направлении, обратном первоначальному. Определите скорость второй частицы. [1]

Изменение импульса частицы массой m вследствие действия импульса силы равно 3mv, следовательно вторая частица приобретает точно такой же импульс перпендикулярно направлению ее движения. Полный импульс второй частицы находится векторным сложением его составляющих по двум перпендикулярным направлениям и равен 5mv. Скорость второй частицы тогда равна 5v/2.

Задача 2. Ящик с песком массы М лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен µ. Под углом ? к вертикали в ящик со скоростью v влетает пуля массы m и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, начав двигаться, остановится? При каком значении ? он вообще не сдвинется? [1]

Решение. Изменение импульса системы материальных точек равно импульсу равнодействующей внешних сил, действующих на систему. По горизонтальной и вертикальной оси:

где u – скорость ящика сразу после того, как пуля в нем застрянет, N – реакция опоры, – время, за которое пуля застревает в песке. Из этих уравнений следует

Так как пуля застревает почти мгновенно последним членом в правой части можно пренебречь. После того, как пуля застрянет, ящик тормозит под действие силы трения с ускорением . Ящик останавливается за время . Ящик не сдвинется, если .

Задача 3. По наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, с постоянной скоростью v съезжает ящик с песком массой M. В него попадает летящая горизонтально пуля массой m, и ящик при этом останавливается. С какой скоростью u летела пуля?

Решение. Вдоль наклонной плоскости изменение импульса системы

Поперек наклонной плоскости

Тогда

и с учетом того, что (ящик съезжает с постоянной скоростью)

Задача 4. Обезьяна массы m уравновешена противовесом на блоке А. Блок А уравновешен грузом массы 2m на блоке В. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью u относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь. [1]

Решение. Обезьяна получает импульс силы и начинает двигаться со скоростью v к потолку. Точно такой же импульс силы получает груз m и тоже движется со скоростью v к потолку. Груз массой 2m получает импульс силы и тоже движется со скоростью v к потолку. Блок А опускается вниз со скоростью v. груз m движется относительно блока А вверх со скоростью 2v. Веревка справа от блока А движется от потолка со скоростью 3v. относительно обезьяны веревка движется вниз со скоростью 4v. Отсюда .

Задача 5. Из однородной круглой пластины радиусом R вырезали круг вдвое меньшего радиуса, касающийся края пластины. Найти центр тяжести полученной пластины.

Решение. Пусть масса пластины до вырезания равна M. Тогда масса вырезанной части равна M/4. Предположим, что имеется в наличии вещество с отрицательной массой, Тогда вырез можно получить наложением на пластину пластинки с отрицательной массой –M/4. Тогда, поместив начало координат в центр круга и направив ось X направо, положение центра масс получаем из формулы для координаты центра масс:

.

Задача 6. На гладком полу стоит сосуд, заполненный водой плотности p0; объем воды V0. Оказавшийся на дне сосуда жук объема V и плотности p через некоторое время начинает ползти по дну сосуда со скоростью u относительно него. С какой скоростью станет двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды все время остается горизонтальным. [1]

Решение. Пусть скорость сосуда v, тогда скорость жука относительно пола u+v. Импульс системы по горизонтальной оси сохраняется и равен нулю. Удобно рассматривать жука как совокупность воды массой и сублимированного вещества жука массой , которое перемещается относительно всей воды. Тогда импульс системы

и

Задача 7. На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки, а расстояние от поверхности стола равно длине пробирки l. Нить пережигают, и за время падения пробирки муха перелетает со дна в верхний конец пробирки. Определить время, за которое пробирка достигнет стола.

Решение. Ускорение центра масс системы определяется силами тяжести, действующими на пробирку и муху, и равно g. За время падения центр масс системы переместился на l/2. Отсюда время падения .

Задача 8. На нити, перекинутой через блок, подвешены два груза неравной массы (m2 > m1). Определить ускорение центра масс этой системы. Массой блока и нити пренебречь. [2]

Решение. Ускорение тяжелого груза направлено вниз и, как известно, равно . Ускорение легкого груза такое же по модулю, но направлено вверх. Ускорение центра масс находим по формуле из теоретического раздела

Задача 9. В сосуде, наполненном водой плотности p, с ускорением а всплывает пузырек воздуха, объем которого V. Найдите силу давления со стороны сосуда на опору. Масса сосуда вместе с водой равна m. [1]

Решение. Будем рассматривать системы как совокупность сосуда с водой массой и шарика с отрицательной массой , который поднимается вверх с ускорением a. Тогда ускорение центра масс системы

и направлено вниз. Из теоремы об ускорении центра масс

, и отсюда сила давления на опору, численно равная реакции опоры N,

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 10. С горы с уклоном a () съезжают с постоянной скоростью сани с седоком общей массой M. Навстречу саням бежит и запрыгивает в них собака массой m, имеющая при прыжке в момент отрыва от поверхности горы скорость v, направленную под углом () к горизонту. В результате этого сани продолжают двигаться по горе вниз со скоростью u. Найти скорость саней до прыжка собаки. (Билет 3, 1991, МФТИ) [3]

Ответ:

Задача 11. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние S переместится лодка длиной L, если масса человека m, а масса лодки M? Сопротивлением воды пренебречь.

Ответ:

Задача 12. На поверхности воды находится в покое лодка. Человек, находящийся в ней, переходит с кормы на нос. Как будет двигаться лодка, если сила сопротивления движению пропорциональна скорости лодки?

Ответ: Лодка сместится, а затем вернется в исходное положение.

Задача 13. На первоначально неподвижной тележке установлены два вертикальных цилиндрических сосуда, соединенных тонкой трубкой. Площадь сечения каждого сосуда S, расстояние между их осями l. Один из сосудов заполнен жидкостью плотности p. Кран на соединительной трубке открывают. Найдите скорость тележки в момент времени, когда скорость уровней жидкости равна v. Полная масса всей системы m. [1]

Ответ:

Задача 14. На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сечения S, наполненный жидкостью плотности p. От сосуда параллельно полу отходит длинная и тонкая горизонтальная трубка, небольшой отрезок которой вблизи конца загнут по вертикали вниз. Расстояние от оси сосуда до отверстия трубки равно L. Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением а. Какой горизонтальной силой можно удержать тележку на месте? [1]

Ответ:

Литература.

1. Задачи по физике: Учеб. пособие/ И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Г.А. Кутузова и др.; Под ред. О.Я. Савченко. ? 2-е изд., перераб. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. – 416 с.

2. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика: Сборник задач для поступающих в вузы. Изд. 7-е, доп. М: Ориентир. 2005. – 312 с.

3. Методическое пособие для поступающих в вузы / Под. ред. Чешева Ю.В. М.: Физматкнига, 2006. – 288 с.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_114_opredelenie_centra_mass.php

http://urok.1sept.ru/articles/664163

[/spoiler]

Источник

Добавить комментарий