Страница 2 из 3
3.21. Диск диаметром D = 60 см и массой m = 1 кг вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно к его плоскости с частотой n = 20 об/с. Какую работу А надо совершить, чтобы остановить диск?
Решение:
3.22. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой n = 5 об/с, WK = 60 Дж. Найти момент импульса L вала.
Решение:
3.23. Найти кинетическую WK энергию велосипедиста, еду со скоростью v = 9км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 78 кг, причем на колеса приходится масса m0 = 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.
Решение:
3.24. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью v = 7,2 км/ч. На какое расстояние s может вкатиться обруч на горку за счет его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100м пути.
Решение:
3.25. С какой наименьшей высоты h должен съехать вело, чтобы по инерции (без трения) проехать дорожку, имеющую форму «мертвой петли» радиусом R = 3м*, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Масса велоси вместе с велосипедом m = 75 кг, причем на колеса приходится масса m0 = 3 кг. Колеса велосипеда считать обруча.
Решение:
3.26. Медный шар радиусом R = 10 см вращается с частотой n= 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу А надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость w вращения шара вдвое?
Решение:
3.27. Найти линейные ускорения а центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плос. Угол наклона плоскости а = 30°, начальная скорость всех тел v0 =0. Сравнить найденные ускорения с ускорением тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Решение:
3.28. Найти линейные скорости v движения центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклон плоскости. Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, началь скорость всех тел v0 = 0. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Решение:
3.29. Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) — одинакового радиуса R = 6 см и одина массы m = 0,5 кг. Поверхности цилиндров окрашены оди. Как, наблюдая поступательные скорости цилиндров у ос наклонной плоскости, можно различить их? Найти мо инерции J1 и J2 этих цилиндров. За какое время t каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, угол наклона плоскости а = 30°, начальная скорость каждого цилиндра v0 = 0.
Решение:
3.30. Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за время t = 1мин частоту вращения от n1 =300 об/мин до n2 = 180 об/мин. Момент инерции колеса J = 2кгм2. Найти угловое ускорение е колеса, момент сил торможения М, ра А сил торможения и число оборотов N, сделанных коле за время t = 1 мин.
Решение:
3.31. Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин, После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 15 об. Работа сил торможения А = 44,4 Дж. Найти момент инерции J вентилятора и момент сил торможения М.
Решение:
3.32. Маховое колесо, момент инерции которого J = 245кг*м2, вращается с частотой n = 20об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно оста, сделав N =1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее от момента прекращения действия враща момента до остановки колеса.
Решение:
3.33. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу который подвешен груз массой m = 1 кг. На какое расстояние h должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило частоту вращения n = 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом J = 0,42 кгм2, радиус шкива R = 10 см.
Решение:
3.34. Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускоре e = 0,5 рад/с2 и через время t1 = 15 с после начала движения приобретает момент импульса L = 73,5 кгм2/с. Найти кинети энергию WK колеса через время t2 = 20 с после начала движения.
Решение:
3.35. Маховик вращается с частотой n = 10 об/с. Его кинети энергия WK = 7,85 кДж. За какое время t момент сил М = 50Нм, приложенный к маховику, увеличит угловую ско со маховика вдвое?
Решение:
3.36. К ободу диска массой m = 5 кг приложена касательная сила F = 19,6 К. Какую кинетическую энергию WK будет иметь диск через время t = 5 с после начала действия силы?
Решение:
3.37. Однородный стержень длиной l = 1 м подвешен на гори оси, проходящей через верхний конец стержня. На какой угол а надо отклонить стержень, чтобы нижний конец стержня при прохождении положения равновесия имел скорость v = 5 м/с?
Решение:
3.38. Однородный стержень длиной l = 85 см подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую скорость v надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?
Решение:
3.39. Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую скорость w и линейную ско v будет иметь в конце падения середина и верхний конец карандаша?
Решение:
3.40. Горизонтальная платформа массой m = 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1 =10 об/мин. Человек массой m0 =60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека — точечной массой.
Решение:
2016-11-20 
Небольшой обруч скатывается без проскальзывания с нулевой начальной скоростью с горки высотой $H$. Пренебрегая сопротивлением движению, найти скорость центра обруча у подножия горки.
Решение:
Воспользуемся результатом решения задачи 1367, согласно которому движение обруча без проскальзывания можно представить как движение его центра с некоторой скоростью $V$ и вращение вокруг центра с той же скоростью $V$.
Для вычисления кинетической энергии обруча воспользуемся теоремой Кёнинга (центр обруча совпадает с его центром масс):
$E = frac{mV^{2}}{2} + frac{mV^{2}}{2} = mV^{2}$. (1)
Запишем закон сохранения энергии для обруча на высоте $H$ и $y$ подножия горки:
$mgH = mV^{2}$. (2)
Отсюда получаем: $V = sqrt{ gH}$.
При решении задачи не учитывался (ввиду малости по сравнению с $H$) размер обруча.
В качестве полезного упражнения читателю предлагается найти ускорение центра обруча при его скатывании, если угол наклона горки к горизонту $alpha$ известен.
Тест 1 – 8
Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике
U=U(x).
Скорость шайбы в точке С …
Варианты ответов:
1)в 
раз больше, чем в точке В;
2)в 4 раза больше, чем в точке В;
3)в 
раза больше, чем в точке В;
4)в 2 раза больше, чем в точке В.
Решение.
Поскольку силами сопротивления воздуха и силами трения шайбы о лед можно пренебречь, то нужно применить закон сохранения энергии, и полную механическую энергию замкнутой системы считать постоянной. Так как полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной,то W= Wк+WP= const. Потенциальнуюэнергиюможнонайтииз графика,приведённогона рисунке,а кинетическую найтикакразностьмеждуполнойэнергиейипо- тенциальной:Wк=W-WP.Следовательно,в точке А энергия равна:
W=WP=100 Дж, Wк=0.Вточке В WP=70 Дж,WкВ=100-70=30Дж. Вточке С WP=40 Дж,Wкс=100-40=60Дж.
Чтобысравнитьскоростивточках СиВ,нужнонайтиотношениеихкинетических энергий.Учитывая,чтокинетическая энергия равнаWk= m v2/2, получим:
|
= |
= |
= . Такимобразом,скорость шайбы в точке С в |
|||||
|
раз больше, чем в точке В. |
Ответ: вариант 1. |
||||||
|
21 |
Тест 1 – 9
В потенциальном поле сила пропорциональна градиенту потенциальной энергии WP. Если график зависимости потенциальной энергии WP от коорди-
наты х имеет вид, представленный на рисунке, то зависимость проекции силы Fх на ось Оx будет…
|
Варианты ответов: |
|
|
1) |
2) |
|
3) |
4) |
Решение.
Если потенциальная энергия зависит только от одной координаты, то
Fx = – 
. График зависимости потенциальной энергии WP от координаты
x, как видно из рисунка, представляет собой параболу, уравнение которой имеет вид: WP = kx2, где k = const. Тогда производная от этой функции, взятая с обратным знаком, равна: Fx = – 2 kx. График зависимости проекции силы на ось Fx от координаты x представляет собой прямую, изображенную на рис. 1.
Ответ: вариант 1.
22
Задание С1-12 для самостоятельного решения.
В потенциальном поле сила 
пропорциональна градиенту потенциальной энергии WP. Если график зависимости потенциальной энергии WPот координаты х имеет вид то, зависимость проекции силы Fx на ось x будет….
Варианты ответов:
Тест 1 – 10
Частица движется вдоль окружности радиусом 1 м в соответствии с уравнением φ (t) = 2π (t2 – 6t + 12), где угол φ – в радианах, время t – в секундах. Частица остановится в момент времени…
Варианты ответов: 1) 1 с; 2) 2 с; 3) 3 с; 4) 4 с.
Решение.
Угловой скоростью ω называется производная от угла поворота по времени: ω = dφ /dt. Если частица остановится, то её угловая скорость станет равной нулю. Возьмём производную и приравняем её нулю. Тогда получим:
|
(2t – 6) = 0. Отсюда t = 3 с. |
Ответ: вариант 3. |
|
23 |
Тест 1 – 11
Обруч массой m = 0,3 кг и радиусом R = 0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного движения 1200 Дж, и опустили на пол
так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскости пола. Если обруч начал двигаться без проскальзывания, имея кинетическую энергию поступательного движения 200 Дж, то сила трения совершила работу…
Варианты ответов:
|
1) 1000 Дж; |
2) 1400 Дж; |
3) 800 Дж; |
4) 600 Дж. |
Решение.
Работа равна изменению кинетической энергии тела: А = W2 –W1. По условию задачи начальная кинетическая энергия обруча равна W = 1200 Дж. Конечная кинетическая энергия обруча при движении параллельно плоскости пола складывается из суммы кинетических энергий поступательного и вращательного движения: W2 = m v2/2 + I ω 2/2 , где v – линейная скорость, ω – угловая скорость, ω = v/R , I – момент инерции. Для обруча I = m R2. После подстановки этих формул получим:
W2 = m v2 /2 + m R2 ·(v / R)2 /2 =2(m v2 /2). По условию задачи кинетическая энергия поступательного движения mv2 / 2 = 200 Дж. Тогда конечная кинетическая энергия обруча равна W2 = 2·200 = 400 Дж. Следовательно, работа силы трения по модулю равна: А =│400 -1200│= 800 Дж.
Ответ: вариант 3.
Тест 1 – 12
Система состоит из трех шаров с массами m1=l кг, m2 =2кг, m3=3 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке. Если скорости шаров равны v1=3м/c, v2=2 м/c,v3=1м/c, то величина скорости центра масс этой системы в м/с равна…
Варианты ответов: 1) 4; 2) 2/3; 3) 10; 4) 5/3.
24
Решение.
Импульс системы равен векторной сумме импульсов тел, составляющих систему: 
= 
1 + 
2 + 
3. Найдём проекции импульса на оси координат: px = m2 v2 = 2×2 = 4 кг· м/с.
py = p1 – p2 = m1 v1– m3v3 = 1× 3 – 3×1 = 0. Тогда модуль импульса системы равен p = px= 4 кг· м/ с. Масса системы равна:
m = m1 + m2 + m3 =1+2 + 3=6 кг. Найдём скорость центра масс:
v= p /m = 4/6 =2/3 м/с.
Ответ: вариант 2.
Задание С1-13 для самостоятельного решения.
Система состоит из трех шаров с массами m1=l кг, m2=2 кг, m3=3 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке.
Если скорости шаров равны
v1= 3 м/c,v2= 2 м/c, v3=1 м/c, то вектор им-
пульса центра масс этой системы направлен…
Варианты ответов:
1)вдоль оси – OY;
2)вдоль оси – ОХ;
3)вдоль оси + ОХ.
Тест 1 – 13
Теннисный мяч летел с импульсом 
1 в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью Δt = 0,1 с. Изменившийся импульс мяча стал равным 
2 (масштаб указан на рисунке). Сред-
няя сила удара равна … Варианты ответов:
1) 50 Н; 2) 0,5 Н; 3) 30 Н; 4) 5 Н.
Решение.
25
Среднюю силу удара можно определить из второго закона Ньютона, запи-
санного в общей форме 
= 
, где ∆
=
2 –
1 – измене-
ние импульса тела, Δt – промежуток времени, за который это изменение произошло. Изменение импульса ∆
– это вектор, соединяющий конец вектора 
1 с концом вектора 
2 (см. рис. в решении).
Согласно этому рисунку, горизонтальная компонента
изменения импульса равна: ∆рx=3 кг·м/с, а вертикальная компонента измене-
ния импульса равна: ∆рy=4 кг·м/с. Модуль изменения импульса вычисляется
|
по теореме Пифагора: ∆р = |
=5 кг·м/с .Тогда средняя сила удара по |
||
|
модулю равна: F = |
= 50 Н. |
Ответ: вариант 1. |
|
Задание С1-14 для самостоятельного решения.
Теннисный мяч с импульсом 5 кг·м/с летел в горизонтальном направлении и после абсолютно упругого удара отскочил в обратном направлении от ракетки теннисиста. Длительность удара была равна ∆t = 0,2 с. Определите среднюю силу удара.
Варианты ответов те же, что в тесте 1 – 13.
Тест 1 – 14
Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится звезда массой М. Если 
– радиус-вектор планеты, то справедливым является утверждение…
Варианты ответов:
1) Момент силы тяготения, действующей на планету, относительно центра звезды, не равен нулю.
2)Момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется.
3)Для момента импульса планеты относительно центра звезды справедливо выражение: L = mvr.
Решение
26
Проанализируем правильность утверждений.
1. Модуль момента силы равен :M = F ·r·sin(α), где α – угол между силой 
и радиусом – вектором 
. Сила тяготения 
направлена в сторону, противо-
положную радиусу – вектору 
, т.е. α = 180˚ , sin (180˚) = 0 и M = 0. Поэтому первое утверждение является неверным.
2.Второе утверждение является правильным, т.к. оно соответствует закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется. Поэтому момент импульса планеты относительно центра звезды при движении по орбите не изменяется.
3.Третье утверждение является неправильным, т.к. модуль момента им-
пульса равен L = mv r· sin α, где α – угол между вектором импульса m
и ра-
диусом – вектором планеты 
. Очевидно, что этот угол, а также v в про-
цессе движения изменяются, но mv r· sin α = const.
Ответ: вариант 2.
.
Задание С1-15 для самостоятельного решения.
Планета движется вокруг звезды по круговой орбите. Рассмотрите, какие утверждения из вариантов ответов к тесту 1 – 14 будут верными.
Задание С1-16 для самостоятельного решения.
Определите направление вектора момента импульса 
, если изображенный на рисунке теста 1 – 14 эллипс лежит в плоскости чертежа.
Варианты ответов:
1)Перпендикулярно чертежу к нам;
2)Перпендикулярно чертежу за чертёж;
3)Вдоль импульса m
.
27
Тест 1 – 15
Диск радиуса R вращается вокруг вертикальной оси равноускоренно по часовой стрелке. Укажите направление вектора углового ускорения.
Варианты ответов:
1)Направление 1; 2) Направление 2;
3)Направление 3; 4) Направление 4.
Решение.
При вращении тела поворот 
можно изобразить в виде вектора, на-
правленного вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Это значит, что если головка винта движется по окружности в направлении вращения, то поступательное движение винта укажет направление вектора поворота. В нашем случае при вращении тела по часовой стрелке винт (буравчик) будет закручиваться, и вектор угла поворота будет иметь направление 4. При ускоренном вращении направление вектора углового ускорения 
совпадает с направлением вектора поворота. Следовательно, вектор углового ускорения надо изобразить в направлении 4.
Ответ: вариант 4.
Тест 1 – 16
Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени 
(t) приведена на рисунке. Тангенциальное ускорение точки, находящейся на расстоянии 1 м от оси вращения равно…
Варианты ответов:
1) 0,5 м/с; 2) -0,5 м/с2; 3) 5 м/с2; 4) -5 м/с2.
28
Решение.
Тангенциальное ускорение по модулю равно произведению углового ускорения на радиус: aτ = ε·R. По условию задачи радиус R = 1 м. Угловое ускорение при равномерном вращении равно отношению изменения угловой скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло: ε = Δω/ Δt, где Δω = ω2 – ω1, Δt = t2 – t1. Взяв две точки на графике, найдём Δω и Δt. Пусть t1 = 0, ω1 = – 10 рад/с и t2 = 2 с, ω2 = – 20рад/с. Тогда Δω -20–(-10) = – 10
рад/с, Δt =2 – 0 =2с, ε = ( – 10 ) / 2 = -5рад/с2. Следовательно, тангенциальное ускорение точки равно: aτ = (- 5)·1 = -5 м/с2. Ответ: вариант 4.
Тест 1 – 17
Диск и цилиндр имеют одинаковые массы и радиусы (рис.). Для их момен-
тов инерции справедливо соотношение…
Варианты ответов:
1) IЦ > IД; 2) IЦ = IД; 3) IЦ< IД.
Решение.
Моменты инерции сплошного цилиндра и диска вычисляются по одинаковой формуле: I = mR2/2 . Эта формула показывает, что момент инерции не зависит
от длины цилиндра. Следовательно, IЦ= IД.
Ответ: вариант 2.
Задание С1-17 для самостоятельного решения.
Тонкостенная трубка и кольцо имеют одинаковые массы и радиусы (рис.).
Для ихмоментов инерции спра-
ведливо соотношение…
Варианты ответов:
|
1) |
IТ >IК; |
|
2) |
IТ = IК; |
|
3) |
IТ <IК. |
29
Тест 1 – 18
Если момент инерции тела увеличить в 2 раза, а скорость его вращения
уменьшить в 2 раза, то момент импульса тела…
|
Варианты ответов: 1) увеличится в 4 раза; |
2) уменьшится в 4 раза; |
|
3) уменьшится в 2 раза; |
4) не изменится. |
|
Решение. |
Момент импульса тела численно равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость: L= I·ω. Поэтому, если один сомножитель увеличить в 2 раза, а другой уменьшить в 2 раза, то результат не изменится.
Ответ: вариант 4.
Тест 1 –19
При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих че-
рез центр масс, используют теорему Штейнера. Если
ось вращения тонкостенной трубки перенести из цен-
тра масс на образующую (рис.), то момент инерции
относительно новой оси увеличится в….
|
Варианты ответов: 1) 4 раза; |
2) 2 раза; |
|
3) 3 раза; |
4) 1.5 раза. |
|
Решение. |
По теореме Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси I равен моменту инерции этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс I0, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния d между осями: I = I0 + m·d2. Момент инерции тонкостенной трубки относительно оси симметрии вычисляется так же, как момент инерции обруча: I0 = mR2, расстояние между осями, как следует из рисунка, равно d = R. Тогда по теореме Штейнера:
I = mR2 + mR2 = 2mR2 = 2I0. Отсюда следует, что момент инерции увеличится в 2 раза: I/I0=2.
Ответ: вариант 2.
30
Соседние файлы в папке 1 семестр ЭКТ
- #
- #
- #
- #
- #
3.28 Найти линейные скорости v движения центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, начальная скорость всех тел v0 = 0. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Данная задача находится в разделе
Решебник Волькенштейн на странице № 4
<<< Предыдущая задача из Волькенштейн
3.27 Найти линейные ускорения а центров масс шара, диска и обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости α = 30°, начальная скорость всех тел v0 = 0. Сравнить найденные ускорения с ускорением тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.
Следующая задача из Волькенштейн >>>
3.29 Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) — одинакового радиуса R = 6 см и одинаковой массы m = 0,5 кг. Поверхности цилиндров окрашены одинаково. Как, наблюдая поступательные скорости цилиндров у основания наклонной плоскости, можно различить их? Найти моменты инерции J1 и J2 этих цилиндров. За какое время t каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной плоскости h = 0,5 м, угол наклона плоскости α = 30°, начальная скорость каждого цилиндра v0 = 0 .
Слайд 1Томский политехнический университет
ЕНМФ
Адрес: пр. Ленина, 43, г.Томск,
Россия, 634034
tyurin@fnsm.tpu.edu.ru,
Тел. 8-3822-563-621
Факс 8-3822-563-403
Слайд 2
Лекция 6
Тема: ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
6.1.Введение
6.2.Момент силы
6.3.Момент
импульса
6.4.Закон сохранения момента импульса для системы частиц
6.5.Вращение
вокруг неподвижной оси. Момент инерции
6.6.Кинетическая энергия вращения
6.7.Гироскоп
Содержание лекции:
Сегодня: *
Слайд 36.1. Введение
Для описания вращения полезно ввести новые
физические величины − причину изменения состояния вращения
тела, называемую моментом силы, и величину, которая изменяется под действием момента силы, − момент импульса. Эти величины подобны силе и импульсу в динамике поступательного движения. Изучать вращение и вводить такие новые понятия, как момент силы и импульса, удобно на примере вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, причем каждая точка твердого тела движется в плоскости, перпендикулярной к этой оси, − плоское, двумерное вращение. Затем легко обобщить полученные результаты на случай трехмерного вращения.
Слайд 46.2. Момент силы
Пусть тело вращается в плоскости
x y вокруг оси, перпендикулярной плоскости x
y (рис. 6.1).
При повороте на угол Δθ произвольная точка А тела сместится из положения, задаваемого координатами (x,y), в
точку В, отстоящую от (x,y) на
расстоянии:
Причиной изменения состояния
вращения тела служит момент
силы – величина, изменяющая угловую скорость вращения тела. Момент, по-видимому, от латинского слова movimentum – способность силы двигать объект, тем более заметная, чем больше плечо силы.
Слайд 5При плоском повороте тела на угол dθ
под действием силы F(Fx,Fy) совершается работа, равная
δA = (F,dr) = Fxdx + Fydy = (xFy − yFx)dθ.
В двумерном случае работа пропорциональна углу dθ поворота, умноженному на M = xFy – yFx – величину, получившую название момента силы. В случае двух измерений имеем для момента силы M = xFy – yFx.
Если на тело действует несколько сил, тогда элементарная работа равна сумме работ, совершаемой каждой силой:
Слайд 6этот закон сложения моментов, как скалярных величин,
справедлив лишь для случая плоского вращения, когда
векторы dθ = ωdt и Mk – параллельны и направлены перпендикулярно плоскости xy.
Геометрически условие δА = Mdθ означает следующее. Пусть тело под действием силы F, приложенной к точке А, поворачивается на угол dθ. В этом случае работа по перемещению тела равна
составляющей силы в
направлении перемещения
Ft, умноженной на
перемещение rdθ (рис. 6.2)
δA = rdθ |F| sinα = Ft rdθ,
Слайд 7 Работа равна тангенциальной составляющей силы Ft,
умноженной на перемещение rdθ. Момент равен составляющей
силы, перпендикулярной радиусу Ft, умноженной на радиус r – вращать тело вокруг оси может только составляющая силы, перпендикулярная к радиусу вращения и эта способность силы изменять состояние вращения выражена тем сильнее, чем дальше приложена сила от оси вращения.
δA = rsinα⏐F⏐dθ = r⊥Fdθ,
т.е. M = r⊥F, где r⊥ = rsinα − перпендикуляр, опущенный из
оси вращения на линию действия силы, называемый плечом силы.
Поскольку внутренние силы направлены по одной прямой, но в противоположные стороны, а плечо для каждой пары сил одинаково, − это перпендикуляр, опущенный на линию действия сил, то сумма моментов всех внутренних сил равна нулю, и изменить состояние вращения тела могут только моменты внешних сил.
Слайд 9При вращении тела в плоскости xy относительно
оси z совершаемая элементарная работа равна
δA=Mdθ=Mz(k,k)ωzdt = (Mz,ωz)dt.
Соответственно, при вращении в плоскости xz и yz относительно осей y и x, имеем
δA=(My,ωy)dt, δA=(Mx,x)dt.
Элементарная работа при вращении в трех измерениях равна
δA = ((xFy – yFx)k + (zFx – xFz)j + (yFz – zFy)i, ω) =
= (M,ω)dt = (M,dθ).
Величина момента сил равна
M = (yFz – zFy)i + (zFx – xFz)j + (xFy – yFx)k =
=
Слайд 10 Вектор M перпендикулярен плоскости, в
которой расположены векторы r, F, причем вращение
вектора r к F на наименьший угол, если его наблюдать из конца вектора М, происходит против часовой стрелки (правило правого винта). Для системы материальных точек
-момент равен сумме моментов от всех внешних сил, в силу аддитивности работы − полная элементарная работа равна сумме элементарных работ, совершаемой каждой из приложенных сил.
Понятие о моментах силы является одним из основных понятий механики.
Слайд 116.3. Момент импульса
Подобно тому, как внешняя сила
определяет скорость изменения импульса системы частиц, так
и момент силы определяет скорость изменения некоторой величины L, называемой моментом импульса, или угловым моментом системы частиц. Рассмотрим вначале плоское вращение одной частицы относительно оси О, например, по эллипсу, подобно вращению планеты А вокруг Солнца О. На тело массой m действует момент силы, где силы равны:
Слайд 12
Рис. 6.9. Определение
момента
импульса L относительно
оси
Оказывается, что момент силы равен скорости изменения
величины Lz = xpy − ypx, называемой моментом импульса, или угловым моментом.
В случае трех измерений момент импульса определяется как векторное произведение
L = [r,p],
где p – импульс частицы, r – радиус-вектор, проведенный из начала системы координат к частице.
Слайд 13
6.4. Закон сохранения момента импульса
для системы частиц
Пусть тело состоит из множества частиц,
на которые действуют внутренние и внешние силы. Для каждой из частиц имеем (i – intrinsic, M(i) – моменты внутренних, e – extrinsic, M(e) – внешних сил):
Просуммировав это выражение по всем частицам системы, получим
.
Слайд 14 Поскольку внутренние силы – действие
и противодействие – по третьему закону Ньютона
равны, действуют по одной прямой в противоположных направлениях и равны их плечи (перпендикуляр, опущенный от оси вращения на линию действия сил), то моменты внутренних сил взаимно сокращаются Mz (i) = 0. Поэтому скорость изменения момента импульса системы материальных точек относительно оси определяется моментом внешних сил относительно этой же оси:
Слайд 15Полученное соотношение справедливо для движения любой совокупности
частиц. Независимо от того, образуют они твердое
тело или нет. Если на систему не действуют внешние силы или сумма этих моментов равна нулю, либо силы являются центральными, то момент количества движения системы остается постоянным. Полученные соотношения легко обобщаются на трехмерный случай.
M = i(yFz – zFy) + j(zFx – xFz) + k(xFy –yFx) =
Слайд 16
Здесь L − трехмерный момент импульса относительно
центра вращения О.
Векторная запись динамического
закона вращения в трехмерном пространстве по форме напоминает уравнение Ньютона F = dp/dt
M = -Основное уравнение
динамики вращательного движения
Слайд 17Если сложить уравнения вращения для каждой из
частиц системы, то получим, что внешний момент
сил, действующих на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения системы:
Если полный момент внешних сил равен нулю, то вектор полного момента импульса остается постоянным – закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса есть следствие изотропности пространства – отсутствия в пространстве выделенных направлений.
Слайд 18Мы вывели закон сохранения момента импульса для
замкнутой системы. Он является прямым следствием законов
Ньютона и изотропности пространства – эквивалентности свойств пространства в различных направлениях. Существует множество различных задач, связанных с вращающимися системами, в которых скорости вращения или моменты импульса можно вычислить с помощью закона сохранения момента импульса.
Слайд 19ПРИМЕР: Студент на вращающейся скамье (скамья Жуковского)
держит в вытянутых руках пару гантелей. Он
вращается со скоростью ω1 = 0,5 об/с, затем сгибает руки и прижимает гантели к груди и начинает вращаться с угловой скоростью ω2, которую мы и определим. Будем считать, что первоначально гантели находились на расстоянии 60 см от оси вращения, а после того, как они были прижаты к груди, – на расстоянии 10 см. Масса гантелей такова, что моменты импульса студента и гантелей в первоначальном положении одинаковы.
Слайд 21Начальный момент импульса гантелей дается выражением
Ld1 =
R1mv1 = R1m(ω1R1) = mω1R12,
где m –
масса двух гантелей. Начальный момент импульса системы равен
L1 = L s1 + mω1R12,
здесь L s1 – начальный момент импульса студента.
Поскольку по условию L s1 = L d1, имеем
L s1 = mω1R12.
Запишем момент импульса системы, когда гантели находятся на расстоянии R2:
L2 = L s2 + mω2R22.
Применяя закон сохранения импульса системы, имеем
L s2 + mω2R22 = L s1 + mω1R12.
Слайд 22Момент импульса студента пропорционален скорости его вращения,
поэтому
L s2 = .
Подставляя этот результат в предшествующее равенство, получаем
+ mω2R22 = L s1 + mω1R12.
Подставим теперь сюда выражение
L s1 = mω1R12.
В результате находим
Слайд 23
ω2 =
Мы видим, что угловая скорость вращения
почти удваивается.
Аналогичный принцип работает, когда вращающийся на коньках фигурист прижимает к себе руки и «группируется».
Слайд 246.5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Момент инерции
Пусть частицы образуют твердое тело,
способное вращаться вокруг некоторой оси. Любая часть этого тела расположена неизменным образом относительно других его частей. Найдем полный момент импульса относительно неподвижной оси. Пусть масса k-й частицы равна mk, и она расположена на расстоянии rk от оси.
Рис. Вращающийся
диск(показан элемент
массы Δmk),
удаленный на расстояние
rk от оси вращения
Слайд 25Момент импульса k-й частицы равен
Lk = mkvkrk.
Угловая
скорость вращения тела ω связана с линейной
скоростью точки соотношением vk = ωrk,
и, следовательно,
Lk = mkvkrk = Lk = mkrk2ω.
Полный момент количества движения тела равен сумме моментов количества движения всех частиц, образующих тело:
Вынося одинаковую для всех частиц системы угловую скорость за знак суммы и вводя
обозначение , получаем L = Iω.
Слайд 26Это выражение похоже на формулу для импульса
р= mv в динамике поступательного движения. Скорость
заменяется на угловую скорость, а масса на некую величину I, называемую моментом инерции. Момент инерции играет роль массы при вращении и служит мерой инерции во вращательном движении. Величина I зависит не только от массы тела, но и от того, как масса распределена относительно оси вращения. Тело обладает моментом инерции независимо от того, вращается оно или нет.
Слайд 27Между массой и моментом инерции имеется существенная
разница – масса тела обычно не изменяется,
тогда как момент инерции можно изменить перемещением масс относительно оси вращения. Пусть мы находимся на подставке, способной вращаться вокруг неподвижной оси (скамья Жуковского), и вращаемся с разведенными руками. Можно уменьшить начальный момент инерции тела I1, опустив руки. При этом масса всей системы не изменится, но момент инерции уменьшится до I2.
Слайд 28Если момент внешних сил равен нулю, то
в силу закона сохранения момента импульса имеем:
I1ω1
= I2ω2 = L = const,
откуда следует, что угловая скорость вращения увеличится
ω2 = ω1 > ω1.
Как уже отмечалось, этим, например, пользуются фигуристы для увеличения скорости своего вращения. Уравнение, описывающее вращение тела вокруг неподвижной оси, принимает вид
М
Слайд 29 Если момент инерции тела остается
неизменным, то основное уравнение динамики вращательного движения
переходит в следующее:
M = Iε, ε = ,
что напоминает по форме второй закон Ньютона, где роль силы играет момент силы, линейное ускорение заменено на угловое, а мерой инертности тела служит момент инерции. Физический же смысл этого уравнения и входящих в него величин принципиально отличен от второго закона Ньютона, хотя оно и есть прямое его следствие.
Слайд 306.8. Расчет моментов инерции
Момент инерции тела относительно
оси можно рассчитать или измерить. По определению
имеем:
Если вещество распределено в теле непрерывно, то, разбив тело на бесконечно малые элементы dmi(r), получим
Интегрирование выполняется по всему объему, занимаемому телом.
Слайд 31Пусть произвольные оси вращения тела проходят через
точки О и А, перпендикулярно плоскости вращения
(рис. 6.17).
Моменты инерции относительно
осей О и А равны:
.Поскольку r′ + a = r, то имеем:
(r’)2 = r2 + a2 – 2(r,a),
= I0 + a2M – 2(a,MRС).
Здесь − радиус-вектор центра
масс тела относительно оси О.
Слайд 32Если ось O проходит через центр масс
тела, тоRC = 0 и полученное соотношение
упрощается:
IA = IC + a2M
– момент инерции тела относительно произвольной оси А равен моменту инерции его относительно оси C, проходящей через центр масс, плюс произведение Ma2, где M – масса тела, a – расстояние между данными параллельными осями. То есть момент стержня относительно оси (АА) равен моменту инерции стержня относительно оси (ОО), проходящей через центр масс, плюс произведение массы стержня на квадрат расстояния между осями. Это утверждение называется теоремой о параллельном переносе оси или теоремой Штейнера (Якоб Штейнер, швейцарский геометр, 1796 − 1863).
Слайд 33Моменты инерции некоторых распространенных тел
(относительно указанных на рисунках осей)
МR2
кольцо
Кольцо
тощиной R-r1
Диск(край)
Стержень-центр
Стержень-край
шар
Сферическая оболочка
Слайд 346.6. Кинетическая энергия вращения
Пусть тело вращается вокруг
некоторой оси, так что каждая его точка
движется со скоростью ωrk, где rk – расстояние от данной точки до оси. Если масса точки равна mk, то полная кинетическая энергия тела равна сумме кинетической энергии его частиц:
Поскольку угловая скорость постоянна для всех точек, то имеем
Можно записать выражение для кинетической энергии и в другом виде. Поскольку L = I ω, то имеем
K =
Слайд 35 Эти выражения подобны соответствующим выражениям
для кинетической энергии поступательного движения точки при
формальной замене: m → I, v → ω, P → L. Воспользовавшись теоремой Штейнера, можно переписать выражение для кинетической энергии в виде
K = = +
Кинетическая энергия представляет собой сумму кинетических энергий вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс, плюс кинетическая энергия поступательного движения центра масс.
Слайд 36Скорость центра масс обруча равна v, масса
обруча m. Определим его кинетическую энергию при
движении по горизонтальной поверхности.
Имеем
Kполн = + ,
– линейная скорость обода
в системе ц.м. Для наблюдателя,
движущегося вместе с центром
обруча, скорость точки
соприкосновения обруча с плоскостью
равна v. Поэтому = v.
Таким образом, Kполн = + = mv2.
Слайд 37Следует заметить, что энергия катящегося обруча вдвое
превышает энергию тела с той же массой
m, движущегося с той же скоростью, но без вращения, т.е. только поступательно.
Рассмотрим автомобиль с маховиком вместо двигателя. Во время стоянки автомобиля маховик мог бы накапливать энергию с помощью небольшого высокоэффективного электромотора. Автомобиль, использующий энергию маховика, мог бы пробежать примерно 1/3 расстояния, которое пробегает обычный автомобиль с запасом бензина
40 л (около 100 км).
Слайд 386.7. Гироскоп
Гироскоп – быстро вращающееся симметричное твердое
тело, ось вращения которого может изменять свое
направление в пространстве. Название «гироскоп» происходит от греческого gyréuō – кружусь, вращаюсь, и skopéō – смотрю, наблюдаю. Гироскоп обладает интересными свойствами, проявляющимися у вращающихся небесных тел, артиллерийских снарядов, роторов турбин, установленных на судах. На свойствах гироскопов основаны различные приборы и устройства, применяемые в современной технике.
Слайд 39Свойства гироскопов реализуются при выполнении двух условий:
1.Ось вращения гироскопа должна иметь возможность
изменять свое положение в пространстве;
2.Угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси должна быть очень велика по сравнению со скоростью изменения направления оси в пространстве.
Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, его обычно закрепляют на кольцах т.н. карданова подвеса
Слайд 41Пусть симметричное тело вращается с большой угловой
скоростью ω вокруг оси y, и к
оси гироскопа приложена пара сил F, перпендикулярная оси y и лежащая в плоскости xy (рис. 6.24). При этом возникает вращательный момент M, перпендикулярный плоскости xy.
Поскольку dL = Mdt − изменение момента количества движения направлено параллельно вектору M, то ось гироскопа повернется вокруг оси х в направлении, перпендикулярном действию силы. Используя равенства dL = L0dθ и dL = Mdt, получаем
M = L0 = L0Ω.
Слайд 42 Учитывая направления векторов, имеем
M =
[Ω,L0].
Это уравнение позволяет определить момент силы, который
необходимо приложить, чтобы заставить гироскоп вращаться с угловой скоростью Ω . Величина Ω носит название угловой скорости прецессии, т.е. скорости вращения гироскопа относительно оси x.
Если к оси гироскопа приложена сила с моментом М, то угловая скорость прецессии равна
Ω = ,
![Учитывая направления векторов, имеем M = [Ω,L0]. Это уравнение позволяет](https://thepresentation.ru/img/tmb/2/138390/f477c2534b02761a3d3e27eb583537b9-800x.jpg)
Слайд 43где α − угол между направлениями вектора
силы F и вектором L0, I –
момент инерции гироскопа относительно оси y, ω − угловая скорость собственного вращения гироскопа вокруг оси y, M – момент силы F относительно центра О.
Из формулы следует, что скорость прецессии Ω тем медленнее, чем больше величина Iω, называемая собственным кинетическим моментом гироскопа или моментом количества движения.
Прецессия гироскопа возможна лишь при действии момента сил на ось гироскопа (M ≠ 0)
Слайд 44Вращение прекратится, как только исчезнет силовое воздействие
на ось гироскопа М = 0. Этим
гироскоп принципиально отличается от невращающегося тела. Невращающееся тело под влиянием приложенного момента начинает ускоренно вращаться, и это вращение будет происходить с достигнутой скоростью бесконечно долго и после прекращения действия момента – закон сохранения момента импульса. Гироскоп начинает вращаться с постоянной угловой скоростью Ω сразу после приложения момента силы M и останавливается немедленно после прекращения действия момента силы.
Слайд 45Пример прецессионного вращения дает артиллерийский снаряд. Если
снаряд не вращается вокруг собственной оси, то
под действием силы сопротивления воздуха он начинает кувыркаться. Его полет становится беспорядочным, при этом значительно возрастает сопротивление движению и уменьшается дальность полета. Вращающийся вокруг оси снаряд обладает всеми свойствами гироскопа, и сила сопротивления воздуха вызывает его прецессию вокруг прямой, по которой направлена его скорость, т.е. вокруг касательной к траектории движения центра тяжести. Это делает полет правильным и обеспечивает попадание в цель головной частью. Вращение снаряду придают специальные направляющие в стволе орудия − нарезные стволы.
Слайд 46Если гироскоп находится в кардановом подвесе, то
он имеет три степени свободы. Гироскоп на
кардановом подвесе не испытывает действия момента в результате вращения Земли или в результате движения самолета, в котором он находится. Поэтому ось вращающегося тела будет сохранять определенное направление в пространстве.
Если эту ось направить на звезду, то при любых перемещениях прибора и толчках она будет продолжать указывать на эту звезду, меняя свою ориентировку относительно осей, связанных с Землей.
Слайд 47Если ось ротора закреплена в основании и
это основание неподвижно, то ось гироскопа не
может изменять свое направление в пространстве. Если вращать основание с угловой скоростью Ω, то ось ротора будет давить на подшипники с моментом силы
M = IΩωsinα.
На морских судах и самолетах имеется много вращающихся частей: вал двигателя, ротор турбины, гребные и воздушные винты и т.д. При разворотах судна, качке на подшипники, в которых укреплены эти вращающиеся части, действуют указанные гироскопические силы, и их необходимо учитывать при соответствующих инженерных расчетах, чтобы избежать катастрофы.
