Как найти скорость движения эскалатора

4 февраля 2014

Итак, сегодня мы продолжаем изучать задачи на движение. Перед нами — сложная (для многих учеников она реально сложная) задача B14 на движение по эскалатору. Из урока вы узнаете, как не «подвисать» при решении подобных задач, а также не выполнять лишних действий. Все-таки текст задачи сводится к системе уравнений, да и ответ тоже находится не сразу. В общем, смотрите видео — и берите на вооружение!

Задача B14. Маша спустилась по движущемуся вниз эскалатору за 36 секунд. По неподвижному эскалатору с той же скоростью относительного него она спустится за 1 минуту 3 секунды. За сколько секунд она спустится, стоя на ступеньках движущегося эскалатора?

Как видите, основная проблема данной задачи — неизвестно общее расстояние, т.е. длина эскалатора. В некотором смысле эта задача очень похожа на движение по воде: при спуске скорости эскалатора и человека складываются. Однако, в отличие от задач на движение, здесь недостаточно просто решить систему — требуется еще и понять, какую именно величину записывать в ответ.

Смотрите также:

1. Задача B14 про эскалаторы: считаем ступеньки
2. Тест по задачам B14: легкий уровень, 2 вариант
3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (средний)
4. Периодические десятичные дроби
5. Изюм и виноград (смеси и сплавы)
6. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная к графику функции

В этой статье собраны задачи про эскалаторы. Пассажиры метро чего только на них не выделывают, и каких только способов подняться и спуститься не придумали! Встретятся и задачи на постоянную скорость, и задачи на относительность движения.

Задача 1.

Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору  метрополитена за время мин, а по движущемуся вверх – за минуты. Сможет ли он подняться по эскалатору, движущемуся с той же скоростью вниз? Если да, то за какое время?

Итак, дана, по сути, собственная скорость пассажира. Ее можно найти, зная время его подъема и обозначив длину расстояния от нижней точки до верхней за :

Когда эскалатор движется вверх, то скорости пассажира и эскалатора сложатся, и относительно земли пассажир будет двигаться со скоростью , где – скорость движения эскалатора. Тогда время подъема станет равным :

Отсюда можно определить скорость эскалатора:

Если пассажиру вздумается идти вверх по эскалатору, то скорость эскалатора вычтется из его собственной скорости, и общая скорость подъема станет равной , тогда время подъема:

Ответ: 6 минут.

Задача 2.

Человек спускается по движущемуся вниз эскалатору. В первый раз он насчитал ступенек, второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью относительно  эскалатора втрое большей, он насчитал ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

Так как в первом случае и во втором случае человек бежал с разной скоростью, то и время он затрачивал разное. Кроме того, он пробегает в каждом случае и разный путь, поскольку эскалатор тоже движется, и с каждой секундой расстояние, которое отделяет человека от конца эскалатора, все время сокращается. Поэтому пусть в первом случае наш пассажир двигался со скоростью и  прошел путь за время , а во втором случае скорость движения , время движения и – пройденное расстояние. Тогда:

Пути, пройденные в первом и втором случае, разные, но перемещение-то одно и то же! Человек достиг цели: спустился сверху вниз. Обозначим перемещение . Тогда относительно земли человек в первом случае движется со скоростью , где – скорость эскалатора, а во втором случае :

Подставим найденное время:

Разделим на :

Найдем отношение скорости человека к скорости эскалатора, разделив на :

Тогда можно подставить:

Откуда расстояние , выраженное в числе ступенек, .

Ответ: 100.

Задача 3.

Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за время мин. Если человек будет двигаться относительно эскалатора вдвое быстрее, то он спустится за с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

Пусть сначала скорость спуска человека относительно эскалатора равна , тогда во второй раз  она будет . Скорость эскалатора обозначим за . Поскольку в обоих случаях и человек, и эскалатор движутся в одну сторону, то скорости будут складываться. Поэтому время первого спуска равно:

А время второго спуска будет

Если человек на эскалаторе просто стоит, то он и движется со скоростью эскалатора, ее нам и надо найти. Составим из этих двух уравнений систему и решим ее.

Уравняем коэффициенты:

Вычтем из первого второе уравнение:

Теперь можно определить и время спуска, если человек стоит на эскалаторе. Оно будет равно

Ответ: 90 с.

Задача 4.

Два человека одновременно вступают на эскалатор с противоположных сторон и движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями относительно эскалатора м/с. На каком расстоянии от входа на эскалатор они встретятся? Длина эскалатора 100 м, его скорость м/с.

Если наши пассажиры встретились, то, следовательно, прошли весь эскалатор: часть – один, а часть – второй. Тот, что двигался в ту же сторону, что и эскалатор, относительно земли перемещался со скоростью , а тот, что шел навстречу движению – со скоростью . Таким образом, скорость сближения двух людей равна . Таким образом, время их движения равно:

За это время тот, что шел в одну сторону с эскалатором, прошел

А тот, что шел навстречу движению эскалатора, прошел

Таким образом, если вход на эскалатор там, где ступил на него первый пассажир (что логично), то встретятся они в 87,5 м от этого места.

Ответ: 87,5 м.

Задача 5.

Эскалатор метро движется со скоростью м/с. Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на ступеньку вперед и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время с. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шел другим способом: делал два шага вперед и один шаг назад?  Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперед и назад одинакова и равна м/с. Считать размеры ступеней много меньше длины эскалатора.

Итак, пусть человек затрачивает время для того, чтобы шагнуть на одну ступеньку. Тогда сначала он будет двигаться со скоростью , поскольку в итоге шагает назад на одну ступеньку, и делает это за тройное время. Иначе говоря, скорость человека в первом случае равна . Движется он в сторону, противоположную движению эскалатора,  поэтому его скорость относительно земли равна . В конце концов он добирается до нижней точки, то есть совершает перемещение :

Если бы он шел вторым способом, то скорость относительно эскалатора была бы , а относительно  земли . Время перемещения тогда составило бы:

Ответ: 50 с.

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

О методике
решения задач на относительность движения при изучении основ кинематики в 9
классе общеобразовательной школы

Антощук Л.Г.

Одним из сложных и недостаточно разработанных вопросов методики физики
является методика решения задач на относительность движения. Анализ 
специальной литературы и имеющийся практический опыт  убеждают в том, что
учащиеся школы и студенты не умеют решать задачи на относительность движения. В
методических пособиях предлагается преимущественно логические приемы решения,
иллюстрируемые иногда рисунками.

 Я предлагааю способ решения задач на относительность движения, который
позволяет конкретизировать представления учащихся о законе сложения скоростей и
перемещений, о понятии неподвижной системы отсчета (НСО) и подвижной системы отсчета
(ПСО). Учит определять скорости, перемещения тел относительно различных систем
отсчета (СО) и другие величины,  убеждает в относительности скорости и
перемещения тел.

Сущность предлагаемого способа решения задач сводится к следующему
алгоритму:

Анализ условия задачи, выделение движущихся тел. Краткая запись условия
задачи. Определение неподвижной и подвижной системы отсчета (НСО и ПСО),
движущегося тела.

Записать закон сложения скоростей или перемещений в векторной форме.

Изобразить графически параметры заданных движений, при этом выбрать
начальный момент времени и совместить начало НСО и ПСО.

Отобразить на графике, который строится под первоначальным, изменение
величин,  описанных в задаче  со временем.

Сравнение закона сложения скоростей (перемещений) и графика.

Записать закон сложения скоростей (перемещений) в проекциях на оси
координат, объединив их в систему (или найти геометрическую сумму путем
сложения векторов).

Решить полученную систему уравнений. Подставить в решение общего вида
значения величин и произвести вычисления.

На примерах решения типовых задач на относительность движения покажем
применение данного способа решения.

Задача № 1.

Два поезда движутся равномерно друг за другом. Скорость первого 80
км/ч, а второго 60 км/ч. Какова скорость второго поезда относительно первого ?

1. Первый и второй поезда движутся относительно Земли с некоторыми
скоростями. Скорость первого поезда V, скорость второго V2 (жирным шрифтом
обозначены векторные величины).

Дано:                              Решение:

V = 80 км/ч      За НСО примем Землю, за ПСО – первый поезд.

V2 = 60 км/ч      Скорость ПСО относительно НСО – V.

V1 – ?                  Движущимся телом является второй поезд.

                     Скорость движущегося тела относительно НСО – V2.

                     Неизвестная скорость второго поезда относительно
первого (ПСО) – V1.

2. Закон сложения скоростей V2 = V + V1.
Скорость второго поезда относительно НСО равна геометрической сумме скорости
второго поезда  относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО.

3. Систему координат XY свяжем с Землей (НСО).

 Систему координат X¢ Y¢  параллельную XY свяжем с первым поездом (ПСО)

 В начальный момент времени (t = 0) совместим НСО и ПСО.         

             4. Через t = 1 час положение ПСО (первого поезда)
изменится на расстояние, равное 80 км, а второго поезда, относительно НСО
окажется на расстоянии 60 км.

 

            5. Соотнесем график и формулу закона сложения скоростей V2
= V + V1. Убеждаемся в том, что обе формы отражения закона совпадают.

            6. Для вычисления скорости второго поезда относительно
первого найдем проекции и запишем:    

                                                      
V2x = Vx + V1x

                                                                               
 V2y = Vy + V1y 

                                                    
V2 = V – V1

                                                    -V1 = V2 – V

                                                      V1 = V – V2

                                                      V1 = 80
км/ч –  60 км/ч = 20 км/ч

                          Ответ: скорость второго относительно первого
поезда равна 20 км/ч.

Задача №2

Скорость течения реки V= 1,5 м/с. Каков модуль скорости V1 катера
относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью V2
= 2 м/с относительно него.

  1.    Дано:

 V= 1,5 м/с          
За НСО примем берег реки,

V2  = 2 м/с             за ПСО – реку (скорость течения реки V),

V – ?                      движущееся тело
– катер.

                  2. Закон сложения скоростей V2 = V + V1. Скорость
катера относительно НСО (берега реки) равна геометрической сумме скорости
катера относительно ПСО (течения реки) и скорости течения реки.

                   3. Свяжем НСО с системой координат  XY, а  ПСО с
системой координат X`Y`. Ось OX направим вдоль берега, а ось OY поперек реки
(O`X` и O`Y` соответственно).

                    4.

                     5. Сравним закон сложения скоростей и графика. Для
простоты решения найдем геометрическую сумму векторов скорости.

                     6. Так как полученный треугольник прямоугольный,
то

Ответ: модуль скорости катера относительно реки  2,5 м/с.

Задача № 3

Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 72 и 54
км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд
проходит мимо него в течение 14 с. Какова длина второго поезда ?

1.    Дано: 

V1 =72 км/ч =20 м/с            Так как движение поездов можно считать
равномерным,        

V2  = 54 км/ч = 15 м/с          то длину второго поезда можно найти по
формуле

l – ?                                        l = V21× t, где V21 – скорость
второго поезда относительно                                          первого
поезда.    Значит,  для  определения  l  необходимо  найти  V21.

             Примем за НСО Землю, а за ПСО – первый поезд,  движущееся
тело – второй поезд.  V2  скорость второго поезда относительно НСО. Скорость
ПСО – V1.    

           2. Закон
сложения скоростей V2 = V2 1 + V1. Скорость второго поезда относительно НСО
равна геометрической сумме скорости второго поезда относительно ПСО (первого
поезда) и скорости ПСО (первого поезда).

           3.      4.

 

          5. На графике V2  и  V2 1  направлены в одну сторону, а V1 в
противоположную,

               тогда                      -V2 = V1 – V21

         6  V2 1 = V1 + V2

l = (V1 + V2)× t

l = (20 м/с + 15 м/с)× 14 с = 490 м.

Ответ: длина второго поезда 490
м.

Задача  № 4

Катер, двигаясь против течения реки, проплывает около стоящего на якоре
буя и встречает там плот. Через 12 минут после встречи катер повернул обратно и
догнал плот на расстоянии 800м ниже буя. Найти скорость течения реки.

   Дано:

t = 12 мин = 720с           НСО свяжем с буем, ПСО – плот (движущийся
со скоростью

  S = 800 м                         течения реки  V0), движущееся тело
– катер.

V0 – ?                                Скорость катера относительно НСО
– V, 

                                         а относительно ПСО – V1.

 Закон сложения скоростей для катера, движущегося по течению и против
течения реки, в геометрической форме совпадает: V =  V0  +  V1. Скорость катера
относительно НСО равна геометрической сумме скорости ПСО (течения реки) и
скорости катера относительно ПСО.

 Найдем скорость катера, двигающегося против течения реки

V =  V0  +  V1

– V  = V0  – V1

V =  V1  – V0

Аналогично найдем скорость катера, двигающегося по течению реки

V =  V0  +  V1

V =  V0  +  V1

         Запишем уравнения движения плота и катера:

                          Sпл.
= V0 × t

                  Sк= S1 – S2 , где S1 – расстояние, пройденное катером
по течению,

                                              S2 – расстояние,
пройденное катером против течения.

                       Sпл.
= V0×t

                    
Sк = -( V1  – V0 ) ×
t1 + (V0  +  V1) × (t – t1)

Расстояние, пройденное катером от буя до того места, где катер догнал
плот,  равно расстоянию пройденному плотом,  то есть  Sпл  = Sк, то

                       V0
× t  =  -( V1  – V0 ) × t1 + (V0  +  V1) × (t – t1)

                      
V0 × t = — V1× t1 + V0 × t1 + V0 × t +
V1 × t – V0  × t1  –  V1× t1

                      
V1× t = 2 V1× t1    

                       t = 2 t1

                               

Ответ: скорость течения реки  0,55 м/с.

Задача  №  5

Автоколонна длиной 2 км движется со скоростью 40
км/ч. Мотоциклист выехал из хвоста колонны со скоростью 60
км/ч. За какое время он достигнет головной машины ? Какой путь за это время
пройдет мотоциклист относительно Земли ?

Дано:

l = 2 км.                     Примем за НСО  землю,

           V1 = 40км/ч                 за ПСО – колонну, движущееся
тело – мотоциклиста.

          V2  = 60 км/ч                Время, за которое мотоциклист
догонит головную

t` – ? Sм.з. – ?               машину , где V2 1 – скорость  мотоциклиста

относительно ПСО (колонны)..

           2. Закон сложения скоростей для данной задачи запишем
в                                                 виде:  V2 = V1 + V2 1.
Скорость мотоциклиста относительно НСО равна геометрической сумме скорости
колонны и скорости мотоциклиста относительно колонны.

3. Отразим на рисунке – чертеже процесс,
описанный в условии задачи.

 Обозначим колонну прямоугольником, и совместим её конец (начало ПСО) с
началом НСО в начальный момент времени  (t = 0). 

Укажем скорости V1 и V2 (рис. а).

4. Отразим геометрически закон сложения скоростей, выяснив, что
произойдет через 1 час.

5. Сравним чертеж и формулу закона. Убедимся, что V2 = V1 + V2 1
соответствует геометрическому чертежу (рис. б).

6. Найдем проекции скоростей и вычислим время t` .

V2 = V1 + V2 1

V2 1 = V2 – V 1

Определить путь можно алгебраически по известной формуле ( S.=V× t) и
проиллюстрировать чертежом (рис. в, г ) при t = t1=0,1 ч.

По закону сложения перемещений Sм.з = Sк.з. + Sм.к

где Sм.з – перемещение мотоциклиста за 0,1 часа относительно Земли

Sм.к. –  перемещение мотоциклиста за 0,1 часа относительно колонны,

Sк.з. – перемещение колонны за 0,1 часа относительно Земли.

Произведя вычисления  Sм.з = 6
км.

Ответ: через 0,1 часа мотоциклист достигнет головной машины колонны,
при этом пройдет путь 6 км.

Задача № 6 

Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в
течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин.
Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся
эскалатору ?

Дано:

        tэ.з. = 1 мин. =60 с.         Примем за НСО – Землю, за ПСО –
эскалатор,

        tч.э. = 3 мин. = 180 с       движущееся тело – человек.

        tч.з. – ?                             tэ.з. – время движения
эскалатора относительно НСО,

                                           tч.э. – время движения
пассажира относительно ПСО,

                                              tч.з. – время движения
пассажира относительно НСО.

2. Запишем закон сложения скоростей  Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э..  Скорость
человека относительно НСО (идущего вверх по движущемуся эскалатору) равна
геометрической сумме скорости эскалатора относительно НСО и скорости человека
относительно ПСО ( неподвижному эскалатору).

3.

4.                   

 5.  Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э.        

                 Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э.

  – скорость
движения человека относительно эскалатора,     – скорость движения эскалатора относительно
Земли,  – скорость
движения человека относительно Земли. Подставив в полученную формулу,  получим:

                                   

Так как путь, пройденный человеком один и тот же, то

,      ,    

        Ответ: пассажир идущий вверх по движущемуся эскалатору
поднимется за 45 с.

Примерные вопросы к учащимся (студентам) по анализу и решению задач на
относительность можно сформулировать следующим образом.

Движение каких тел рассматривается в задаче ?

Что известно о движущихся телах ?

С какими телами можно связать подвижную и неподвижную системы отсчета ?

Какой момент времени можно принять за начальный ?

Как на чертеже отразить начальные условия состояния тел ?

Как записать закон сложения скоростей (или перемещений) для данной
задачи ?

В какой точке чертежа (графика) будет находится начало отсчета
подвижной системы относительно неподвижной через единицу времени (если речь
идет о скоростях движения) ?

Как это отразить на чертеже ?

В какой точке чертежа будет находится движущееся тело относительно НСО
и ПСО ?

Как геометрически отразить процесс перемещения тел за единицу времени?

Сравните геометрический чертеж с законом сложения скоростей ? Сделайте
вывод.

Найдите проекции скоростей, проведите вычисления искомой величины.

При необходимости можно напомнить основные формулы перемещения и
координатный метод решения задач.

Данная статья является исходным моментом для разработки методики
решения задач на относительность движения. Дальнейшее её развитие возможно на
пути рассмотрения движения тел относительно разных систем отсчета.

Материал статьи может быть использован студентами физмат факультетов и
учителями физики базовой школы.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru

119. Человек начинает подниматься по движущемуся
вверх эскалатору метро с ускорением 0,2 м/с². добежав до середины
эскалатора, он поворачивает и начинает спускаться вниз с тем же ускорением.
Сколько времени человек находился на эскалаторе, если длина эскалатора 105
м, скорость движения эскалатора 2 м/с.

При
подъеме по эскалатору модуль перемещения человека равен

а при спуске

где t₁ и t₂ – время подъема и спуска соответственно.

Эти
выражения приводят к двум квадратным уравнениям

Решая
эти уравнения, находим:

Время
нахождения человека на эскалаторе t = t₁ + t₂, поэтому

Подставляя
числовые значения, найдем

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим