Как найти скорость если известно угловое ускорение

Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела в теории и на примерах решения задач.

Угловая скорость

Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющуюся приращением угла поворота тела за некоторый промежуток (единицу) времени.

Обозначение угловой скорости: ω (омега).

Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси.

С этим телом свяжем воображаемую плоскость П, которая совершает вращение вместе с заданным телом.

Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Изменение этого угла с течением времени есть закон вращательного движения:

Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения Oz. Угол измеряется в радианах.

Быстрота изменения угла φ (перемещения плоскости П из положения П₁ в положение П₂) – это и есть угловая скорость:

Приняв вектор k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Формулы угловой скорости

Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:

1. если известно количество оборотов n за единицу времени t:
   
2. если задан угол поворота φ за единицу времени:
   
3. если известна окружная скорость точки тела v и расстояние от оси вращения до этой точки r:
   

Размерности угловой скорости:

• Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c^-1].
• Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Определение угловой скорости

Пример: Диск вращается относительно своего центра.
Известна скорость v некоторой точки A, расположенной на расстоянии r от центра вращения диска.

Определить величину и направление угловой скорости диска ω, если v = 5 м/с, r = 70 см.

Таким образом, угловая скорость диска составляет 7,14 оборотов в секунду. Направление угловой скорости можно определить по направлению скоростей её точек.

Вектор скорости точки A стремится повернуть диск относительно центра вращения против хода часовой стрелки, следовательно, направление угловой скорости вращения диска имеет такое же направление.

Другие примеры решения задач >

Угловое ускорение

Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:

Обозначение: ε (Эпсилон)

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с²], [с^-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает (вращение ускоряется), а при отрицательном — уменьшается (вращение замедляется).

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

Расчет углового ускорения

Пример: По заданному значению касательной составляющей полного ускорения a_τ точки B, расположенной на расстоянии r от центра вращения колеса.

Требуется определить величину и направление углового ускорения колеса ε, если a_τ = 10 м/с², r = 50 см.

Угловое ускорение колеса в заданный момент времени составляет 20 оборотов за секунду в квадрате. Направление углового ускорения определяется по направлению тангенциального ускорения точки.

Здесь, угловое ускорение направлено противоположно направлению угловой скорости вращения колеса. Это означает, что вращение колеса замедляется.

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω = 1,5 с^-1 = 9,42 рад/с.

Смотрите также:

• Примеры расчета угловой скорости и ускорения
• Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Угловое ускорение – что это?

Угловое ускорение (varepsilon) – физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости при движении тела.

Единица измерения: (lbrackvarepsilonrbrack=frac1{с^2}) или (с^{-2})

Угловая скорость

Круговым движением точки вокруг оси называют движение, где траектория точки – окружность с центром, который лежит на оси вращения, перпендикулярной плоскости окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Угловая скорость (omega) – векторная физическая величина, характеризующая скорость изменения угла поворота при круговом движении точки или твердого тела.

При движении по окружности (круговом движении) скорость меняет свое направление, значит такое движение не может считаться равномерным, оно ускоренное или равноускоренное (в частных случаях).

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения.

Основные формулы для вычисления угловой скорости

Для равномерного вращения (когда за равные отрезки времени тело поворачивается на один и тот же угол):

1. (omega=frac nt), где (n) – количество оборотов за единицу времени (t).
2. (omega=fracvarphi t), где (varphi) – угол поворота, (t) – время, за которое он совершен.
3. (omega=frac{2pi}T), где (Т) – период обращения (время, за которое тело/точка совершает один оборот).
4. (omega=2pinu), где (nu) – числом оборотов в единицу времени.

Единица измерения угловой скорости в СИ: (lbrackomegarbrack=frac{рад}с)

Связь между угловой скоростью и нормальным (центростремительным) ускорением

Центростремительное (нормальное) ускорение (a_n) – это составляющая полного ускорения, которая характеризует изменение направления вектора скорости при криволинейном движении. Другим компонентом полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно характеризует изменение величины скорости.

Центростремительное ускорение определяется по формуле:

 (a_n=frac{V^2}R),

где (V) – скорость движения, (R) – радиус окружности.

Единица измерения в СИ: (lbrack a_nrbrack=frac м{с^2})

Итак, формула связывающая эти две величины:

(a_n=omega^2R)

Основные формулы для расчета углового ускорения

Угловое ускорение маховика

(varepsilon=fracomega t=frac{2pi n}t), где (n) – количество оборотов за единицу времени (t).

Среднее угловое ускорение

Средним угловым ускорением тела называют отношение изменения угловой скорости к отрезку времени, за который оно совершилось.

(leftlanglevarepsilonrightrangle=frac{triangleomega}{triangle t})

Тангенциальное ускорение

Тангенциальным (касательным) ускорением (a_tau) называют ту составляющую полного ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения в данной точке. Тангенциальное ускорение описывает изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

(a_tau=varepsilon r), где (varepsilon) – угловое ускорение, (r) –  радиус кривизны траектории в заданной точке.

Мгновенное угловое ускорение

Мгновенное угловое ускорение (alpha) есть первая производная угловой скорости по времени или вторая производная углового перемещения по времени.

(alpha=tg(varepsilon)=frac{;domega}{dt}=frac{d^2phi}{dt^2})

1.Равномерное
движение по окружности

2.Угловая скорость
вращательного движения.

3.Период вращения.

4.Частота вращения.

5.Связь линейной
скорости с угловой.

6.Центростремительное
ускорение.

7.Равнопеременное
движение по окружности.

8.Угловое ускорение
в равнопеременном движении по окружности.

9.Тангенциальное
ускорение.

10.Закон равноускоренного
движения по окружности.

11. Средняя угловая
скорость в равноускоренном движении
по окружности.

12.Формулы,
устанавливающие связь между угловой
скоростью, угловым ускорением и углом
поворота в равноускоренном движении
по окружности.

1
.Равномерное
движение по окружности
– движение, при котором материальная
точка за равные интервалы времени
проходит равные отрезки дуги окружности,
т.е. точка движется по окружности с
постоянной по модулю скоростью. В этом
случае скорость равна отношению дуги
окружности, пройденной точкой ко времени
движения, т.е.

и называется
линейной скоростью движения по окружности.

Как и в криволинейном
движении вектор скорости направлен по
касательной к окружности в направлении
движения (Рис.25).

2. Угловая
скорость в равномерном движении по
окружности
– отношение угла поворота радиуса ко
времени поворота:

В равномерном
движении по окружности угловая скорость
постоянна. В системе СИ угловая скорость
измеряется в(рад/c).
Один радиан – рад это центральный угол,
стягивающий дугу окружности длиной
равной радиусу. Полный угол содержит

радиан, т.е. за один оборот радиус
поворачивается на угол

радиан.

3. Период
вращения –
интервал времени Т, в течении которого
материальная точка совершает один
полный оборот. В системе СИ период
измеряется в секундах.

4. Частота
вращения –
число оборотов

,
совершаемых за одну секунду. В системе
СИ частота измеряется в герцах ( 1Гц =
1
)
. Один герц – частота, при которой за
одну секунду совершается один оборот.
Легко сообразить, что

Если за время t
точка совершает n
оборотов по окружности то

.

Зная период и
частоту вращения, угловую скорость
можно вычислять по формуле:

или

5 Связь
линейной скорости с угловой.
Длина дуги окружности равна

где
центральный
угол, выраженный в радианах, стягивающий
дугу

радиус
окружности. Теперь линейную скорость
запишем в виде

,
где

.

Ч
асто
бывает удобно использовать формулы:

или

Угловую скорость часто называют
циклической частотой, а частоту

линейной
частотой.

6. Центростремительное
ускорение.
В равномерном движении по окружности
модуль скорости остаётся неизменным

,
а направление её непрерывно меняется
(Рис.26). Это значит, что тело, движущееся
равномерно по окружности, испытывает
ускорение, которое направлено к центру
и называется центростремительным
ускорением.

Пусть за промежуток
времени

прошло путь равный дуге окружности

.
Перенесём вектор

,
оставляя его параллельным самому себе,
так чтобы его начало совпало с началом
вектора

в точке В. Модуль изменения скорости
равен

,
а модуль центростремительного ускорения
равен

На Рис.26 треугольники
АОВ и ДВС равнобедренные и углы при
вершинах О и В равны, как углы с взаимно
перпендикулярными сторонами АО
и
ОВ

Это значит, что треугольники АОВ и ДВС
подобные. Следовательно

Если

то
есть интервал времени

принимает сколь угодно малые значения,
то дугу

можно
приближенно считать равной хорде АВ,
т.е.

.
Поэтому можем записать

Учитывая,
что ВД=
,
ОА=R
получим

Умножая обе части последнего равенства
на

,
получим

и далее выражение для модуля
центростремительного ускорения в
равномерном движении по окружности:

.
Учитывая,
что

получим две часто применяемые формулы:

,

.

Итак, в равномерном
движении по окружности центростремительное
ускорение постоянно по модулю.

Легко сообразить,
что в пределе при

,
угол

.
Это значит, что углы при основании ДС
треугольника ДВС стремятся значению

,
а вектор изменения скорости
становится
перпендикулярным к вектору скорости

,
т.е. направлен по радиусу к центру
окружности.

7. Равнопеременное
движение по окружности
– движение по окружности, при котором
за равные интервалы времени угловая
скорость изменяется на одну и ту же
величину.

8. Угловое
ускорение в равнопеременном движении
по окружности
– отношение изменения угловой скорости
к интервалу времени

,
в течении которого это изменение
произошло, т.е.

,

где

начальное
значение угловой скорости,

конечное
значение угловой скорости,

угловое ускорение, в системе СИ измеряется
в

.
Из последнего равенства получим формулы
для вычисления угловой скорости

и

,
если

.

Умножая обе части
этих равенств на

и учитывая, что

,

–
тангенциальное ускорение, т.е. ускорение,
направленное по касательной к окружности
, получим формулы для вычисления линейной
скорости:

и

,
если

.

9. Тангенциальное
ускорение
численно равно изменению скорости в
единицу времени и направлено вдоль
касательной к окружности. Если

>0,

>0,
то движение равноускоренное. Если

<0
и

<0
– движение.

10. Закон
равноускоренного движения по окружности.
Путь, пройденный по окружности за время

в равноускоренном движении, вычисляется
по формуле:

.

Подставляя сюда

,

,

сокращая на

,
получим закон равноускоренного движения
по окружности:

,
или

,
если

.

Если же движение равнозамедленное, т.е.

<0,
то

.

1
1.Полное
ускорение в равноускоренном движении
по окружности.
В равноускоренном движении по окружности
центростремительное ускорение с
течением времени возрастает, т.к.
благодаря тангенциальному ускорению
возрастает линейная скорость. Очень
часто центростремительное ускорение
называют нормальным и обозначают как

.
Так как

полное ускорение в данный момент
определяют по теореме Пифагора

(Рис.27).

12. Средняя
угловая скорость в равноускоренном
движении по окружности.
Средняя линейная скорость в равноускоренном
движении по окружности равна

.
Подставляя сюда

и

и сокращая на

получим

.

Если

,
то

.

12. Формулы,
устанавливающие связь между угловой
скоростью, угловым
ускорением
и углом поворота в равноускоренном
движении по окружности.

Подставляя в
формулу

величины

,

,

,
,

и сокращая на

,
получим

.

Если

,
то

и далее

,

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #