Как найти скорость газа в трубе

Помощник ГИП

Группа: Друзья

Unit Converter

Проводимость канала определяет его способность транспортировать газ. Она выражается в единицах объема газа, проходящего через данное сечение в единицу времени. Зависимости для расчета проводимости элемента, работающего в различных условиях, являются весьма сложными и зависят от режима течения, а также от геометрических параметров канала и свойств его поверхности. Расчеты проводимости и потока газа при турбулентном режиме течения трудно трактовать аналитически. Количественное определение параметров вязкостного потока также представляет трудности, поскольку зависит не только от формы канала, но и от давления газа. Однако при тех диапазонах давлений, которые имеют место в условиях высокого вакуума, поток является молекулярным, а не вязкостным.

Уравнения для расчета параметров вязкостного потока

В общем случае уравнения для расчета проводимости и потока газа при вязкостном режиме течения получены для трубопроводов и каналов, имеющих сечение простой геометрической формы – круглое или прямоугольное. Эти выражения используются, например, для расчета времени, необходимого для откачки сосуда через трубопровод, имеющий круглое или прямоугольное поперечное сечение.

Течение в трубопроводах круглого сечения

Поток газа по прямому трубопроводу круглого сечения в условиях вязкостного режима определяется уравнением Пуазейля:

$$frac{Q}{P_{1}-P_{2}}=K frac{d^{4}P}{eta L}, (60)$$

где d – диаметр трубы; L – длина трубопровода; η – динамическая вязкость газа; р – среднее давление в трубопроводе; р₁ и р₂ – давления на противоположных концах трубы.
Для сухого воздуха при 20 °С данное уравнение приобретает вид:

$$Q= frac{750d^{4}bar{P}}{L}(P_{1}-P_{2}), (61)$$

где Q – поток газа, Торр – л/с; d – диаметр трубопровода, см; L – длина трубопровода, см; р – это давление, Торр.

Проводимость круглого трубопровода, л/с, для воздуха при 20 °С приведено ниже:

$$C= frac{2,94pd^{4}}{L}, (62)$$

Течение в прямоугольных каналах

Уравнение Пуазейля для потока воздуха при 20 °С, текущего по прямоугольному каналу с большей стороной сечения а и меньшей b, имеет следующий вид, л/с:

$$C= frac{30a2b2KP}{L}, (63)$$

где К — это коэффициент формы, значение которого зависит от b/а.

Как можно видеть, проводимость прямоугольной диафрагмы (отверстия) быстро увеличивается при переходе сечения от прямоугольной щели к квадрату.
Так же, как и в случае круглого трубопровода, выражение для С позволяет получить соотношение для объемного потока газа в зависимости от перепада давлений в канале.

$$C= frac{pK}{Delta p}, (64)$$

где

$$F= frac{Cp}{Delta p}, (64)$$

Таким образом,

$$K= frac{30a_{2}b_{2}K}{L} cdot Delta p, (65)$$

л/с.

Уравнения для расчета параметров молекулярного потока

При низких значениях давления межмолекулярные столкновения происходят реже, чем столкновения со стенкой, поэтому последние определяют параметры газового потока по каналу. Проводимость канала в условиях молекулярного потока зависит от двух факторов:

1. Скорости, с которой молекулы поступают в канал.
2. Вероятности прохождения молекул по системе.

Первый фактор зависит от площади сечения входа в систему, а последний определяется последующей серией столкновений со стенками, в результате которых молекула в конечном итоге перемещается по каналу или отбрасывается обратно в откачиваемый сосуд.
Рассмотрим вначале случай очень тонкой диафрагмы в пластине. В данном случае для определения проводимости диафрагмы нас интересует ее площадь А, а не свойства стенок канала. Объем газа, проходящего через диафрагму – ее проводимость – составляет:

$$C_{a}= frac{1}{4}AV=(frac{2}{p})^{-1} – V^{0}A, (66)$$

если молекулы имеют распределение скоростей по Максвеллу. Значения проводимости зависят от молекулярной массы и кинетической энергии. Случай, когда столкновения молекул со стенками трубопровода являются более важными, чем проводимость отверстия, рассмотрен ниже.

Формула Кнутсена

Проводимость С_Υотрезка длинной трубы длиной L с переменной площадью сечения А и периметром Н была рассчитана Кнудсеном и составляет:

$$C_{Upsilon} = frac{4}{3}  sqrt{ frac{H( delta)}{A^{2} L} cdot de }. (67)$$

Были приняты следующие допущения:

1. Длина трубопровода значительно больше диаметра.
2. Направление движения отскочивших молекул после столкновения со стенками не зависит от направления их движения до столкновения.
3. Угловое распределение отскочивших молекул подчиняется закону косинуса.

Допущение 1 предполагает, что влияние отверстия является незначительным, а величина проводимости, получаемая из уравнения (67), относится к молекулам внутри трубы, удаленным от отверстия. Для получения приближенных выражений для проводимости всей трубы нужно включить последовательную проводимость отверстий. Карлсон приводит формулу для трубопровода с периметром Н, площадью Л и длиной L:

$$C_{a}=1+ frac{3}{16} cdot 9 frac{LH}{A}). (58)$$

Коэффициент Клаузинга

Проводимость длинного трубопровода связана с проводимостью входного отверстия коэффициентом [1 +3/16(LH/A)]^-1 C_a. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность случайного входа молекулы в отверстие и ее прохождения до самого конца трубопровода.

Целесообразно рассматривать проводимость с точки зрения проводимости отверстия и соответствующей вероятности прохождения молекулы (коэффициента Клаузинга), поэтому

$$C=CA cdot P_{1 to 2}= 1/4vA_{1}P_{1to 2}. (69)$$

Так как проводимость не зависит от направления движения молекул,

$$A_{1}P_{1 to 2} = A_{2} P_{1 to 2}. (70)$$

Примеры. Выражение для потока газа по длинному прямому трубопроводу было дано Кнудсеном:

$$Q= frac{ pi d^{3/2}}{L}$$

$$Q=( pi d^{3/2}/L)n_{a}(P_{1}-P_{2}), (71)$$

где d – диаметр трубопровода; L – длина трубопровода; n_а – средняя скорость молекулы; р₁ и р₂ – давления на противоположных концах трубопровода.
Для сухого воздуха при 20 °С d и L, выраженных в дюймах, а р – в Торр, данное уравнение принимает следующий вид:

$$Q=(80d^{3}/L)n_{a}(p_{1}-p_{2}), (72)$$

Приблизительные значения некоторых вероятностей прохождения имеют точность в пределах + 10%. Это разнообразные методы, которые включают аналитические методы, расчеты по методу пробной частицы Монте-Карло и методу вариаций. Карлсон исследовал различные геометрические формы и ссылается на соответствующие источники. Примеры числовых расчетов можно найти в работе Карлсона.