Как найти скорость изменения скорости

Есть ряд задач, в которых есть скорости в начале V, м/с и в конце Vo, м/с процесса, ускорения a, м/с ², пройденное расстояние S, м, а вот времени нет (секундомер забыли 🙂 )! В этом случае потребуется так называемая “Формула без времени”.

Эту формулу проще выучить, чем каждый раз выводить из “базовых” формул и поэтому её мы можем найти в наших шпаргалках (статья канала “Шпаргалки по Физике“). Но физический смысл этой формулы не очень понятен, да и выглядит она как-то сложновато. Попробуем понять откуда она взялась, может быть и не такой страшной будет.
Начнём с простых формул:

Выразим из 3-ой формулы время:

Вспоминаем формулу пройденного расстояния и переписываем
формулу 2:

В 5-ой формуле время заменяем правой частью формулы 4:

Упрощаем формулу 6

И вновь мы пришли к нашей формуле, но теперь она выглядит более понятой и физически законной:

Заключение

Надеюсь, одной сложной формулой стало меньше и мы двигаемся дальше по пути изучения физики ( Статья канала ” Работаем с Физикой на сайте “Решу ЕГЭ“).

Автор с благодарностью примет любые пожертвования на развитие канала “От сложного к простому” https://money.yandex.ru/to/4100170126360

Как находить изменение скорости

Для нахождения изменения скорости определитесь с типом движения тела. В случае если движение тела равномерно, изменение скорости равно нулю. Если тело движется с ускорением, то изменение его скорости в каждый момент времени можно узнать, если отнять от мгновенной скорости в данный момент времени его начальную скорость.

Вам понадобится

• секундомер, спидометр, радар, рулетка, акселерометр.

Инструкция

Определение изменения скорости произвольно движущегося по прямой траекторииС помощью спидометра или радара измерьте скорость тела в начале и конце отрезка пути. Затем от конечного результата отнимите начальный, это и будет изменение скорости тела.

Определение изменения скорости тела, движущегося с ускорениемНайдите ускорение тела. Используйте акселерометр или динамометр. Если известна масса тела, тогда силу, действующую на тело, поделите на его массу (a=F/m). После этого измерьте время, за которое происходил процесс изменения скорости. Чтобы найти изменение скорости, умножьте значение ускорения на время, за которое происходило это изменение (Δv=a•t). Если ускорение измерить в метрах на секунду в квадрате, а время – в секундах, то скорость получится в метрах на секунду. Если нет возможности замерить время, но известно, что скорость менялась на определенном отрезке пути, спидометром или радаром, измерьте скорость в начале этого отрезка, затем с помощью рулетки или дальномера измерьте длину этого пути и ускорение. Любым из вышеописанных методов измерьте ускорение, которое действовало на тело. После этого найдите конечную скорость тела в конце участка пути. Для этого возведите начальную скорость в квадрат, прибавьте к ней произведение длины участка на ускорение и число 2. Из результата извлеките квадратный корень. Чтобы найти изменение скорости, от полученного результата отнимите значение начальной скорости.

Определение изменения скорости тела при поворотеЕсли изменилась не только величина, но и направление скорости, то найдите ее изменение через векторную разность начальной и конечной скорости. Для этого измерьте угол между векторами. Затем от суммы квадратов скоростей отнимите удвоенное их произведение, умноженное на косинус угла между ними: v1²+v2²-2v1v2•Cos(α). Из полученного числа извлеките квадратный корень.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

изучает
механическое движение, то есть перемещение
одних тел относительно других.

Глава 1. Кинематика

раздел
механики, в котором изучается движение
тел без выяснения причин этого движения.

1.1. Закон движения материальной точки

Материальная
точка
– тело,
размером которого можно пренебречь в
данной задаче (размеры тел намного
меньше расстояний между ними; тела
движутся поступательно).



Рис.
1.1.1

Система
отсчета
выбирается
для описания движения тел. Система
отсчета включает тело отсчета (относительно
которого рассматривается движение),
связанную с ним систему координат и
способ отсчета времени (часы) (рис.
1.1.1).

Положение
материальной точки в пространстве
задается
радиусом–вектором

,
или его
проекциями на оси

(координатами

).
Связь
этих величин определяет формула

,
где

– единичные векторы (орты) осей

(рис.
1.1.1),
причем,

(теорема Пифагора).



или

.

Закон
движения
представляет зависимость
радиуса-вектора

( или координат

)
от времени
t
и
позволяет определить положение движущейся
материальной точки в любой момент:

Эти соотношения
связаны принципом
суперпозиции движений:
любое сложное движение в пространстве
можно представить суммой трех независимых
прямолинейных движений вдоль осей

Траектория
– линия,
по которой
движется тело (рис.
1.1.1).

Путь

(м) – расстояние,
пройденное
телом по траектории за время

.

Перемещение

(м) –
вектор, соединяющий
начальную и конечную точки пути:

.

1.2. Скорость определяет быстроту движения.

 Математика.

Средней
скоростью
изменения
функции

называется отношение приращения функции

к приращению аргумента

:

.

Мгновенной,
истинной скоростью
изменения

называется предел, к которому стремиться
средняя скорость при

:

.
Таким образом,

Чтобы определить скорость изменения функции, надо взять производную этой функции по времени.

 Скорости
движения
определяют
быстроту движения.

При
движении материальной точки

становятся функциями от времени

,
поэтому, вводится три типа скоростей:



Рис.
1.2.1

Мгновенная
скорость

(м/с)
– первая
производная радиуса-вектора по времени:

.

Вектор мгновенной
скорости направлен по касательной к
траектории (рис. 1.2.1)

Координатные
скорости
–
проекции
вектора скорости

на оси координат (рис.
1.2.1)
– равны первой производной соответствующей
координаты по времени:

.

Скалярная,
путевая скорость

(м/с)
– первая
производная пути

по времени:

.

Связи
между скоростями.

Дифференцируя
принцип суперпозиции, получаем:

.

Так как

,
то

.

Из теоремы Пифагора
—

.

1.3. Ускорение

определяет
быстроту изменения скорости (скорость
изменения скорости).

Аналогично
скорости, можно ввести три типа ускорений.

Ускорение

(м/с²)
– первая
производная скорости

или вторая производная радиуса-вектора
по времени

:

.

Координатные
ускорения
– проекции
вектора ускорения

на оси координат:

.

 Связи
между ускорениями.

Дифференцируя
принцип суперпозиции два раза, получаем:

.

Из теоремы Пифагора:

.



Рис.
1.3.1

Тангенциальная
и нормальная составляющие ускорения.

В общем случае
ускорение

направлено под любым углом к скорости

.
Поэтому, его удобно представлять
векторной суммой двух ускорений
(рис.1.3.1):

.

– тангенциальное
ускорение –
направлено вдоль (против) направления
скорости и определяет
изменение скорости движения
материальной точки по
величине:

.

– нормальное
ускорение –
направлено перпендикулярно скорости.
Определяет изменение
скорости материальной точки по
направлению:

,

где

– радиус кривизны траектории.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Равноускоренное движение

О чем эта статья:

Основные определения

Ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. Иногда его определяют как скорость изменения скорости. Проще говоря, ускорение показывает, на какую величину изменяется скорость за 1 секунду.

Прямолинейное равноускоренное движение — это прямолинейное движение, при котором скорость тела изменяется на одну и ту же величину за равные промежутки времени. Под «изменяется» мы подразумеваем не только ускорение (т. е. увеличение скорости), но и замедление. Торможение также относится к движению с постоянным ускорением.

Несколько примеров равноускоренного движения:

разгон самолета перед взлетом;

торможение лыжника на горном склоне;

свободное падение в результате прыжка с парашютом;

велосипедист, спускающийся с горки;

мальчишки, играющие в догонялки.

Кстати, уже известное нам равномерное прямолинейное движение является частным случаем равноускоренного движения, при котором ускорение равно нулю.

Формула ускорения при равноускоренном движении

где a — ускорение тела [м/с 2 ],
V — мгновенная скорость [м/с],
V₀ — начальная скорость [м/с],
t — время [с].

Во время движения тела ускорение остается постоянным. График зависимости ускорения от времени имеет следующий вид:

При прямолинейном равноускоренном движении скорость тела в момент времени t численно равна площади фигуры под графиком зависимости ускорения от времени.

Если из формулы ускорения выразить мгновенную скорость, т. е. скорость в момент времени t, то мы получим уравнение скорости при равноускоренном движении:

V(t) = V₀ + at,
где V(t) — скорость в момент времени t [м/с],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ],
t — время [с].

Задача 1

Арсений, двигавшийся на электросамокате со скоростью 6 м/с, начал разгоняться на горке. Чeму будeт paвнa его cкopocть чepeз 10 с, ecли уcкopeниe пpи разгоне paвнo 0,5 м/с 2 ?

Решение.

По условию задачи Арсений ускоряется, следовательно, его скорость увеличивается. Подставим числа в закон изменения скорости при равноускоренном движении:

V(10) = 6 + 0,5 · 10 = 11 м/с.

Ответ: за 10 с Арсений разгонится до скорости 11 м/с.

Важно запомнить, что ускорение — это векторная величина. А взаимное расположение векторов ускорения и начальной скорости определяет характер движения. Рассмотрим анимацию.

Как мы видим, оранжевый автомобиль увеличивает свою скорость, т. е. совершает разгон. В то же время синий автомобиль уменьшает скорость и тормозит. В случае а движение называется равноускоренным. Вектор ускорения сонаправлен с вектором начальной скорости. Следовательно, мгновенная скорость растет с течением времени. В случае б движение называется равнозамедленным. Ускорение и начальная скорость имеют противоположные направления. Следовательно, мгновенная скорость со временем уменьшается.

Зачастую в задачах мы будем работать с проекцией ускорения на координатные оси. Если проекция ускорения на ось положительна, тело увеличивает свою скорость, а если отрицательна — уменьшает.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном движении

Из уравнения скорости следует, что зависимость скорости автомобиля от времени описывается линейной функцией, график которой — прямая.

На анимации мы видим разгон автомобиля с некоторой начальной скоростью. Проекция ускорения на ось Ox положительна. На графике этому соответствует монотонно возрастающая прямая, выходящая из точки (0; V₀).

При равнозамедленном движении прямая на графике будет убывать.

С помощью графика скорости можно определить ускорение тела как тангенс угла наклона графика к оси времени:

Из графика скорости получим формулу пути при равноускоренном движении тела.

Пройденный телом путь при равноускоренном движении численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. Вычислим площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника V₀t и треугольника .

Формула пути при равноускоренном движении

,
где S — путь, пройденный за время t [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ],
t — время [с].

В случае равноускоренного движения с неизвестным временем движения, но с заданными начальной и конечной скоростями пройденный путь можно найти с помощью следующей формулы:

,
где S — путь, пройденный за время t [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
V — скорость в момент времени t [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ].

Задача 2

Таксист Роман получил заказ и начал движение с ускорением 0,1 м/с 2 после долгой остановки. Ha кaкoм paccтoянии oт нaчaлa движeния его cкopocть cтaнeт paвнoй 15 м/с?

Решение.

По условию задачи таксист начал движение из состояния покоя, следовательно, начальная скорость равна нулю.

Поскольку время движения неизвестно, то определим путь по второй формуле:

Подставим числа и выполним расчет:

Ответ: на расстоянии 1 125 м от начала движения скорость такси станет равной 15 м/с.

Перемещение при равноускоренном движении

Важно напомнить разницу между путем и перемещением тела.

Путь — длина траектории. Если тело движется в любом направлении, то его путь увеличивается. Шагомер в вашем телефоне или смарт-часах измеряет именно путь. Для расчета пути по графику скорости необходимо найти площади отдельных фигур и сложить их, как было показано выше.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Чтобы по графику скорости найти перемещение, необходимо взять площади над осью времени со знаком «+», под осью — со знаком «−», а затем найти их сумму.

Например, на этом графике путь тела равен S₁ + S₂, а перемещение — S₁ − S₂.

Уравнение перемещения при равноускоренном движении

,
где S — перемещение за время t [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ],
t — время [с].

Вы, скорее всего, заметили удивительное сходство формул расстояния при равноускоренном движении. Так и есть, только помните, что проекция перемещения может принимать отрицательное значение, а путь — нет. В некоторых задачах путь и перемещение могут совпадать, но далеко не всегда.

Важнейшая задача кинематики — определение положения тела относительно других тел с течением времени. Для ее решения вам понадобится знать зависимость координаты от времени (уравнение движения).

Уравнение равноускоренного движения

,
где x(t) — координата в момент времени t [м],
x₀ — начальная координата [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с 2 ],
t — время [с].

Задача 3

Лыжник подъехал со скоростью 3 м/с к спуску длиной 36 м и съехал с него за несколько секунд, при этом его конечная скорость составила 15 м/с. Определите местонахождение лыжника спустя 2 с после начала движения из начала координат.

Решение.

Поскольку скорость лыжника увеличивается, он движется с положительным ускорением. Начальная скорость V₀ = 3 м/с. Начальная координата равна нулю.

Найдем ускорение из формулы пути при равноускоренном движении:

Составим уравнение движения лыжника:

По уравнению определим координату лыжника в момент времени t = 2 с:

Ответ: через 2 с после начала движения координата лыжника будет равна 12 м.

Графики равноускоренного движения

Математически зависимость координаты от времени при равноускоренном движении представляет собой квадратичную функцию, ее график — парабола.

Обратите внимание, что, когда проекция скорости меняет знак, автомобиль совершает разворот и движется в противоположном направлении.

Вся наша жизнь — в движении, а онлайн-уроки физики в Skysmart помогут вам ускориться на пути к освоению теории и покорению самых разнообразных задач!

Интегрирование дифференциальных уравнений прямолинейного движения материальной точки

Краткое изложение результатов

Здесь мы кратко изложим основные результаты, полученные при интегрировании дифференциальных уравнений прямолинейного движения материальной точки. Далее следует их подробное изложение.

Сила, зависящая от времени

Если на материальную точку действует сила, зависящая от времени , то дифференциальное уравнение прямолинейного движения вдоль оси Ox имеет вид:
.
Вводим ускорение и интегрируем это уравнение.
.
Здесь и далее A и B – произвольные точки на оси Ox . Заменим . Получаем закон изменения скорости от времени:
.
Интегрируя уравнение , получаем закон движения точки :
;
.

Сила, зависящая от скорости

Пусть на точку действует сила, зависящая от скорости . Составляем дифференциальное уравнение движения и интегрируем его:
.
Последнее уравнение дает в неявном виде зависимость . Решаем его. После чего интегрируем уравнение , как описано выше.

Есть второй способ интегрирования уравнения движения в случае зависимости силы от скорости. Для этого переходим от переменных x и t к переменным и x . Считаем, что скорость является функцией от координаты x :
;
.
Последнее уравнение дает в неявном виде зависимость . Далее интегрируем уравнение :
.
Это уравнение дает в неявном виде закон движения точки .

Сила, зависящая от перемещения

Пусть на точку действует сила, зависящая от перемещения . Составляем уравнение движения, переходим от переменных x и t к переменным и x , и интегрируем полученное дифференциальное уравнение:
;
;
.
Это уравнение представляет собой закон сохранения механической энергии для прямолинейного движения. Из него находим зависимость скорости от перемещения . После чего интегрируем уравнение , как это описано выше.

Дифференциальное уравнение движения точки

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки, находящейся под действием постоянных и переменных сил. Направим ось Ox системы координат вдоль линии движения точки. Пусть на нее действуют n сил, проекции которых на ось Ox мы обозначим как . Положение точки, при прямолинейном движении, однозначно определяется ее координатой x . Нам нужно определить закон движения точки , то есть закон изменения ее координаты со временем.

Уравнение движения точки определяется вторым законом Ньютона, который в случае прямолинейного движения имеет вид:
(1) .

Вместо того, чтобы в каждом уравнении выписывать все n сил, введем их равнодействующую, проекция которой, на ось x равна сумме проекций всех сил на эту ось:
.
Тогда задача сведется к движению материальной точки под действием одной силы . При этом уравнение движения примет наиболее простой вид:
(2) .
В дальнейшем, проекцию равнодействующей мы будем называть просто силой, действующей на точку.

Сила может быть как постоянной, так и зависеть от времени t , координаты x и от скорости . К сожалению, если зависит от всех перечисленных факторов, то не всегда возможно решить уравнение (2) аналитически. Поэтому мы рассмотрим те случаи, когда возможно получить аналитическое решение этого уравнения. Заметим, что если сила является постоянной, то уравнение (2) можно решать любыми, приводимыми ниже, способами.

Почему мы обозначаем в виде проекции силы на ось x , хотя рассматриваем только движение вдоль одной оси? – Потому что под обозначением силы R в виде одной буквы, часто подразумевается ее абсолютная величина: . Она имеет неотрицательные значения: . А когда мы пишем силу как проекцию , то подразумеваем, что эта величина может быть как положительной (если сила направлена вдоль оси x ), так и отрицательной (когда она направлена противоположно оси x ). В теоретической механике, в подобных случаях, иногда также говорят, что есть алгебраическое значение силы. Это относится не только к силе, ни и ко всем другим, рассматриваемым далее, векторным величинам.

Интегрирование уравнения движения с силой, зависящей от времени

Вначале рассмотрим случай, когда задан закон изменения силы со временем: . Перепишем уравнение (2), явно указав эту зависимость:
(t1) .

В этом уравнении время t является независимой переменной; координата x – зависимой переменной; – это вторая производная координаты по времени: . Масса m – это постоянная, то есть заданное число. С математической точки зрения, уравнение (t1) есть дифференциальное уравнение второго порядка, не содержащую зависимую переменную x в явном виде.

Решение такого уравнения выполняется с помощью подстановки
.
Тогда
.
Подставляя в (t1), мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка:
(t2) .
Выполняя подстановку, мы ввели новую переменную , равную производной координаты x по времени t . Эта производная является проекцией скорости точки на ось Ox . Таким образом, процесс решения разбивается на две части. Сначала мы, решаем уравнение (t2), и находим закон изменения скорости со временем: . Затем, используя уравнение , находим закон изменения координаты .

Упростим уравнение (t2), разделив его на массу m :
(t3) ,
где – ускорение точки. Поскольку зависимость силы от времени известна, то и зависимость ускорения от времени также известна.

Уравнение (t3) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.
;
(t4) ;
(t5) .
Здесь – постоянная интегрирования. Чтобы ее определить, нужно знать значение скорости в какой-либо момент времени . Если мы сможем выразить интеграл через известные функции, то подставив в (t5) значения времени и значение скорости в этот момент, мы сможем определить постоянную .

Для простых задач, формула (t5) вполне удобна. Но если интеграл не выражается через известные функции, то выполнить численное интегрирование по этой формуле нельзя. Поэтому найдем закон изменения скорости со временем в более удобном виде.

Прямолинейное движение точки M под действием силы R_x.

Пусть нам известно, что в момент времени , точка M находилась в положении A, имела координату и скорость . Рассмотрим произвольный момент времени . Пусть в этот момент времени точка M находится в положении B, с координатой и скоростью . Величины и нам пока не известны. Наша задача их найти.

Перепишем (t4) явно указав, что есть функция от t :
(t6) .
Интегрируем (t6) от момента времени до :
.
Слева – интеграл от полного дифференциала. Поэтому он интегрируется элементарно:
.
Здесь мы учли, что . В результате получаем:
;
.

Этот результат можно получить и несколько иначе, если в интеграле сразу перейти к переменной . Тогда пределы интегрирования станут и . В результате получим тоже самое:
.

Итак, мы нашли значение скорости в произвольный момент времени :
(t7) .
Заменим обозначение момента времени на t . В результате получим закон изменения скорости со временем t :
(t8) .

Интеграл справа записан не вполне корректно, хотя так часто пишут. Рассмотрим пример определенного интеграла . Он зависит от пределов интегрирования a и b , но не зависит от переменной интегрирования t . Можно сказать, что переменная t принимает заданные значения из отрезка , которые применяются только для вычисления интеграла. Поэтому для переменной интегрирования t можно использовать любое обозначение. Например, можно использовать переменную . Тогда .

В (t8) мы использовали одно и то же обозначение, как для верхнего предела интеграла, так и для переменной интегрирования. Это может привести к путанице. Поэтому используем для переменной интегрирования любое другое, не используемое обозначение, например . Тогда формула (t8) примет следующий вид:
(t9) .

Теперь найдем закон изменения координаты x от времени. Интегрируем уравнение
.
Разделяем переменные:
(t10) .
Здесь мы также можем выполнить интегрирование от A до B, но мы продемонстрируем другой способ, как получить результат в удобном виде, применяя неопределенный интеграл. Поскольку неопределенный интеграл определен с точностью до постоянной, то запишем его с нижним пределом интегрирования . Интегрируем (t10):
(t11) .
Найдем значение постоянной интегрирования . Для этого подставим сюда :
.
Далее учитываем, что значение координаты точки в момент времени нам известно: . Также учитываем, что интеграл в правой части имеет равные пределы интегрирования и поэтому равен нулю. В результате получаем:
.
Отсюда находим значение постоянной интегрирования: . В результате получаем закон движения точки:
(t12) .

Итак, мы нашли, что если на точку действует сила , то для определения ее закона движения, нужно сначала определить закон изменения скорости со временем:
(t7) .
А затем определить закон движения:
(t12) .
При этом мы полагаем, что нам известны скорость и координата в некоторый момент времени . Если бы мы проводили интегрирование через неопределенные интегралы в общем виде, то и были бы постоянными интегрирования и .

Постоянная сила

Разберем случай, когда действующая на точку сила имеет постоянное значение: . В этом случае ускорение также постоянно: . Интегрируем, используя таблицу неопределенных интегралов. Из (t7) находим закон изменения скорости со временем:
;
(t14) .
Мы видим, что скорость линейно изменяется со временем.

Подставляем в (t12) и находим закон движения точки:

;
(t15) .

Если в начальный момент времени , скорость точки была , а координата , то . Из (t14) и (t15) получаем:
;
.

Равномерное движение

Если проекция силы на ось Ox равна нулю: , то ускорение также равно нулю: . В этом случае из (t14) находим, что скорость точки постоянна:
.
Из (t15) находим, что координата линейно меняется со временем:
.

Если в начальный момент времени , скорость точки была , а координата , то ;
;
.

Интегрирование уравнения движения с силой, зависящей от скорости

Разберем случай прямолинейного движения материальной точки, когда действующая сила зависит от скорости . Такие задачи встречаются при движении в жидкой или газообразной среде, когда на точку помимо постоянных сил, действует сила трения, зависящая от скорости. В этом случае, уравнение движения имеет вид:
(v1) .
Разделим обе части уравнения на массу m :
(v2) ,
где – ускорение точки. Теперь нам известна зависимость ускорения точки от ее скорости. Уравнение (v2) не содержит в явном виде как зависимую переменную x , так и независимую переменную t . Поэтому его можно решать двумя способами.

Решение уравнения, определяя v_x(t)

Применим к уравнению (v2) метод решения дифференциального уравнения, не содержащего зависимую переменную в явном виде. Для этого, как и в предыдущем случае, делаем подстановку
.
Тогда
.
Подставляя в (v2), мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка:
(v3) .

Пусть, как и в предыдущем случае, в момент времени , точка находилась в положении A, имела координату и скорость . И пусть в произвольный момент времени , точка находится в положении B с координатой и скоростью . Нам нужно найти величины и .

Разделяем переменные.
;
.
Перепишем это уравнение, указав, что скорость является функцией от времени:
.
Интегрируем по времени от до :
.
В левой части сделаем замену переменной. От переменной t перейдем к переменной . При этом изменим пределы интегрирования учитывая, что при ; и при :
(v4) .

Заменим обозначения переменных , и переменной интегрирования . Подставим в (v4):
(v5) .
Это уравнение, в неявном виде, дает закон изменения скорости от времени t . Вычислив интеграл, и выполнив преобразование, мы можем выразить через t : .

Далее, по формуле (t12) ⇑ определяем закон движения материальной точки:
(t12) .

Решение уравнения, определяя v_x(x)

Выпишем уравнение (v2) еще раз.
(v2) .
Для применения этого метода, в качестве независимой переменной возьмем координату x , а в качестве зависимой – скорость . То есть считаем, что скорость является функцией от координаты: .

Выразим через переменные x и вторую производную координаты по времени:
.
Подставим в (v2) и разделяем переменные:
;
.
В левой части в явном виде запишем как функцию от x , и интегрируем по x от положения A до B:
;
.
В интеграле слева переходим от переменной x к :
(v6) .

Переобозначим переменные:
(v7) .
Это уравнение дает в неявном виде зависимость скорости от координаты:
.
Подставив сюда , получим для x дифференциальное уравнение первого порядка. Решаем его методом разделения переменных:
;
.
Интегрируем от положения A до B:
;
.
Заменим переменные:
(v8) .

Уравнение (v8) дает в неявном виде закон движения материальной точки .

Интегрирование уравнения движения с силой, зависящей от перемещения

Наконец рассмотрим случай прямолинейного движения материальной точки, когда действующая сила зависит от перемещения x . Такие задачи встречаются при движении в потенциальных полях – в гравитационных или электрических. Сюда также относится движение груза, прикрепленного к упругой пружине.

Выписываем уравнение движения для этого случая:
(x1) .
Это дифференциальное уравнение второго порядка. Оно не содержит независимую переменную t в явном виде. Также как и в предыдущем случае, применяем метод решения дифференциального уравнения, не содержащего независимую переменную в явном виде.

Перейдем к новым переменным. В качестве независимой переменной возьмем координату x , а в качестве зависимой – скорость . Считаем, что скорость является функцией от координаты: .

Выразим вторую производную координаты по времени через переменные x и :
;
Подставим в (x1) и разделяем переменные:
(x2) ;
.
Интегрируем по x от A до B:
(x3) .
Вычисляем интеграл, используя таблицу неопределенных интегралов:
;
.
Подставляем в (x3):
(x4) . Нетрудно видеть, что слева стоит изменение кинетической энергии материальной точки. Справа – работа, которую совершает сила при перемещении материальной точки из A в B. Само уравнение (x4) представляет собой теорему об изменении кинетической энергии точки для прямолинейного движения.

Вернемся снова к уравнению (x2).
(x2) .
Его можно проинтегрировать и другим способом.

Для этого представим правую часть в виде производной по координате:
,
где – координата произвольной заранее выбранной точки C .
Левую часть также представим в виде производной по координате:
.
Тогда (x2) можно записать в виде:
.

Поскольку производная по x от выражения в скобках равна нулю, то само выражение является постоянной, не зависящей от x величиной:
.
Такая форма записи, когда некоторая функция от переменных приравнивается постоянной, называется интегралом дифференциального уравнения. Перепишем его в следующем виде:
(x5) .
Здесь – кинетическая энергия точки; – потенциальная энергия, отсчитываемая от, произвольным образом выбранной, точки C ; E – постоянная интегрирования, которая в данном случае имеет определенный физический смысл – это полная механическая энергия материальной точки. Поэтому мы ее обозначили привычной для этого случая буквой E . Само уравнение (x5) представляет собой закон сохранения механической энергии. С математической точки зрения, энергия E является интегралом дифференциального уравнения, или, как говорят в механике, интегралом движения точки. То есть величиной, сохраняющей при движении постоянное значение.

Выше мы пришли к выводу, что постоянная интегрирования E не зависит от координаты x , но ничего не сказали о ее зависимости от времени. Однако, для одномерного движения, со временем может изменяться только одна координата x . Поскольку постоянная E от нее не зависит, то она не зависит также и от времени t . Поэтому полная механическая энергия сохраняет постоянное значение и в различные моменты времени.

Нетрудно видеть, что формулировки (x4) ⇑ и (x5) ⇑ эквивалентны. Для доказательства, приравняем механическую энергию точки для двух положений A и B:
;

.
Здесь мы разбили интеграл от до на два интеграла – от до ; и от до . Интегралы от до сократились.

Найдем зависимость скорости точки от координаты. При этом мы считаем, что скорость точки в положении A нам известна. Рассмотрим два положения: A и B. Из (x4) ⇑ имеем:
,
где – работа, которая производит сила при перемещении точки из A в B. Наконец, заменим на x , и на . В результате получим искомую зависимость:
(x6) ,
где – работа, которая производит сила при перемещении материальной точки из A в точку с координатой x . Скорость определена с точностью до знака (плюс или минус). Знак нужно выбирать из начальных условий и исследования движения. Если в точке , то при достаточно малых значениях . Далее точка может остановиться и начать движение в обратную сторону. Тогда нужно выбрать знак минус, чтобы скорость стала отрицательной.

Теперь, зная зависимость , находим закон движения материальной точки. Для этого интегрируем уравнение:
;
;
;
.
Это уравнение дает в неявном виде зависимость координаты x от времени t .

Приложение к движению в пространстве

Приведенные выше результаты могут быть применимы и для некоторых случаев движения материальной точки в двухмерном или трехмерном пространстве.

Пусть нам известно, что в момент времени , материальная точка находилась в точке A, и имела скорость . Выберем трехмерную систему координат Oxyz , и распишем эти начальные условия по компонентам:
При ;
При ;
При .

Сила в пространстве, зависящая от времени

Пусть на материальную точку действует сила, зависящая от времени: . Составим уравнения ее движения:
.

Выпишем уравнение для координаты x с начальными условиями:
; при .
Здесь все необходимые величины известны, и они не зависят от значений других координат. Мы можем найти закон изменения координаты x со временем, применяя интегрирование уравнения движения с силой, зависящей от времени ⇑ для прямолинейного движения.

Выпишем уравнение для координаты y с начальными условиями:
; при .
Здесь также известны все необходимые величины, и они не зависят от значений других координат. Мы также можем найти закон изменения координаты y со временем, применяя интегрирование, как для прямолинейного движения.

Точно также мы можем найти закон изменения координаты z со временем. В этом случае говорят, что переменные разделились. Уравнения движения, составленные для каждой из координат, вместе с начальными условиями, не зависят от значений других координат. Поэтому каждое такое уравнение можно проинтегрировать отдельно. В результате мы получим закон движения материальной точки в трехмерном случае: .

Силы, приводящие к разделению переменных

Пусть теперь на точку действуют три взаимно перпендикулярные силы. И пусть одна из них зависит только от времени; вторая – от проекции скорости на направление силы; третья – от проекции радиус-вектора на направление силы.

Выберем систему координат Oxyz , оси которой направим вдоль направлений действующих сил. Тогда в этой системе координат отличными от нуля будут только три проекции сил: . Составляем уравнения движения:
;
;
.
Мы видим, что и в этом случае переменные разделились. Каждое из этих уравнений зависит только от одной переменной. И мы можем решить его, применяя изложенные выше методы. Все это применимо и к случаю, когда любая из этих сил является постоянной.

И, разумеется, тут могут быть различные вариации, приводящие к разделению переменных. Например, если зависящая от времени сила лежит в плоскости xy , а перпендикулярная ей сила зависит только от координаты z . В этом случае переменные также разделяются.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-10-2020

I. Механика

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия – достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) – это первая производная x(t). А зависимость a(t) – это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

[spoiler title=”источники:”]

http://1cov-edu.ru/mehanika/dinamika-tochki/pryamolinejnoe-dvizhenie/

http://fizmat.by/kursy/kolebanija_volny/garmonicheskoe

[/spoiler]



Как найти вектор изменения скорости

Чтобы найти, как направлено ускорение, надо уметь находить направление изменения скорости за очень малый промежуток времени. Рассмотрим сначала, как находить изменение скорости за некоторый промежуток времени. При выводе формулы для центростремительного ускорения (при движении тела по окружности) мы покажем, как найти изменение скорости за очень малый промежуток времени.Пусть скорость тела в момент времени была равна а в момент времени стала равной Изменение скорости равно разности скоростей и то есть Здесь показано, как графически находить разность скоростей.

Разделы учебника

• Ускорение

Кинематика.
2014