Как найти скорость изображения в собирающей линзе

2017-01-22   

Светящаяся точка находится на расстоянии $d$ от собирающей линзы и на расстоянии $h$ от ее главной оптической оси; при этом она движется со скоростью $vec{V}$. Найти скорость движения изображения светящейся точки, если фокусное расстояние линзы равно $F$.

Решение:

Разложим скорость светящейся точки $vec{V}$ на две составляющие $vec{V}_{1}$ и $vec{V}_{2}$, параллельную и перпендикулярную главной оптической оси линзы, и рассмотрим ее малые перемещения $vec{r}_{1} = vec{V}_{1} Delta t$ и $vec{r}_{2} = vec{V}_{2} Delta t$. Для перемещения вдоль оптической оси линзы имеем:

$frac{1}{d} + frac{1}{f} = frac{1}{F}, frac{1}{d-r_{1}} + frac{1}{f+r_{1}^{ prime}} = frac{1}{F}$, (1)

где $r_{1}^{ prime}$ — перемещение изображения светящейся точки вдоль главной оптической оси. Приравнивая левые части равенства (1), находим

$frac{1}{d-r_{1}} – frac{1}{d} = frac{1}{f} – frac{1}{f+r_{1}^{ prime}}$.

Отсюда следует, что

$frac{r_{1}^{ prime}}{r_{1}} = frac{f^{2}}{d^{2}}$. (2)

Теперь, используя первое из равенств (1), получаем с помощью (2)

$frac{r_{1}^{ prime}}{r_{1}} = frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}$.

Такое же соотношение, очевидно, справедливо и для скоростей точки $V_{1}$ и ее изображения $V_{1}^{ prime}$

$V_{1}^{ prime} = V_{1} frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}$. (3)

Для перемещения, перпендикулярного главной оптической оси, имеем:

$frac{h^{ prime}}{h} = frac{f}{d}, frac{h^{ prime} – r_{2}^{ prime}}{h – r_{2}} = frac{f}{d}$.

Из этих равенств следует

$frac{r_{2}^{ prime}}{r_{2}} = frac{f}{d}$.

Воспользовавшись формулой линзы, получаем

$frac{r_{2}^{ prime}}{r_{2}} = frac{F}{d-F}$.

Такое же соотношение справедливо и для отношения соответствующих скоростей точки и ее изображения:

$V_{2}^{ prime} = V_{2} frac{F}{d-F}$. (4)

Используя (3) и (4), можно найти вектор $vec{V}^{ prime}$ скорости изображения светящейся точки.

Отметим, что продольное увеличение тонкой линзы равно квадрату поперечного увеличения. Поэтому изображение объемного предмета не может быть в общем случае подобным самому предмету. Для сохранения геометрического подобия объемный предмет обязательно должен изображаться в натуральную величину. Поэтому, для того, чтобы с помощью тонкой линзы получить изображение объемного предмета, геометрически подобное самому предмету, нужно чтобы продольные размеры предмета были малы по сравнению с фокусным расстоянием линзы, а поместить предмет нужно на двойном фокусном расстоянии от линзы.

Ответ: $V_{1}^{ prime} = V_{1} frac{F^{2}}{(d-F)^{2}}, V_{2}^{ prime} = V_{2} frac{F}{d-F}$, где $V_{1} (V_{1}^{ prime})$ и $V_{2} (V_{2}^{ prime})$ – составляющие скорости предмета (изображения) вдоль и поперек главной оптической оси линзы.

Определение

Формула тонкой линзы — формула, связывающая три величины: расстояние от предмета до линзы, расстояние от изображения до линзы и фокусное расстояние линзы.

Условные обозначения:

• расстояние от предмета до линзы — d (м);
• расстояние от изображения до линзы— f (м);
• фокусное расстояние линзы — F (м).

Вывод формулы

Обратимся к рисунку, который мы использовали для объяснения правила построения изображений в собирающих линзах:

Видно, что треугольники АОВ и А₁В₁О подобные (по двум углам). Следовательно:

BOOB1=ABA1B1

По двум углам также являются подобными треугольники COF и FA₁B₁. Отсюда делаем вывод, что:

COA1B1=OFFB1

Линия предмета образует с частью главной оптической оси, перпендикуляром, проведенным из верхней точки к линзе, и частью самой линзы прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны:

AB=CO

Следовательно:

ABA1B1=COA1B1

Отсюда следует, что:

BOOB1=OFFB1

BO является расстоянием от предмета до линзы. Обозначим его за d. OB1 является расстоянием от линзы до изображения. Обозначим его за f. OF является фокусным расстоянием линзы. Обозначим его за F. FB1 является разностью расстояния от линзы до изображения и фокусного расстояния линзы. Поэтому это выражение мы можем записать так:

df=Ff−F

Избавимся от знаменателей и получим:

fd−Fd=fF

Или можно записать так:

fF+Fd=fd

Теперь все члены равенства поделим на произведение Ffd. В результате вычислений получим формулу тонкой линзы:

Формула тонкой линзы

1d+1f=1F

Поскольку величиной, равной обратной фокусному расстоянию, является оптическая сила, формулу тонкой линзы можно записать следующим образом:

1d+1f=D

Величины d, ƒ и F могут быть как положительными, так и отрицательными. Отметим (без доказательства), что при применении формулы тонкой линзы знаки нужно ставить перед членами уравнения согласно следующим правилам.

Правила расстановки знаков перед членами уравнения в формуле линзы

• Если линза собирающая, то ее фокус действительный, и перед членом 1F ставят знак «плюс» (1F).
• Если линза рассеивающая, то ее фокус мнимый, и перед членом 1F ставят знак «минус» (−1F).
• Если изображение действительное, то перед величиной 1d ставят знак «плюс» (1d).
• Если изображение мнимое, то перед величиной 1d ставят знак «минус» (−1d).
• Величина 1f всегда имеет знак «плюс», поскольку расстояние от предмета до линзы всегда положительное.

Иногда случается, что перед величинами F, f и d знаки неизвестны. Тогда при вычислениях перед ними ставят знаки «плюс». Но если в результате вычислений фокусного расстояния или расстояния от линзы до изображения либо до источника получается отрицательная величина, то это означает, что фокус, изображение или источник мнимые.

Пример №1. Фокусное расстояние линзы равно 10 см. Найти расстояние от предмета до линзы, если расстояние от нее до изображения составляет 15 см.

Переводить в СИ единицы измерения не будем, поскольку они однородны. Так как все величины выражены в см, то и ответ будет выражен в см.

Применим формулу тонкой линзы:

1d+1f=1F

1d+115=110

Умножим выражение на 150d:

150+10d=15d

5d=150

d=30 (см)

Увеличение линзы

Раньше мы уже упоминали, что изображение, полученное в линзе, может быть увеличенным или уменьшенным. Различие размеров предмета и изображения характеризуется увеличением.

Определение

Линейное увеличение — отношение линейного размера изображения к линейному размеру предмета. Линейное увеличение обозначают буквой Γ.

Чтобы найти линейное увеличение изображения предмета в линзе, снова обратимся к первому рисунку этого параграфа. Если высота предмета АВ равна h, а высота изображения А₁В₁ равна Н, то:

Γ=Hh

Мы уже выяснили, что треугольники АОВ и ОА₁В₁ подобны. Поэтому:

Hh=|f||d|

Где H — высота изображения предмета, h — высота самого предмета.

Отсюда вытекает, что увеличение линзы равно:

Γ=|f||d|

Пример №2. Предмет имеет высоту h = 2 см. Какое фокусное расстояние F должна иметь линза, расположенная от экрана на расстоянии f = 4 м, чтобы изображение указанного предмета имело высоту H = 1 м?

2 см = 0,02 м

Сначала применим формулы тонкой линзы:

1d+1f=1F

Она необходима, чтобы выразить фокусное расстояние линзы:

F=dfd+f

Расстояние от предмета до линзы неизвестно. Но его можно выразить из формулы увеличения линзы:

Γ=fd=Hh

Отсюда это расстояние равно:

d=fhH

Подставим полученное выражение в формулу фокусного расстояния линзы:

F=fhHffhH+f=f2hH·
Hfh+fH=fhH+h

F=fhH+h=4·0,021+0,02≈0,08 (м)=8 (см)

Алиса Никитина | Просмотров: 14.4k

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Решение задач на линзы имеет большое значение в контексте ЕГЭ по физике и других вступительных экзаменов, особенно для студентов, выбравших естественнонаучные направления. Задачи на линзы могут быть представлены в различных форматах, включая теоретические вопросы и практические задания, и могут быть частью как физического, так и математического разделов экзаменов. Понимание принципов работы линз и способности решать задачи на линзы являются необходимыми навыками для успешной сдачи экзаменов и продолжения образования в области физики, оптики и других естественных наук.

В этой статье мы говорили об изображениях, даваемые линзой. Она так же будет полезна при решении задач на линзы.

Линзы характеризуются величиной, которая называется оптической силой линзы. Оптическая сила обозначается буквой D.

За единицу оптической силы принята диоптрия (дптр). 1 дптр =

1
м

.

В задачах школьного курса, как правило речь идёт о тонких линзах. Тонкой линзой называют такую линзу, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с радиусами сферических поверхностей линзы и расстоянием предмета от линзы.

Формула тонкой линзы

Опыты и расчёты показывают, что между расстоянием d от предмета до линзы, расстоянием f от линзы до изображения и фокусным расстоянием линзы F существует соотношение, которое называется формулой тонкой линзы:

1
d

+

1
f

=

1
F

В этой формуле расстояние до изображения берут со знаком “плюс”, если изображение действительное, и со знаком “минус”, если изображение мнимое. Фокусное расстояние собирающей линзы берут со знаком “плюс”, а рассеивающей – со знаком минус.

Далее будет подразумеваться всегда тонкая линза.

Приступим к решению задач.

Задачи на линзы

Задача (Классическая)

Какое расстояние нужно выбрать между собирающей линзой и предметом, чтобы получить его прямое изображение, увеличенное в 2 раза? Известно, что оптическая сила линзы D=+10 дптр. Найдите это расстояние в сантиметрах и округлите до целого числа.

Решение:

Как мы знаем, с помощью собирающей линзы можно получить прямое (не перевёрнутое) увеличенное изображение только, если предмет находится между фокусом и линзой.

Из рисунка видно, что треугольники △АКО и △CDO подобны, т.к. оба треугольника прямоугольные и ∠O – общий. В задаче сказано, что изображение предмета должно быть увеличено в 2 раза. Значит, коэффициент подобия треугольников будет равен:

k
=

A
K

D
C

=
2

Следовательно,

f
=
2
d

Воспользуемся формулой для тонкой линзы. Изображение у нас мнимое, значит, перед f ставим знак минус.

1
d

−

1
f

=

1
F

=
D

1
d

−

1

2
d

=
D

1

2
d

=
D

d
=

1

2
D

=

1

2
⋅
10 дптр

=
0
,
05 м

Ответ: 5 см

Задача (Действительное изображение)

Найдите коэффициент увеличения изображения предмета.

a)

б)

Решение:

Решим пункт a.

Здесь изображение находится за двойным фокусом. Значит, как мы знаем, в этом случае изображение получается действительным, перевёрнутым, уменьшенным.

Чтобы узнать коэффициент увеличения, нужно найти отношение C₁A₁:CA. Другими словами, нужно найти коэффициент подобия треугольников △A₁C₁O и △ACO. Воспользуемся формулой тонкой линзы.

1
d

+

1
f

=

1
F

F – одна единица (1 клетка), d – 3 единицы (3 клетки).

1
3

+

1
f

=

1
1

f
=

3
2

Коэффициент подобия треугольников △A₁C₁O и △ACO:

k
=

f
d

=

1
,
5

3

=
0
,
5

Значит, коэффициент увеличения изображение тоже равен:

k
=

A

1

C

1

A
C

=
0
,
5

Решим пункт б.

Когда предмет находится между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы, то изображение получается действительным, увеличенным, перевёрнутым.

Нарисуем примерный рисунок, не соблюдая изначальный масштаб, для экономия места.

Здесь вновь получаются подобные треугольники △A₁C₁O и △ACO, и их коэффициент подобия покажет степень увеличения изображения.

На изначальном рисунке d = 5, F = 4. Применим формулу для тонкой линзы.

1
5

+

1
f

=

1
4

1
f

=

1
20

f
=
20

Коэффициент подобия треугольников △A₁C₁O и △ACO равен

k
=

f
d

=

20
5

=
4

k
=

A

1

C

1

A
C

=
4

Ответ: a) 0,5 б) 4

Исходя из этих примеров, можно сказать, что увеличение предмета в тонкой линзе будет равно

Г
=

Н
h

=

f
d

H – размер изображения, h – размер предмета, в м.

Задача (Пользуемся формулой)

На рисунке показан ход двух лучей от точечного источника света A через тонкую линзу.

Какова оптическая сила линзы, если одна клетка на рисунке соответствует 2 см ?

Решение:

Мы видим, что изображение точки A, будет действительным, т.к. лучи пересекаются за самой линзой.

Расстояние от точки до линзы равно d = 6 клеток ∙ 0,02 м = 0,12 м. Расстояние от линзы до изображения точки равно f = 12 клеток ∙ 0,02 м = 0,24 м. Применим формулу тонкой линзы.

1

0
,
12 м

+

1

0
,
24 м

=

1
F

=
D

D
=
12
,
5 дптр

Ответ: 12,5 дптр

Задача (Рассеивающая линза)

В тонкой рассеивающей линзе получено уменьшенное в 5 раз изображение предмета. Определите модуль фокусного расстояния линзы, если предмет находится на расстоянии d = 20 см от линзы.

Решение:

Воспользуемся формулой увеличения линзы. Изображение уменьшено, поэтому формула принимает перевёрнутый вид

d
f

=

0
,
2 м

f

=
5

f
=

0
,
2 м

5

=
0
,
04 м

Теперь не проблема найти фокусное расстояние.

В рассеивающей линзе фокусное расстояние в формулу тонкой линзы подставляем со знаком “минус”. Изображение получается в рассеивающей линзе мнимым, поэтому перед f тоже ставим знак “минус”.

1

0
,
2 м

−

1
0,04 м

=
−

1
F

F
=
0,05 м

Ответ: 0,05 м

Задача (Скорость изображения муравья)

Муравей движется перпендикулярно главной оптической оси тонкой собирающей линзы, которая имеет фокусное расстояние F. Он находится на расстоянии

8
3

∙F от линзы и движется со скоростью V = 5 см/с. Какая скорость u будет у движущегося изображения муравья?

Решение:

d
=

8
3

⋅
F

За 1 с муравей реально проползёт 5 см. Узнаем, сколько его изображение проползёт за 1 с.

{

x
5

=

f
d

1

8
F

3

+

1
f

=

1
F

Составим систему уравнений. Первое уравнение – это формула увеличения линзы, вторая – формула тонкой линзы.

Из второго уравнения выражаем f.

f
=

8
⋅
F

5

Подставляем в первое.

x
5

=

8
F

3

8
F

5

=
3 см

Получается за 1 с изображение муравья пройдёт 3 см.

Ответ: u = 3 см/c

Таким образом, решение задач на линзы требует понимания основных определений и формул, связанных с тонкими линзами. Важно уметь правильно выбирать знаки величин и следить за единицами измерения. Решение задач на линзы не только позволяет лучше понять оптику, но и развивает навыки анализа, логического мышления и применения математических методов.