Как найти скорость лодки в неподвижной воде

Привет! У тех, кто готовится к ОГЭ, возникает много вопросов по поводу задач на движение из второй части. И один из возможных вариантов таких задач – это задача про лодку, которая плывёт по течению и против течения. Сегодня разберем конкретный пример такой задачи:

Моторная лодка прошла 45 км против течения реки и вернулась в пункт отправления. При этом на обратный путь она затратила на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

• Шаг № 1

Давайте для начала разберемся в самой ситуации. У каждой моторной лодки есть двигатель (мотор), который приводит её в движение. Если лодка плывёт, например, по пруду со стоячей водой, то она двигается только благодаря мотору. Скорость лодки в данном случае называется собственная скорость лодки. Её ничего не подгоняет и ничего не тормозит. Именно скорость лодки в неподвижной (стоячей) воде (то есть её собственную скорость) и просят найти авторы задания. То, что нужно найти, в задачах обозначается за «Х».

Итак, собственная скорость лодки = Х.

Лодка будет плыть с собственной скоростью только в неподвижной воде. Если переместить её на реку, то мы столкнёмся с таким явлением, как течение. В реке вода не стоит на месте: она движется в определённую сторону. Скорость течения реки в нашем задании = 3 км/ч.

Что же произойдёт, если лодка будет плыть по течению? Во-первых, её будет приводить в движение мотор. А во-вторых, ее будет подгонять течение. Логично, что по течению лодка будет двигаться быстрее, чем в стоячей воде.

Но как же найти скорость лодки по течению? Очень просто! Она равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения реки.

Так как скорость течения нам известна по условию, а собственную скорость лодки мы уже обозначили за «Х», то нам лишь осталось подставить в формулу наши значения. То есть в нашем случае вычислить скорость лодки по течению можно так:

Vпо течению = Vсобственная + Vтечения

Vпо течению = Х + 3 км/ч.

А если лодка будет плыть против течения? В этом случае течение будет её не подгонять, а тормозить. Ведь вода движется в одну сторону, а лодка – в противоположную.

Значит теперь скорость будет меньше, чем в стоячей воде. Найти её можно так: вычесть из собственной скорости лодки скорость течения реки:

Вычислим скорость против течения для нашего случая:

Vпротив течения = Vсобственная – Vтечения

Vпротив течения = Х – 3 км/ч.

Отлично! Перед тем, как перейти к дальнейшим действиям, вспомним формулы для задач на движение:

• Шаг №2

Теперь давайте оформим таблицу, в которую занесем все наши данные. Так мы точно не запутаемся!

Для начала заполним столбик «Расстояние». Для пути против течения оно равно 45 км. Сказано, что лодка вернулась назад. В этом случае на обратном пути по течению она проплыла ровно столько же!

Со скоростями мы уже разобрались. Скорость по течению = Х + 3 км/ч, а против течения = Х – 3 км/ч.

Теперь разберемся со временем. Напомню, что оно вычисляется по формуле: расстояние поделить на скорость. Расстояния у нас есть, скорости тоже, и записать время нам ничего не мешает!

Отлично, все данные записаны, теперь переходим к основному решению!

• Шаг №3

Обратимся к условию ещё раз. Сказано, что на обратный путь по течению лодка затратила на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Так что теперь работаем со временем.

Давайте обозначим время движения против течения за t1, а время движения по течению t2. Если на обратный путь было затрачено на 2 часа меньше, то путь «туда» на 2 часа больше.

Из вышесказанного делаем вывод, что t1 > t2 на 2 часа. Это значит, что если из t1 вычесть t2, то получится 2.

t1 – t2 = 2

А теперь подставим в наше выражение t1 – t2 = 2 вместо t1 и t2 наши значения из таблицы. Тогда мы получим замечательное уравнение, которое и поможет нам прийти к ответу.

• Шаг №4

Мы получили дробно-рациональное уравнение. Это значит, что неизвестный «Х» стоит в знаменателе.

И первый шаг в решении подобных уравнений – это запись ОДЗ (области допустимых значений). ОДЗ показывает, каким числом «Х» может быть, а каким – нет.

«Х» стоит в знаменателе, а основное, что мы знаем про знаменатель – это то, что он не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Запишем знаменатели наших дробей и отметим, что они не равны нулю:

1) Х – 3 ≠ 0

2) Х + 3 ≠ 0

Продолжаем работать с этой записью, как с уравнением:

1) Х ≠ 3

2) Х ≠ – 3

Значит, ОДЗ: Х ≠ ±3. “Х” также должен быть больше нуля, так как скорость (а за “Х” мы обозначили именно её) не может быть отрицательной.

Итог шага №4: ОДЗ: Х ≠ ±3; Х > 0

• Шаг №5

Продолжаем работу с уравнением. Мы разобрались с ОДЗ, а значит, можем с чистой совестью избавиться от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) – это наименьшее число, которое делится на все знаменатели рассматриваемых дробей. В нашем случае это (Х – 3) (Х + 3). Он делится и на (Х – 3), и на (Х + 3). Вперед!

Чтобы лучше разобраться в сложных числовых махинациях, обратимся к подробной записи:

Обратите внимание, что дроби слева сокращаются, таким образом исчезает знаменатель.

Итак, вот что у нас получается:

45(х + 3) – 45(х – 3) = 2(х – 3)(х + 3)

Обратим внимание на скобки (х – 3)(х + 3). Они представляют собой разложенную разность квадратов. Вспомним эту формулу:

Скобки (х – 3)(х + 3) соответствуют части (a + b)(a – b) в формуле. Чтобы свернуть её обратно, нам нужно записать квадрат первого числа(Х^2), поставить знак минус, а затем записать квадрат второго числа (3^2 = 9).

45(х + 3) – 45(х – 3) = 2(х^2 – 9)

Предлагаю перенести все элементы в одну сторону. Напомню, что при переходе в противоположную сторону элемент должен поменять знак. То есть если справа мы видим 2(х^2 – 9), то перенести влево должны
– 2(х^2 – 9). При этом справа ничего не остаётся, поэтому ставим ноль. Приступим!

45(х + 3) – 45(х – 3) – 2(х^2 – 9) = 0

Теперь давайте раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

45(х + 3) – 45(х – 3) – 2(х^2 – 9) = 0

45х + 135 – 45х + 135 – 2х^2 + 18 = 0

Слагаемые 45х и – 45х в сумме дают ноль, поэтому их можно больше не записывать. Они «взаимоуничтожаются»

288 – 2х^2 = 0

Теперь перенесем все числовые значения вправо, а буквенные оставим слева, а затем продолжим решение:

– 2х^2 = – 288

x^2 = – 288/- 2

х^2 = 144

х = ±√144 = ±12.

Мы получили два корня. Корень – 12 нам не подходит, так как он отрицательный, а выше мы писали, что х > 0. А вот корень 12 удовлетворяет всем условиям, он нам подходит. Так как за “Х” мы обозначили собственную скорость лодки, которую и требуется найти в задании, то, решив это уравнение, мы получили ответ!

Ответ: 12 км/ч.

А вот решение без лишних пояснений:

Надеюсь, все было максимально понятно:)

До новых встреч!!

Как найти собственную скорость лодки

Решение задач на «движение по воде» многим дается с трудом. В них существует несколько видов скоростей, поэтому решающие начинаю путаться. Чтобы научиться решать задачи такого типа, надо знать определения и формулы. Умение составлять схемы очень облегчает понимание задачи, способствует правильному составлению уравнения. А правильно составленное уравнение – самое главное в решении любого типа задач.

Инструкция

В задачах «на движение по реке» присутствуют скорости: собственная скорость (Vс), скорость по течению (Vпо теч.), скорость против течения (Vпр. теч.), скорость течения (Vтеч.). Необходимо отметить, что собственная скорость водного суда – это скорость в стоячей воде. Чтобы найти скорость по течению, надо к скорости течения прибавить собственную. Для того чтобы найти скорость против течения, надо из собственной скорости вычесть скорость течения.

Первое, что необходимо выучить и знать “на зубок” – формулы. Запишите и запомните:

Vпо теч=Vс+Vтеч.

Vпр. теч.=Vс-Vтеч.

Vпр. теч=Vпо теч. – 2Vтеч.

Vпо теч.=Vпр. теч+2Vтеч.

Vтеч.=(Vпо теч. – Vпр. теч)/2

Vс=(Vпо теч.+Vпр теч.)/2 или Vс=Vпо теч.+Vтеч.

На примере разберем, как находить собственную скорость и решать задачи такого типа.

Пример 1.Скорость лодки по течению 21,8км/ч, а против течения 17,2 км/ч. Найти собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение: Согласно формулам: Vс=(Vпо теч.+Vпр теч.)/2 и Vтеч.=(Vпо теч. – Vпр. теч)/2, найдем:

Vтеч = (21,8 – 17,2)/2=4,62=2,3 (км/ч)

Vс = Vпр теч.+Vтеч=17,2+2,3=19,5 (км/ч)

Ответ: Vc=19,5 (км/ч), Vтеч=2,3 (км/ч).

Пример 2. Пароход прошел против течения 24 км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите его собственную скорость в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч.

За Х примем собственную скорость парохода. Составим таблицу, куда занесем все данные.

Против теч. По течению

Расстояние 24 24

Скорость Х-3 Х+3

время 24/ (Х-3) 24/ (Х+3)

Зная, что на обратный путь пароход затратил на 20 минут времени меньше, чем на путь по течению, составим и решим уравнение.

20 мин=1/3 часа.

24/ (Х-3) – 24/ (Х+3) = 1/3

24*3(Х+3) – (24*3(Х-3)) – ((Х-3)(Х+3))=0

72Х+216-72Х+216-Х2+9=0

441-Х2=0

Х2=441

Х=21(км/ч) – собственная скорость парохода.

Ответ: 21 км/ч.

Обратите внимание

Скорость плота считается равной скорости водоема.

Источники:

• решение задач на течение

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Решение:

#750

Через уравнение.

S – пройденный путь, растояние, которое прошла, например, лодка. (км)

t – время, за которое она прошла расстояние S. (часов, минут)

V – собственная её скорость (км/ч, м/ч)

Такие задачи решаются далее: если известны: (под формулы подставляем числа)

t и V, то перемножаем – t * V, получаем S.

t и S, то расстояние делим время – S : t, получаем V

S и V, также – S : V, получаем t

Также если в задаче указана V (её ищем)

по течению, то V собственная + V по течению

против течения, то V собств. – V прот. теч.

Тогда формулы звучат так: если известны:

t и V, то t * (V с. +/- V) = S

t и S, то S : t = V с. +/- V

V и S, то S : (V c. +/- V) = t

Теперь ещё раз:

V c. – собственная скорость

V c. + V – скорость + скорость по теч.

V c. – V – скорость + скорость прот. теч.

Ну так чтоли… Плохой из меня учитель(((