Отскок мяча от стены: оформление задачи на ЕГЭ
Эта задача появлялась уже на моем сайте. Я предложила ее решение, которое казалось мне довольно простым. Ученики спросили, как оформить такую задачу на ЕГЭ, и этот вопрос заставил меня решить задачу заново, теперь уже с точки зрения оформления решения на экзамене.
Задача. Мальчик бросает мяч со скоростью 
м/с под углом в в сторону стены, стоя на расстоянии м от нее. На каком расстоянии от стены должен встать мальчик, чтобы поймать мяч? Удар мяча о стенку считать абсолютно упругим.
Сначала выясним, в каком месте траектории находился мяч, когда ударился о стенку: был ли он на первой ее половине, или же он уже прошел точку максимального подъема? От этого зависит угол, под которым мяч подлетел к стенке, а раз удар абсолютно упругий, значит, мячик и отскочил под этим же углом. Поэтому сначала найдем середину траектории мяча, как если бы стенки не было.
Пунктир – траектория мяча при отсутствии стены
Вертикальная составляющая начальной скорости мяча:
Горизонтальная составляющая начальной скорости:
Время полета мяча до верхней точки найдем из условия равенства вертикальной составляющей скорости нулю:
– время полета мяча до наивысшей точки траектории (при условии отсутствия стенки).
Дальность полета мяча до верхней точки траектории:
Итак, мячик не долетел до верхней точки траектории, теперь можно изобразить стенку и траекторию полета мяча:
Отскок мяча от стены
Теперь определим время полета мяча до стены.
– время полета мяча до стены.
Определим ординату точки, в которой мяч ударился о стенку:
Тогда, подставив время полета мяча до стены, получим:
или
После отскока мяча от стены его ордината будет изменяться по закону:
Здесь – скорость по оси , которую имел мячик на момент соприкосновения со стеной, – время полета мяча от стены до попадания мальчику в руки, то есть до момента, когда ордината мяча станет нулевой.
Вертикальная составляющая скорости мяча на момент подлета равна:
Подставим в выражение (2) координату (1) и скорость (3):
Мяч приземлится, когда :
Из этого выражения можно найти время полета мяча от стенки до приземления:
Тогда расстояние, которое мяч пролетит по горизонтали после отскока от стены (напомню, что скорость мяча по горизонтали не изменилась по модулю, ведь удар был упругий), равно:
Осталось всего ничего: подставить числа.
Определим дискриминант численно:
Тогда
Отрицательный корень нас не устраивает по смыслу задачи, следовательно, ответ 6 м.
Ответ: 6 м.
Как рассчитать параметры отскока объекта от горизонтальной поверхности?
ytn ytn
Мыслитель
(5424),
на голосовании
5 лет назад
Изначально объект был подброшен на 30 градусов под неким углом к горизонту, после чего упал на поверхность. После чего должен произойти отскок. Меня интересуют угол и скорость объекта, а так же информация от необходимых параметров поверхностей.
Нужны общие формулы, а так же источники информации.
Голосование за лучший ответ
2.1
Расчет скорости шарика до удара.
Формула
:
1=2*Sin(
i
/
2)*
g*L
L
– Длинна
нити.
g
– Скорость свободного падения.
1
–
Скорость
шарика до удара.
I
– Угол
отклонения шарика.
2.2
Расчет скорости шарика после удара.
Формула
:
2=2*Sin(<
i>
/
2)*
g*L
<
i>
– Среднее
значение угла отскока шарика.
Производим
вычисления :
1
= 2*Sin(200/2)*
9,81*0,315
= 0,605 (м/с).
2= 2*Sin(17.50/2)*
9,81*0,315
= 0,532 (м/с).
1
= 2*Sin(300/2)*
9,81*0,315
= 0,905 (м/с).
2
= 2*Sin(26.50/2)*
9,81*0,315
= 0,802 (м/с).
1
= 2*Sin(400/2)*
9,81*0,315
= 1,197 (м/с).
2
= 2*Sin(35.50/2)*
9,81*0,315
= 1,067 (м/с).
1= 2*Sin(500/2)*
9,81*0,315
= 1,479 (м/с).
2
= 2*Sin(430/2)*
9,81*0,315
= 1,282 (м/с).
1
= 2*Sin(600/2)*
9,81*0,315
= 1,757 (м/с).
2
= 2*Sin(500/2)*
9,81*0,315
= 1,479 (м/с).
Результаты расчетов
сведем в таблицу
Таблица
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,605 |
0,905 |
1,197 |
1,479 |
1,757 |
|
|
0,532 |
0,802 |
1,067 |
1,282 |
1,479 |
1=200
2=300
3=400
4=500
4=600
1(м/с).
2(м/с).3. Расчет среднего значения силы удара
Формула
:
<
F >
=
<F>
– Среднее
значение силы удара.
m – Масса
шарика.
1
–
скорость
шарика до удара.
2
– скорость
шарика после удара.
–время удара.
Производим
вычисления :
<F1>
= 0,0195*(0,605-0,532)
/
0,0000309 = 46,06 H.
<F2>
= 0,0195*(0,905-0,802)
/ 0,0000287 = 69,98 H.
<F3>
= 0,0195*(1,197-1,067)
/ 0,0000269 = 94,23 H.
<F4>
= 0,0195*(1,479-1,282)
/ 0,0000217 = 177,02 H.
<F5>
= 0,0195*(1,757-1,479)
/ 0,0000191 = 283,82 H.
4. Расчет коэффициента восстановления.
Формула
:
ε
=
2
/
1
ε
– коэффициент восстановления.
ε
1 = 0,532 / 0,605
= 0,878 ε
5 = 1,479 / 1,757
= 1,187
ε
2 = 0,802 / 0,905
= 0,886
ε
3 = 1,067
/ 1,197 = 0,891
ε
4 = 1,282 / 1,479
= 0,866
5.Расчет погрешностей прямых измерений.
5.1
Определяем стандартную погрешность
измерения угла отскока шарика.
Формула
:
S
I
=
(
S/
I
)2
+
(
S//
2
)2.
S
I
– среднеквадратичное
отклонение.
S/
I
– стандартная
случайная погрешность.
S//
2
= 0, 5 – стандартная
систематическая погрешность.
S/
I
=
∑(
I
–
<
i>)2
/
N
( N
– 1 )
N=10
количество
измерений угла.
S/
1=
(180-17.50)2+(17.50-17.50)2+(170-17.50)2+(180-17.50)2+(18.50-17.50)2+(170-17.50
)2
+(17.50-17.50)2+(170-17.50)2+(180-17.50)2+(180-17.50)2
/ 10( 10-1) = 0,176;
S
=
(0,
5)2+(0,176)2
= 0,530;
S/
2=
(270-26.50)2+(27.50+26.50)2+(260-26.50)2+(26.50-26.50)2+(270-26.50)2+(
270-26.50)2+(26.50-26.50)2+(
270-26.50)2+(
26.50-26.50)2+(
26.50-26.50)2
/ 10( 10-1) = 0,148;
S
=
(0,
5)2+(0,148)2
= 0,521;
S/
3=
(350-35.50)2+(35.50-35.50)2+(35.50-35.50)2+(360-35.50)2+(
35.50-35.50)2+(35.50-35.50)2+(
350-35.50)2+
(350-35.50)2+(
350-35.50)2+(
35.50-35.50)2
/ 10( 10-1) = 0,104
S
=
(0,
5)2+(0,104)2
= 0,510;
S/
4=
(43-43)2+(43-43)2+(43.5-43)2+(42-43)2+
(43-43)2+(
43.5-43)2+(
42.5-43)2+
(43-43)+ (43-43)2
+( 42.5-43) / 10( 10-1) = 0,139
S
=
(0,
5)2+(0,139)2
= 0,518;
S/
5=
(500-500)2+(500.5-500)2+
(500-500)2+(50.50-500)2+
(50.50-500)2+
(50.50-500)2+
(510-500)2+
(500-500)2+(49.50-500)2+
(50.50-500)2
/ 10( 10-1) = 0,158;
S
=
(0,
5)2+(0,158)2
= 0,524
5.2
Расчет абсолютной погрешности угла
отклонения шарика
∆
i
Формула
:
∆
i
=
(kn
*
S/
i)2+(1/3*k*S//
2
)2
kn
= 2.3 – соответствующий
коэффициент Стьюдента;
k
=
2.0
– соответствующий
коэффициент Стьюдента;
Производим
вычисления :
∆
1=
(2.3*0,176)2+
(1/3*2.0*0, 5)2=
0,524
∆
2=
(2.3*0,148)2+
(1/3*2.0*0, 5)2=
0,476
∆
3=
(2.3*0,104)2+
(1/3*2.0*0, 5)2=
0,410
∆
4=
(2.3*0,139)2+
(1/3*2.0*0, 5)2=
0,461
∆
5=
(2.3*0,158)2+
(1/3*2.0*0, 5)2=
0,493
5.2
Определяем относительную погрешность
измерения угла отскока шарика.
Формула
:
ε
i=
∆
I
/
<
i>
ε
1
=
0,524
/
17,50
= 0,029;
ε
2
=
0,476
/
26,50
= 0,016;
ε
3
=
0,410
/
35,50
= 0,012;
ε
4
= 0,461
/ 43,00
= 0,011;
ε
5
= 0,493
/ 50,00
=
0,010;
5.3
Определяем относительную и абсолютную
погрешность измерения угла отклонения
шарика .
Формулы
:
∆
i
=
(kn
*
S/
i)2+(1/3*k*S//
2
)2
ε
i=
∆
I
/
<
i>
т.к.
(kn
*
S/
i)2
=
0
, то
∆
i
=
(1/3*k*S//
2
)2.
Производим
вычисления :
∆
I
=
(1/3*2.0*0.5)2
= 0,33
ε
1
=
0,33/20
= 0,016;
ε
2
=
0,33/30
= 0,011;
ε
3
=
0,33/40
= 0,008;
ε
4
=
0,33/50
= 0,007;
ε
5
=
0,33/60 = 0,006;
5.4
Рассчитаем относительную погрешность
измерения времени соударения шарика.
Формула
:
S
I
=
∑(
i–
<
i>)2
/
N ( N – 1 )
Производим
вычисления
:
S
1=10-7*
(321-309)2+(312-309)2+(304-309)2+(312-309)2+(303-309)2+(307-309)2+(315-309)2+(309-309)2+(302-309)2+(311+309)2
/ 10( 10-1) =1,8*10-7
S
2=10-7*
(272-287)2+(288-287)2+(271-287)2+(297-287)2+(287-287)2+(301-279)2+(286-287)2
+(291-287)2+(300-287)2
+(279-287)2
/ 10( 10-1) =3,37*10-7
S
3=10-7*
(262-269)2+(267-269)2+(269-269)2+(262-269)2+(258-269)2+(252-269)2+(261-269)2
+(243-269)2+(255-269)2+
(261-269)2
/ 10( 10-1) = 4,10*10-7
S
4=10-7*
(217+217)2+(216-217)2+(208-217)2+(212-217)2+(206-217)2+(231-217)2+(214-
-217)2+
(227-217)2+(221-217)2+(211-217)2
/ 10( 10-1) = 2,71*10-7
S
5=10-7*
(
191-191)2+(189-191)2+(192-191)2+(184-191)2+(190-191)2+(183-191)2+(202-
191)2+
(193-191)2+(201-191)2+(186-191)2
/ 10( 10-1) = 2,27*10-7
5.5
Определим абсолютную погрешность
измерения времени соударения шарика.
Формула
:
∆
I
=
(kn*S
)2+(1/3*k*
S/
)2
S
–
стандартная
случайная погрешность.
S/
=1*10-7
–
стандартная
систематическая погрешность.
Производим
вычисления :
∆
1
=
10-7*
(2,3*1,8)2+(1/3*2,0*1)2
= 4,14*10-7;
∆
2
=
10-7*
(2,3*3,37)2+(1/3*2,0*1)2
= 7,75*10-7;
∆
3
=
10-7*
(2,3*4,10)2+(1/3*2,0*1)2
= 9,43*10-7;
∆
4
=
10-7*
(2,3*2,71)2+(1/3*2,0*1)2
= 6,23*10-7;
∆
5
=
10-7*
(2,3*2,27)2+(1/3*2,0*1)2
= 2,28*10-7;
5.6
Определим относительную погрешность
измерения времени соударения шарика.
Формула
:
ε
=
∆
I
/
<
i>
ε
1=
4,
14*10-7
/ 309 * 10-7
= 0,013;
ε
2=
7,
75*10-7
/ 287* 10-7
= 0,027;
ε
3=
9,
43*10-7
/ 269 *10-7
= 0,035;
ε
4=
6,
23*10-7
/ 217* 10-7
= 0,028;
ε
5=
2,
28*10-7
/ 191* 10-7
= 0,012;
Соседние файлы в папке Отчёты 1 семестр
- #
- #
28.03.2015126.98 Кб46маятник максвела(1).doc
- #
- #
- #
28.03.2015560.13 Кб43Мех. удар(1).doc
- #
- #
- #
28.03.2015891.39 Кб42Мех.удар(1).doc
- #
- #
- #
- Главная
- Форум настольного тенниса
- Настольный теннис
- Простая методика определения класса скорости основания в цифрах.
Простая методика определения класса скорости основания в цифрах.
18.02.2019 13:12+3
Лабораторная работа: «Измерение высоты отскока мяча (d40+) от основания. Интерпретация полученных данных и определение класса скорости основания». Методические указания.
Это анонс моей новой статьи.
Заглавие серьезное, но мы не в школе, поэтому позволю себе вольное предисловие.
Для любителей настольного тенниса поговорить про основания, накладки, их характеристики – это как постичь неизвестное или заниматься сизифовым трудом. Играет человек чем-либо, и вроде его все устраивает. Но точит червь сомнения и уверенность, что обязательно есть что-то лучше. Кроме того, постоянно тренируясь, явно или не явно игрок повышает своё мастерство владения ракеткой. Хочется попробовать что-то новое. Предложений на любой вкус множество. Реклама, маркетинг – все капает на мозг. Ищет человек, читает форумы, задаёт вопросы, покупает… и снова покупает. А у каждого своё мнение и множество факторов, влияющих на это мнение. Все люди разные, тонкие ощущения и прочая магия.
Замечено, что скоростные характеристики основания, присвоенные производителем, часто подвергают сомнению. Надо сказать, что игроки с большим опытом легко определяют такую характеристику как скорость основания банальным простукиванием мячика. Способ, связанный с запоминанием и сравнением большого количества «простуканных» оснований. Для игроков, особенно неискушённых, перевести ощущения в понятные цифры считаю очень полезным. А если ещё понимать влияние геометрии основания и послойной структуры, то можно охарактеризовать любое основание и по другим параметрам.
В данной статье предлагаю простую сравнительную методику определения скорости основания в домашних условиях. Можно измерить основание любой фирмы и составить начальное представление о скорости. Почему начальное? Измерение проводится, когда основание неподвижно, то есть, в статике. В движении, в момент удара по мячу, начинают работать и другие факторы. Например, геометрия и конструкция основания. Важный фактор – наличие на основании накладок, но мы его касаться не будем. Это отдельная тема.
Необходимость измерить и оценить скоростные характеристики оснований мне понадобилась при изготовлении своих собственных оснований. Пригодится данная методика и при измерении фирменных оснований. Числовые значения дадут игрокам более точную градацию имеющихся оснований по скорости. Но нужно собирать базу измерений. Я начал данную работу и призываю активно ее пополнять. Любой заинтересованный игрок может лично произвести измерения и пополнить базу замеров, выложив результаты в сеть (группу).
Точное выполнение всех условий измерений даст возможность различным игрокам придти к единому и более точному определению параметра скорости (класса скорости) основания. Так как фирмы, производящие основания, не дают единой методики определения скорости, то данный способ позволит объединить мнения разных игроков.
Ссылка на статью https://vk.com/@handmade_pingpong-laboratornaya-rabota-izmerenie-vysoty-otskoka-myacha-d40-ot
Комментарии13
сначала новые / сначала старые / по рейтингу
01.10.2019 00:14+2
ответ на комментарий kutuzov
Еще бывает что гафик отскока нелинеен в зависимости от силы удара. Например видел график отскока бальзовых оснований где они на слабых ударах ведут себя как ALL+, а на сильных как OFF. Тут можно провести аналогию с накладками, жесткий топшит с мягкой губкой, в короткой игре будет контрольно тухлить, а на сильных губка увеличит отскок. У многослойных оснований думаю в зависимости от свойств и комбинации слоев принцип тот же.
Ооо,коммент по теме! Т.е.получается,что отскок от основания даст просто стандартный отскок,но если учитывать множество факторов – тип древесины и ткани (карбоновая или стекло),режимы их работы в связке (активная и пассивная игра) с различными накладками и может позволить сделать окончательные выводы о скорости основания!?! А просто отскок-это объективные,поверхностные данные?!
30.09.2019 23:45+2
ответ на комментарий Val Halen
Эта “колбаса”-предисловие к статье, ссылка на которую указана в конце текста.Перейдя по ней можно прочитать всю информацию с соблюдением всех правил пунктуации. Смысл измерения прост – отпустить мяч с определенной высоты,он ударится об основание и подлетит на некоторую высоту.Сопоставив с таблицей, можно определить скорость. Необходимо подготовить ряд несложных приспособлений. Мне интересно – достаточно ли отскока мяча и замеров для определения скорости? Ниже таблица –
DEF- -откок менее 41 см;
DEF – отскок 41-43 см;
DEF+ – отскок 43-44 см;
ALL- – отскок 44-45 см;
ALL – отскок 45-47 см;
ALL+ – отскок 47-48 см;
OFF- – отскок 48-49 см;
OFF – отскок 49-52 см;
OFF+ – отскок 52-54 см;
OFF++ – отскок более 54 см.
Еще бывает что гафик отскока нелинеен в зависимости от силы удара. Например видел график отскока бальзовых оснований где они на слабых ударах ведут себя как ALL+, а на сильных как OFF. Тут можно провести аналогию с накладками, жесткий топшит с мягкой губкой, в короткой игре будет контрольно тухлить, а на сильных губка увеличит отскок. У многослойных оснований думаю в зависимости от свойств и комбинации слоев принцип тот же.
30.09.2019 23:11+1
Кто о чём, но не по теме))
30.09.2019 21:40-6
ответ на комментарий Val Halen
Эта “колбаса”-предисловие к статье, ссылка на которую указана в конце текста.Перейдя по ней можно прочитать всю информацию с соблюдением всех правил пунктуации. Смысл измерения прост – отпустить мяч с определенной высоты,он ударится об основание и подлетит на некоторую высоту.Сопоставив с таблицей, можно определить скорость. Необходимо подготовить ряд несложных приспособлений. Мне интересно – достаточно ли отскока мяча и замеров для определения скорости? Ниже таблица –
DEF- -откок менее 41 см;
DEF – отскок 41-43 см;
DEF+ – отскок 43-44 см;
ALL- – отскок 44-45 см;
ALL – отскок 45-47 см;
ALL+ – отскок 47-48 см;
OFF- – отскок 48-49 см;
OFF – отскок 49-52 см;
OFF+ – отскок 52-54 см;
OFF++ – отскок более 54 см.
лучше бы не сантиметры, а названия основаниев и тогда станет понятно, почиму их девушки не любят
30.09.2019 21:250
ответ на комментарий y_klimenko
Такое ощущение, что Вал Хален и белан, одно и то же лицо 🙂
По ссылке даже ходить не стал, хватило того, что в теме написано.
Да нет,не одно лицо,внешне разные(видел его в группе)и даже не родственики)) Просто хочу узнать у светил настольного тенниса-на сколько рабочей является данная система измерения,или есть какая то еще…как определить скорость?или достаточно того что написано у производителей?) А если основание самодельное, как у него узнать скорость,просто понабивать и достаточно?Есть ли какие то научные методы определения скорости?
30.09.2019 21:000
Такое ощущение, что Вал Хален и белан, одно и то же лицо 🙂
По ссылке даже ходить не стал, хватило того, что в теме написано.
30.09.2019 20:29+1
ответ на комментарий Val Halen
Эта “колбаса”-предисловие к статье, ссылка на которую указана в конце текста.Перейдя по ней можно прочитать всю информацию с соблюдением всех правил пунктуации. Смысл измерения прост – отпустить мяч с определенной высоты,он ударится об основание и подлетит на некоторую высоту.Сопоставив с таблицей, можно определить скорость. Необходимо подготовить ряд несложных приспособлений. Мне интересно – достаточно ли отскока мяча и замеров для определения скорости? Ниже таблица –
DEF- -откок менее 41 см;
DEF – отскок 41-43 см;
DEF+ – отскок 43-44 см;
ALL- – отскок 44-45 см;
ALL – отскок 45-47 см;
ALL+ – отскок 47-48 см;
OFF- – отскок 48-49 см;
OFF – отскок 49-52 см;
OFF+ – отскок 52-54 см;
OFF++ – отскок более 54 см.
Хорошо ,а вот зачем оно нам это надо ?
30.09.2019 16:570
Эта “колбаса”-предисловие к статье, ссылка на которую указана в конце текста.Перейдя по ней можно прочитать всю информацию с соблюдением всех правил пунктуации. Смысл измерения прост – отпустить мяч с определенной высоты,он ударится об основание и подлетит на некоторую высоту.Сопоставив с таблицей, можно определить скорость. Необходимо подготовить ряд несложных приспособлений. Мне интересно – достаточно ли отскока мяча и замеров для определения скорости? Ниже таблица –
DEF- -откок менее 41 см;
DEF – отскок 41-43 см;
DEF+ – отскок 43-44 см;
ALL- – отскок 44-45 см;
ALL – отскок 45-47 см;
ALL+ – отскок 47-48 см;
OFF- – отскок 48-49 см;
OFF – отскок 49-52 см;
OFF+ – отскок 52-54 см;
OFF++ – отскок более 54 см.
30.09.2019 11:04-1
941 мм это сильно ))
30.09.2019 10:05-3
ответ на комментарий odpaam
Разбейте, пожалуйста, ваш текст на абзацы. Будет гораздо удобнее читать.
ПППКС. Много читаю и в инете и в бумаге.
Но Никогда даже не начинаю читать такую сплошную “колбасу”, это просто неуважение к читателям. Принцип совкового продавца “кому надо те прочтут”
29.09.2019 23:25+1
По моему очень хороший способ определения скорости! Что скажете – игроки, можно ли таким способом правильно измерить скорость основания?
18.02.2019 15:17+1
Разбейте, пожалуйста, ваш текст на абзацы. Будет гораздо удобнее читать.
< Основание своими руками (handmade)Настольный теннисВ Сочи: где? >
Сыпучие материалы — казалось бы, такая повседневная, даже примитивная вещь — представляют большой интерес для физики. Оказывается, поведение таких материалов исключительно богато, а список нетривиальных (а иногда даже на первый взгляд противоестественных) эффектов на удивление длинен. Например, в зависимости от условий сыпучий материал может вести себя и как твердое тело, и как жидкость, и как газ. Так, неподвижная горка песка держит форму и сопротивляется внешнему давлению, — но только до тех пор, пока воздействие не слишком велико. Под действием же сильного воздействия песок начинает сначала сыпаться, а потом «течь». Такое же «разжижение» происходит, если песок насыпан в мелко дрожащий контейнер. При этом на поверхности могут появляться необычные образования, а в толще контейнера может идти конвекция. А если большой закрытый контейнер с песком трясут очень сильно, то песчинки начинают хаотично летать по всему объему, словно молекулы газа. Однако этот газ необычный: для того чтобы оставаться в таком состоянии, ему требуется постоянный «подогрев» через тряску, и если ее прекратить, то «песчаный газ» почти сразу затвердеет.
Еще хитрее ведут себя промежуточные состояния сыпучего материала. Например, песок в песочных часах частично ведет себя как твердое тело, а частично — как жидкость. Тот факт, что скорость истечения песка примерно постоянна (то есть не зависит от уровня оставшегося песка) — совершенно замечательное свойство именно сыпучих материалов, и оно резко контрастирует с поведением настоящей жидкости (рис. 1). В общем, поиск новых эффектов и их теоретическое описание до сих пор остается раздольем для физиков.
Один из интересных эффектов, происходящих в «песчаном газе», это неупругий коллапс — то есть полная остановка движения спустя какое-то (конечное) время.
Для того чтобы понять, что в этом такого необычного, предположим, что в начальный момент в неподвижном закрытом контейнере (в невесомости) находится очень много песчинок с самыми разными скоростями. Столкновения песчинок друг с другом неупругие, и потому песчинки теряют свою кинетическую энергию при каждом столкновении. Введем параметр, характеризующий неупругость, — коэффициент упругости отскока k. Мы считаем, что если две песчинки столкнулись лоб в лоб с одинаковыми по модулю и противоположно направленными скоростями v, то после столкновения они разлетаются прочь со скоростями kv, меньшими v. То же самое происходит при столкновении частицы со стенкой.
Интуитивно понятно, что после n столкновений типичные скорости песчинок должны стать порядка knv. Эти скорости, конечно, становятся всё меньше и меньше, но они никогда не зануляются. Поэтому интуитивно кажется, что движение никогда не остановится полностью. Так вот, неупругий коллапс происходит тогда, когда за конечное время частицы умудряются столкнуться бесконечное количество раз. Доказать на основании строгих теоретических расчетов, что неупругий коллапс действительно может происходить в песчаном газе, и выяснить, когда именно он происходит, — одна из сложных актуальных задач этого раздела физики.
Задача
Ниже предлагаются четыре простые одномерные задачи, которые должны дать ощущение того, когда и почему происходит неупругий коллапс. В этих задачах в столкновениях участвуют одна или две частицы и неподвижная стенка. Считается, что все частицы точечные, что они движутся только по прямой, причем по нормали к стенкам, что у всех них одинаковая масса, что столкновения частиц друг с другом неупругие с коэффициентом k, а столкновения со стенкой упругие или неупругие, в зависимости от задачи. В первой задаче всё происходит в поле тяжести с ускорением свободного падения g, в остальных задачах силы тяжести нет.
Задача 1. Шарик отпустили с некоторой высоты над горизонтальной плитой. Столкновения с плитой неупругие с коэффициентом k.
Задача 2. Шарик скачет туда-сюда между двумя неподвижными стенками. Столкновения со стенками неупругие с коэффициентом k.
Задача 3. Один шарик покоится на некотором удалении от неподвижной стенки, а другой налетает на него. Столкновения со стенкой абсолютно упругие.
Задача 4. То же самое, что в задаче 3, только столкновения со стенкой тоже считаются неупругими с коэффициентом k.
Выясните, в каких из перечисленных случаев происходит неупругий коллапс.
Подсказка
К задаче 1: найдите скорость частицы после n-го отскока и найдите отсюда время от n до n+1-го отскока. Сложите все времена от первого до n-го отскока и убедитесь, что сумма остается конечной даже при сколько угодно большом n. Попытайтесь затем проделать то же самое для задачи 2.
К задаче 3: выведите вначале общую формулу для результатов неупругого столкновения двух частиц одинаковой массы с начальными скоростями v1 и v2. Затем начните обсчитывать последовательные столкновения.
К задаче 4: в принципе, метод расчета тот же, что и в задаче 3. Но для того, чтобы выяснить, что произойдет после бесконечно большого числа столкновений, удобнее всего выразить систему уравнений через матрицу и исследовать ее собственные числа.
Решение
Задача 1
После n-го отскока скорость частицы составляет vn = knv0. Время до следующего отскока равно
Видно, что чем больше n, тем меньше становится это время. Если сложить времена от первого отскока и до бесконечности, то получится конечное время (здесь используется сумма геометрической прогрессии):
За это время произойдет бесконечное количество подскоков, скорость упадет до нуля, и движение шарика остановится — неупругий коллапс в этой задаче есть.
Задача 2
Как и раньше, скорость после n-го отскока составляет vn = knv0. Однако расстояние между стенками (L) фиксировано, поэтому время от n до n+1-го отскока составляет
В отличие от предыдущей задачи, это время растет с ростом n. Поэтому за любое конечное время произойдет только конечное количество столкновений, а значит, скорость никогда не упадет до нуля. Можно даже найти, что спустя время t скорость будет примерно
Следовательно, неупругого коллапса в этой задаче нет.
В этих двух задачах скорость после n-го отскока уменьшалась одинаково. Однако в первом случае пройденное расстояние тоже уменьшалось, и при том быстрее, чем скорость, а во втором случае расстояние оставалось постоянным. Отсюда можно сделать вывод: для неупругого коллапса требуется не только уменьшение скорости, но и быстрое сближение частицы с местом неупругих столкновений.
Задача 3
Выведем сначала скорости после произвольного столкновения двух частиц одинаковой массы. Пусть до столкновения две частицы двигались со скоростями v1 и v2. Тогда после неупругого столкновения с коэффициентом k скорости этих частиц станут
(1)
Для вывода можно использовать метод, описанный в одной из прошлых задач. Подчеркнем, что скорости здесь могут быть положительными и отрицательными; положительная скорость означает, что частица движется направо, отрицательная — налево.
Применим теперь эту формулу к столкновения в задаче. До и после первого столкновения скорости частиц равны
Затем вторая частица упруго отражается от стенки и меняет знак своей скорости. Тогда скорости до и после второго столкновения шариков равны
Получается, что после второго столкновения первая частица улетает прочь от стенки, а вторая остается неподвижной (общий эффект от получившегося тройного столкновения — это просто неупругое отражение первой частицы). Столкновений между ними больше не будет, следовательно никакого неупругого коллапса тут нет.
Задача 4
Эта задача отличается от предыдущей лишь тем, что скорость второй частицы не просто меняет знак после столкновения со стенкой, но и уменьшается. Оказывается, это приводит к интересному результату: неупругий коллапс в этой задаче есть, но только при достаточно маленьком k.
Это легко увидеть практически без вычислений. Пусть начальная скорость первого шарика v0, а коэффициент k очень маленький, то есть столкновение очень неупругое. Тогда после первого столкновения между шариками они будут двигаться вперед со скоростью примерно v0/2, но только второй шарик чуть-чуть быстрее первого. Поэтому следующее столкновение между шариками произойдет во много раз ближе к стенке, чем первое. После одного цикла (столкновение между шариками, полет, удар о стенку, полет) скорость первого шарика уменьшится примерно вдвое, но расстояние до стенки уменьшится во много раз, и так будет повторяться и дальше. Значит, время, затраченное на один цикл, будет тоже уменьшаться во сколько-то раз на каждом цикле. Эти времена образуют приблизительную геометрическую прогрессию, по аналогии с первой задачей, и ее сумма будет конечной.
В другом предельном случае, когда k очень близок к единице, первое столкновение практически остановит первый шарик, а второе столкновение между шариками оттолкнет его назад от стенки. Поэтому здесь никакого коллапса не будет.
Это рассуждение позволяет доказать, что существует некое критическое значение k, меньше которого происходит неупругий коллапс, но не позволяет найти его численное значение. Покажем, как получить этот результат с помощью применения матриц к системе уравнений (1). Эту систему можно записать так:
Процесс неупругого столкновения со стенкой тоже можно описать матрично:
Тогда последовательное столкновение двух частиц, а затем столкновение со стенкой описывается матрицей A, которая есть произведение этих двух матриц:
У этой матрицы есть собственные числа, которые находятся из решения характеристического уравнения
Мы накладываем требование, чтобы оба решения были вещественными (и при этом они получатся от 0 до 1). Это выполняется только тогда, когда дискриминант этого квадратного уравнения положителен. А положителен он, когда (1 – k)2 > 4k. Поскольку коэффициент k может быть только от 0 до 1, решая это уравнение, мы находим
С физической точки зрения поиск собственных чисел (и связанных с ним собственных векторов) означает, что мы ищем самоподобный тип движения, то есть некоторое движение, которое после цикла столкновений воспроизводит само себя, но только с меньшими скоростями. Это именно то, что нам нужно для поиска неупругого коллапса. Правда, остается еще доказать, что с каждым циклом расстояние до стенки уменьшается быстрее, чем скорости, а также что скорость первой частицы никогда не становится отрицательной. Это всё можно сделать прямыми вычислениями, которые заинтересованному читателю предлагается проделать самостоятельно.
Наконец, последнее замечание про эту задачу. Обратите внимание на конечное состояние системы: обе частицы не просто остановились — они словно прилипли к стенке. И это произошло несмотря на то, что в этой задаче отсутствуют какие бы то ни было силы притяжения! Возникновение такого сцепление без наличия сил притяжения — красивая особенность неупругого коллапса. Поизучать неупругий коллапс в одномерной цепочке шариков можно с помощью вот этого Java-апплета.
Послесловие
Решение последней задачи показывает, что неупругий коллапс наступает далеко не всегда. Если коэффициент k не маленький, а, наоборот, близок к единице, то две частицы, столкнувшись пару раз, просто отлетят от стенки. Даже если ограничить их движение второй стенкой с другой стороны, принципиально это ничего не изменит. Частицы будут летать от стенки к стенке, сталкиваясь, теряя скорость, но никогда не остановятся полностью.
Однако если взять больше частиц (при том же самом k), то неупругий коллапс снова наступает — это подтверждают и приблизительные аналитические расчеты, и численное моделирование. Причем чем ближе k к единице (то есть чем более упругими являются столкновения), тем больше надо взять частиц. Для большого количества частиц (и почти упругих столкновений) получается два режима «остывания» песчаного газа. Если частиц достаточно много, то происходит неупругий коллапс, и движение замирает спустя конечное время. Если же частиц недостаточно, то происходит постепенное остывание газа: его температура падает со временем примерно как T(t) ~ 1/t2 (это можно легко увидеть из решения задачи 2).
Описанные выше закономерности стали систематически изучаться только в начале 90-х годов (McNamara, Young, 1992. Inelastic collapse and clumping in a one-dimensional granular medium). Затем физики перешли к двумерным и многомерным задачам, где неупругий коллапс тоже возможен, но более сложен. Интересная особенность коллапса в этом случае — спонтанное образование нитеобразных структур в первоначально однородном газе (рис. 3).
За прошедшие годы в этой области было обнаружено много интересного, см., например, обзор 2006 года и недавнюю монографию Kinetic Theory of Granular Gases. Но исследования продолжаются и по сей день; более того, существует даже специальный журнал Granular Matter, посвященный исследованию сыпучих веществ. И в качестве «десерта»: год назад было обнаружено еще одно интересное свойство сыпучих материалов — способность воздействовать на излучение лазерного света (Folli et al., 2012. Shaken Granular Lasers // PRL 108, 248002). Эта работа открывает дорогу к оптомеханическим приложениям сыпучих материалов.
