Как найти скорость падения тела брошенного горизонтально

Если тело бросить горизонтально с некоторой высоты, оно будет одновременно падать и двигаться вперед. Это значит, что оно будет менять положение относительно двух осей: ОХ и ОУ. Относительно оси ОХ тело будет двигаться с постоянной скоростью, а относительно ОУ — с постоянным ускорением.

Кинематические характеристики движения

Важные факты!

Графически движение горизонтально брошенного тела описывается следующим образом:

1. Вектор скорости горизонтально брошенного тела направлен по касательной к траектории его движения.
2. Проекция начальной скорости на ось ОХ равна v₀: v_ox = v₀. Ее проекция на ось ОУ равна нулю: v_oy = 0.
3. Проекция мгновенной скорости на ось ОХ равна v₀: v_x = v₀. Ее проекция на ось ОУ равна нулю: v_y = –gt.
4. Проекция ускорения свободного падения на ось ОХ равна нулю: g_x = 0. Ее проекция на ось ОУ равна –g: g_y = –g.

Модуль мгновенной скорости в момент времени t можно вычислить по теореме Пифагора:

Подставив в эту формулу значения проекций мгновенной скорости в момент времени t, получим:

Минимальная скорость в течение всего времени движения равна начальной скорости: v_min = v₀.

Максимальной скорости тело достигает в момент приземления. Поэтому максимальной скоростью тела в течение всего времени движения является его конечная скорость: v_max = v.

Время падения — время, в течение которого перемещалось тело до момента приземления. Его можно выразить через формулу высоты при равноускоренном прямолинейном движении:

h₀ — высота, с которой тело бросили в горизонтальном направлении.

Дальность полета — перемещение тела относительно ОХ. Обозначается буквой l. Так как относительно ОХ тело движется с постоянной скоростью, для вычисления дальности полета можно использовать формулу перемещения при равномерном прямолинейном движении:

l = s_x = v₀t_пад

Выразив время падения через высоту и ускорение свободного падения, формула для определения дальности полета получает следующий вид:

Горизонтальное смещение тела — смещение тела вдоль оси ОХ. Вычислить горизонтальное смещение тела в любой момент времени t можно по формуле координаты x:

Учитывая, что x₀ = 0, и проекция ускорения свободного падения на ось ОХ тоже равна нулю, а проекция начальной скорости есть модуль этой скорости, данная формула принимает вид:

x = v₀t

Мгновенная высота — высота, на которой находится тело в выбранный момент времени t. Она вычисляется по формуле координаты y:

Пример №1. Из окна, расположенного 5 м от земли, горизонтально брошен камень, упавший на расстоянии 8 м от дома. С какой скоростью был брошен камень?

Так как нам известна высота места бросания и дальность полета, начальную скорость тела можно вычислить по формуле:

Выразим начальную скорость и вычислим ее:

Горизонтальный бросок тела с горы

Горизонтальный бросок тела с горы — частный случай горизонтального броска. От него он отличается увеличенным расстоянием между местом бросания и местом падения. Это увеличение появляется потому, что плоскость находится под наклоном. И чем больше этот наклон, тем больше времени требуется телу, чтобы приземлиться.

График горизонтального броска тела с горы

α — угол наклона плоскости к горизонту, s — расстояние от места бросания до места падения

Дальность полета — смещение тела относительно оси ОХ от места бросания до места падения. Она равна произведению расстояния от места бросания до места падения и косинуса угла наклона плоскости к горизонту:

l = s • cosα

Начальная высота — высота, с которой было брошено тело. Обозначается h₀. Начальная высота равна произведению расстояния от места бросания до места падения и синусу угла наклона плоскости к горизонту:

h₀ = s sinα

Пример №2. На горе с углом наклона 30^о бросают горизонтально мяч с начальной скоростью 15 м/с. На каком расстоянии от точки бросания вдоль наклонной плоскости он упадет?

Выразим это расстояние через дальность полета:

Дальность полета выражается по формуле:

Подставим ее в формулу для вычисления расстояния от точки бросания до точки падения:

Выразим с учетом формулы начальной высоты:

Преобразуем:

Поделим обе части выражения на общий множитель s:

Подставим известные значения:

Алиса Никитина | Просмотров: 18.2k

Движение горизонтально брошенного тела:

Рассмотрим движение шара, движущегося прямолинейно по поверхности стола с высотой

При достаточно малом сопротивлении воздуха, которым можно пренебречь, тело будет двигаться в горизонтальном направлении равномерно со скоростью . Поэтому перемещение
в горизонтальном направлении в любой момент времени , или длина полета, определяется следующей формулой: 

Проекции скорости тела на оси и  определятся следующими соотношениями:

В вертикальном же направлении, двигаясь равноускоренно без начальной скорости, тело будет свободно падать с высоты . Следовательно, положение тела в вертикальном направлении после произвольного времени будет определяться формулой:

Из соотношений (1.21) и (1.22) уравнение траектории движения горизонтально брошенного тела на плоскости будет иметь следующий вид:

Выражение (1.24) является уравнением параболы. Значит, горизонтально брошенное тело будет двигаться по параболической линии. Время полета тела, брошенного горизонтально с высоты , определяется выражением:

В этом случае формула для расчета длины полета тела будет иметь вид:

Горизонтально брошенное тело, одновременно двигаясь в горизонтальном направлении равномерно и в вертикальном направлении равноускоренно, свободно падает. К концу движения (после истечения времени ) скорости в горизонтальном и вертикальном направлении будут  и соответственно. Таким образом, скорость тела при падении на землю определяется выражением:

или

Перемещение и траектория тела при криволинейном движении неравны между собой. Модуль вектора и направление движения горизонтально брошенного тела на протяжении движения меняются непрерывно.

Образец решения задачи:

Тело брошено горизонтально на высоте 35 м со скоростью 30м/с. Найти скорость тела при падении на землю.
Дано:

Найти:

Формула:

Решение:

Ответ: 40 м/c.

Движение тела, брошенного горизонтально и под углом к горизонту

Если материальная точка участвует одновременно в нескольких движениях, то такое движение называют сложным.

Примером сложного движения является движение под действием силы тяжести в том случае, если падающему телу сообщена начальная скорость, непараллельная вектору ускорения свободного падения.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально со скоростью Выберем систему координат так, что ее начало находится на поверхности Земли, направив ось Ох горизонтально, а ось Оу — вертикально (рис. 23).

Это сложное движение можно представить в виде суммы двух независимых движений — равномерного с постоянной скоростью  вдоль горизонта (оси Ох) и свободного падения в вертикальном направлении с ускорением

Движение тела в горизонтальном направлении будет описываться уравнением

а в вертикальном — уравнением

Здесь — координата тела по оси Оу в начальный момент времени Если тело брошено с высоты то время падения определяется из

условия

Для получения уравнения траектории движения у(х) необходимо исключить время из уравнений движения (1) и (2). Из уравнения (1) выражаем время t и подставляем в уравнение (2). Получаем

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент перед множителем отрицательный.

Скорость вдоль направления оси Ох остается неизменной и равной

Вдоль оси Оу движение равноускоренное. В начальный момент времени вертикальная составляющая скорости равна нулю поэтому мгновенная скорость вдоль оси Оу находится из соотношения Модуль мгновенной скорости определяется по теореме Пифагора (см. рис. 23):

Угол между начальной скоростью и мгновенной скоростью и в момент времени t можно найти из соотношения

В приведенных формулах сопротивление воздуха не учитывается.

Рассмотрим теперь движение тела, брошенного со скоростью под некоторым углом к горизонту (рис. 24).

Это сложное движение можно представить в виде суммы двух независимых движений — равномерного в горизонтальном направлении со скоростью

и равноускоренного в вертикальном направлении с ускорением и начальной
скоростью

В том случае, если система координат выбрана так, что начальные координаты уравнение траектории движения имеет вид

Как и при движении тела, брошенного горизонтально, траектория представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, поскольку коэффициент перед отрицателен. Вершина параболы при этом имеет координаты

где l — дальность полета тела, — максимальная высота его подъема в процессе полета.

Модули горизонтальной  и вертикальной составляющих мгновенной скорости движения определяются из следующих соотношений:

Мгновенную скорость  и движения тела в произвольной точке Л траектории можно найти как векторную сумму горизонтальной и вертикальной мгновенных скоростей движения (см. рис. 24).

Время подъема тела можно найти из условия

Если сопротивление воздуха при движении не учитывается, то время подъема равно времени падения: (докажите это самостоятельно).

Таким образом, время полета тела можно найти как

Определив вертикальную составляющую скорости  в искомый момент времeни, по формуле можно найти высоту, на которой находится тело.

Максимальная высота подъема тела легко определяется из условия, что вертикальная составляющая скорости в этой точке равна пулю Тогда

Дальность полета l — расстояние, пройденное телом за время полета  вдоль оси Ох с постоянной скоростью (см. рис. 24). Она определяется по формуле

Таким образом, дальность полета определяется модулем начальной скорости тела и углом его бросания

Заметим, что согласно формуле (9) при неизменном модуле начальной скорости тела максимальная дальность полета достигается при т. е. при угле бросания = 45°.

Движение тела брошенного горизонтально, теория и онлайн калькуляторы

Движение тела брошенного горизонтально

Постановка задачи. Начальные условия

Рассмотрим движение тела, которое бросили с начальной скоростью ${overline{v}}_0 $параллельно Земле (горизонтально) рис.1. с некоторой высоты $h_0.$

Систему отсчета свяжем с Землей. Ось X направим параллельно Земле, ось Y перпендикулярно оси X, вверх. Тело движется под воздействием силы тяжести, если не учитывать силу трения, то другие силы на тело не действуют. Движение тела происходит в плоскости, в которой лежат векторы: начальной скорости тела ${overline{v}}_0$ и ускорения $overline{g}. $

Начальные условия при рассматриваемом нами движении точки:

[при t=0 cleft{ begin{array}{c}
x_0=0, \
y_0=h_0, \
v_{0x}=v_0, \
v_{0y}=0 end{array}
right.left(1right).]

Вектор ускорения при движении под действием силы тяжести считают постоянным:

[overline{a}=overline{g}left(2right),]

так как textit{ }$overline{g}$ направлен вертикально вниз, то:

[left{ begin{array}{c}
a_x=0, \
a_y=g end{array}
right.left(3right).]

где $gapprox $ 9,8 $frac{м}{с^2}.$

Кинематические уравнения движения тела брошенного горизонтально

Кинематическое уравнение для скорости равнопеременного движения в поле тяжести имеет вид:

[overline{v}left(tright)={overline{v}}_0+overline{g}t left(4right),]

где ${overline{v}}_0$ – начальная скорость тела. Движение материальной точки в рассматриваемом случае можно представить сумму двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело, брошенное горизонтально. Это равномерное движение с неизменной скоростью ${overline{v}}_0$ в горизонтальном направлении и равноускоренное движение с ускорением $overline{g}$ без начальной скорости в направлении вектора ускорения свободного падения.

В проекциях на оси координат получаем:

[left{ begin{array}{c}
v_x=v_0 \
v_y=-gt end{array}
left(5right).right.]

Модуль скорости движения точки при этом равен:

[v=sqrt{v^2_x+v^2_y}=sqrt{v^2_0+g^2t^2}left(6right).]

Уравнение для перемещения тела, брошенного горизонтально, запишем как:

[overline{s}left(tright)={overline{s}}_0+{overline{v}}_0t+frac{overline{g}t^2}{2}(7),]

где ${overline{s}}_0$ – смещение тела в начальный момент времени. В нашем случае $s_0=y_0=h_0$. Векторное уравнение (7) даст два скалярных выражения для координат падающей точки:

[left{ begin{array}{c}
x=v_0t \
y{=h}_0-frac{gt^2}{2} end{array}
left(8right).right.]

Ка уже говорилось, каждое из двух отдельных движений тела происходит по прямой, но траекторией движения падающего тела является ветвь параболы, находящаяся в плоскости в которой лежат ${overline{v}}_0$ и $overline{g}$.

Из системы уравнений (8) легко получить уравнение траектории движения точки, исключая из уравнений время:

[t=frac{x}{v_0};; y{=h}_0-frac{g{left(frac{x}{v_0}right)}^2}{2}to y=h_0-frac{gx^2}{{2v}^2_0}left(9right).]

Высшей точкой траектории движения тела в нашем случае является точка бросания.

Время полета тела брошенного горизонтально, дальность полета

Время полета тела просто найти из второго уравнения системы (8), если положить, что в момент падения координата точки $y=0$:

[y{=h}_0-frac{g{t_{pol}}^2}{2}=0to h_0=frac{g{t_{pol}}^2}{2}to t_{pol}=sqrt{frac{2h_0}{g}}left(10right).]

Дальность полета (s) – это расстояние, которое тело преодолело по горизонтали (по оси X). Его найдем, подставив время полета в первое уравнение системы (8):

[s=v_0sqrt{frac{2h_0}{g}} left(11right).]

Примеры задач с решением

Читать дальше: движение тела под углом к горизонту.

2010-03-24 22:32

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально и движущегося под действием одной только силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Например, представим себе, что шару, лежащему на столе, сообщают толчок, и он докатывается до края стола и начинает свободно падать, имея начальную скорость

, направленную горизонтально (рис. 174).

Спроектируем движение шара на вертикальную ось

 и на горизонтальную ось

. Движение проекции шара на ось

 — это движение без ускорения со скоростью

; движение проекции шара на ось

 — это свободное падение с ускорением

 бее начальной скорости под действием силы тяжести. Законы обоих движений нам известны. Компонента скорости

 остается постоянной и равной

. Компонента

 растет пропорционально времени:

. Результирующую скорость легко найти по правилу параллелограмма, как показано на рис. 175. Она будет наклонена вниз, и ее наклон будет расти с течением времени.

Рис. 174. Движение шара, скатившегося со стола

Рис. 175. Шар, брошенный горизонтально со скоростью
 имеет в момент

 скорость

Найдем траекторию тела, брошенного горизонтально. Координаты тела в момент времени

 имеют значения

, (112.1)

(112.2)

Чтобы найти уравнение траектории, выразим из (112.1) время

 через

 и подставим это выражение в (112.2). В результатё получим

(112.3)

График этой функции показан на рис. 176. Ординаты точек траектории оказываются пропорциональными квадратам абсцисс. Мы знаем, что такие кривые называются параболами. Параболой изображался график пути равноускоренного движения (§ 22). Таким образом, свободно падающее тело, начальная скорость которого горизонтальна, движется по параболе.

Путь, проходимый в вертикальном направлении, не зависит от начальной скорости. Но путь, проходимый в горизонтальном направлении пропорционален начальной скорости. Поэтому при большой горизонтальной начальной скорости парабола, по которой падает тело, более вытянута в горизонтальном направлении. Если из расположенной горизонтально трубки выпускать струю воды (рис. 177), то отдельные частицы воды будут, так же как и шарик, двигаться по параболе. Чем больше открыт кран, через который поступает вода в трубку, тем больше начальная скорость воды и тем дальше от крана попадает струя на дно кюветы. Поставив позади струи экран с заранее начерченными на нем параболами, можно убедиться, что струя воды действительно имеет форму параболы.

Рис. 176. Траектория тела, брошенного горизонтально

Рис. 177. Струя имеет форму параболы, тем более вытянутой, чем больше начальная скорость воды

Зная начальную скорость

 и высоту падения

, можно найти расстояние

 по горизонтали до места падения. Действительно, положив в формуле (112.3)

 и

, получим

.

112.1.
Какова будет через 2с полета скорость тела, брошенного горизонтально со скоростью 15м/с? В какой момент скорость будет направлена под углом 45° к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

112.2.
Шарик, скатившийся со стола высоты 1м, упал на расстоянии 2м от края стола. Какова была горизонтальная скорость шарика? Сопротивлением воздуха пренебречь.