Как найти скорость полета камня к земле

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Условие задачи:

Камень, брошенный с земли под углом 45° к горизонту, через 0,8 с после начала движения имел вертикальную составляющую скорости 12 м/с. Чему равно расстояние между точкой бросания и местом падения камня?

Задача №1.6.3 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(alpha=45^circ), (t_1=0,8) с, (v_y=12) м/с, (L-?)

Решение задачи:

Для решения задачи необходимо сделать рисунок. Мы его сделали за вас, можете взглянуть на него справа, для увеличения кликнув на нем мышью.

Поскольку нужно определить дальность полета, то запишем уравнения движения камня в проекциях на введенные нами оси, а далее уже определим, каких данных нам не хватает. Уравнения, как всегда, выглядят стандартно, поскольку в задаче нет ничего необычного.

[left{ begin{gathered}
ox:x = {v_0}cos alpha cdot t,,,,,,,,,,,,,,,,(1) hfill \
oy:y = {v_0}sin alpha cdot t – frac{{g{t^2}}}{2},,(2) hfill \
end{gathered} right.]

Когда камень ударится о землю, его ордината (y) будет равна нулю, поэтому приравняем уравнение (2) к нулю и найдем корни получившегося уравнения.

[y = 0 Rightarrow {v_0}sin alpha  cdot t – frac{{g{t^2}}}{2} = 0]

[tleft( {{v_0}sin alpha – frac{{gt}}{2}} right) = 0]

[left[ begin{gathered}
t = 0 hfill \
t = frac{{2{v_0}sin alpha }}{g} hfill \
end{gathered} right.]

Первый корень не удовлетворяет условию падения камня, поскольку он не мог взлететь и удариться о землю в ту же секунду.

Тогда второй корень подставим в уравнение (1) и получим формулу для определения дальности полета.

[L = frac{{2{v_0}cos alpha  cdot {v_0}sin alpha }}{g} = frac{{v_0^2sin 2alpha }}{g}]

Отлично, значит нам необходимо узнать начальную скорость камня (в момент броска), и после мы сможем сосчитать ответ. Для этого запишем уравнение скорости для вертикальной ее составляющей.

[{v_y} = {v_{0y}} – gt_1 = {v_0}sin alpha  – gt_1]

Из него выразим начальную скорость камня и подставим ее в формулу дальности полета.

[{v_0} = frac{{{v_y} + gt_1}}{{sin alpha }}]

В итоге получена формула в общем виде:

[L = {left( {frac{{{v_y} + gt_1}}{{sin alpha }}} right)^2}frac{{sin 2alpha }}{g}]

Как всегда, подставим все известные величины в СИ и подсчитаем ответ:

[L = {left( {frac{{12 + 10 cdot 0,8}}{{sin 45^circ }}} right)^2}frac{{sin 90^circ }}{{10}} = 80; м]

Ответ: 80 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделитесь ею с друзьями с помощью этих кнопок.

Смотрите также задачи:

1.6.2 Баскетболист бросает мяч в кольцо. Скорость мяча после броска
1.6.4 Минимальная скорость при движении тела, брошенного под углом
1.6.5 На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены

2017-05-21   

Камень, брошенный с высоты $h = 2,1 м$ под углом $alpha = 45^{ circ}$ к горизонту, падает на землю на расстоянии $s = 42 м$ (по горизонтали) от места бросания (рис.). Найти начальную скорость камня, время полета и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.

Решение:

Из условия задачи известно направление вектора начальной скорости $v_{0}$ камня, который можно рассматривать как материальную точку.

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то $vec{a} = vec{g}$, т. е. ускорение постоянно, направлено по вертикали вниз и равно $9,8 м/с^{2}$.

Векторы начальной скорости и ускорения образуют некоторый угол, не равный ни 0, ни $pi$, поэтому движение криволинейное. Поскольку $a = const$, движение плоское и для описания его достаточно двух осей координат, что позволит сложное криволинейное движение камня рассматривать как совокупность двух прямолинейных движений. Если ось ОХ направить по горизонтали, а ось ОY — по вертикали, то движение вдоль оси ОХ равномерное, так как проекция ускорения $a_{x} = 0$, а движение вдоль оси ОY — равнопеременное ($a_{y} = – g$). Для нахождения закона движения необходимо знать, как было указано ранее, начальные условия, т. е. координаты и скорость в начальный момент времени. Числовое значение начальной скорости неизвестно, однако закон движения, включающий неизвестную начальную скорость, может быть записан. Координаты точки падения можно найти из условия. Подставив их в закон движения, получим систему уравнений, содержащую в качестве неизвестных начальную скорость и время полета.

Максимальную высоту найдем из условия, что в верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости обращается в нуль.

Зная законы изменения проекций $v_{x}$ и $v_{y}$ со временем, можно найти модуль и направление скорости для любого момента времени. Вектор ускорения постоянен и известен ($vec{a} = vec{g}$), следовательно, для любого момента времени можно определить нормальное ускорение (проекцию вектора а на ось п, перпендикулярную вектору скорости и направленную к центру кривизны траектории) и радиус кривизны траектории.

Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания ($x_{0} = y_{0} = 0$). В системе координат XOY (см. рис.)

$a_{x} = 0, v_{x} = const = v_{0} cos alpha, x = v_{0} cos alpha cdot t$; (1)

$a_{y} = – g, v_{y} = v_{0} sin alpha – gt, y = v_{0} sin alpha cdot t – gt^{2}/2$. (2)

Закон движения записан, хотя значение $v_{0}$ неизвестно. При $t = tau$ в конечной точке траектории $x = s; y = – h$. Тогда уравнения (1) и (2) примут вид

$s = v_{0} cos alpha cdot tau, – h = v_{0} sin alpha cdot tau – g tau^{2}/2$.

Данные уравнения составляют систему с двумя неизвестными $v_{0}$ и $tau$. Решение этой системы:

$tau = sqrt{2(h + s tg alpha)/g} = 3 с; v_{0} = s/( tau cos alpha) = 20 м/с$.

Найдем максимальную высоту подъема камня над землей:

$H = h + y_{M}$.

При $y = y_{M}$ имеем $v_{y} = 0, t = t_{1}$. Подставив в уравнения (2) $v_{y} = 0$, найдем время подъема $t_{1} = (v_{0}/g) sin alpha$. Тогда

$y_{max} = v_{0}^{2} sin^{2} alpha/(2g), H = h + v_{0}^{2} sin^{2} alpha / (2g) = 12 м$.

В верхней точке траектории $v_{y} = 0$, поэтому $v_{M} = v_{x}$. Следовательно, $vec{a} perp vec{v}_{M}$. Это значит, что $a_{n} = a = g$. Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус кривизны траектории в точке М:

$r_{M} = v_{M}^{2}/a_{n} = (v_{0}^{2} / g) cos^{2} alpha = 20 м$.

В точке В (рис.) скорость

$v_{B} = sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = sqrt{v_{0}^{2} cos^{2} alpha + (v_{0} sin alpha – g tau)^{2}} = 20,8 м/с$. (3)

Нормальное ускорение

$a_{n} = v_{B}^{2} / r_{B} = g sin beta$.

Здесь $sin beta = v_{x}/v_{B} = v_{0} cos alpha / v_{B}$, где $beta$ — угол между векторами ускорения и скорости. Тогда радиус кривизны траектории в точке В

$r_{B} = v_{B}^{2} /(gv_{0} cos alpha ) = 67 м$.