Как найти скорость при центростремительном ускорении - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

теория по физике 🧲 кинематика

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

Траектория движения тела есть окружность.
Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

Полезные факты

У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с 2 ). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10 3 секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10 6 . Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Записать формулу для определения искомой величины.
Подставить известные данные в формулу и произвести вычисления.

Решение

Записываем исходные данные:

Радиус окружности, по которой движется автомобиль: R = 100 м.
Скорость автомобиля во время движения по окружности: v = 20 м/с.

Формула, определяющая зависимость центростремительного ускорения от скорости движения тела:

Подставляем известные данные в формулу и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?

а) увеличить в 2 раза б) уменьшить в 2 раза в) увеличить в 4 раза г) уменьшить в 4 раза

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Определить, что нужно найти.
Записать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты.
Преобразовать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты для каждого из случаев.
Приравнять правые части формул и найти искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Центростремительное ускорение определяется формулой:

Запишем формулы центростремительного ускорения для 1 и 2 случаев соответственно:

Так как центростремительное ускорение в 1 и 2 случае одинаково, приравняем правые части уравнений:

Произведем сокращения и получим:

Это значит, чтобы центростремительное ускорение осталось неизменным после увеличения радиуса окружности в 4 раза, частота должна уменьшиться вдвое. Верный ответ: «б».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Глава 7. Движемся по орбитам

Постигаем равномерное вращательное движение
Изучаем угловое ускорение
Испытываем влияние центростремительной силы
Учитываем перемещение, скорость и ускорение
Движемся по орбите под действием законов Ньютона и силы гравитационного притяжения
Поддерживаем вращение в вертикальной плоскости

Вращательное движение выполняют искусственные спутники вокруг планет, гоночные автомобили по трекам и даже пчелы вокруг ульев. В предыдущих разделах рассматривались такие характеристики прямолинейного движения, как перемещение, скорость и ускорение. В этой главе мы снова рассмотрим их, но теперь уже для вращательного движения.

Для перечисленных выше характеристик прямолинейного движения есть аналоги, характеризующие вращательное движение, а именно: угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение. Как видно из их названия, роль перемещения во вращательном движении играет угол. Угловая скорость обозначает величину угла поворота за единицу времени, а угловое ускорение — изменение угловой скорости за единицу времени. Все, что нужно сделать, чтобы освоить премудрости вращательного движения, это взять уравнения прямолинейного движения и заменить в них одни характеристики другими: перемещение поменять на угол, скорость — на угловую скорость и ускорение — на угловое ускорение.

Держим курс: равномерное вращательное движение

Если объект движется с постоянной по величине скоростью по окружности, то такое движение называется равномерным вращательным движением. Примерами такого движения являются движение гоночного автомобиля по круглому треку и стрелки на циферблате часов. На рис. 7.1 показан мяч для игры в гольф, привязанный нитью к шесту и совершающий движение по окружности. Мяч совершает движение с одинаковой по величине скоростью, но с изменяющимся направлением. Потому такое движение мяча называется равномерным вращательным движением.

Время, которое требуется мячику (или какому-либо другому объекту), чтобы полностью обогнуть окружность, называется периодом и обозначается символом ( T ) . Период и линейную скорость можно легко связать, если известно пройденное расстояние, т.е. длина окружности ( 2pi r ) , а точнее ее радиус ( r ) . Итак, линейная скорость мячика ( v ) равна:

а период вращения ( T ) равен:

Допустим, что длина нити равна 1 м, а период вращения равен 0,5 с. Чему в таком случае будет равна линейная скорость мячика? Подставим численные значения в одно из предыдущих соотношений и получим:

Итак, мячик вращается с линейной скоростью 13 м/с!

Меняем направление: центростремительное ускорение

При вращательном движении по окружности линейная скорость мячика постоянно меняет направление, как показано на рис. 7.2. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центростремительным (или центробежным). В любой точке вращательного движения с постоянной величиной и меняющимся направлением вектор линейной скорости перпендикулярен радиусу.

Это правило справедливо для всех объектов: вектор линейной скорости объекта, равномерно вращающегося по окружности, всегда перпендикулярен радиусу окружности.

Если в показанных на рис. 7.2 положениях нить, удерживающая мяч, оборвется, то куда полетит мяч? Если в этот момент вектор линейной скорости направлен влево, то мяч полетит влево, а если этот вектор направлен вправо, то мяч полетит вправо, и т.д. Этот, казалось бы, простой и интуитивно понятный момент часто вызывает трудности у тех, кто впервые постигает физику.

Всегда следует помнить, что вектор линейной скорости объекта, выполняющего равномерное вращательное движение, всегда направлен под прямым углом к радиусу вращения в текущей точке траектории. (В общем случае неравномерного криволинейного движения эта компонента вектора скорости, перпендикулярная радиусу вращения и касательная к траектории движения, называется тангенциальной компонентой, а перпендикулярная ей компонента — нормальной компонентой. — Примеч. ред.)

Управляем скоростью с помощью центростремительного ускорения

Особенностью равномерного вращательного движения является постоянство величины линейной скорости. Это значит, что вектор ускорения не имеет компоненты, параллельной вектору линейной скорости, поскольку в противном случае величина линейной скорости менялась бы. Однако при равномерном вращательном движении меняется только направление линейной скорости. Такое изменение линейной скорости поддерживается центростремительным ускорением, направленным к центру окружности вращения и перпендикулярно вектору линейной скорости.

В примерах на рис. 7.1 и 7.2 на мяч со стороны нити действует сила натяжения нити, которая поддерживает его движение по окружности. Именно эта сила сообщает мячу центростремительное ускорение ( a_ц ) , вектор которого показан на рис. 7.1. (Попробуйте раскрутить мяч с помощью привязанной к нему нити, и вы сразу же почувствуете действие этой силы со стороны нити.)

Часто возникает вопрос: если вектор ускорения мяча направлен к центру окружности, то почему мяч не движется к центру? Дело в том, что при равномерном вращательном движении это ускорение меняет только направление, а не величину линейной скорости.

Определяем величину центростремительного ускорения

Нам уже известно направление вектора центростремительного ускорения, а чему же равна его величина? Итак, величина центростремительного ускорения объекта, равномерно движущегося с линейной скоростью ( v ) по окружности с радиусом ( r ) , равна:

Как видите, величина центростремительного ускорения обратно пропорциональна радиусу окружности ( r ) и прямо пропорциональна квадрату скорости ( v ) . Поэтому не удивительно, что автомобиль на более крутых поворотах испытывает более сильное центростремительное ускорение.

Стремимся к центру: центростремительная сила

На крутых поворотах действие центростремительного ускорения обеспечивается трением шин по дороге. Какую силу нужно приложить, чтобы удержать движущийся со скоростью ( v ) автомобиль на повороте с радиусом кривизны ( r ) ?

Допустим, что в примере на рис. 7.1 легкий мяч заменили на тяжелое пушечное ядро. Теперь, чтобы поддерживать движение ядра по окружности с тем же радиусом и периодом вращения, потребуется гораздо большая сила.

Дело в том, что сила ( F=ma ) равна произведению ускорения ( a ) и массы ( m ) , а значит, увеличение массы объекта (замена мяча на ядро) неизбежно приводит к необходимости увеличения силы для обеспечения прежнего ускорения.

Центростремительная сила ( F_ц ) , необходимая для равномерного вращения по окружности с радиусом ( r ) объекта массой ( m ) с постоянной скоростью ( v ) , равна:

С помощью этого уравнения можно легко определить силу, необходимую для равномерного вращения объекта по окружности с известной массой, скоростью и радиусом окружности.

Обратите внимание, что если объект движется по той же окружности, но с разной скоростью, то он будет испытывать разную центростремительную силу.

В примерах на рис. 7.1 и 7.2 мяч движется со скоростью ( v ) = 13 м/с и удерживается нитью длиной 1,0 м, т.е. в данном случае радиус окружности ( r ) = 1 м. Какая сила потребуется, чтобы поддерживать такое же движение для пушечного ядра с массой 10 кг? Подставляя численные значения в уже известную нам формулу, получим:

Приличная сила! Остается только надеяться, что ваши руки достаточно сильны, чтобы удержать ядро.

Является ли центростремительная сила реальной силой?

Центростремительная сила не является каким-то особым типом взаимодействия. Она имеет отношение только к объекту, движущемуся по криволинейной траектории, и необходима для удержания объекта на данной траектории. Поэтому ее часто называют центростремительно-необходимой силой. Довольно часто новички считают центростремительную силу каким-то новым фундаментальным типом взаимодействия. И это понятно, поскольку известные нам силы (например, сила гравитации и сила трения) имеют вполне определенный источник, который не зависит от траектории движения. Но это совсем не так для центростремительной силы. Центростремительная сила возникает из необходимости удержания объекта на криволинейной траектории. Сумма всех остальных сил, действующих на объект, который движется по криволинейной траектории, должна быть равна центростремительной силе. (Если объект движется по прямолинейной траектории, а затем ему нужно изменить направление движения, то для этого придется приложить силу, равную центростремительной силе. — Примеч. ред.)

Вписываемся в повороты: учитываем радиус и наклон

Если вам приходилось ехать на автомобиле или велосипеде или даже бежать трусцой, то наверняка вы заметили, что в крутой поворот проще вписаться, если поверхность дороги немного наклонена внутрь поворота. Из опыта известно, что чем больше наклон, тем проще вписаться в поворот. Это объясняется тем, что в таком случае на вас действует меньшая центростремительная сила. Центростремительная сила обеспечивается силой трения о поверхность дороги. Если поверхность дороги покрыта льдом, то сила трения становится меньше и потому часто не удается вписаться в поворот на обледеневшей дороге на большой скорости.

Представьте, что автомобилю с массой 1000 кг нужно вписаться в поворот с радиусом Юм, а коэффициент трения покоя (подробнее о нем см. главу6) равен 0,8. (Здесь используется коэффициент трения покоя, поскольку предполагается, что шины по поверхности дороги.) Какую максимальную скорость может развить этот автомобиль без риска не вписаться в поворот. Итак, сила трения покоя шин о поверхность дороги ( F_ <трение,покоя>) должна обеспечивать центростремительную силу:

где ( m ) — это масса автомобиля, ( v ) — его скорость, ( r ) — радиус, ( mu_п ) — коэффициент трения покоя, a ( g ) = 9,8 м/с 2 — ускорение свободного падения под действием силы гравитации. Отсюда легко находим скорость:

(Обратите внимание, что максимальная безопасная скорость прохождения поворота не зависит от массы автомобиля. — Примеч. ред.)

Это выражение выглядит очень просто, а после подстановки в него численных значений получим:

Итак, максимальная скорость безопасного проезда при таком повороте равна 8,9 м/с. Пересчитаем в единицы “км/ч”, в которых скорость указана на спидометре, и сравним. Получается, что 8,9 м/с = 32 км/ч, а на спидометре всего 29 км/ч. Прекрасно, но далеко не все водители умеют так быстро рассчитывать безопасную скорость прохождения поворотов. Поэтому конструкторы дорог часто строят повороты с наклоном внутрь, чтобы обеспечить центростремительное ускорение не только за счет силы трения, но и за счет горизонтальной компоненты силы гравитации.

На рис. 7.3 показан пример поворота дороги с некоторым наклоном под углом ( theta ) к горизонтали. Предположим, что конструкторы решили полностью обеспечить центростремительное ускорение только за счет горизонтальной компоненты силы гравитации (т.е. без учета силы трения) ( F_нsintheta ) , где ( F_н ) — это нормальная сила (подробнее о ней см. в главе 6). Тогда:

В вертикальном направлении на автомобиль действует сила гравитации ( mg ) , которая уравновешивается вертикальной компонентой нормальной силы ( F_нcostheta ) :

или, иначе выражая это соотношение, получим:

Подставляя это выражение в прежнее соотношение между центростремительной силой и нормальной силой, получим:

Поскольку ( sintheta/!costheta=tg,theta ) в то

Отсюда легко получаем, что угол наклона поворота дороги ( theta ) равен:

Именно это уравнение используют инженеры при проектировании дорог. Обратите внимание, что масса автомобиля не влияет на величину угла, при котором центростремительная сила полностью обеспечивается только горизонтальной компонентой нормальной силы. Попробуем теперь определить величину угла наклона поворота с радиусом 200 м для автомобиля, движущегося со скоростью 100 км/ч или 27,8 м/с:

Для обеспечения безопасного движения автомобиля со скоростью 100 км/ч в повороте с радиусом 200 м без учета силы трения, инженеры должны создать наклон около 22°. Отлично, из вас может получиться неплохой инженер-конструктор автомагистралей!

Вращательное движение: перемещение, скорость и ускорение

Если вы привыкли решать задачи о прямолинейном движении типа “некто движется из пункта А в пункт Б”, то задачи о вращательном движении можно формулировать аналогично, но для этого нужно приобрести некоторый опыт. На рис. 7.1 мяч движется криволинейно по окружности, а не прямолинейно по линии. Это движение можно было бы описать как комбинацию прямолинейных движений с координатами X и Y. Однако гораздо удобнее характеризовать его иначе, а именно как вращательное движение с одной координатой ( theta ) . В данном примере вращательного движения перемещение можно характеризовать углом ( theta ) так же, как в прямолинейном движении перемещение характеризуется расстоянием ( s ) . (Более подробно перемещение при прямолинейном движении описывается в главе 3.)

Стандартной единицей измерения перемещения при вращательном движении является радиан (рад), а не градус. Полная окружность охватывает угол величиной ( 2pi ) радиан, что равно 360°. Соответственно, половина окружности охватывает угол величиной ( pi ) радиан, а четверть окружности — ( pi/2 ) .

Как преобразуются величины углов из градусов в радианы и обратно? Достаточно определить, сколько радиан приходится на один градус, т.е. вычислить отношение ( 2pi ) /360°. Например, величина угла 45° в радианах равна:

Аналогично, для преобразования величины угла из радианов в градусы следует определить, сколько градусов приходится на один радиан, т.е. вычислить отношение 360°/ ( 2pi ) . Например, величина угла ( pi/2 ) в градусах равна:

Формулировка вращательного движения в терминах прямолинейного движения очень удобна. Напомним основные формулы прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3:

Теперь для вывода аналогичных основных формул вращательного движения достаточно в формулах прямолинейного движения вместо расстояния ( s ) , которое характеризует прямолинейное перемещение, подставить угол ( theta ) , который характеризует угловое перемещение. А как определяется угловая скорость? Очень просто. Угловая скорость ( omega ) определяется аналогично, как изменение угла за единицу времени, и равна количеству радианов, пройденных за секунду:

Обратите внимание, как похоже это выражение для угловой скорости на выражение для линейной скорости:

Давайте теперь вычислим угловую скорость мяча на рис. 7.1. Он совершает полный круг, охватывающий ( 2pi ) радиан, за 1/2 с, а значит, его угловая скорость равна:

(Величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности к длине ее радиуса. Поэтому радиан — это безразмерная величина, и ее обозначение (рад) часто опускается. Соответственно, угловую скорость принято указывать “в обратных секундах” как с -1 , т.е. без указания единицы измерения углов. — Примеч. ред.)

Угловое ускорение ( alpha ) определяется аналогично линейному ускорению:

Оно определяется как изменение угловой скорости за единицу времени и измеряется в радианах на секунду в квадрате. Если скорость за 2 с изменилась от величины ( 4pi c^ <-1>) до величины ( 8pi c^ <-1>) , то чему равно угловое ускорение? Подставим эти численные значения в предыдущую формулу и получим:

Итак, для описания вращательного движения у нас есть следующие аналоги: для линейного перемещения ( s ) — угловое перемещение ( theta ) , для линейной скорости ( v ) — угловая скорость ( omega ) и для линейного ускорения ( a ) — угловое ускорение ( alpha ) .

На основании этой аналогии можно легко вывести основные формулы вращательного движения (подобно основным формулам прямолинейного движения, которые подробно описываются в главе 3):

Более подробно эти выражения рассматриваются далее в главе 10 при описании момента импульса и момента силы.

Бросаем яблоко: закон всемирного тяготения Ньютона

Чтобы проводить опыты с вращательным движением, необязательно привязывать мячики к нитям и вращать их вокруг себя. Например, Луне совсем не нужны никакие нити, чтобы вращаться вокруг Земли. А дело в том, что необходимую центростремительную силу, вместо силы натяжения нити, обеспечивает сила гравитационного притяжения.

Один из важнейших законов физики, а именно закон всемирного тяготения, вывел еще сэр Исаак Ньютон. Согласно этому закону любые два тела притягиваются друг к другу с некоторой силой. Величина этой силы притяжения между телами с массами ( m_1 ) и ( m_2 ) , которые находятся на расстоянии ( r ) друг от друга, равна:

где ( G ) — это константа, равная 6,67·10 -11 Н·м 2 /кг 2 .

Благодаря этому уравнению можно легко вычислить силу гравитационного притяжения между двумя телами. Например, какова сила гравитационного притяжения между Землей и Солнцем? Солнце имеет массу около 1,99·10 30 кг, Земля — 5,97·10 24 кг, а расстояние между ними равно 1,50·10 11 м. Подставляя эти числа в закон всемирного тяготения Ньютона, получим:

Как известно, яблоко упало на голову Исаака Ньютона, и он открыл закон всемирного тяготения. Неужели это так и было? Правда ли, что какое-то падающее яблоко натолкнуло его на верную мысль или, по крайней мере, привлекло внимание Ньютона к данной теме? Согласно последним историческим исследованиям, весьма маловероятно, что именно падение яблока на голову великого ученого вдохновило его. Скорее всего, глядя в окно на падающие яблоки в саду, он нашел еще один пример всемирного тяготения. Историки до сих пор спорят, какое именно дерево является “яблоней Ньютона”. Сотрудники поместья матери Ньютона в Вулсторпе возле Грантхэма в Линкольншире (Великобритания) утверждают, в ее семейном саду до сих пор сохранились потомки “яблони Ньютона”.

Возвращаясь с небес на грешную землю, давайте вычислим силу притяжения между двумя влюбленными на парковой скамейке. Какой величины может быть сила гравитационного притяжения между ними, если, едва встретившись, они обнимают друг друга все сильнее и сильнее? Допустим, что они весят по 75 кг и находятся на расстоянии не больше полуметра. Подставляя эти значения в уже известную нам формулу, получим:

Ничтожная сила в несколько миллионных долей ньютона!

Вычисляем силу гравитационного притяжения на поверхности Земли

Описанное выше уравнение ( F=(Gm_1m_2)/r^2 ) для силы гравитационного притяжения справедливо независимо от расстояния между двумя массивными телами. В обыденных ситуациях часто приходится иметь дело с небольшими (по сравнению с размерами Земли) объектами на поверхности Земли, т.е. на фиксированном расстоянии между центром Земли и центром небольшого объекта. Силу гравитационного притяжения (или силу тяжести), действующую на небольшой объект, часто называют весом. Вес ( F_g ) равен произведению массы ( m ) на ускорение свободного падения ( g ) , т.е. ( F_g = mg ) . Массу измеряют в граммах, килограммах, центнерах, каратах и т.д., а вес — в динах, ньютонах и даже фунт-силах.

Попробуем вычислить ускорение свободного падения на поверхности Земли, пользуясь законом всемирного тяготения. Формула веса тела с массой ( m_1 ) нам известна:

Она создается силой гравитационного притяжения между этим телом и Землей и равна этой силе:

Здесь ( r ) — это радиус Земли, равный 6,38·10 6 м, а ( m_2 ) — ее масса, равная 5,97·10 24 кг.

Сокращая массу тела ( m_1 ) в обеих половинах предыдущего равенства, получим:

Подставляя численные значения, получим:

Так, благодаря закону всемирного тяготения Ньютона мы смогли вычислить значение ускорения свободного падения, уже известное нам из прежних глав. Как видите, для этого нам потребовались значения константы всемирного тяготения ( G ) , радиуса Земли ( r ) и ее массы ( m_2 ) . (Конечно, значение ускорения свободного падения ( g ) можно определить экспериментально, измеряя время падения предмета с известной высоты. Но, согласитесь, гораздо интересней использовать последнюю формулу, для применения которой потребуется экспериментально измерить… радиус и массу Земли. Шутка!)

Исследуем орбитальное движение с помощью закона всемирного тяготения

Небесные тела в космическом пространстве из-за силы гравитационного притяжения вращаются друг относительно друга: спутники — вокруг своих планет (как Луна — вокруг Земли), планеты — вокруг звезд (как Земля — вокруг Солнца в Солнечной системе), а звезды — вокруг центра Галактики (как Солнце — вокруг центра нашей галактики, т.е. Млечного пути), а Галактика — вокруг местной группы галактик (как Млечный путь — вокруг нашей Местной группы галактик). Во всех этих случаях тела удерживаются центростремительной силой, которую обеспечивает сила гравитации. Как показано ниже, такая центростремительная сила несколько отличается от той, которая известна нам по прежнему примеру с вращающимся на нитке мячом для игры в гольф. В следующих разделах рассматриваются широко известные законы вращения тел под действием силы гравитационного притяжения, так называемые законы Кеплера, т.е. соотношения между параметрами вращательного движения: периодами вращения, радиусами и площадями орбит вращения.

Вычисляем скорость спутника

Чему равна скорость спутника, вращающегося вокруг планеты по орбите с постоянным радиусом? Ее можно легко определить, приравнивая центростремительную силу:

и силу гравитации:

В итоге получаем:

После простых алгебраических операций получим следующее выражение для скорости вращения:

Это уравнение определяет скорость вращения спутника по постоянной орбите независимо от его происхождения, будь-то искусственный спутник Земли, как рукотворный космический корабль на постоянной орбите, или естественный спутник Земли, как Луна.

Подсчитаем скорость вращения искусственного спутника Земли, вращающегося вокруг Земли. Для этого нужно в предыдущую формулу подставить массу Земли и расстояние от космического орбитального спутника до центра Земли.

Рукотворные спутники Земли обычно вращаются на высоте около 640 км, а радиус Земли, как известно, равен 6,38·10 6 м. Можно считать, что искусственные спутники вращаются на круговой орбите с радиусом около 7,02·10 6 м. Подставляя это и другие известные нам численные значения в предыдущую формулу, получим:

В этом месте нужно сделать несколько важных замечаний.

Значение 7,02·10 6 м в знаменателе обозначает расстояние от спутника до центра Земли, а не расстояние от спутника до поверхности Земли, равное 640 км. Помните, что в законе всемирного тяготения под расстоянием между телами подразумевается расстояние между их центрами масс, а не между их поверхностями.

В данном примере предполагается, что космический корабль находится достаточно высоко и не испытывает влияние атмосферы, например силу трения от соприкосновения с ней. На самом деле это не так. Даже на такой большой высоте как 640 км, космический корабль теряет скорость, вследствие трения в разреженных слоях атмосферы. В результате его скорость уменьшается, а сам корабль постепенно снижается. (Более подробно об этом рассказывается ниже.)

Движение искусственного спутника вокруг Земли можно рассматривать как “вечное” падение. От фактического падения его “удерживает” только то, что вектор скорости всегда направлен перпендикулярно радиусу окружности вращения. Действительно, именно из-за такого “вечного” падения космонавты испытывают чувство невесомости. Дело в том, что космонавты и их космический корабль “вечно” падают по касательной к орбите вращения вокруг Земли, но при этом нисколько не приближаются к Земле.

В практических целях часто важнее знать период обращения искусственного спутника, а не его скорость. Это нужно, например, в ситуации, когда требуется определить момент выхода на связь с космическим кораблем.

Вычисляем период обращения спутника

Периодом обращения спутника называется время, которое необходимо ему, чтобы совершить полный цикл вращательного движения по орбите. Если нам известна орбитальная скорость движения ( v ) спутника по окружности с радиусом ( r ) (см. предыдущий раздел), то можно легко и просто вычислить период обращения ( T ) . За период обращения спутник преодолевает расстояние, равное длине окружности ( 2pi r ) . Это значит, что орбитальная скорость ( v ) спутника равна ( 2pi r/T ) . Приравнивая это соотношение и полученное ранее выражение для орбитальной скорости

где ( m ) — масса Земли, получим:

Отсюда легко получить следующее выражение для периода обращения спутника:

А на какой высоте должен находиться спутник, чтобы вращаться с периодом обращения Земли вокруг своей оси, равным 24 часам или 86400 с? Это вовсе не праздный вопрос. Такие спутники действительно существуют и используются для обеспечения непрерывной связи в данном регионе. Действительно, ведь, обращаясь вокруг Земли с тем же периодом, что и Земля, спутник на такой геостационарной орбите постоянно находится над одной и той же точкой поверхности Земли. Несколько таких спутников образуют систему глобального позиционирования. Итак, с помощью предыдущей формулы вычислим радиус окружности вращения спутника на стационарной орбите:

Подставляя численные значения, получим:

Отнимая от этой величины 4,23·10 7 м, значение радиуса Земли, равное 6,38·10 6 м, получим приблизительно 3,59·10 7 м, т.е. около 35900 км. Именно на таком расстоянии от Земли вращаются спутники глобальной системы позиционирования.

На практике спутники на геостационарной орбите все же теряют скорость из- за взаимодействия с магнитным полем Земли (подробнее о магнитном поле рассказывается в следующих главах). Поэтому спутники оборудованы небольшими двигателями для корректировки их положения на геостационарной орбите.

Вращаемся вдоль вертикальной плоскости

Наверняка вам приходилось наблюдать, как отважные мотоциклисты, велосипедисты или скейтбордисты вращаются внутри круглого трека, расположенного в вертикальной плоскости. Почему сила тяжести не опрокидывает их в самой верхней точке, где они находятся вверх ногами? Как быстро им нужно двигаться, чтобы сила гравитации не превышала центростремительной силы?

Рассмотрим эту ситуацию подробнее с помощью схемы на рис. 7.4. Для простоты предположим, что вместо отважных спортсменов маленький мячик совершает движение по окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Итак, предыдущий вопрос формулируется следующим образом: “Какой минимальной скоростью должен обладать мячик, чтобы совершить полный цикл движения по вертикально расположенной окружности?”. Какому основному условию должно отвечать движение мячика, чтобы он совершил полный цикл движения по такой окружности и не упал в самой верхней точке?

Для прохождения самой верхней точки без падения мячик должен обладать минимальной скоростью, достаточной для создания такой центростремительной силы, которая была бы не меньше силы гравитации.

При таких условиях нормальная сила со стороны трека будет равна нулю, а единственной силой, которая будет удерживать объект на окружности, является сила гравитации. Поскольку центростремительная сила равна:

а сила гравитации равна:

то, приравнивая их, получим:

Отсюда получим выражение для минимально необходимой скорости для безопасного движения по окружности, расположенной в вертикальной плоскости:

Обратите внимание, что на величину минимально необходимой скорости для безопасного движения объекта по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, не влияет масса объекта, будь-то мячик, мотоцикл или гоночный автомобиль.

Любой объект, движущийся с меньшей скоростью, в самой верхней точке трека неизбежно отклонится от траектории движения по окружности и упадет. Давайте вычислим величину минимально необходимой скорости для безопасного движения по окружности с радиусом 20 м. Подставляя численные значения в предыдущую формулу, получим:

Итак, для безопасного движения по окружности с радиусом 20 м объект (мячик, мотоцикл или гоночный автомобиль) должен иметь скорость не менее 14 м/с, т.е. около 50 км/ч.

Учтите, что для безопасного движения по окружности такую минимальную скорость объект должен иметь в самой верхней точке! Для того чтобы развить такую скорость в верхней точке, объекту в нижней точке нужно иметь гораздо большую скорость. Действительно, ведь чтобы добраться до верхней точки объекту придется какое-то время преодолевать силу гравитации с неизбежной потерей скорости.

Возникает вопрос: какую минимальную скорость в нижней точке должен иметь объект для безопасного движения по такой окружности? Подробный ответ на этот вопрос будет дан в части III этой книги, в которой рассматриваются такие понятия, как “кинетическая энергия”, “потенциальная энергия” и “преобразование энергии из одной формы в другую”.

[spoiler title=”источники:”]

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Глава 7. Движемся по орбитам

[/spoiler]

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 20 апреля 2021 года; проверки требуют 3 правки.

Разложение ускорения на тангенциальное ${displaystyle mathbf {a} _{tau }}$ и нормальное ${mathbf a}_{n}$ ( — единичный вектор нормали)

Центростреми́тельное (норма́льное) ускоре́ние — составляющая ускорения тела, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости (вторая составляющая, тангенциальное ускорение, характеризует изменение модуля скорости). Направлено к центру кривизны траектории, с чем и связан термин.
Обозначается символом, выбранным для ускорения, с добавлением значка «нормальное»: ${displaystyle {vec {a}}_{n}}$ (реже ${displaystyle {vec {w}}_{n}}$ ); в системе СИ измеряется в м/с².

Пример движения с ненулевым центростремительным ускорением — движение по окружности (в таком случае ${displaystyle {vec {a}}_{n}}$ направлено к центру окружности).

В классической механике нормальное ускорение вызывается компонентами сил, направленными ортогонально вектору скорости. Например, движение космического объекта на орбите характеризуется центростремительным ускорением, вызванным гравитацией. Составляющая суммы сил, обусловливающая наличие нормального ускорения, называется центростремительной силой. Связанное понятие для неинерциальных систем отсчёта — центробежная сила.

Осестремительное ускорение, рассматриваемое в случаях вращения тела вокруг оси, в проекции на плоскость, перпендикулярную оси, предстаёт как центростремительное.

Общая формула[править | править код]

Нормальное ускорение a_n вычисляется по формуле

$a_{n}={frac {v^{2}}{R}}$

или (с использованием соотношения )

где — (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, omega — (мгновенная) угловая скорость движения относительно центра кривизны траектории, — радиус кривизны траектории в данной точке.

Выражения могут быть переписаны в векторном виде:

${displaystyle mathbf {a} _{n}={frac {v^{2}}{R}}mathbf {n} =omega ^{2}Rmathbf {n} }$

Здесь — единичный вектор, направленный от данной точки траектории к центру кривизны траектории.

Эти формулы применимы как к частной ситуации равномерного движения (const), так и к произвольному случаю. В равномерном случае нормальное ускорение совпадает с полным. В общем же случае нормальное ускорение — это лишь компонента вектора , перпендикулярная траектории движения (вектору vec{v} ), а в полный вектор ускорения входит ещё и тангенциальная составляющая ${displaystyle a_{tau }=dv/dt}$ , сонаправленная касательной к траектории движения^[1].

Вывод формулы[править | править код]

Для разложения ускорения на тангенциальное и нормальное можно продифференцировать по времени вектор скорости, представленный в виде через единичный вектор касательной :

${displaystyle mathbf {a} ={frac {dmathbf {v} }{dt}}={frac {d(vmathbf {tau } )}{dt}}={frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} t}},mathbf {tau } +v{frac {dmathbf {tau } }{dt}}=mathbf {a} _{tau }+v{frac {dmathbf {tau } }{dl}}{frac {dl}{dt}}=mathbf {a} _{tau }+v^{2}{frac {dmathbf {tau } }{dl}}=mathbf {a} _{tau }+{frac {v^{2}}{R}}{frac {dmathbf {tau } }{dvarphi }}=mathbf {a} _{tau }+{frac {v^{2}}{R}},mathbf {n} }$

Здесь первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — нормальное ускорение. Через обозначен единичный вектор нормали, — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке, — элемент длины траектории. Малый участок любой кривой может считаться дугой окружности, причём её радиус и есть радиус кривизны . В цепочке преобразований использованы очевидные соотношения и (где dvarphi — малый угол поворота вокруг центра кривизны).

Равенство вытекает из геометрических соображений. Разность единичных касательных векторов в рассматриваемой () и близкой к ней () точках траектории составляет по величине , где — угол между и . Эта разность направлена под углом к нормали в рассматриваемой точке. При малости будет совпадение с вектором нормали . Также при малости возможно разложении синуса в ряд Тейлора. В результате придём к или, для бесконечно малых, .

О радиусе кривизны[править | править код]

Вычисление радиуса кривизны и координат центра кривизны траектории является математической задачей (см. Кривизна). Если кривая задана уравнением , то радиус её кривизны в точке (, ) находится как^[2]

${displaystyle R={frac {(1+f'^{2})^{3/2}}{|f''|}}}$

а положение центра кривизны — по формулам^[2]

${displaystyle xi =x-{frac {f'(1+f'^{2})}{f''}},qquad eta =y+{frac {1+f'^{2}}{f''}}}$

Единичный вектор нормали в таком случае составит ( vec{i} , vec{j} — орты)

${displaystyle {vec {n}}={frac {xi -x}{R}},{vec {i}}+{frac {eta -y}{R}},{vec {j}}}$

Если известна зависимость радиус-вектора материальной точки от времени (с математической точки зрения это означает задание траектории в параметрическом виде), то радиус кривизны можно найти через ускорение:

${displaystyle R={frac {v^{2}}{sqrt {a^{2}-a_{tau }^{2}}}}}$

где и ${displaystyle a_{tau }=dv/dt}$ ; предварительно находится скорость как . Центр кривизны в общем случае не будет совпадать с началом отсчёта радиус-вектора.

Мотивация, замечания[править | править код]

То, что разложение вектора ускорения на компоненты — одну вдоль касательной к траектории (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ей (нормальное ускорение) — может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Крайне важен также частный случай движения по окружности.

Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

История понятия[править | править код]

Первым правильные формулы для центростремительного ускорения (или центробежной силы) получил, по-видимому, Гюйгенс. Практически с этого времени рассмотрение центростремительного ускорения входит в обычную технику решения механических задач.

Несколько позже эти формулы сыграли существенную роль в открытии закона всемирного тяготения (формула центростремительного ускорения использовалась для получения закона зависимости гравитационной силы от расстояния до источника гравитации, исходя из выведенного из наблюдений третьего закона Кеплера).

К XIX веку рассмотрение центростремительного ускорения становится уже совершенно рутинным как для чистой науки, так и для инженерных приложений.

См. также[править | править код]

Тангенциальное ускорение
Кривизна кривой
Центробежная сила

Примечания[править | править код]

↑ Как видно из формулы, при движении с постоянной путевой скоростью — тангенциальное ускорение попросту равно нулю.
↑ ¹ ² Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», c. 368-370.

Источник

В этой статье мы увидим, как найти скорость с ускорением, а также на некоторых примерах и решим некоторые проблемы.

Ускорение объекта прямо пропорционально изменению скорости со временем. Для объекта, ускоряющегося по круговому или параболическому пути, скорость остается касательной к дуге.

Как определить скорость по угловому ускорению?

Угловое ускорение определяется как изменение угловой скорости относительно изменения продолжительности времени и представлено как

а=Δω/Δt—(1)

Угловая скорость может быть определена путем вычисления изменения угла θ во времени. Следовательно,

так как ω = d/dt — (2)

Следовательно, мы можем записать предыдущее уравнение как

поэтому а=d²θ/дт²

Из уравнения (1),

dω = adt

Интегрируя уравнение

∫ dω =∫ adt

ω = at+C—(3)

Когда t=0, ω=ω₀

И, следовательно, C=ω₀

Подставляя это в уравнение (3)

ю = ю₀+в -(4)

Это показывает, что угловая скорость объекта при круговом движении равна его начальной угловой скорости и ускорению объекта во времени.

Рассмотрим частицу, движущуюся по окружности с угловой скоростью ω

Пусть s – расстояние, пройденное частицей за время t. Если радиус кругового пути равен ‘r’, тогда ‘θ’ будет углом, образованным частицей, перемещающейся на расстояние ‘s’.

Угловое ускорение частицы

Тогда линейная скорость частицы будет равна перемещению частицы за время t. Смещение здесь – s. Следовательно, скорость задается как

v=Δs/Δt—(5)

Изменение угла θ при смещении частицы равно отношению длины дуги к радиусу окружности.

Δθ = с/р

поэтому s=Δθr

Подставляя это в уравнение (5)

v=r Δθ/Δt

Поскольку угловая скорость равна изменению угла во времени; мы можем переписать уравнение в виде

v=rω—(6)

Где ω – угловая скорость

Это подразумевает, что линейная скорость частицы является произведением радиуса кругового пути, пройденного частицей, и угловой скорости.

Problem1: Человек, стоящий в гравитроне диаметром 6 м, ускоряется со скоростью 15 м / с. Какой должна быть линейная скорость гравитрона. Начальная скорость гравитрона 4 м / с. Какое ускорение гравитрона за время 3 мин?

Дано: Радиус r = 3м

Начальная угловая скорость ω₀= 4 м / с

Конечная угловая скорость ω=15м/с

Линейная скорость гравитрона при достижении угловой скорости 15 м / с.

v = rω

v=3*15=45м/с

Ускорение гравитрона за время 3 мин.

ω=ω₀+ в

15=4+а*3

11=а*3

а=11/3

а = 3.67 м / с²

Следовательно, ускорение в момент времени t = 3 мин составляет 3.67 м / с.

Problem2: Автомобиль, разгоняющийся по круговой дорожке, набирает начальную скорость 20 км/ч и разгоняется до скорости 15 км/ч^2. Какова скорость автомобиля через 15 минут?

Дано: ω₀=20 км/ч

а = 15 км / ч²

t=15 минут=15/60=0.25 часа

Следовательно,

ю = ю₀+ в

ш =20+15*0.25

ω =20+3.75=23.75 км/ч

Следовательно, скорость автомобиля через 15 минут будет 23.75 км / ч.

Связь между скоростью, смещением и ускорением

Мы вывели уравнение для расчета конечной скорости на основе ускорения и зная начальную скорость системы.

Рассматривая то же уравнение (4) из приведенного выше, мы можем записать

v = v₀+ в

Где v – конечная скорость

v₀ начальная скорость

А – ускорение частицы.

Скорость определяется как изменение положения объекта между временным интервалом.

дх/дт=в₀+ в

дх=(v₀+в)дт

Интегрируя приведенное выше уравнение

∫dx=∫(v₀+в)дт

]х=v₀t+1/2 в² -(Один)

Поскольку скорость определяется перемещением в единицу времени, перемещение равно произведению средней скорости и времени.

х=v^→т — (8)

Где v^→ средняя скорость, равная v^→=v₀т+в/2

Из уравнения (4) получаем t=vv₀/a

Подставляя это в приведенное выше уравнение (), мы имеем

х=v+v₀/2*вв₀/a

х=v² -v₀²/2а —(9)

Преобразуя это уравнение

v²=v₀²+2 топор—(10)

Это еще одно кинематическое уравнение для частицы в прямолинейное движение.

Как определить скорость по центростремительному ускорению?

Скорость объекта, ускоряющегося по круговой траектории, перпендикулярна направлению центростремительной силы, действующей внутрь.

Центростремительная сила и скорость движущегося объекта задаются соотношением

Fc=мв²/ г—(11)

Где r – радиус круга

V – линейная скорость

M – масса частицы

Объект массы m, ускоряющийся по круговой траектории радиуса r, линейная скорость равна радиусу круговой траектории и угловой скорости частицы.

v = rω

Где ω угловая скорость частицы

И сила равна произведению массы на ускорение объекта.

Подставляя это в уравнение (7);

F=мистер²ω²/r

F=мрω²

ма=мрω²

а=rω² -(Один)

Следовательно, ускорение и скорость частицы при центростремительном движении связаны уравнением (8), согласно которому Ускорение движущейся частицы является произведением радиуса круговой траектории и квадрата угловой скорости, достигнутой частицей..

Problem3: Мальчик привязал камень к одному концу веревки длиной 1 м, а другой конец веревки держит в руке и вращает круговыми движениями со скоростью 2 оборота в секунду. Рассчитать угловую скорость камня?

Решение: Поскольку длина каната составляет 1 м, радиус круговой траектории равен 1 м.

За 1 секунду камень совершает 2 оборота, которые равны двум окружностям кругового пути, пройденного камнем.

Окружность кругового пути

С=2π г=2π* 1=2π

Следовательно, камни преодолевают расстояние 2 * 2π = 4π за одну секунду.

Следовательно, угловое ускорение камня равно

а =4π/с

Следовательно, угловая скорость камня равна

поэтому а=rω²

4π =1*ω²

ω =√4π =0.6 м/с

Problem4: Шар радиуса 0.3 м движется со скоростью 5 м / с по окружности диаметром 5 м. Какая угловая скорость мяча?

Дано: r = 5m

V = 5m / с

Используя уравнение v=ωr

Угловая скорость мяча равна

ω = v / r

ω=5/5=1 об/с

Подробнее о центростремительное ускорение.

Как определить скорость по переменному ускорению?

Считается, что объект движется с переменным ускорением, если его скорость часто меняется в разные промежутки времени.

Если ускорение частицы равно а, то а=dv/dt, которое меняется со временем t. Скорость можно вычислить, интегрируя уравнение dv=adt.

Рассмотрим частицу ускорение со скоростью v1 в случайном движении. Если частица вдруг изменит свое направление и скорость от v₁ к V₂ после временного интервала t₁ к т₂.Тогда ускорение a₁ частицы

a₁=v₂-v₁/t₂-t₁

Если в момент t₁= 0, v₁= 0, а при t₂= 30 секунд, v₂= 3 м / с, то

a₁=3-0/30-0=3/30=0.1m/s²

Опять же, частица меняет направление и достигает скорости v₃ в момент t₃.

Теперь ускорение из-за изменения скорости частицы становится

a₁=v₃-v₃/t₃-t₃

Если в t₃= 60 секунд v₃ = 8 м / с,

a₁=8-3/60-30=5/30=0.167m/s²

Следовательно, изменение ускорения теперь из-за случайного движения частицы равно

Δа=а₂-a₁=0.167-0.1=0.067 м/с²

Что составляет примерно 0.07 м/с.²

Problem5: Если ускорение частицы задается уравнением a=6t²+4t, найти скорость частицы в момент времени t=2 с.

Решение: а=6t²+ 4т

дв/дт=6t²+ 4т

дв=(6t²+4т)дт—————(13)

Вышеупомянутое уравнение является переменным со временем t, поэтому оно называется переменным ускорением, потому что время не является постоянным.

Интегрирующее уравнение (13)

∫dv=∫6t²+4дт

v=6t³/3+4т²/2

v=2t³+ 2т²

v=2(т³+t²)

Когда время t = 2 секунды

v=2(2³+2²)

v = 2 (8 + 4)

v=2*12=24 м/с

Следовательно, скорость частицы составляет 24 м / с.

Как найти скорость с помощью ускорения и радиуса?

Когда объект ускоряется по кругу, он создает центростремительную силу, направленную к центру круга.

Если r – радиус круга, а m – масса объекта, то центростремительная сила, действующая на объект, определяется выражением

F_c=мв²/r

Так как Ф_c=ма

ма=мв²/r

а=в²/ г—(14)

v=√ar—(15)

Следовательно, скорость прямо пропорциональна квадратному корню из произведения ускорения и радиуса круга.

Как найти скорость с помощью ускорения и угла?

Ускорение определяется как отношение изменения угловой скорости во времени.

Для объекта, движущегося по круговой траектории, скорость и, следовательно, ускорение объекта измеряются в единицах изменения угла θ.

а=dω/dθ

Используя приведенное выше уравнение (4)

ю = ю₀+ в

Так как ω = dθ /dt

Следовательно,

dθ/dt=ω₀+ в

dθ=(ω₀+ат) дт

Интегрируя это уравнение

∫dθ=∫(ω₀+ат) дт

θ=ω₀+1/2 в²

ω₀=θ т^-1-1/2 в -(16)

Вышеприведенное уравнение показывает связь между скоростью omega _0, ускорением «а» и углом θ.

Problem6: Угловая скорость двигателя увеличивается с 1800 об/мин до 2400 об/мин за 10 секунд. Найти угловое ускорение и количество оборотов мотора за это время?

Начальная угловая скорость в рад / сек.

ω₀=2π*1800

=2π*1800/60=60π рад/с

Конечная угловая скорость в рад / сек.

ω =2π*2400

=2π*2400/60=80πрад/с

Угловое ускорение a=ω-ω₀/t

a=(80-60)π/10=2π рад/с²

Угловое ускорение двигателя 2π рад/с.²

Угловое смещение во времени t определяется выражением

θ=ω₀t+1/2 в²

=60π*10+1/2 * 2 Пи π *10²

=600π +100π=700π

Число оборотов = 700π/2π=350

Следовательно, двигатель делает 350 оборотов в секунду.

Как найти скорость с помощью ускорения и силы?

Нормальная сила определяется как произведение массы и ускорения, тогда как сила, приложенная к объекту, равна отношению проделанной работы и смещения объекта.

При центростремительном движении сила пропорциональна квадрату скорости объекта, отслеживающего круговой путь, и массе объекта и обратно пропорциональна удалению объекта от центра кругового пути.

При прямолинейном движении конечная скорость объекта связана с ускорением по уравнению

v = u + при

Поскольку F = ma

а=Ф/м

Подставив это в приведенное выше уравнение

v=u+F/мт

Когда объект совершает круговое движение, скорость связана с ускорением соотношением

а=в²/r

Следовательно, скорость связана с силой уравнением

v²=Фр/м

Подробнее о Как определить конечную скорость без ускорения: факты, проблемы, примеры.

Часто задаваемые вопросы

Как ускорение зависит от времени и скорости?

Ускорение изменяется во времени и равно изменению скорости объекта во времени.

Ускорение зависит от времени и скорости объекта соотношением

v=u+at. Следовательно, a=vu/t

В чем разница между скоростью и скоростью?

Скорость – это скалярная величина, тогда как скорость – это векторная величина.

Скорость измеряется с точки зрения пути, пройденного объектом за время t, тогда как скорость не касается пути, пройденного объектом, а зависит от его начального и конечного положения.

Почему мы испытываем внезапный рывок назад при ускорении автомобиля?

При разгоне изменяется скорость движущегося автомобиля.

Изменение скорости одновременно изменяет импульс автомобиля и испытывает силу, которая ощущается на теле. Это может быть представлено соотношением как F=ma=mdv/dt=d/dt(mv)=dp/dt

Источник