Как найти скорость ракеты через высоту - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Фо́рмула Циолко́вского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической скоростью:

${displaystyle V=Icdot ln {frac {M_{1}}{M_{2}}},}$

где

— конечная скорость летательного аппарата, которая для случая манёвра в космосе при орбитальных манёврах и межпланетных перелетах часто обозначается ΔV, также именуется характеристической скоростью;

— удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

$M_{{1}}$

— начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);

$M_{{2}}$

— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата).

История[править | править код]

Белорусский почтовый блок 2002 года. Формула Циолковского (внизу) приведена в близком к записанному Циолковским виде.

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 (22) мая 1897^[1] и опубликована в 1903 году в майском выпуске журнала «Научное обозрение» в следующем виде^[2]^:53^[3]^[4]:

${displaystyle {V over V_{1}}=ln left(1+{M_{2} over M_{1}}right),}$

где

— конечная скорость ракеты;

$V_{1}$

— скорость вырывающихся элементов относительно ракеты;

$M_{1}$

— масса ракеты без взрывчатых веществ (то есть без топлива);

$M_{2}$

— масса взрывчатых веществ.

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур в 1810—1811 годах^[5],
опубликовавший решение в своей книге в 1813 году^[6], а также П. Г. Тэйт в 1861 г. и У. Дж. Стил из Кембриджского университета в 1856 году^{[источник не указан 1265 дней]}.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:

${displaystyle mcdot {frac {d{vec {V}}}{dt}}+{vec {u}}cdot {frac {dm}{dt}}=0,}$

где

— масса точки;

— скорость точки;

— относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы.

Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс ^[7].

Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

Введем обозначения:

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

${displaystyle V=sum _{i=1}^{N}I_{i}cdot ln left({frac {M_{0}+{sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}{M_{0}+M_{2i}-M_{1i}+{sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}}right).}$

Отличие реальной скорости ракеты от характеристической[править | править код]

Поскольку в условиях реального полёта на ракету кроме тяги двигателей действуют и другие силы, скорость, развиваемая ракетами в этих условиях, как правило, ниже характеристической из-за потерь, вызываемых силами гравитации, сопротивления среды и другими факторами.

В следующей таблице приведён баланс скоростей ракеты Сатурн V при предполагаемом выводе корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне^[8].

Ступень	Характеристическая скорость, м/c	Гравитационные потери, м/c	Аэродинамические потери, м/c	Потери на управление, м/c	Фактическая скорость, м/c
Первая (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Вторая (S-II)	4725	335	0	183	4207
Третья (S-IVB)	4120	122	0	4,5	3993,5
В сумме	12505	1677	46	187,5	10594,5^[9]

Как видно из таблицы, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:^[10]

${displaystyle Delta v_{g} =int limits _{0}^{t}g(t)cdot cos(gamma (t)),dt,}$

где

— местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта.

Как видно из таблицы, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение близко к максимальному значению — 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

${displaystyle Delta v_{a} =int limits _{0}^{t}{frac {A(t)}{m(t)}},dt,}$

где

— сила лобового аэродинамического сопротивления;

— текущая масса ракеты.

Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Космический аппарат должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

${displaystyle Delta v_{u} =int limits _{0}^{t}{frac {F(t)}{m(t)}}cdot (1-cos(alpha (t))),dt,}$

где

— текущая сила тяги двигателя;

— текущая масса ракеты, а

— угол между векторами тяги и скорости ракеты.

Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет[править | править код]

Выведенная в конце XIX века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

${displaystyle {frac {M_{1}}{M_{2}}}=e^{V/I},}$

(1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса.

Введём следующие обозначения:

$M_{{0}}$ — масса полезного груза;
$M_{{k}}$ — масса конструкции ракеты;
$M_{{t}}$ — масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

${displaystyle M_{k}={frac {M_{t}}{k}},}$

где

— коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции.

При рациональном конструировании этот коэффициент, в первую очередь, зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента . Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения ).

Предыдущее уравнение может быть записано в виде:

${displaystyle {frac {M_{0}+M_{t}+M_{t}/k}{M_{0}+M_{t}/k}}=e^{V/I},}$

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

${displaystyle M_{t}={frac {M_{0}cdot kcdot (e^{V/I}-1)}{k+1-e^{V/I}}}.}$

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента .

Формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы:

${displaystyle k+1-e^{V/I}>0}$

, иначе говоря, ${displaystyle k>e^{V/I}-1.}$

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости при заданных значениях удельного импульса и коэффициента . Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты[править | править код]

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой ${displaystyle M_{0}=10}$ т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс м/c. Коэффициент означает, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя.

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c, характеристическая скорость, таким образом, составит м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина ${displaystyle e^{V/I}=17,86}$ . Неравенство (4) не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Данный расчет является упрощенным и не учитывает затрат на изменение потенциальной энергии тела, и при его прямом применении возникает иллюзия, что затраты уменьшаются с ростом высоты орбиты. В реальности без учёта потерь на сопротивление атмосферы и гравитационных потерь за время вывода на орбиту потребная скорость (мгновенно приданная телу на уровне нулевой высоты над поверхностью) оказывается выше. Её можно примерно определить, применив закон сохранения механической энергии (гипотетическая эллиптическая орбита с перицентром в точке касания Земли и апоцентром на высоте целевой орбиты):

${displaystyle left({frac {mV^{2}}{2}}right)-left({frac {GmM}{R}}right)=left({frac {mV_{0}^{2}}{2}}right)-left({frac {GmM}{r}}right),}$

где

— средний радиус Земли;

— высота круговой орбиты (с учётом радиуса Земли, то есть

); ${displaystyle V_{0}^{2}=V^{2}-{frac {2GM}{r}}+{frac {2GM}{R}}}$

Если принять скорость в перицентре равной круговой на уровне поверхности Земли ( ${displaystyle V_{0}^{2}={frac {GM}{r}}}$ ), то:

${displaystyle V_{0}^{2}={frac {2GM}{r}}-{frac {GM}{R}}}$

, или ${displaystyle V_{0}={sqrt {frac {2GM}{r}}}{sqrt {1-{frac {r}{2R}}}}.}$

Это приближение не учитывает импульсов на переход с круговой орбиты Земли на эллиптическую и с эллиптической на новую круговую, а также применимо только к хомановским переходам (то есть применение для параболических и гиперболических переходов не работает), но много точнее, чем просто принимать за потребную скорость первую космическую для широкого диапазона высот НОО.

Тогда на высоте 250 км потребная скорость для вывода составит 8,063 м/с, а не 7,764, а для геостационарной орбиты (35 786 км над уровнем Земли) — уже 10,762 м/с, а не 3,077 м/с, как было бы при игнорировании затрат на изменение потенциальной энергии.

Расчёт для двуступенчатой ракеты[править | править код]

Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двухступенчатой ракеты: м/c. На этот раз ${displaystyle e^{V/I}=4,23}$ , что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для второй ступени получаем:

$M_{{t2}}={frac {10cdot 9cdot (4,23-1)}{9+1-4,23}}=50,3$

т;

$M_{{k2}}={frac {50,3}{9}}=5,6$

т.

Таким образом, полная масса второй ступени составляет 55,9 т.

Для первой ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса второй ступени; после соответствующей подстановки получаем:

$M_{{t1}}={frac {(10+55,9)cdot 9cdot (4,23-1)}{9+1-4,23}}=331,3$

т;

$M_{{k1}}={frac {331,3}{9}}=36,8$

т.

Таким образом, полная масса первой ступени составляет 368,1 т, а общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10+55,9+368,1 = 434 т. Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем, что стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т, четырёхступенчатой — 294,2 т, пятиступенчатой — 281 т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении: при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями-переходниками — несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента , а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования — при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке, и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Обобщённая формула Циолковского[править | править код]

Для ракеты, летящей со скоростью, близкой к скорости света, справедлива обобщённая формула Циолковского:

${displaystyle {frac {M_{2}}{M_{1}}}=left({frac {1-{frac {V}{c}}}{1+{frac {V}{c}}}}right)^{frac {c}{2I}},}$

где

— скорость света^[11].

Для фотонной ракеты I=c и формула имеет вид:

${displaystyle {frac {M_{2}}{M_{1}}}={sqrt {frac {1-{frac {V}{c}}}{1+{frac {V}{c}}}}}.}$

Скорость фотонной ракеты вычисляется по формуле:

${displaystyle {frac {V}{c}}={frac {1-left({frac {M_{2}}{M_{1}}}right)^{2}}{1+left({frac {M_{2}}{M_{1}}}right)^{2}}}.}$

В филателии[править | править код]

Формула Циолковского изображена на почтовой марке Польши 1963 года (Sc #1178), почтовой марке Никарагуа 1971 года из серии «10 математических формул, которые изменили лик Земли» (Sc #880) и на полях почтового блока Белоруссии 2002 года, посвящённого 45-летию освоения космоса (Sc #454).

См. также[править | править код]

Уравнение Мещерского
Ракетодинамика

Примечания[править | править код]

↑ Архив Российской академии наук (АРАН). Ф. 555. Оп. 1. Д. 32. Лл. 1—2, 5, 11, 20. См. электронные копии Архивная копия от 20 января 2019 на Wayback Machine этих страниц на сайте архивов РАН.
↑ Циолковский К. Исследование мировых пространств реактивными приборами // Научное обозрение. — 1903. — № 5. — С. 44—75.
↑ Циолковский К. Э. Труды по ракетной технике / Под редакцией М. К. Тихонравова. — М.: Оборонгиз, 1947. — С. 33.
↑ К. Ціолковскій, Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами, 1903 (available online here Архивировано 15 августа 2011 года. in a RARed PDF)
↑ Moore, William (англ.) (рус.; of the Royal Military Academy, Woolwich. A Journal of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts Vol. XXVII, December 1810, Article IV: Theory on the motion of Rockets (англ.). — London: W. Nichelson, 1810.
↑ Moore, William (англ.) (рус.; of the Royal Military Academy, Woolwich. A Treatise on the Motion of Rockets. To which is added, An Essay on Naval Gunnery (англ.). — London: G. and S. Robinson, 1813.
↑ Для теплового ракетного двигателя это справедливо при равенстве давлений на срезе сопла и в окружающей среде. Формула Циолковского сохраняет свою справедливость независимо от соблюдения этого условия.
↑ Пилотируемые полёты на Луну, конструкция и характеристики SATURN V APOLLO Архивная копия от 14 ноября 2017 на Wayback Machine. Реферат ВИНИТИ. — М., 1973.
↑ К этой величине добавляется скорость вращения Земли на широте мыса Канаверал, с которого производились пуски по программе «Аполлон» — 406 м/с. Таким образом корабль Аполлон стартовал к Луне со скоростью 11 000 м/с. На высоте 500 км, (апогей околоземной орбиты, с которой корабль переходил на траекторию полёта к Луне) вторая космическая скорость составляет 10 772 м/c.
↑ Феодосьев В., Синярев Г. Введение в ракетную технику. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Оборонгиз, 1961.
↑ Левантовский, 1980, с. 444.

Литература[править | править код]

Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

Источник

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

$V = I cdot ln left( frac{M_{1}}{M_{2}} right)$ ,

где:

— конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;

— удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

$M_{1}$ — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);

$M_{2}$ — конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция).

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 мая 1897 года (22 мая по григорианскому календарю).^[1]

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810—1811 гг. и в 1856 году.

$m cdot frac {dvec{V}}{dt}+ vec{u} cdot frac {dm}{dt}=0$ ,

в котором — масса точки;

— скорость точки;

— относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс ^[2]

Введем обозначения:

$M_{1i}$ — масса заправленной -ой ступени ракеты;

$M_{2i}$ — масса -ой ступени без топлива;

$I_{i}$ — удельный импульс двигателя -ой ступени;

$M_{0}$ — масса полезной нагрузки;

— число ступеней ракеты.

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

$V = sum_{i=1}^{N} I_{i} cdot ln left( frac{M_{0}+{sum_{j=i}^{N}} M_{1j}}{M_{0}+{sum_{j=i}^{N}}M_{2j}}right)$

Содержание

1 Отличие реальной скорости ракеты от характеристической
2 Использование формулы Циолковского при проектировании ракет
- 2.1 Пример расчёта массы ракеты
3 См. также
4 Примечания

Отличие реальной скорости ракеты от характеристической[править | править текст]

В таблице 1 приведён баланс скоростей ракеты Сатурн V при выводе корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне.

Таблица 1^[3]

Ступень	Характеристическая скорость, м/c	Гравитационные потери, м/c	Аэродинамические потери, м/c	Потери на управление, м/c	Фактическая скорость, м/c
Первая (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Вторая (S-II)	4725	335	0	183	4207
Третья (S-IVB)	4120	122	0	4,5	3993,5
В сумме	12505	1677	46	187,5	10594,5^[4]

Как видно из таблицы 1, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:^[5]

$Delta v_{g} = intlimits_{0}^{t} g(t)cdot cos(gamma (t)),dt$ ,

где g(t) и — местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение близко к максимальному значению — 1.

$Delta v_{a} = intlimits_{0}^{t} frac {A(t)}{m(t)} ,dt$ ,

где A(t) — сила лобового аэродинамического сопротивления, а m(t) — текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты Сатурн V, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

$Delta v_{u} = intlimits_{0}^{t} frac {F(t)}{m(t)} cdot(1 - cos(alpha (t))) ,dt$ ,

где F(t) — текущая сила тяги двигателя, m(t) — текущая масса ракеты, а — угол между векторами тяги и скорости ракеты. Наибольшая часть потерь на управление ракеты Сатурн V приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет[править | править текст]

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

$frac {M_{1}} {M_{2}} = e^{V/I}$ (1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса. Введём следующие обозначения:

$M_{0}$ — масса полезного груза;

$M_{k}$ — масса конструкции ракеты;

$M_{t}$ — масса топлива.

$M_{k}=frac {M_{t}} {k}$ , (2)

где — коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции. При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента . Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения ).

Уравнение (1) может быть записано в виде:

$frac {M_{0}+ M_{t}+M_{t}/k} {M_{0}+M_{t}/k}=e^{V/I}$ ,

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

$M_{t}=frac {M_{0} cdot k cdot (e^{V/I}-1)}{k+1- e^{V/I}}$ (3)

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы:

$,!k+1- e^{V/I}>0$ , иначе говоря, $,k>e^{V/I}-1$ (4)

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости при заданных значениях удельного импульса и коэффициента . Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты[править | править текст]

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой $,M_{0}=10$

т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс ,I=2900

м/c. Коэффициент ,k=9

— это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя.

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь — вдвое ниже), характеристическая скорость, таким образом, составит м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина $,e^{V/I}=17,86$ . Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Расчёт для двуступенчатой ракеты.

Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двуступенчатой ракеты.

м/c. На этот раз $,e^{V/I}=4,23$

, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения,

для 2-й ступени получаем:

$M_{t2}=frac {10 cdot 9 cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=50,3$

т;

$M_{k2}=frac {50,3} {9}=5,6$

т;

полная масса 2-й ступени составляет ,55,9

т.

Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем:

$M_{t1}=frac {(10+55,9) cdot 9 cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=331,3$

т;

$M_{k1}=frac {331,3} {9}=36,8$

т;

полная масса 1-й ступени составляет ,368,1

т;

общая масса двуступенчатой ракеты с полезным грузом составит

т.

Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем:

Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит ,323,1

т.

Четырёхступенчатой — ,294,2

т.

Пятиступенчатой — ,281

т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении — при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это — сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями — переходниками — несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента , а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

См. также[править | править текст]

Уравнение Мещерского
Ракетодинамика

Примечания[править | править текст]

↑ Архив Российской академии наук (АРАН). Ф.555. Оп.1. Д.32. ЛЛ. 1, 2, 5, 11, 20
↑ Для теплового ракетного двигателя это справедливо при равенстве давлений на срезе сопла и в окружающей среде. Формула Циолковского, впрочем, сохраняет свою справедливость, независимо от соблюдения этого условия.
↑ Пилотируемые полёты на Луну, конструкция и характеристики SATURN V APOLLO. Реферат ВИНИТИ М 1973.
↑ К этой величине добавляется скорость вращения Земли на широте мыса Канаверал, с которого производились пуски по программе «Аполлон» — 406 м/с. Таким образом корабль Аполлон стартовал к Луне со скоростью 11 000 м/с. На высоте 500 км, (апогей околоземной орбиты, с которой корабль переходил на траекторию полёта к Луне) вторая космическая скорость составляет 10 772 м/c.
↑ Феодосьев В., Синярев Г. Введение в ракетную технику. 2 — изд., перераб. и дополн. М Оборонгиз 1961 г.

Небесная механика
Законы и задачи	Законы Ньютона • Закон всемирного тяготения • Законы Кеплера • Задача двух тел • Задача трёх тел • Гравитационная задача N тел • Задача Бертрана • Уравнение Кеплера
Небесная сфера	Система небесных координат: галактическая • горизонтальная • первая экваториальная • вторая экваториальная • эклиптическая • Международная небесная система координат • Сферическая система координат • Ось мира • Небесный экватор • Прямое восхождение • Склонение • Эклиптика • Равноденствие • Солнцестояние • Фундаментальная плоскость
Параметры орбит	Кеплеровы элементы орбиты: эксцентриситет • большая полуось • средняя аномалия • долгота восходящего узла • аргумент перицентра • Апоцентр и перицентр • Орбитальная скорость • Узел орбиты • Эпоха
Движение небесных тел	Движение Солнца и планет по небесной сфере • Эфемериды Конфигурации планет: противостояние • соединение • квадратура • элонгация • парад планет Затмение: солнечное затмение • лунное затмение • сарос • Метонов цикл • Покрытие • Прохождение Кульминация • Сидерический период • Синодический период • Период вращения • Орбитальный резонанс • Предварение равноденствий • Сближение • Либрация • Сфера действия тяготения • Эффект Козаи • Эффект Ярковского • Эффект Джанибекова
Астродинамика
Космический полёт	Космическая скорость: первая (круговая) • вторая (параболическая) • третья • четвёртая Формула Циолковского • Гравитационный манёвр • Гомановская траектория • Метод оскулирующих элементов • Приливное ускорение • Изменение наклонения орбиты • Межпланетная транспортная сеть • Стыковка • Точки Лагранжа • Эффект «Пионера»
Орбиты КА	Геостационарная орбита • Гелиоцентрическая орбита • Геосинхронная орбита • Геоцентрическая орбита • Геопереходная орбита • Низкая опорная орбита • Полярная орбита • Тундра-орбита • Солнечно-синхронная орбита • Молния-орбита • Оскулирующая орбита

Источник

Random converter

Калькуляторы
Ракетомоделизм

Калькулятор формулы Циолковского

Калькулятор определяет характеристическую скорость орбитального манёвра — изменение скорости космического летательного аппарата (КА, КЛА), необходимое для выполнения орбитального манёвра. Для этого используется формула Циолковского. Условие ее использования — тяга ракетного двигателя неизменна по направлению, а другие силы (например, лобовое сопротивление и сила тяжести) на космический аппарат не действуют.

Пример: Сухая масса модели одноступенчатой ракеты 0,15 кг, а эффективная скорость истечения продуктов сгорания ее двигателя 900 м/с. Масса топлива 11,2 г. Рассчитать характеристическую скорость дельта-v и удельный импульс. Силой тяжести и лобовым сопротивлением пренебречь.

Эффективная скорость истечения продуктов сгорания

v_eff

или

Удельный импульс

I_sp с

Начальная масса с топливом

m₀

Конечная масса без топлива

m_f

Характеристическая скорость орбитального манёвра

Δv

Поделиться ссылкой на этот калькулятор, включая входные параметры

Для расчета введите любые три величины и нажмите кнопку Рассчитать. Четвертая величина будет рассчитана автоматически.

Немного истории

Определения и формулы

Одноступенчатые ракеты

Многоступенчатые ракеты

Немного истории

Константин Эдуардович Циолковский (1857–1935) — русский и советский ученый, разрабатывавший теоретические вопросы космонавтики, а также исследовавший философские проблемы освоения космоса. Родился в селе Ижевском Спасского уезда Рязанской губернии и бóльшую часть жизни прожил в Калуге. В 90 гг. XIX в. он систематически изучал теорию движения ракет и разработал основы теории ракет, включая идеи об использовании жидкого топлива и создании многоступенчатых ракет («ракетных поездов»). Циолковский вывел формулу, устанавливающую соотношение между изменение скорости ракеты, эффективной скоростью истечения продуктов сгорания, начальной и конечной массой ракеты.

Интересно отметить, что теоретические предпосылки для этого открытия были известны еще со времен Ньютона, поскольку для вывода формулы Циолковского используются второй и третий законы Ньютона.

В отличие от американского ученого и инженера Роберта Годдарда, который проводил множество экспериментов с ракетами, работы Циолковского были только теоретическими. Циолковский понял, что единственным практическим способом осуществления полета в космос было использование ракет, которые работают на принципе реактивной тяги и поэтому могут летать в космосе. В повести «Вне Земли», которую Циолковский задумал в конце 90-х гг. XIX в и опубликовал в 1920 г., космические путешественники использовали многоступенчатую ракету на жидком топливе и находились в невесомости, которая была подробно описана автором. Он также предложил брать в длительные космические путешествия различные растения, которые помогали бы удалять из атмосферы космического корабля диоксид углерода и насыщать ее кислородом.

Вскоре после полета в космос Юрий Гагарин отмечал, что в книге Циолковского были очень хорошо описаны факторы космического полета и те факторы, с которыми он встретился в полете, почти не отличались от его описания. Циолковский мечтал, что в 2017 году будет жизнь без войн. К сожалению, в отличие от многих других прогнозов, этот его прогноз не оправдался.

Определения и формулы

Одноступенчатые ракеты

Формула Циолковского позволяет оценить характеристическую скорость орбитального маневра Δv (дельта-v) — изменение скорости, необходимое для выполнения определенного маневра, например, для запуска с Земли или изменения орбиты космического аппарата. Формула устанавливает связь между изменением скорости ракеты Δv, эффективной скоростью истечения продуктов сгорания v_eff, а также начальной m₀ и конечной m_f массами космического аппарата:

Formula

где

m₀ — начальная полная масса космического аппарата с топливом.

m_f — конечная масса космического аппарата без топлива.

v_eff — эффективная скорость истечения продуктов сгорания топлива, определяемая как:

Formula

где I_sp — удельный импульс, имеющий размерность времени, и g₀ — стандартное ускорение свободного падения в вакууме у поверхности Земли, равное 9,80665 м/с².

Отношение начальной массы космического аппарата к конечной массе (m₀/m_f) в аргументе натурального логарифма в формуле Циолковского иногда называют просто соотношением масс. Не следует путать этот термин с похожим применяемым в англоязычной литературе термином, массовая доля топлива, который определяет отношение массы топлива к начальной массе летательного аппарата с топливом.

Соотношение начальной и конечной массы космического аппарата является мерой его эффективности. Для более эффективной конструкции потребуется меньше топлива для достижения цели (например, запуск с Марса или переход на более высокую орбиту). Следовательно, такой аппарат будет иметь меньшее отношение масс. В то же время, более высокое отношение масс позволит космическому аппарату достичь более высокой Δv. Отметим, что в некоторых учебниках отношение масс определяется наоборот, как m_f/m₀.

Поскольку в реальных условиях полета, кроме тяги двигателей, на космический аппарат воздействуют другие силы, развиваемая им скорость всегда будет меньше дельта-v вследствие потерь на преодоление силы тяжести, сопротивления воздуха и других. Поэтому формула Циолковского справедлива только для случая отсутствия других действующих на ракету сил.

Удельный импульс турбовентиляторных двигателей CFM56 Боинга 737-800 равен 5740 с

Удельный импульс — концепция, аналогичная топливной эффективности автомобилей, которая измеряется в литрах топлива на 100 км пробега. В ракетном или самолетном двигателе удельный импульс представляет тягу на единицу расхода топлива по массе. Иными словами, он характеризует силу, созданную данным видом топлива в течение определенного времени. Это важная величина, характеризующая эффективность любого ракетного или авиационного реактивного двигателя и топлива для него.

Более высокий удельный импульс означает лучшую эффективность, то есть для данного веса можно получить бóльшую тягу. Чем он больше, тем меньше топлива нужно для создания требуемой тяги в течение заданного времени. Удельный импульс ракетного или самолетного двигателя — это количество секунд, в течение которого двигатель может создавать тягу, равную весу массы топлива при стандартном ускорении свободного падения над поверхностью Земли g₀.

Иными словами, удельный импульс в секундах можно представить себе как время в секундах, в течение которого двигатель вместе с топливом может обеспечивать ускорение своей начальной массы при стандартном ускорении свободного падения (то есть, своего веса). Чем больше секунд он может ускорять свою начальную массу, тем большее изменение скорости может быть достигнуто.

Например, удельный импульс двигателя GE GEnx-1B70, устанавливаемого на самолетах Boeing 787 Dreamliner, равен 12 650 с. Удельный импульс ракетных двигателей намного ниже, например, удельный импульс ракетного двигателя F-1, установленного на ракете Сатурн-5 (на снимке) равен всего 260 секундам.

Двигатель F-1, установленный на ракете Сатурн-5 в экспозиции музея Космического центра им. Кеннеди; удельный импульс этого двигателя равен 260 с

Характеристическая скорость орбитального маневра является скалярной величиной и имеет размерность скорости. Отметим, что это не просто физическое изменение скорости аппарата. Δv сводится к простому изменению величины скорости только если направление тяги двигателей не изменяется (то есть, не изменяется положение космического аппарата по тангажу и рысканию).

Ниже приводится график формулы Циолковского для различных характеристических скоростей:

График формулы Циолковского для различных характеристических скоростей

Многоступенчатые ракеты

Одноступенчатая ракета не способна нести большую нагрузку. Такая ракета, предназначенная для вывода полезной нагрузки на низкую околоземную орбиту (НОО, 160–2000 км) была бы очень большой и полезная нагрузка была бы менее 1% от полной стартовой массы системы. Поэтому имеет смысл избавляться от пустых баков окислителя и топлива, а также от ненужных двигателей и поддерживающих их конструкций и затем использовать ракету меньшего размера с меньшей начальной массой.

Ракета может разделяться на ступени с поперечным разделением (одна ступень над другой), как в американских ракетах «Trident» или российских «Булава», или продольным разделением, когда первая ступень состоит их нескольких одинаковых ракет или ускорителей. Продольная система использовалась, например, в американских шаттлах. Существует также комбинированная система разделения, применяемая, например, в советских и российских ракетах «Восток» и «Союз» и на американских ракетах «Delta IV».

Количество ступеней не может увеличиваться бесконечно, поэтому наиболее экономичным является количество ступеней от двух до пяти. Одним из достоинств многоступенчатой конструкции является возможность использовать различные типы двигателей, предназначенные для работы в различных условиях. Например, двигатели нижней ступени рассчитаны на работу при атмосферном давлении, в то время как двигатели верхних ступеней рассчитаны на работу в условиях почти полного вакуума.

Изменение скорости Δv_f для многоступенчатой ракеты определяется по формуле:

Formula

Двухступенчатая ракета советского подвижного зенитного ракетного комплекса С-75 в экспозиции Военно-исторического музея артиллерии, инженерных войск и войск связи в Санкт-Петербурге

Ракетомоделизм

На этих страницах размещены конвертеры единиц измерения, позволяющие быстро и точно перевести значения из одних единиц в другие, а также из одной системы единиц в другую. Конвертеры пригодятся инженерам, переводчикам и всем, кто работает с разными единицами измерения.

Мы работаем над обеспечением точности конвертеров и калькуляторов TranslatorsCafe.com, однако мы не можем гарантировать, что они не содержат ошибок и неточностей. Вся информация предоставляется «как есть», без каких-либо гарантий. Условия.

Если вы заметили неточность в расчётах или ошибку в тексте, или вам необходим другой конвертер для перевода из одной единицы измерения в другую, которого нет на нашем сайте — напишите нам!

Канал Конвертера единиц TranslatorsCafe.com на YouTube

Источник

Для начала сформулируем, что такое переменная масса.

Определение 1

Переменная масса – это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Уравнение движения материальной точки с переменной массой

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

Рисунок 1

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени t как m(t), а ее скорость как v(t). То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно mv. После того, как пройдет время dt, обе эти величины получат приращение (соответственно dm и dv, причем значение dm будет меньше 0). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

(m+dm)(v+dv).

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время dt также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно dmгазvгаз. Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй – их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t+dt и количеством движения системы во время t. Так мы найдем приращение данной величины за время dt, которое будет равно Fdt (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

(m+dm)(v+dv)+dmгаз+vгаз-mv=Fdt.

Поскольку нам важны именно предельные значения dmdt, dvdt и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение dm·dv может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

dm+dmгаз=0.

Теперь исключим массу газов dmгаз и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью vотн=vгаз-v. Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:

dmv=vотнdm+Fdt.

Теперь разделим его на dt и получим:

mdvdt=vотнdmdt+F.

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Определение 2

Уравнение mdvdt=vотнdmdt+F впервые вывел русский механик И.В. Мещерский, поэтому оно получило его имя. Также его называют уравнением движения тела с переменной массой.

Формула Циолковского

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи vотн. Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора vотн является отрицательной. Она будет равна -vотн. Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

mdv=vотнdm.

Тогда равенство примет вид:

dvdm=-vотнm.

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0, а масса m0. Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C=vотн lnm0m.

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

Определение 3

v=vотн lnm0m или m0m=evvотн.

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Разберем несколько примеров применения данных построений на практике.

Пример 1

Условие: у нас есть космический корабль, скорость которого постоянна. Для изменения направления полета в ней нужно включить двигатель, который выбрасывает газовую струю со скоростью vотн. Направление выброса перпендикулярно траектории корабля. Определите угол изменения вектора скорости при начальной массе корабля m0 и конечной m.

Решение

Ускорение по абсолютной величине будет равно a=ω2r=ωv, причем v=const.

Значит, уравнение движения будет выглядеть так:

mdvdt=vотнdmdt перейдет в mvωdt=-vотнdm.

Поскольку da=ωdt является углом поворота за время dt, то после интеграции первоначального уравнения получим:

a=vотнvlnm0m.

Ответ: искомый угол будет равен a=vотнvlnm0m.

Пример 2

Условие: масса ракеты перед стартом равна 250 кг. Вычислите высоту, которую она наберет через 20 секунд после начала работы двигателя. Известно, что топливо расходуется со скоростью 4 кг/с, а скорость истечения газов постоянна и равна 1500 м/с. Поле тяготения Земли можно считать однородным.

Решение

Рисунок 2

Начнем с записи уравнения Мещерского. Оно будет иметь следующий вид:

m∆v0∆t=μvотн-mg.

Здесь m=m0-μt и v0 – скорость ракеты в заданный момент времени. Разделим переменные:

∆v0=μvотнm0-μt-g∆t.

Теперь решим полученное уравнение с учетом первоначальных условий:

v0=vотнlnm0m0-μt-gt.

С учетом того, что H0=0 при t=0, у нас получится:

H=vотнt-gt22+vотнm0μ1-μtm0ln1-μtm0.

Добавим заданные значения и найдем ответ:

H=vотнt-gt22+vотнm0μ1-μtm0ln1-μtm0=3177,5 м.

Ответ: через 20 секунд высота ракеты будет составлять 3177,5 м.

Источник

Проектировать, строить и запускать модели ракет не просто. Особенно, когда конструктор стремится к достижению наивысших результатов в соревнованиях.

Успех спортсмена во многом зависит от правильного выбора двигателя для модели. Еще один шаг к достижению рекорда — знание законов движения модели.

В этой главе мы познакомимся с понятиями, связанными с движением — скоростью, ускорением и другими факторами, влияющими на высоту полета.

Летные качества моделей ракет в основном зависят от следующих факторов:

G_CT — стартовый вес модели ракеты (кг);
G_T — вес топлива (кг);
J_∑ — суммарный импульс двигателя (двигателей) (кг·сек);
Р_уд — удельная тяга двигателя (двигателей) (кг·сек/кг);
V — скорость модели ракеты (м/сек);
Р — тяга двигателя (двигателей) (кг);
а — ускорение модели ракеты (м/сек²);
t — время действия двигателя (двигателей) (сек);
i — количество ступеней модели ракеты.

Идеальная скорость модели ракеты

Высота полета модели ракеты зависит в первую очередь от ее скорости, достигаемой в конце работы двигателя. Сначала рассмотрим, как найти конечную скорость модели без учета сопротивления воздуха и притяжения земли. Такую скорость назовем идеальной скоростью модели ракеты.

Для определения скорости модели ракеты используем следующий закон механики: изменение количества движения какого-либо тела равно импульсу приложенной к телу силы.

Количеством движения называется произведение массы тела m на его скорость V, а импульсом силы — произведение приложенной к телу силы F на время ее действия t.

В нашем случае этот закон выражается формулой:

где m — масса модели ракеты;

V_к — скорость модели ракеты в конце работы двигателя;

V_ст — скорость модели ракеты в начале движения (в данном случае Уст=0);

Р — тяга двигателя;

t — время работы двигателя.

Так как в момент старта V_ст = 0, получим:

Масса модели ракеты во время работы двигателя по мере выгорания топлива меняется. Будем считать, что расход топлива — величина постоянная и что за время работы двигателя вес топлива равномерно уменьшается от G_T до 0. Для упрощения расчетов предположим, что средний вес топлива равен G_T/2, тогда средняя масса модели ракеты будет равна:

Учитывая, что P·t=J_∑—Р_уд·G_T) и исходя из среднего веса топлива, перепишем уравнение (20):

откуда:

или

Эта формула — приближенное выражение известной формулы К. Э. Циолковского. Ее можно записать и в другом, более удобном для расчета виде. Для этого умножим числитель и знаменатель правой части формулы на G_T/2.

Приведем несколько примеров использования этой формулы.

Задача 4. Определить идеальную скорость одноступенчатой модели ракеты, если: G_CT=0,1 кг; Р_уд=30 кг·сек/кг; G_T=0,018 кг.

Решение. Для решения применим формулу (23). Получим:

Формула К. Э. Циолковского

Точнее идеальную скорость модели ракеты можно определить по известной формуле К. Э. Циолковского с помощью логарифмических таблиц.

где W — скорость истечения газов из сопла;

m_ст — стартовая масса модели ракеты;

m_к — конечная масса модели ракеты;

Z — число Циолковского.

Коэффициент 2,3026 появился во второй формуле при переходе от натурального логарифма к десятичному.

Задача 5. Определить идеальную скорость модели ракеты по формуле К. Э. Циолковского, если: G_CT=0,1 кг; G_T=0,018 кг; Р_уд=30 кг·сек/кг.

Решение. Конечный вес модели ракеты:

Подставим имеющиеся данные в формулу Циолковского:

3. Действительная скорость модели ракеты

На полет модели ракеты оказывают влияние сопротивление воздуха и наличие земного тяготения. Поэтому в наши расчеты необходимо ввести поправку на эти факторы. Только тогда мы получим действительную скорость модели ракеты в конце работы двигателя, на основании которой можно подсчитать и траекторию полета модели.

Действительную конечную скорость модели ракеты можно подсчитать по формуле:

где V_к — идеальная скорость модели ракеты;

Р_ср — средняя тяга двигателя;

g — земное ускорение;

t — время;

D — диаметр миделя;

А — коэффициент.

В этой формуле выражение gt учитывает тяготение земли, а выражение D²/P_ср·А — влияние сопротивления воздуха. Коэффициент А зависит от идеальной скорости и высоты полета модели ракеты. Значения коэффициента А для различных идеальных скоростей и высот полета приведены в табл. 2.

Задача 6. Определить действительную скорость модели ракеты в конце активного участка траектории полета, если Р_уд=30 кг·сек/кг; G_T=0,018 кг; G_Т=0,1 кг; t=0,6 сек; Р_ср=0,9 кг; D=3 см.

Решение. Идеальную скорость модели ракеты определим по одному из приведенных вариантов формулы К. Э. Циолковского:

Действительную скорость модели ракеты подсчитаем по формуле (25):

Значение коэффициента А для данной высоты полета А=0,083.

Задача 7. Определить действительную скорость модели ракеты в конце активного участка, если Р_уд=25 кг·сек/кг; G_T=0,1 кг; t=4 сек; D=3 см; G=0,1 кг (G_к — вес модели ракеты без топлива).

Решение. Стартовый вес модели:

Идеальная скорость модели ракеты:

Средняя тяга двигателя:

Действительная скорость модели ракеты:

Исходя из того, что суммарный импульс и время работы — основные параметры двигателя, эту формулу для практического использования удобнее переписать в виде:

так как

4. Высота полета модели ракеты

Рассмотрим теперь, как, зная скорость модели ракеты, найти высоту ее полета. Будем рассматривать полет модели строго по вертикали. Траекторию полета модели ракеты можно разбить на два участка — активный, при работающих двигателях модели ракеты, и пассивный — полет модели по инерции после окончания работы двигателей. Таким образом, общая высота полета модели ракеты равна:

где h₁ — высота полета на активном участке;

h₂ — высота полета на пассивном участке.

Высоту h₁ можно вычислить, считая, что скорость модели ракеты изменяется равномерно от 0 до V_действ в конце работы двигателей. Средняя скорость на данном участке равна

где t — время полета на активном участке.

В формуле (27) при подсчете V_действ было учтено сопротивление воздуха. Другое дело, когда мы будем подсчитывать h₂. Если бы сопротивление воздуха отсутствовало, то по законам механики тело, летящее по инерции с начальной скоростью, набирает высоту

Так как в нашем случае V_нач=V_действ, то

В эту формулу для учета сопротивления воздуха необходимо ввести коэффициент. Опытным путем найдено, что он приблизительно равен 0,8. Таким образом, с учетом сопротивления воздуха формула примет вид

Тогда формулу (26) можно записать в виде:

Задача 8. Рассчитать высоту траектории полета модели ракеты и ее ускорение на основании данных: G_CT=0,08 кг; D=2,3 см; P_уд=45,5 кг·сек/кг; Р_ср=0,25 кг; f=4 сек; G_Т=0,022 кг; J_∑=1,0 кг·сек (двигатель ДБ-З-СМ-10).

Решение. Идеальная скорость модели ракеты:

Действительная скорость модели ракеты:

Высота полета модели ракеты на активном участке:

Высота полета на пассивном участке:

Общая высота полета модели ракеты:

5. Изменение параметров траектории полета модели ракеты в зависимости от времени работы двигателя

Из формулы (29) видно, что высота полета модели ракеты в основном зависит от величины скорости модели ракеты, достигаемой в конце работы двигателей. Чем больше эта скорость, тем выше полетит модель. Посмотрим, какими способами можно увеличить эту скорость. Возвратимся к формуле (25).

Мы видим, что чем меньше значение gt и D₂/P_ср·A, тем выше скорость модели ракеты, а значит, больше значение высоты полета модели.

Таблица 3 показывает изменение параметров траектории полета ракеты в зависимости от времени работы двигателя. Таблица дана для моделей ракет со стартовым весом G_CT=0,08 кг и двигателем ДБ-З-СМ-10. Характеристики двигателя: J_∑=1,0 кг·сек; Р_уд=45,5 кг·сек/кг; G_T=0,022 кг. Суммарный импульс остается постоянным на протяжений всего полета.

Из таблицы видно, что при времени работы двигателя 0,1 сек, теоретическая высота полета модели равна 813 м. Казалось бы, давайте делать двигатели с таким временем работы — и рекорды обеспечены. Однако при таком времени работы двигателя модель должна развить скорость от 0 до 140,6 м/сек. Если бы на борту ракеты с такой скоростью были живые существа, то ни одно из них не смогло бы выдержать такой перегрузки.

Таким образом, мы с вами подошли еще к одному важному понятию в ракетостроении — скорости набора скорости или ускорению. Перегрузки, связанные с чрезмерным ускорением модели ракеты, могут разрушить модель. А чтобы сделать конструкцию более прочной, придется увеличить ее вес. Кроме того, полеты с большими ускорениями опасны для окружающих.

6. Ускорение модели ракеты

На модель ракеты в полете действуют следующие силы: направленная вверх сила тяги двигателя, и направленные вниз сила притяжения земли (вес модели) и сопротивления воздуха.

Допустим, что сопротивление воздуха отсутствует. Для определения ускорения нашей модели используем второй закон механики: произведение массы тела на его ускорение равно действующей ка тело силе (F=m·a).

В нашем случае этот закон примет вид:

Это выражение для ускорения в начале полета.

Из-за выгорания топлива масса модели ракеты постоянно меняется. Следовательно, меняется и ее ускорение. Чтобы найти ускорение в конце активного участка, будем считать, что все топливо в двигателе сгорело, но двигатель еще работает в последний момент перед отключением. Тогда ускорение в конце активного участка можно рассчитать по формуле:

Если ввести в формулу средний вес модели ракеты на активном участке G_ср= G_CT—G_T/2, то получим формулу среднего ускорения:

Ускорение модели ракеты можно также определить из приближенной формулы Циолковского (23), зная, что по известной формуле механики V_к=a_ср·t (t в нашем случае — время работы двигателя), подставим это значение для V_к в формулу (23)

Приближенная формула Циолковского не учитывает влияние земного притяжения, которое направлено вниз и придает всем телам ускорение, равное g. С поправкой на земное притяжение формула для среднего ускорения на активном участке полета примет вид:

Еще раз следует подчеркнуть, что формулы (32) и (33) не учитывают сопротивление воздуха.

Задача 9. Определить, не учитывая сопротивления воздуха, среднее ускорение модели ракеты, если G_CT=0,08/кг; G_T=0.022 кг; Р_ср=0,25 кг; t=4 сек; Р_уд=45,5 кг·сек/кг; W=P_уд·g=446 м/сек.

Решение. Среднее ускорение модели ракеты найдем по формулам (32) и (33):

Как видите, результаты получились одинаковыми. Но так как эти формулы не учитывают сопротивления воздуха, то величина действительной скорости, подсчитанная по формуле V_действ=а_ср·t, будет завышена.

Задача 10. Определить без учета сопротивления воздуха скорость модели ракеты в конце активного участка и высоту полета, исходя из результатов задачи 9. Результаты сравнить с результатами задачи 8.

Решение. V_действ=а_ср·t=25,7·4=102,2 м/сек.

Действительная скорость модели ракеты в задаче 8, решенной с учетом сопротивления воздуха, равна 76,4 м/сек. Следовательно, пренебрежение сопротивлением воздуха дает абсолютную погрешность

и относительную погрешность

Без учета сопротивления воздуха высота полета модели ракеты на активном участке:

На пассивном участке:

Общая высота: H=h₁+h₂=205,6+538=743,6 м.

Сравнивая эти результаты с результатами задачи 8, где высота полета модели подсчитывалась с учетом сопротивления воздуха и равнялась 390,8 м, получим:

7. Истинное ускорение модели ракеты

Для определения истинного ускорения модели ракеты часто используется формула:

При выведении формулы (34) рассматриваются два положения модели ракеты во время полета: на старте, когда ее масса равна G_CT/g, и в конце активного участка, когда масса модели равна (G_CT—G_T)/g. Для этих двух положений подсчитывается ускорение модели и берется его среднее значение. Причем не учитывается, что расход топлива в процессе полета приводит не к постоянному (линейному) изменению ускорения, а к неравномерному.

Для примера рассмотрим полет модели ракеты со стартовым весом G_CT=0,08 кг и двигателем ДБ-З-СМ-10, имеющим данные Р_ср=0,25 кг; t=4 сек, G_T=0,022 кг; ω=0,022/4=0,0055 кг; Р_уд=45,5 кг·сек/кг.

По формуле (30), не учитывающей сопротивления воздуха, произведем расчет ускорений через каждые 0,5 сек, допуская, что секундный расход топлива величина постоянная (ω=const).

По формуле (34) подсчитаем среднее ускорение:

Определим среднее ускорение по формулам (32) и (33), также не учитывающим сопротивление воздуха:

Теперь наглядно видна разница между полученными результатами. Формула (34) для подсчета среднего ускорения модели ракеты не годится, т. к. неприменима для тел с переменной массой. Нужно использовать формулы (32) и (33), дающие достаточную точность в любой точке траектории полета модели ракеты. Но как показали результаты полетов моделей ракет и их испытания в аэродинамических трубах, в формулы (32) и (33) необходимо ввести учитывающий сопротивление воздуха коэффициент К, который изменяется в пределах 0,66÷0,8.

Таким образом, формулы истинного ускорения модели ракеты имеют вид:

Разберем вышеприведенный пример до конца. Определим истинное ускорение модели ракеты и ее действительную скорость (возьмем среднее значение коэффициента К=0,743)

Выбирать значение коэффициента надо в зависимости от площади миделя модели ракеты. Чем больше площадь миделя, тем меньше нужно брать значение К из диапазона его изменения 0,66÷0,8.

Приведенный метод расчета действительной скорости модели ракеты наиболее простой и достаточно точный. Исключает необходимость пользования таблицами.

8. Скорость многоступенчатых моделей ракет

Идея многоступенчатых ракет принадлежит нашему соотечественнику, замечательному ученому К. Э. Циолковскому. Модель многоступенчатой ракеты с тем же запасом топлива, что и одноступенчатая, достигает большей конечной скорости, дальности и высоты полета, так как двигатели каждой ступени работают последовательно, один за другим. Когда отработает двигатель нижней ступени, она отделяется, начинает работать двигатель следующей ступени и т. д. С отделением очередной ступени масса модели ракеты уменьшается. Так повторяется до последней ступени. Благодаря длительному разгону и все уменьшающейся массе модель получает значительно большую скорость, чем при одновременном срабатывании всех двигателей.

Большое значение имеют весовые соотношения ступеней. Эти соотношения даже более существенны, чем выбор топлива для двигателей.

Предположим, что на каждой ступени модели ракеты используются двигатели с одинаковой удельной тягой, т. е. одинаковой скоростью истечения газов из сопла двигателя.

Идеальную скорость последней ступени модели ракеты можно вычислить по формуле Циолковского (24), только вместо отношения масс m_ст/m_к возьмем величину М. Формула (24) примет вид:

Для вычислений при отсутствии таблиц натуральных логарифмов можно пользоваться таблицами десятичных логарифмов, учитывая, что ln

= 2,3026 lg М.

Заметим также, что вместо отношения масс можно пользоваться отношением весов, так как:

Следует помнить, что эта формула не учитывает влияния сопротивления воздуха и тяготения Земли.

Задача 11. Вычислить идеальную скорость полета одноступенчатой, двухступенчатой и трехступенчатой моделей ракет, если на моделях установлены двигатели_ ДБ-З-СМ-10 с удельной тягой 45,5 кг·сек/кг. Отношения масс

m₁

m₂

m₃

=2.

Решение. Скорость истечения газов:

Идеальная скорость одноступенчатой модели ракеты:

Идеальная скорость двухступенчатой модели ракеты:

Идеальная скорость трехступенчатой модели ракеты:

Задача 12. Рассчитать высоту полета трехступенчатой модели ракеты, если ее стартовый вес G_CT=0,12 кг; вес первой ступени G₁=0,03 кг; вес второй ступени G₂=0,03 кг; вес третьей ступени G₃=0,06 кг. На каждой ступени установлен двигатель ДБ-28-СМ-10, имеющий следующие данные: Р_уд=70 кг·сек/кг; t=3 сек, G_T=0,0143 кг.

Решение. Отношение масс первой ступени:

Отношение масс второй ступени:

Отношение масс третьей ступени:

Идеальную скорость каждой ступени определим по формуле Циолковского:

Определим высоту полета модели ракеты на первом участке траектории полета:

Определим высоту полета модели на втором участке траектории полета:

Определим высоту полета модели на третьем участке траектории:

Определим высоту полета на пассивном участке:

Общая высота полета трехступенчатой модели ракеты:

9. Расчет высоты полета модели-копии ракеты-носителя космического корабля «Восток»

Задача 13. Рассчитать высоту полета модели-копии ракеты «Восток», исходя из следующих данных: G_CT=0,5 кг; G_T=0,09 кг; Р_ср=1,575 кг; J_∑=6,3 кг/сек; Р_уд=70 кг·сек/кг; t=4 сек; D=11,3 см; W=686,7 м/сек.

Примечание: Для моделей-копий типа «Восток», принимая во внимание их диаметр, а следовательно, и большую площадь сопротивления, следует применять коэффициент К=0,7. Тогда высота полета модели будет примерно соответствовать действительности.

Решение. Истинное среднее ускорение модели ракеты с учетом сопротивления воздуха и ускорения Земли найдем по формуле (37):

Действительная скорость модели ракеты:

Высота полета модели ракеты на активном участке:

Высота полета на пассивном участке:

Общая высота полета модели:

Дорога в космос так и начиналась — с простых, маленьких ракет.

Источник

История[править | править код]

Отличие реальной скорости ракеты от характеристической[править | править код]

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет[править | править код]

Пример расчёта массы ракеты[править | править код]

Расчёт для двуступенчатой ракеты[править | править код]

Обобщённая формула Циолковского[править | править код]

В филателии[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Содержание

Отличие реальной скорости ракеты от характеристической[править | править текст]

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет[править | править текст]

Пример расчёта массы ракеты[править | править текст]

См. также[править | править текст]

Примечания[править | править текст]

Калькулятор формулы Циолковского

Немного истории

Определения и формулы

Одноступенчатые ракеты

Многоступенчатые ракеты

Ракетомоделизм

Уравнение движения материальной точки с переменной массой

Уравнение Мещерского

Формула Циолковского

Идеальная скорость модели ракеты

Формула К. Э. Циолковского

3. Действительная скорость модели ракеты

4. Высота полета модели ракеты

5. Изменение параметров траектории полета модели ракеты в зависимости от времени работы двигателя

6. Ускорение модели ракеты

7. Истинное ускорение модели ракеты

8. Скорость многоступенчатых моделей ракет

9. Расчет высоты полета модели-копии ракеты-носителя космического корабля «Восток»

Вам также может понравиться

Как найти массу если известен только процент

Арбитражный суд как найти исковое заявление

Зараженный биом таумкрафт как найти

Добавить комментарий Отменить ответ