Как найти скорость ракеты формула - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Фо́рмула Циолко́вского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической скоростью:

${displaystyle V=Icdot ln {frac {M_{1}}{M_{2}}},}$

где

— конечная скорость летательного аппарата, которая для случая манёвра в космосе при орбитальных манёврах и межпланетных перелетах часто обозначается ΔV, также именуется характеристической скоростью;

— удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

$M_{{1}}$

— начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);

$M_{{2}}$

— конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата).

История[править | править код]

Белорусский почтовый блок 2002 года. Формула Циолковского (внизу) приведена в близком к записанному Циолковским виде.

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 (22) мая 1897^[1] и опубликована в 1903 году в майском выпуске журнала «Научное обозрение» в следующем виде^[2]^:53^[3]^[4]:

${displaystyle {V over V_{1}}=ln left(1+{M_{2} over M_{1}}right),}$

где

— конечная скорость ракеты;

$V_{1}$

— скорость вырывающихся элементов относительно ракеты;

$M_{1}$

— масса ракеты без взрывчатых веществ (то есть без топлива);

$M_{2}$

— масса взрывчатых веществ.

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур в 1810—1811 годах^[5],
опубликовавший решение в своей книге в 1813 году^[6], а также П. Г. Тэйт в 1861 г. и У. Дж. Стил из Кембриджского университета в 1856 году^{[источник не указан 1265 дней]}.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:

${displaystyle mcdot {frac {d{vec {V}}}{dt}}+{vec {u}}cdot {frac {dm}{dt}}=0,}$

где

— масса точки;

— скорость точки;

— относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы.

Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс ^[7].

Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

Введем обозначения:

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

${displaystyle V=sum _{i=1}^{N}I_{i}cdot ln left({frac {M_{0}+{sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}{M_{0}+M_{2i}-M_{1i}+{sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}}right).}$

Отличие реальной скорости ракеты от характеристической[править | править код]

Поскольку в условиях реального полёта на ракету кроме тяги двигателей действуют и другие силы, скорость, развиваемая ракетами в этих условиях, как правило, ниже характеристической из-за потерь, вызываемых силами гравитации, сопротивления среды и другими факторами.

В следующей таблице приведён баланс скоростей ракеты Сатурн V при предполагаемом выводе корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне^[8].

Ступень	Характеристическая скорость, м/c	Гравитационные потери, м/c	Аэродинамические потери, м/c	Потери на управление, м/c	Фактическая скорость, м/c
Первая (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Вторая (S-II)	4725	335	0	183	4207
Третья (S-IVB)	4120	122	0	4,5	3993,5
В сумме	12505	1677	46	187,5	10594,5^[9]

Как видно из таблицы, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:^[10]

${displaystyle Delta v_{g} =int limits _{0}^{t}g(t)cdot cos(gamma (t)),dt,}$

где

— местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта.

Как видно из таблицы, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение близко к максимальному значению — 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

${displaystyle Delta v_{a} =int limits _{0}^{t}{frac {A(t)}{m(t)}},dt,}$

где

— сила лобового аэродинамического сопротивления;

— текущая масса ракеты.

Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Космический аппарат должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

${displaystyle Delta v_{u} =int limits _{0}^{t}{frac {F(t)}{m(t)}}cdot (1-cos(alpha (t))),dt,}$

где

— текущая сила тяги двигателя;

— текущая масса ракеты, а

— угол между векторами тяги и скорости ракеты.

Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет[править | править код]

Выведенная в конце XIX века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

${displaystyle {frac {M_{1}}{M_{2}}}=e^{V/I},}$

(1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса.

Введём следующие обозначения:

$M_{{0}}$ — масса полезного груза;
$M_{{k}}$ — масса конструкции ракеты;
$M_{{t}}$ — масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

${displaystyle M_{k}={frac {M_{t}}{k}},}$

где

— коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции.

При рациональном конструировании этот коэффициент, в первую очередь, зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента . Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения ).

Предыдущее уравнение может быть записано в виде:

${displaystyle {frac {M_{0}+M_{t}+M_{t}/k}{M_{0}+M_{t}/k}}=e^{V/I},}$

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

${displaystyle M_{t}={frac {M_{0}cdot kcdot (e^{V/I}-1)}{k+1-e^{V/I}}}.}$

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента .

Формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы:

${displaystyle k+1-e^{V/I}>0}$

, иначе говоря, ${displaystyle k>e^{V/I}-1.}$

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости при заданных значениях удельного импульса и коэффициента . Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Пример расчёта массы ракеты[править | править код]

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой ${displaystyle M_{0}=10}$ т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс м/c. Коэффициент означает, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя.

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c, характеристическая скорость, таким образом, составит м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина ${displaystyle e^{V/I}=17,86}$ . Неравенство (4) не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Данный расчет является упрощенным и не учитывает затрат на изменение потенциальной энергии тела, и при его прямом применении возникает иллюзия, что затраты уменьшаются с ростом высоты орбиты. В реальности без учёта потерь на сопротивление атмосферы и гравитационных потерь за время вывода на орбиту потребная скорость (мгновенно приданная телу на уровне нулевой высоты над поверхностью) оказывается выше. Её можно примерно определить, применив закон сохранения механической энергии (гипотетическая эллиптическая орбита с перицентром в точке касания Земли и апоцентром на высоте целевой орбиты):

${displaystyle left({frac {mV^{2}}{2}}right)-left({frac {GmM}{R}}right)=left({frac {mV_{0}^{2}}{2}}right)-left({frac {GmM}{r}}right),}$

где

— средний радиус Земли;

— высота круговой орбиты (с учётом радиуса Земли, то есть

); ${displaystyle V_{0}^{2}=V^{2}-{frac {2GM}{r}}+{frac {2GM}{R}}}$

Если принять скорость в перицентре равной круговой на уровне поверхности Земли ( ${displaystyle V_{0}^{2}={frac {GM}{r}}}$ ), то:

${displaystyle V_{0}^{2}={frac {2GM}{r}}-{frac {GM}{R}}}$

, или ${displaystyle V_{0}={sqrt {frac {2GM}{r}}}{sqrt {1-{frac {r}{2R}}}}.}$

Это приближение не учитывает импульсов на переход с круговой орбиты Земли на эллиптическую и с эллиптической на новую круговую, а также применимо только к хомановским переходам (то есть применение для параболических и гиперболических переходов не работает), но много точнее, чем просто принимать за потребную скорость первую космическую для широкого диапазона высот НОО.

Тогда на высоте 250 км потребная скорость для вывода составит 8,063 м/с, а не 7,764, а для геостационарной орбиты (35 786 км над уровнем Земли) — уже 10,762 м/с, а не 3,077 м/с, как было бы при игнорировании затрат на изменение потенциальной энергии.

Расчёт для двуступенчатой ракеты[править | править код]

Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двухступенчатой ракеты: м/c. На этот раз ${displaystyle e^{V/I}=4,23}$ , что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения, для второй ступени получаем:

$M_{{t2}}={frac {10cdot 9cdot (4,23-1)}{9+1-4,23}}=50,3$

т;

$M_{{k2}}={frac {50,3}{9}}=5,6$

т.

Таким образом, полная масса второй ступени составляет 55,9 т.

Для первой ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса второй ступени; после соответствующей подстановки получаем:

$M_{{t1}}={frac {(10+55,9)cdot 9cdot (4,23-1)}{9+1-4,23}}=331,3$

т;

$M_{{k1}}={frac {331,3}{9}}=36,8$

т.

Таким образом, полная масса первой ступени составляет 368,1 т, а общая масса двухступенчатой ракеты с полезным грузом составит 10+55,9+368,1 = 434 т. Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем, что стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит 323,1 т, четырёхступенчатой — 294,2 т, пятиступенчатой — 281 т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении: при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями-переходниками — несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента , а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

Такого рода расчёты выполняются не только на первом этапе проектирования — при выборе варианта компоновки ракеты, но и на последующих стадиях проектирования, по мере детализации конструкции, формула Циолковского постоянно используется при поверочных расчётах, когда характеристические скорости пересчитываются, с учётом сложившихся из конкретных деталей соотношений начальной и конечной массы ракеты (ступени), конкретных характеристик двигательной установки, уточнения потерь скорости после расчёта программы полёта на активном участке, и т. д., чтобы контролировать достижение ракетой заданной скорости.

Обобщённая формула Циолковского[править | править код]

Для ракеты, летящей со скоростью, близкой к скорости света, справедлива обобщённая формула Циолковского:

${displaystyle {frac {M_{2}}{M_{1}}}=left({frac {1-{frac {V}{c}}}{1+{frac {V}{c}}}}right)^{frac {c}{2I}},}$

где

— скорость света^[11].

Для фотонной ракеты I=c и формула имеет вид:

${displaystyle {frac {M_{2}}{M_{1}}}={sqrt {frac {1-{frac {V}{c}}}{1+{frac {V}{c}}}}}.}$

Скорость фотонной ракеты вычисляется по формуле:

${displaystyle {frac {V}{c}}={frac {1-left({frac {M_{2}}{M_{1}}}right)^{2}}{1+left({frac {M_{2}}{M_{1}}}right)^{2}}}.}$

В филателии[править | править код]

Формула Циолковского изображена на почтовой марке Польши 1963 года (Sc #1178), почтовой марке Никарагуа 1971 года из серии «10 математических формул, которые изменили лик Земли» (Sc #880) и на полях почтового блока Белоруссии 2002 года, посвящённого 45-летию освоения космоса (Sc #454).

См. также[править | править код]

Уравнение Мещерского
Ракетодинамика

Примечания[править | править код]

↑ Архив Российской академии наук (АРАН). Ф. 555. Оп. 1. Д. 32. Лл. 1—2, 5, 11, 20. См. электронные копии Архивная копия от 20 января 2019 на Wayback Machine этих страниц на сайте архивов РАН.
↑ Циолковский К. Исследование мировых пространств реактивными приборами // Научное обозрение. — 1903. — № 5. — С. 44—75.
↑ Циолковский К. Э. Труды по ракетной технике / Под редакцией М. К. Тихонравова. — М.: Оборонгиз, 1947. — С. 33.
↑ К. Ціолковскій, Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами, 1903 (available online here Архивировано 15 августа 2011 года. in a RARed PDF)
↑ Moore, William (англ.) (рус.; of the Royal Military Academy, Woolwich. A Journal of Natural Philosophy, Chemistry and the Arts Vol. XXVII, December 1810, Article IV: Theory on the motion of Rockets (англ.). — London: W. Nichelson, 1810.
↑ Moore, William (англ.) (рус.; of the Royal Military Academy, Woolwich. A Treatise on the Motion of Rockets. To which is added, An Essay on Naval Gunnery (англ.). — London: G. and S. Robinson, 1813.
↑ Для теплового ракетного двигателя это справедливо при равенстве давлений на срезе сопла и в окружающей среде. Формула Циолковского сохраняет свою справедливость независимо от соблюдения этого условия.
↑ Пилотируемые полёты на Луну, конструкция и характеристики SATURN V APOLLO Архивная копия от 14 ноября 2017 на Wayback Machine. Реферат ВИНИТИ. — М., 1973.
↑ К этой величине добавляется скорость вращения Земли на широте мыса Канаверал, с которого производились пуски по программе «Аполлон» — 406 м/с. Таким образом корабль Аполлон стартовал к Луне со скоростью 11 000 м/с. На высоте 500 км, (апогей околоземной орбиты, с которой корабль переходил на траекторию полёта к Луне) вторая космическая скорость составляет 10 772 м/c.
↑ Феодосьев В., Синярев Г. Введение в ракетную технику. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Оборонгиз, 1961.
↑ Левантовский, 1980, с. 444.

Литература[править | править код]

Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

Источник

Формула Циолковского определяет скорость, которую развивает летательный аппарат под воздействием тяги ракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической.

$V = I cdot ln left( frac{M_{1}}{M_{2}} right)$ ,

где:

— конечная (после выработки всего топлива) скорость летательного аппарата;

— удельный импульс ракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива);

$M_{1}$ — начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);

$M_{2}$ — конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция).

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 мая 1897 года (22 мая по григорианскому календарю).^[1]

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур, а также П. Г. Тэйт и У. Дж. Стил из Кембриджского университета соответственно в 1810—1811 гг. и в 1856 году.

$m cdot frac {dvec{V}}{dt}- vec{u} cdot frac {dm}{dt}=0$ ,

в котором — масса точки;

— скорость точки;

— относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы. Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс ^[2]

Введем обозначения:

$M1_{i}$ — масса заправленной -ой ступени ракеты;

$M2_{i}$ — масса -ой ступени без топлива;

$I_{i}$ — удельный импульс двигателя -ой ступени;

$M_{0}$ — масса полезной нагрузки;

— число ступеней ракеты.

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

$V = sum_{i=1}^{N} I_{i} cdot ln left( frac{M_{0}+{sum_{j=i}^{N}} M1_{j}}{M_{0}+M2_{i}+{sum_{j=i+1}^{N}}M1_{j}}right)$

Содержание

1 Отличие реальной скорости ракеты от характеристической
2 Использование формулы Циолковского при проектировании ракет
- 2.1 Пример расчёта массы ракеты
3 См. также
4 Примечания

[править] Отличие реальной скорости ракеты от характеристической

В таблице 1 приведён баланс скоростей ракеты Сатурн V при выводе корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне.

Таблица 1^[3]

Ступень	Характеристическая скорость, м/c	Гравитационные потери, м/c	Аэродинамические потери, м/c	Потери на управление, м/c	Фактическая скорость, м/c
Первая (S-IC)	3660	1220	46	0	2394
Вторая (S-II)	4725	335	0	183	4207
Третья (S-IVB)	4120	122	0	4,5	3993,5
В сумме	12505	1677	46	187,5	10594,5^[4]

Как видно из таблицы 1, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:^[5]

$Delta v_{g} = intlimits_{0}^{t} g(t)cdot cos(gamma (t)),dt$ ,

где g(t) и — местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта. Как видно из таблицы 1, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение близко к максимальному значению — 1.

$Delta v_{a} = intlimits_{0}^{t} frac {A(t)}{m(t)} ,dt$ ,

где A(t) — сила лобового аэродинамического сопротивления, а m(t) — текущая масса ракеты. Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты Сатурн V, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Корабль должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

$Delta v_{u} = intlimits_{0}^{t} frac {F(t)}{m(t)} cdot(1 - cos(alpha (t))) ,dt$ ,

где F(t) — текущая сила тяги двигателя, m(t) — текущая масса ракеты, а — угол между векторами тяги и скорости ракеты. Наибольшая часть потерь на управление ракеты Сатурн V приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

[править] Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

$frac {M_{1}} {M_{2}} = e^{V/I}$ (1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса. Введём следующие обозначения:

$M_{0}$ — масса полезного груза;

$M_{k}$ — масса конструкции ракеты;

$M_{t}$ — масса топлива.

$M_{k}=frac {M_{t}} {k}$ , (2)

где — коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции. При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента . Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения ).

Уравнение (1) может быть записано в виде:

$frac {M_{0}+ M_{t}+M_{t}/k} {M_{0}+M_{t}/k}=e^{V/I}$ ,

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

$M_{t}=frac {M_{0} cdot k cdot (e^{V/I}-1)}{k+1- e^{V/I}}$ (3)

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть знаменатель этой формулы:

$,!k+1- e^{V/I}>0$ , иначе говоря, $,k+1>e^{V/I}$ (4)

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости при заданных значениях удельного импульса и коэффициента . Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

[править] Пример расчёта массы ракеты

Требуется вывести искусственный спутник Земли массой $,M_{0}=10$

т на круговую орбиту высотой 250 км. Располагаемый двигатель имеет удельный импульс ,I=2900

м/c. Коэффициент ,k=9

— это значит, что масса конструкции составляет 10 % от массы заправленной ракеты (ступени). Определим массу ракеты-носителя.

Первая космическая скорость для выбранной орбиты составляет 7759,4 м/с, к которой добавляются предполагаемые потери от гравитации 600 м/c (это, как можно видеть, меньше, чем потери, приведённые в таблице 1, но и орбита, которую предстоит достичь — вдвое ниже), характеристическая скорость, таким образом, составит м/c (остальными потерями в первом приближении можно пренебречь). При таких параметрах величина $,e^{V/I}=17,86$ . Неравенство (4), очевидно, не выполняется, следовательно, одноступенчатой ракетой при данных условиях достижение поставленной цели невозможно.

Расчёт для двуступенчатой ракеты.

Разделим пополам характеристическую скорость, что составит характеристическую скорость для каждой из ступеней двуступенчатой ракеты.

м/c. На этот раз $,e^{V/I}=4,23$

, что удовлетворяет критерию достижимости (4), и, подставляя в формулы (3) и (2) значения,

для 2-й ступени получаем:

$M_{t2}=frac {10 cdot 9 cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=50,3$

т;

$M_{k2}=frac {50,3} {9}=5,6$

т;

полная масса 2-й ступени составляет ,55,9

т.

Для 1-й ступени к массе полезной нагрузки добавляется полная масса 2-й ступени, и после соответствующей подстановки получаем:

$M_{t1}=frac {(10+55,9) cdot 9 cdot (4,23-1)}{9+1- 4,23}=331,3$

т;

$M_{k1}=frac {331,3} {9}=36,8$

т;

полная масса 1-й ступени составляет ,368,1

т;

общая масса двуступенчатой ракеты с полезным грузом составит

т.

Аналогичным образом выполняются расчёты для бо́льшего количества ступеней. В результате получаем:

Стартовая масса трёхступенчатой ракеты составит ,323,1

т.

Четырёхступенчатой — ,294,2

т.

Пятиступенчатой — ,281

т.

На этом примере видно, как оправдывается многоступенчатость в ракетостроении — при той же конечной скорости ракета с бо́льшим числом ступеней имеет меньшую массу.

Следует отметить, что эти результаты получены в предположении, что коэффициент конструктивного совершенства ракеты остаётся постоянным, независимо от количества ступеней. Более тщательное рассмотрение показывает, что это — сильное упрощение. Ступени соединяются между собой специальными секциями — переходниками — несущими конструкциями, каждая из которых должна выдерживать суммарный вес всех последующих ступеней, помноженный на максимальное значение перегрузки, которую испытывает ракета на всех участках полёта, на которых переходник входит в состав ракеты. С увеличением числа ступеней их суммарная масса уменьшается, в то время как количество и суммарная масса переходников возрастают, что ведёт к снижению коэффициента , а, вместе с ним, и положительного эффекта многоступенчатости. В современной практике ракетостроения более четырёх ступеней, как правило, не делается.

[править] См. также

Уравнение Мещерского
Ракетодинамика

[править] Примечания

↑ Архив Российской академии наук (АРАН). Ф.555. Оп.1. Д.32. ЛЛ. 1, 2, 5, 11, 20
↑ Для теплового ракетного двигателя это справедливо при равенстве давлений на срезе сопла и в окружающей среде. Формула Циолковского, впрочем, сохраняет свою справедливость, независимо от соблюдения этого условия.
↑ Пилотируемые полёты на Луну, конструкция и характеристики SATURN V APOLLO. Реферат ВИНИТИ М 1973.
↑ К этой величине добавляется скорость вращения Земли на широте мыса Канаверал, с которого производились пуски по программе «Аполлон» — 406 м/с. Таким образом корабль Аполлон стартовал к Луне со скоростью 11 000 м/с. На высоте 500 км, (апогей околоземной орбиты, с которой корабль переходил на траекторию полёта к Луне) вторая космическая скорость составляет 10 772 м/c.
↑ Феодосьев В., Синярев Г. Введение в ракетную технику. 2 — изд., перераб. и дополн. М Оборонгиз 1961 г.

Небесная механика
Законы и задачи	Законы Ньютона • Закон всемирного тяготения • Законы Кеплера • Задача двух тел • Задача трёх тел • Гравитационная задача N тел • Задача Бертрана • Уравнение Кеплера
Небесная сфера	Система небесных координат: галактическая • горизонтальная • первая экваториальная • вторая экваториальная • эклиптическая • Международная небесная система координат • Сферическая система координат • Ось мира • Небесный экватор • Прямое восхождение • Склонение • Эклиптика • Равноденствие • Солнцестояние • Фундаментальная плоскость
Параметры орбит	Кеплеровы элементы орбиты: эксцентриситет • большая полуось • средняя аномалия • долгота восходящего узла • аргумент перицентра • Апоцентр и перицентр • Орбитальная скорость • Узел орбиты • Эпоха
Движение небесных тел	Движение Солнца и планет по небесной сфере • Эфемериды Конфигурации планет: противостояние • соединение • квадратура • элонгация • парад планет Затмение: солнечное затмение • лунное затмение • сарос • Метонов цикл • Покрытие • Прохождение Кульминация • Сидерический период • Синодический период • Период вращения • Орбитальный резонанс • Предварение равноденствий • Сближение • Либрация • Эффект Козаи • Эффект Ярковского • Эффект Джанибекова
Астродинамика
Космический полёт	Космическая скорость: первая (круговая) • вторая (параболическая) • третья • четвёртая Формула Циолковского • Гравитационный манёвр • Гомановская траектория • Метод оскулирующих элементов • Приливное ускорение • Изменение наклонения орбиты • Стыковка • Точки Лагранжа • Эффект «Пионера»
Орбиты КА	Геостационарная орбита • Гелиоцентрическая орбита • Геосинхронная орбита • Геоцентрическая орбита • Геопереходная орбита • Низкая опорная орбита • Полярная орбита • Тундра-орбита • Солнечно-синхронная орбита • Молния-орбита • Оскулирующая орбита

Источник

Давайте выведем ракетное уравнение Циолковского. Это полезное упражнение позволит кое-что понять, а заодно прояснит метод бесконечно-малых.

UPDATE: В комментариях верно указали, что уравнение получено И.В. Мещерским, учителем Циолковского, в 1897 г.

Задача такова: есть ракета, масса которой состоит из полезной массы S и топлива (что бы под ним не подразумевалось) M. Топливо выбрасывается в виде реактивной струи со скоростью –w. Минус потому, что скорость ракеты положительна, а струи, соответственно, отрицательная.

Какую скорость наберет ракета, израсходовав все топливо?

Для простоты ракета в вакууме и вне каких-либо полей.

Ось направлена вправо, куда и летит ракета.

Реактивное движение использует закон сохранения импульса: изначально ракета вместе с топливом покоилась и имела нулевой импульс; топливо уносит импульс в одну сторону, ракета приобретает его в другую.

Однако неправильно полагать, что топливо унесет импульс Mw и такой же импульс получит космический корабль массой S. Так было бы, если бы топливо мгновенно было выброшено, а это не так.

Если вы бросаете камень с лодки, тогда так и считается, но если камней много — то уже нет.

При этом масса ракеты может быть разной, от S до S+M, и разобраться в этом поначалу очень сложно.

Выход есть: исчисление бесконечно малых. Рассмотрим какую-то промежуточную массу m, ракета уже набрала скорость v; она выбрасывает маленькую массу топлива dm. При этом масса ракета почти не изменилась, сейчас мы это уточним.

Топливо унесло импульс wdm, ракета приобрела такой же по величине импульс за счет увеличения скорости на dv=-wdm/m.

Если мы попробуем учесть изменение массы ракеты, то получим слагаемые с dm² и более высокого порядка. А они малы даже по сравнению с мелким dm.

Полная скорость есть сумма приращений dv, которых много. Получаем сумму выражений вида –wdm/m. Вспомним, что суммы такого вида называются интегральными, и предел по мере измельчения dm (и увеличения числа слагаемых, полная масса топлива-то в любом случае равна M) называется интегралом.

Как-нибудь в другой раз расскажу про это понятие.

Интеграл от dm/m можно точно “взять”: это логарифм ln(m). С точностью до произвольной “плюс константы”.

Получается, что скорость v(m), которую набрала ракета, потратившая уже S+M–m топлива (масса пустой ракеты S, изначальная масса топлива M, масса ракеты с топливом здесь и сейчас m), выражается формулой

v(m)=-w∙ln(m)+C,

где С — любая константа. Ее определим из условия, что в начале, когда m=S+M, скорость была равна нулю:

0=-w∙ln(S+M)+C,

откуда

v(m)=w∙ln((S+M)/m).

Получили больше, чем планировали: у нас есть формула для скорости на любом этапе разгона! Подставим m=S (ракета без топлива, это конец разгона):

v(M)=w∙ln(1+M/S).

А теперь обсудим полученную формулу. Это и есть ракетное уравнение, которое огорчило Циолковского.

Логарифм растет очень медленно! Чтобы набрать скорость w, нужно M=(e-1)∙S≈1.7∙S. Почти две трети массы ракеты будет топливо. А чтобы удвоить скорость, надо уже (e²-1)∙S≈6.38∙S: полезная масса уже мала по сравнению с топливом.

А если нужна скорость в семь раз выше, чем у струи? Масса топлива должна быть более чем в тысячу раз больше полезной массы.

Потому и используют ступени, чтобы уменьшить массу. Поэтому так важна высокая постоянная скорость реактивной струи. Вот почему в космос летать так сложно, и нужно особое топливо.

Кстати, Израиль, численность населения которого незначительно превосходит таковую в Санкт-Петербурге и значительно уступает Москве, спутники в космос уже давно запускает. Причем по ряду причин запускают они ракеты не на восток, а на запад, что стоит лишнего километра в секунду скорости. Но так надо. Причем ракеты свои (если интересно, гуглите “Шавит” или שביט, на иврите “комета”.

Обсудим еще фотонную ракету при нерелятивистских скоростях. Пусть у вас есть способ превращать массу в излучение (аннигиляция) без потерь или просто мощные батарейки (энергия в них будет добавлять им массы, ничего не поделаешь).

Масса dm эквивалентна энергии dE/c², которая делится между фотонами. Импульс dP фотона связан с его энергией формулой dP=dE/c, и формула не меняется, если фотонов много. Таким образом, импульс dP равен c∙dm, как и в уже рассмотренном уравнении. Оно имеет тот же вид, только скорость “струи” теперь равна скорости света:

v=c∙ln(1+M/S),

где M — это запас вашего топлива (антиматерия и материя, например). Увы, но логарифмическая зависимость осталась, хотя перспективы уже получше.

Наши рассуждения справедливы, если скорость нерелятивистская, намного меньше скорости света. Тогда логарифм мал по сравнению с единицей, а значит, M должно быть невелико по сравнению с S. Тогда логарифм можно приблизить членом первого порядка: ln(1+x)≈x и:

v≈c∙M/S.

То есть, взяв в ракету массой две тонны один килограмм антивещества (и один килограмм вещества для аннигиляции), мы можем, теоретически, разогнаться до одной тысячной скорости света: до 300км/с, что не так уж и плохо.

Путеводитель по каналу

Источник

Характеристическая
скорость ракеты (идеальная скорость)
– это скорость, которую ракета могла бы
достичь в пустоте, двигаясь прямолинейно
под действием только силы тяги двигателя.
Эта скорость определяется по формуле
Циолковского. Для одноступенчатой
ракеты формула Циолковского имеет
следующий вид:

(8)

где

– скорость истечения газов из сопла
двигателя;

– число Циолковского;

– начальная скорость
ракеты.

Скорость истечения
газов из сопла двигателя зависит, в
основном, от используемых компонентов
топлива. В таблице 1 приведены скорости
истечения продуктов сгорания для
некоторых типов топлива в реальных
двигателях.

Таблица 1 –
Характеристики топлива

Компонент топлива (горючее + окислитель)	Скорость истечения (Удельный импульс) w ,м/с
Керосин + азотная кислота	2700
Керосин +четырехокись азота	2800
Керосин + жидкий кислород	3000
Диметилгидразин + жидкий кислород	3200
Жедкий водород + жидкий кислород	4000

Если ракета имеет

ступеней, то идеальная скорость ракеты
рассчитывается по сумме скоростей
отдельных ступеней:

(9)

где индексы

относятся к параметрам отдельных
ступеней. Выражение (9) представляет
собой формулу Циолковского для
многоступенчатых ракет.

Ракета, стартующая
с Земли, не может достичь идеальной
скорости, т.к. имеются потери скорости
от силы земного тяготения, аэродинамических
сил и прочих факторов. Поэтому, например,
чтобы сообщить спутнику скорость
7,9 км/с, необходимо использовать
ракету с характеристической скоростью
не менее 9,4 км/с.

Задание

Определить
начальную массу двухступенчатой
ракеты-носителя, массу конструкции и
массу топлива ракетных блоков при
следующих исходных данных.

Масса полезной,
нагрузки (космического аппарата) для
различных вариантов заданий представлена
в таблице 2.
Конструктивные
характеристики ракетных блоков первой
и второй ступеней одинаковы и также
представлены в таблице 2.
Характеристическая
скорость ракеты для всех вариантов
задания одинаковая и равна 9400 м/с.
Числа Циолковского
для первой и второй ступеней
ракеты-носителя принять равными.

Составить в MS
WORD
отчет о проделанной работе в соответствии
с СТО СГАУ 02068410-004-2007

Контрольные вопросы

Какие конструктивные
характеристики Вы знаете? Приведите
их.
Как связаны
конструктивные характеристики между
собой?
Что такое
характеристическая скорость ракеты?
Приведите уравнение
Циолковского, какие параметры в него
входят?

Таблица 2 – Варианты
заданий

Номер варианта	Масса полезной нагрузки, М_ПН	Характеристика ракетных блоков, S	Скорость истечения 1й ступени W , м/с	Скорость истечения 2й ступени W , м/с
1	5	10	2700	2800
2	5	11	2800	3000
3	5	12	3000	3200
4	5	13	3200	2700
5	5	14	4000	3200
б	10	10	2700	2700
7	10	11	2800	3000
8	10	12	3000	2700
9	10	13	3200	4000
10	10	14	4000	4000
11	20	10	2700	2700
12	20	11	2800	3200
13	20	12	3000	3200
14	20	13	3200	2800
15	20	14	4000	2700
16	30	10	2700	3000
17	30	11	2800	3000
18	30	12	3000	3000
19	30	13	3200	4000
20	30	14	4000	2700
21	50	10	2700	2800
22	50	11	2800	3000
23	50	12	3000	3200
24	50	13	3200	3200
25	50	14	2700	4000

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

История[править | править код]

Отличие реальной скорости ракеты от характеристической[править | править код]

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет[править | править код]

Пример расчёта массы ракеты[править | править код]

Расчёт для двуступенчатой ракеты[править | править код]

Обобщённая формула Циолковского[править | править код]

В филателии[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Содержание

[править] Отличие реальной скорости ракеты от характеристической

[править] Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

[править] Пример расчёта массы ракеты

[править] См. также

[править] Примечания

Задание

Контрольные вопросы

Вам также может понравиться

Как составить модель сущность связь

Как найти в приложениях электронную почту

Как составить маршрут по ростову на дону

Добавить комментарий Отменить ответ