Как найти скорость релятивистского электрона

Электрон из состояния
покоя разгоняется в однородном электростатическом поле, модуль напряженности
которого 3,0 МВ/м. Определите модуль скорости электрона через 1,0 нс после
начала движения.

Решение.

В качестве физической
системы рассмотрим электрон. Если пренебречь взаимодействием электрона с
гравитационным, электрическим и магнитными полями Земли, а также предположить,
что он движется в вакууме, то разгон происходит только под действием
ускоряющего поля.

Поэтому движение электрона в инерциальной системе отсчета
можно описать вторым законом Ньютона и кинематическими законами
равноускоренного прямолинейного движения.

В качестве тела отсчета
возьмем лабораторию, ось OX направим в сторону
движения (т.е. против поля), выбрав начало координат в точке, из которой
электрон начал двигаться. Если спроецировать векторы, изображающие
соответствующие величины, на ось OX, с учетом того, что v₀ = 0, получим:

ma
= eE, x = at²/2, v = at.

Откуда искомая скорость
v = eEt/m.

Подставив числовые
значения заряда и массы электрона, а также значения E и t, получим v = 5,3•10⁸ м/с,
что больше скорости света в вакууме.

Так как ни в какой
системе отсчета тело не может двигаться со скоростью превышающей скорость света
в вакууме, то полученное значение скорости не может быть ответом задачи. Причиной
ошибки явилось неявно сделанное предположение о том, что движение электрона
может быть описано законами классической механики.

Изменение импульса тела
равно импульсу силы, действующей на него, т.е. Dp = FDt, не только в
классической, но и в релятивистской механике. Причем пот релятивистских
скоростях движения импульс тела p = gmv.

С учетом этого,
применительно к ситуации, описанной в задаче, теорему об изменении импульса
можно записать в виде: D(gmv)=eEDt.

Принимаем во внимание,
что Dv = v –
v₀ = v, Dt = t – t₀ = t (т.е. в момент времени t₀ = 0 скорость v₀ = 0).

Откуда находим модуль
искомой скорости электрона v.

Ответ: v = 2,6•10⁸ м/с.

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Электрон в электрическом поле

Движение электрона в электрическом поле является одним из важнейших для электротехники физических процессов. Разберемся как это происходит в вакууме. Сначала рассмотрим пример движения электрона от катода к аноду в однородном электрическом поле.

На приведенном ниже рисунке изображена ситуация, когда электрон покидает отрицательный электрод (катод) с пренебрежимо малой начальной скоростью (стремящейся к нулю), и попадает в однородное электрическое поле, присутствующее между двумя электродами.

К электродам приложено постоянное напряжение U, а электрическое поле обладает соответствующей напряженностью E. Расстояние между электродами равно d. В данном случае на электрон со стороны поля будет действовать сила F, пропорциональная заряду электрона и напряженности поля:

Поскольку электрон обладает отрицательным зарядом, то эта сила будет направлена против вектора E напряженности поля. Соответственно электрон будет в данном направлении электрическим полем ускоряться.

Ускорение a, которое испытывает электрон, пропорционально величине действующей на него силы F и обратно пропорционально массе электрона m. Поскольку поле однородно, ускорение для данной картины можно выразить так:

В этой формуле отношение заряда электрона к его массе есть удельный заряд электрона — величина, являющаяся физической константой:

Итак, электрон находится в ускоряющем электрическом поле, ибо направление начальной скорости v0 совпадает с направлением силы F со стороны поля, и электрон движется поэтому равноускоренно. Если никаких препятствий нет, то он пройдет путь d между электродами и попадет на анод (положительный электрод) с некой скоростью v. В момент когда электрон достигнет анода, его кинетическая энергия будет соответственно равна:

Поскольку на всем пути d электрон ускорялся силами электрического поля, то данную кинетическую энергию он приобрел в результате работы, которую совершила сила, действующая со стороны поля. Эта работа равна:

Тогда кинетическая энергия, которую приобрел электрон двигаясь в поле, может быть найдена следующим образом:

То есть это есть ни что иное, как работа сил поля по ускорению электрона между точками с разностью потенциалов U.

В подобных ситуациях для выражения энергии электрона удобно использовать такую единицу измерения как «электронвольт», равную энергии электрона при напряжении в 1 вольт. А поскольку заряд электрона является константой, то и 1 электронвольт — также постоянная величина:

Из предыдущей формулы можно легко определить скорость электрона в любой точке на его пути при движении в ускоряющем электрическом поле, зная лишь разность потенциалов которую он прошел ускоряясь:

Как мы видим, скорость электрона в ускоряющем поле зависит лишь от разности потенциалов U между конечной и стартовой точками его пути.

Представим, что электрон начал движение от катода с пренебрежимо малой скоростью, а напряжение между катодом и анодом равно 400 вольт. В этом случае в момент достижения анода его скорость будет равна:

Тут же легко можно определить время, за которое электрон пройдет расстояние d между электродами. При равноускоренном движении из состояния покоя средняя скорость находится как половина конечной скорости, тогда время ускоренного полета в электрическом поле будет равно:

Теперь рассмотрим пример когда электрон движется в тормозящем однородном электрическом поле. То есть поле направлено как и прежде, но электрон начинает двигаться наоборот – от анода к катоду.

Предположим что электрон покинул анод с какой-то начальной скоростью v и изначально стал двигаться в направлении катода. В этом случае сила F, действующая на электрон со стороны электрического поля, будет направлена против вектора электрической напряженности Е — от катода к аноду.

Она станет уменьшать начальную скорость электрона, то есть поле будет замедлять электрон. Значит электрон в данных условиях станет двигаться равномерно равнозамедленно. Ситуация описывается так: «электрон движется в тормозящем электрическом поле».

От анода электрон начал двигаться с отличной от нуля кинетической энергией, которая при торможении начинает уменьшаться, поскольку энергия теперь расходуется на преодоление силы, действующей со стороны поля навстречу электрону.

Если начальная кинетическая энергия электрона, когда он покинул анод, сразу была больше энергии, которую необходимо затратить полю на ускорение электрона при движении от катода к аноду (как в первом примере), то электрон пройдет расстояние d и в итоге все же достигнет катода несмотря на торможение.

Если же начальная кинетическая энергия электрона меньше данной критической величины, то электрон не достигнет катода. В определенный момент он остановится, затем начнет равноускоренное движение обратно – к аноду. В итоге поле вернет ему энергию, которая израсходовалась в процессе торможения.

А что если электрон влетает на скорости v0 в область действия электрического поля под прямым углом? Очевидно, сила со стороны поля в этой области направлена для электрона от катода к аноду, то есть против вектора напряженности электрического поля E.

Значит электрон теперь имеет две составляющие движения: первая — со скоростью v0 перпендикулярно полю, вторая — равноускоренно под действием силы со стороны поля, направленной к аноду.

Получается, что влетев в область действия поля, электрон движется по параболической траектории. Но вылетев за пределы области действия поля, электрон продолжит равномерное движение по инерции по прямолинейной траектории.

Движение электрона по окружности с ускорением

ГЛАВА 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА.

Преобразование энергии лежит в основе применения электронных потоков в приборах и установках. Кинетическая энергия электронного потока может быть преобразована в другие виды энергии при его взаимодействии с электромагнитным полями и твёрдыми телами. Электрон всегда взаимодействует с электромагнитным полем, созданным некоторым источником. Но в первом случае имеются в виду поля, созданные искусственными макроскопическими источниками. Их временнáя и пространственная зависимость может быть заданной по желанию. Во втором случае электрон взаимодействует с полями атомов, образующих твёрдые тела. Эти поля заданы и неизменны. Электронный поток взаимодействует со многим ядрам и электронами твердого тела. Общий эффект получается суммированием и усреднением результатов отдельных взаимодействий.

5.1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОГО ПОТОКА С ПОЛЯМИ.

Рассмотрим два различных случая такого взаимодействия.

5.1.1 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С РЕЗОНАНСНОЙ СИСТЕМОЙ

Электронный поток взаимодействует с полем в искусственной резонаторной системе . Например, с электрическим полем конденсатора C , входящего в состав колебательного LC – контура (рис.5.1). При движении в поле каждый электрон тормозится, но одновременно создаёт на обкладках переменный поверхностный заряд, и, следовательно, наведённый ток в контуре. Если поток модулирован по плотности, то каждый электронный сгусток создаст импульс наведённого тока. При частоте следования сгустков, кратной собственной частоте контура, в контуре наблюдается резонанс, амплитуда тока резко возрастает. Через индуктивную связь колебания могут быть возбуждены в другом контуре. На этом принципе строятся СВЧ генераторы электрических колебаний.

SHAPE * MERGEFORMAT

Рис. 5.1 Взаимодействие электронного потока

с полем резонансной системы

5.1.2. ИСПУСКАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ УСКОРЕНИИ

Согласно классической электродинамике, ускоренно движущийся электрон испускает электромагнитные волны. Спектр этого излучения, то есть зависимость интенсивности излучения от длины волны или частоты , и его пространственное распределение определяются абсолютной величиной ускорения и его направлением относительно скорости

Пусть мгновенная скорость электрона направлена по оси Z (рис.5.2). В релятивистской механике её принято измерять в единицах скорости света c . Безразмерная скорость электрона есть . Ускорение , приобретаемое под действием силы , будем считать направленным под углом к скорости.

SHAPE * MERGEFORMAT

Рис. 5.2 Взаимная ориентация скорости, ускорения электрона

и точки наблюдения

Полная мощность излучения P и её пространственное распределение даются формулами Лармора

(5.1)

(5.2)

где , – единичный вектор, направленный от электрона в точку наблюдения А под углом к скорости. В есть поток излучения в телесном угле . В формулы Лармора удобно ввести безразмерную величину – постоянную тонкой структуры

Анализировать общий случай ориентации векторов , , нет необходимости, так как реальные ускоряющие поля имеют простую конфигурацию. Удобно выделить два предельных случая. Скорость может возрастать или уменьшаться при неизменном направлении. Такое ускорение называется продольным. Либо же скорость изменяет направление при неизменной величине, тогда ускорение называется поперечным, так как . В каждом из этих случаев излучение обладает специфическими особенностями.

Продольное ускорение электрона

Пусть ускорение параллельно скорости, . Тогда угол ,

Таким образом, (5.3)

(5.4)

Угловое распределение потока излучения линейно ускоряемого электрона обладает азимутальной симметрией и зависит от абсолютной величины его скорости. При оно даётся формулой

График её показан на рис.5.3. Нерелятивистский электрон “освещает” окрестности перпендикулярно траектории. Интенсивность излучения прямо по курсу равна нулю.

Рис.5.3. Пространственное распределение излучения нерелятиви-

стского электрона при линейном ускорении

При увеличении скорости диаграмма направленности излучения деформируется. Направления максимумов определяются условием

Выполнив дифференцирование, получим уравнение

,

из которого находим

При , , следовательно, . При ещё больших скоростях электрона целесообразно выделить малый параметр , тогда

Вблизи 1 косинус можно представить в виде , откуда находим . При . Распределение интенсивности излучения релятивистского электрона показано на рис.5.4.

Рис. 5.4. Пространственное распределение излучения

релятивистского электрона при линейном

ускорении для стороннего наблюдателя

Преобразуем теперь формулу (5.3), выразив в ней ускорение через скорость изменения импульса . Для этого воспользуемся определением релятивистского импульса

Дифференцируя его абсолютную величину, получим

,

(5.5)

Но по второму закону Ньютона. Таким образом,

(5.6)

Оказывается, что мощность излучения при линейном ускорении определяется действующей на частицу силой и не зависит от скорости.

Оценим потери энергии электрона в однородном электрическом поле :

Это не маленькая по масштабам микромира величина. Но длительность фазы ускорения частицы измеряется миллионными и миллиардными долями секунды. При ускорении в однородном поле из закона Ньютона

получаем уравнение для безразмерной скорости

Интегрируя его, находим закон движения

Энергия электрона растёт при этом по закону

Она станет на порядок больше энергии покоя при . Длительность фазы ускорения может быть оценена как

Подставив значения констант и напряженности поля, найдём

Полная потеря энергии электрона за это время составит . Эта величина намного меньше даже тепловой энергии электрона .

Таким образом, потери энергии на излучение при линейном ускорении электрона пренебрежимо малы.

Излучение при движении по окружности

При движении электрона по окружности с угловой частотой скорость его направлена по касательной к траектории, а ускорение – по радиусу, то есть по нормали к траектории. Следовательно,

(5.7)

При этом абсолютная величина скорости изменения любого тангенциального вектора связана с его величиной соотношением . В частности,

,

С учётом этих соотношений формулу (2.7.7) преобразуем к виду

(2.7.8)

Сравнивая с (2.7.5), видим, что при одинаковой величине ускоряющей силы движущийся по окружности электрон “светит” в раз сильнее, чем ускоренный прямолинейно . Излучаемая мощность распределена в широком частотном диапазоне, начиная с частоты , но максимум её приходится на частоту . В нерелятивистском случае , , а . Поперечное ускорение не имеет преимуществ по сравнению с продольным. Но при релятивистских скоростях множитель может достигать значений , излучаемая мощность и частота при этом возрастут в раз,

При движении в однородном магнитном поле имеет порядок , следовательно . Частота соответствует инфракрасному излучению с длиной волны , тогда как излучение с лежит на границе мягкого рентгеновского диапазона.

Таким образом, по мере увеличения энергии движущегося по окружности электрона испускаемое им излучение “синеет”, то есть электрон ведёт себя как типичный хамелеон.

Пространственное распределение излучения в релятивистском случае имеет иглообразный вид (рис.5.5). Угловая ширина конуса примерно равна , что при составляет . Электрон представляет собой, таким образом, мощный прожектор

SHAPE * MERGEFORMAT

Рис.5.5.Пространственное распределение синхротронного

Постоянное поперечное ускорение электрон испытывает в ускорителях – синхротронах. Первоначально они создавались для исследования соударений энергичных частиц. Но оказалось, что из-за больших радиационных потерь, достигающих за один оборот величины

,

невозможно ускорить электрон до энергии, существенно превышающей . Поэтому до столь высоких энергий электроны ускоряют в линейных ускорителях. Платой за отсутствие радиационных потерь стала длина ускорителя, достигающая десятков километров. Синхротроны же в настоящее время широко используются для генерации УФ и мягкого рентгеновского излучения, которое по этой причине получило название синхротронного. Эти излучения используются в различных областях науки и технологии (рис.5.6),. в частности, в микроэлектронике для создания элементов интегральных схем с размерами методом ультрафиолетовой или рентгеновской литографии.

Рис.2.7.6 Типичное применение синхротронного излучения

в научных исследованиях

Излучение в ондуляторе

Ондулятором называется устройство, в котором электрон при пролёте расстояния L испытывает периодическое знакопеременное нормальное ускорение . Термин происходит от английского прилагательного undulate – волнистый, волнообразный. Именно такой вид имеет траектория электрона в ондуляторе. Она формируется электростатическими или магнитными полями, обладающими пространственной периодичностью. На длине L укладывается K периодов , так что . Траектория электрона в магнитном ондуляторе показана на рис.5.7. Неоднородное магнитное поле искривляет её, отклоняя электрон к оси.

SHAPE * MERGEFORMAT Рис. 5.7. Движение электрона в ондуляторе

Максимальное нормальное ускорение электрон испытывает вблизи северных полюсов магнитов. Эти участки траектории можно считать дугами окружностей. Поэтому при их прохождении электрон испускает импульс синхротронного излучения. На длине L будет испущено 2 K таких импульсов. Они формируют на выходе суммарный импульс ондуляторного излучения с длиной волны , длительность которого зависит от угла наблюдения ,

где . При этом происходит монохроматизация излучения – угол его расходимости уменьшается в раз по сравнению с синхротронным излучением, . Типичное значение угла расходимости . При периоде ондулятора и ( ) Å. Таким образом, ондулятор может генерировать излучение в широком диапазоне частот – от СВЧ до рентгена.

Значительное нормальное ускорение электрон испытывает при движении в кулоновском поле ядра атома. Траектория его в этом случае является гиперболой (рис.5.8)

SHAPE * MERGEFORMAT

Рис. 5.8. Отклонение электрона кулоновским полем ядра

Минимальное расстояние между электроном и ядром называется прицельным расстоянием. Участок максимального сближения электрон проходит за время . Именно на этом участке траектории он испытывает максимальное ускорение и испускает импульс излучения с частотой . Это излучение называется тормозным. Чтобы при энергии частота лежала в ультрафиолетовой или рентгеновской области, где , прицельное расстояние должно быть порядка

Физически корректный расчёт вероятности испускания кванта излучения с энергией может быть произведён только с привлечением аппарата квантовой электродинамики. Упомянутую вероятность характеризуют отношением числа испущенных за секунду квантов к плотности потока электронов . Это отношение называется сечением тормозного излучения, имеет размерность площади и обозначается

(5.9)

Оно равно среднему числу квантов, испущенных при рассеянии единичного потока на одном ядре. Если же на ядрах (расположенных на единице площади) рассеивается поток плотностью I , то будет испущено

(5.10)

фотонов в секунду. При рассеянии нерелятивистского электрона на ядре с атомным номером сечение тормозного излучения равно

(5.11)

где – классический радиус электрона. Скорость электрона после испускания фотона следует находить из закона сохранения энергии. Для рассеяния на тяжёлых ядрах сечение тормозного излучения вычисляется по формуле

(5.12)

5.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОГО ПОТОКА С ТВЁРДЫМИ ТЕЛАМИ

При взаимодействии электронного потока с твёрдым телом происходят следующие процессы.

5.2.1. НАГРЕВ ЭЛЕКТРОННЫМ ЛУЧОМ

В электромагнитное излучение всех диапазонов преобразуется несколько процентов кинетической энергии электронного пучка. Остальная её часть в конечном итоге, через ряд промежуточных процессов, преобразуется в тепло, вызывающее локальный разогрев мишени. Оценим повышение температуры при облучении электронным пучком с током , энергией электронов площади . Мощность пучка распределяется в объёме , где – средняя глубина проникновения электронов, . Если бы вся она уходила на нагрев объёма V , то повышение температуры составило бы

Для стальной мишени , , следовательно, , что совершенно нереалистично. На самом деле за t секунд вследствие теплопроводности тепло распространится на расстояние , где – коэффициент температуропровотности, а – коэффициент теплопроводности. Прогретый объём будет равен . Для стали , , . Таким образом, температура повысится на

Полученная оценка показывает, что, изменяя ток пучка, можно достичь температуры плавления и даже температуры кипения твёрдых веществ. Этот способ нагрева широко используется в технологических процессах (электронно-лучевая сварка, электрометаллургия, напыление покрытий и т.п.).

5 .2.2. Катодоусиление

Люминесценцией называется испускание веществом неравновесного оптического излучения, избыточного над равновесным, тепловым излучением, при условии, что длительность неравновесного оптического излучения превышает период колебаний в электромагнитной волне (определение С.И. Вавилова). Люминесцировать могут многие вещества, если каким-либо образом возбудить их электроны в состояния с более высокой энергией. При обратном переходе в исходное состояние электрон может отдать избыточную энергию в виде кванта света. Такие вещества называются люминофорами. В зависимости от источника возбуждения люминесценцию называют фотолюминесценцией (источник возбуждения – коротковолновое оптическое излучение), электролюминесценцией (источник возбуждения – постоянное или переменное электрическое поле), хемилюминесценцией (источник возбуждения – химические реакции), триболюминесценцией (источник возбуждения – механическое действии при трении), катодолюминесценцией (источник возбуждения – энергичный электронный пучок).

Различают два вида люминесценции – флюоресценцию и фосфоресценцию . При флюоресценции высвечивание происходит не более чем за после возбуждения электрона, то есть практически мгновенно. При фосфоресценции высвечивание происходит с временнόй задержкой, достигающей в некоторых случаях десятков минут. Самым известным представителем фосфоресцирующих веществ является белый фосфор, способный после облучения ультрафиолетовым излучением длительно светиться зеленоватым светом. Вещества, обладающие подобным свойством, получили название фосфóров (ударение на втором слоге). По физической природе они относятся к широкозонным полупроводникам. Фосфоресценция возникает вследствие возбуждения валентных электронов в зону проводимости и их обратного перехода (рис.5.9).

SHAPE * MERGEFORMAT

Рис. 5.9 Физические механизмы флюоресценции и фосфоресценции

Существенной для фосфоресценции является стадия 3 процесса – временный захват электрона проводимости атомом-ловушкой Л. Ловушка некоторое время удерживает захваченный электрон, затее тепловое движение снова выбрасывает его в зону проводимости, где он рекомбинирует с дыркой. Длительность удержания определяется энергией связи, или глубиной потенциальной ямы, ловушки. Ловушками могут выступать примесные атомы либо дефекты кристаллической структуры.

Наиболее изучены и широко применяются следующие фосфóры:

– соединения А II В VI ( ZnS , ZnSe , CdS , CdSe , ZnTe , CdTe ) и их твёрдые растворы;

– оксиды редкоземельных элементов Y ₂ O ₃ , Lu ₂ O ₃ , Eu ₂ O ₃ и их твёрдые растворы.

5.2.2. ИСПУСКАНИЕ И ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

1. Рассеяние электронов в поле ядер с испусканием тормозного излучения. Спектр излучения даётся формулами (2.7.11) и (2.7.12). Полную мощность излучения получим, проинтегрировав по частотам от до . Суммарная мощность излучения на всех частотах составляет несколько сотых долей процента от мощности электронного пучка

где S – площадь пучка. Таким образом, к.п.д. преобразования кинетической энергии в жесткое тормозное излучение довольно низок.

2. Возбуждение характеристического рентгеновского излучения . Электрон, обладающий энергией в десятки кэВ, способен выбить один из электронов, ближайших к ядру атома мишени. Энергию связи такого электрона можно вычислить по формуле

Для тяжёлых атомов эффективный атомный номер , где – поправка на экранирование, равен нескольким десяткам, поэтому энергии связи внутренних электронов составляют сотни эВ. В ставшее вакантным состояние, из которого был выбит электрон, может перейти электрон из другого, более высокоэнергичного состояния. При этом испускается квант с энергией

Его энергия попадает в рентгеновский диапазон. Для каждого атома характерен свой набор энергий рентгеновских квантов, испускаемых по описанному механизму. Поэтому такое рентгеновское излучение называется характеристическим. Суммарный спектр рентгеновского излучения, возникающего при облучении мишени электронным пучком, получается наложением спектров тормозного и характеристического излучения.

Движение электронов в электрическом и магнитном полях

Управление движением свободных электронов в большинстве электронных приборов осуществляется с помощью электрических или магнитных полей. В чем состоит сущность этих явлений?

Электрон в электрическом поле. Взаимодействие движущихся электронов с электрическим полем – основной процесс, происходящий в большинстве электронных приборов.

Наиболее простым случаем является движение электрона в однородном электрическом поле, т.е. в поле, напряженность которого одинакова в любой точке, как по величине, так и по направлению. На рисунке показано однородное электрическое поле, созданное между двумя параллельными пластинами достаточно большой протяженности, чтобы пренебречь искривлением поля у краев. На электрон, как и на любой заряд, помещенный в электрическое поле с напряженностью Е, действует сила, равная произведению величины заряда на напряженность поля в месте нахождения заряда,

Знак минус показывает, что вследствие отрицательного заряда электрона сила имеет направление, противоположное направлению вектора напряженности электрического поля. Под действием силы F электрон двигается навстречу электрическому полю, т.е. перемещается в сторону точек с более высоким потенциалом. Поэтому поле в данном случае является ускоряющим.

Работа, затраченная электрическим полем на перемещение заряда из одной точки в другую, равна произведению величины заряда на разность потенциалов между этими точками, т.е. для электрона

где U– разность потенциалов между точками 1 и 2. Эта работа затрачивается на сообщение электрону кинетической энергии

где V и V₀ – скорости электрона в точках 2 и 1. приравнивая равенства (1.12) и (1.13), получаем

Если начальная скорость электрона V₀ = 0, то

Отсюда можно определить скорость электрона в электрическом поле при разности потенциалов U:

Таким образом, скорость, приобретенная электроном при движении в ускоряющем поле, зависит только от пройденной разности потенциалов. Из формулы (1.17) видно, что скорости электронов, даже при сравнительно небольшой разности потенциалов, получаются значительными. Например, при U = 100 В получаем V = 6000 км/с. При такой большой скорости электронов все процессы в приборах, связанные с движением электронов, протекают очень быстро. Например, время, необходимое для пролета электронов между электродами в электронной лампе, составляет доли микросекунды. Именно поэтому работа большинства электронных приборов может считаться практически безинерционной.

Рассмотрим теперь движение электрона, у которого начальная скорость Vo направлена против силы F, действующей на электрон со стороны поля (Рис. 1.8, б). В этом случае электрическое поле является для электрона тормозящим. Скорость движения электрона и его кинетическая энергия в тормозящем поле уменьшаются, так как в данном случае работа совершается не силами поля, а самим электроном, который за счет своей энергии преодолевает сопротивление сил поля. Энергия, теряемая электроном, переходит к полю. Действительно, поскольку движение электрона в тормозящем поле означает его перемещение в направлении отрицательного полюса источника поля, то при приближении электрона к последнему суммарный отрицательный заряд увеличивается и соответственно увеличивается энергия поля. В тот момент, когда электрон полностью израсходует свою кинетическую энергию, его скорость окажется равной нулю, и затем электрон начнет движение в обратном направлении. Движение его в обратном направлении является не чем иным, как рассмотренным выше движением без начальной скорости в ускоряющем поле. При таком движении электрона поле возвращает ему ту энергию, которую он потерял при своем замедленном движении.

В рассмотренных выше случаях направление скорости движения электрона было параллельным направлению электрических силовых линий поля. Такое электрическое поле называется продольным.Поле, направленное перпендикулярно вектору начальной скорости электрона, называется поперечным.

Рассмотрим вариант, когда электрон влетает в электрическое поле с некоторой начальной скоростью Vo и под прямым углом к направлению электрических силовых линий (рис. 1.8, в). Поле действует на электрон с постоянной силой, определяемой по формуле (1.11) и направленной в сторону более высокого положительного потенциала. Под действием этой силы электрон приобретает скорость V₁, направленную навстречу полю. В результате электрон совершает одновременно два взаимно перпендикулярных движения: прямолинейное равномерное по инерции со скоростью V₀ и прямолинейно

равномерно ускоренное со скоростью V₁. Под влиянием этих двух взаимно перпендикулярных скоростей электрон будет двигаться по траектории, представляющей собой параболу. После выхода из электрического поля электрон будет двигаться по инерции прямолинейно.

Электрон в магнитном поле.Влияние магнитного поля на движущийся электрон можно рассматривать как действие этого поля как на проводник с током. Движение электрона с зарядом е и скоростью V эквивалентно току i, проходящему через элементарный отрезок проводника длиной Δl.

Согласно основным законам электромагнетизма сила, действующая в магнитном поле на провод длиной Δl с током i равна

где В- магнитная индукция; α–угол между направлением тока и магнитной силовой линией поля.

Используя соотношение (1.18), получим новое выражение, характеризующее силу воздействия магнитного поля на движущийся в нем электрон,

Из этого выражения видно, что электрон, движущийся вдоль силовых линий магнитного поля (α = 0), не испытывает никакого воздействия поля (F = BeVsin0=0)и продолжает перемещаться с заданной ему скоростью.

Если вектор начальной скорости электрона перпендикулярен вектору магнитной индукции, т.е. α = 90, то сила, действующая на электрон,

Направление этой силы определяется по правилу левой руки. Сила F всегда перпендикулярна направлению мгновенной скорости V электрона и направлению магнитных силовых линий поля. В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила сообщает электрону с массой m_e ускорение, равное . Поскольку ускорение перпендикулярно скорости V, то электрон под действием этого нормального (центростремительного) ускорения будет двигаться по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силовым линия поля.

В общем случае начальная скорость электрона может быть неперпендикулярна к магнитной индукции. В данном случае траекторию движения электрона определяют две составляющие начальной скорости:

нормальная V₁ и касательная V₂, первая из которых направлена перпендикулярно силовым линиям магнитного поля, а вторая параллельно им. Под действием нормальной составляющей электрон движется по окружности, а под действие касательной – перемещается вдоль силовых линий поля рис. 1.9.

В результате одновременного действия обеих составляющих траектория движения электрона принимает вид спирали. Рассмотренная возможность изменения траектории движения электрона с помощью магнитного поля используется для фокусировки и управления электронным потоком в электронно-лучевых трубках и других приборах.

[spoiler title=”источники:”]

http://fokin91.narod.ru/vip5.htm

http://megaobuchalka.ru/3/4897.html

[/spoiler]

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---

В специальной
теории относительности рассматриваются
только инерциальные
системы отсчета. Во всех задачах
считается, что оси у,
у’ и z,
z‘
сонаправлены,
а относительная скорость υ₀
системы
ко­ординат
К’
относительно
системы К
нап­равлена
вдоль общей оси хх’
(рис. 5.1).

•
Релятивистское
(лоренцево) сок­ращение
длины стержня

Рис.
5.1

где l₀
— длина стержня в системе коор­динат
К’
,
относительно
которой стержень покоится
(собственная длина). Стержень параллелен
оси х’;
l—

длина
стержня, измеренная в системе К,
относительно
которой он движется со скоростью υ;
с
— скорость
распространения
электромагнитного излучения.

• Релятивистское
замедление хода часов

где Δt₀
— интервал времени между двумя событиями,
происходя­щими в одной точке системы
K’, измеренный по часам этой системы
(собственное время движущихся часов);
Δt — интервал времени между двумя
событиями, измеренный по часам системы
K.

• Релятивистское
сложение скоростей

,

где υ’ — относительная
скорость (скорость тела относительно
си­стемы K’); υ₀
— переносная
скорость (скорость системы K’ относи­тельно
К), υ0 — абсолютная скорость (скорость
тела относительно системы К).

В теории
относительности абсолютной скоростью
называется скорость тела в системе
координат, условно принятой за
непод­вижную.

• Релятивистская
масса

, ИЛИ
,

где
т₀
— масса покоя; β
— скорость частицы, выраженная в долях
скорости света

• Релятивистский
импульс

, или

• Полная энергия
релятивистской частицы

где Т — кинетическая
энергия частицы;
—
ее энергия
покоя.
Частица называется релятивистской,
если скорость частицы
сравнима
со скоростью света, и классической, если
υ<<с.

• Связь полной
энергии с импульсом релятивистской
частицы

• Связь
кинетической энергии с импульсом
релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Космический
корабль движется со скоростью υ=0,9 с по
направлению к центру Земли. Какое
расстояние l
прой­дет этот корабль в системе
отсчета, связанной с Землей (K-система),
за интервал времени Δt₀=1
с, отсчитанный по часам, находя­щимся
в космическом корабле (K’-система)?
Суточным вращением Земли и ее орбитальным
движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние
l,
которое пройдет космический ко­рабль
в системе отсчета, связанной с Землей
(K-система), определим по формуле

(1)

где
—интервал
времени, отсчитанный в K-системе
отсчета.
Этот
интервал времени связан с интервалом
времени, отсчитан­
ным
в K‘-системе,
соотношением
Подставив
выражение

в формулу (1), получим

После вычислений
найдем

l=619
Мм.

Пример
2. В
лабораторной системе отсчета (K-система)
движется стержень
со скоростью υ=0,8
с
. По
измерениям, произведенным в K-системе,
его длина l
оказалась равной 10 м, а угол φ,
который он составляет
с осью х,
оказался
равным 30°
.
Определить собственную длину
l₀
стержня в K‘-системе,
связанной со стержнем, и угол φ₀,
который он
составляет с осью х’
(рис. 5.2).

Рис.
5.2

Решение.
Пусть в K‘-системе
стержень лежит в плоскости х’О’у’.
Из
рис. 5.2,
а следует, что собственная длина l₀
стержня и угол φ₀,
который он составляет с осью х’,
выразятся
равенствами

(1)

В
K-системе
те же величины окажутся равными (рис.
5.2,
б)

(2)

Заметим,
что при переходе от системы К.’
к
К
размеры
стержня в направлении
оси у
не
изменятся, а в направлении оси х
претерпят
релятивистское
(лоренцево) сокращение, т. е.

(3)

С учетом последних
соотношений собственная длина стержня
выразится равенством

или

Заменив
в этом выражении

на
(рис.
5.2,
б), получим

Подставив
значения величин
в
это выражение и произведя
вычисления,
найдем

l₀=15₍3
м.

Для
определения угла

воспользуемся соотношениями (1), (2)
и (3):

, или

откуда

Подставив
значения φ
и
β
в это выражение и произведя вычисле­ния,
получим

Пример
3. Кинетическая
энергия Т
электрона
равна 1 МэВ. Определить
скорость электрона.

Решение.
Релятивистская формула кинетической
энергии

Выполнив
относительно β
преобразования,
найдем скорость час­тицы,
выраженную в долях скорости света
(β=υ/c):

(1)

где
E₀
— энергия покоя электрона (см. табл.
22).

Вычисления
по этой формуле можно производить в
любых еди­ницах
энергии, так как наименования единиц в
правой части формул сократятся
и в результате подсчета будет получено
отвлеченное число.

Подставив
числовые значения Е₀
и
Т
в
мега электрон-вольтах, получим

β=0,941.
Так
как
,
то

υ
= 2,82-10⁸
м/с.

Чтобы
определить, является ли частица с
кинетической энергией Т
релятивистской
или классической, достаточно сравнить
кинети­ческую
энергию частицы с ее энергией покоя.

Если
,
частицу можно считать классической. В
этом
случае
релятивистская формула (1) переходит в
классическую:

, или

Пример
4.
Определить релятивистский импульс
р
и
кинетическую энергию
Т
электрона,
движущегося со скоростью υ
=0,9 с
(где
с
— скорость
света в вакууме).

Решение.
Релятивистский импульс

(1)

После вычисления
по формуле (1) получим

В
релятивистской механике кинетическая
энергия Т
частицы
определяется как разность между полной
энергией E
и энергией покоя Е₀
этой
частицы, т. е.

Так
как
и
,
то, учитывая зависимость массы от
скорости,
получим

или окончательно

(2)

Сделав вычисления,
найдем

T=106
фДж.

Во
внесистемных единицах энергия покоя
электрона m₀с²=0,51
МэВ. Подставив это значение в формулу
(2),
получим

Т=0,66
МэВ.

Пример
5. Релятивистская
частица с кинетической энергией T=т₀c²
(m₀
— масса покоя частицы) испытывает
неупругое столк­новение
с такой же покоящейся (в лабораторной
системе отсчета) частицей.
При этом образуется составная частица.
Определить: 1)
релятивистскую массу т
движущейся
частицы; 2) релятивистскую массу
т’
и
массу покоя m₀‘
составной
частицы; 3) ее кинетическую энергию
Т’.

Решение.
1.
Релятивистскую массу m
движущейся
частицы
до столкновения найдем из
выражения для кинетической
энергии
релятивистской
частицы
.
Так как
,
то m=
=2т₀.

2.
Для того чтобы найти релятивистскую
массу составной части­цы,
воспользуемся тем, что суммарная
релятивистская масса частиц сохраняется
*: m+m₀=m’,
где
т+т₀
— суммарная релятивистская масса частиц
до столкновения; т’
— релятивистская
масса состав­ной частицы. Так как
т—2т₀
,
то

Массу
покоя m₀‘
составной частицы найдем из соотношения

(1)
Скорость
υ‘
составной
частицы (она совпадает со скоростью V_c
центра
масс в лабораторной системе отсчета)
можно найти из закона
сохранения импульса р=р’,
где
р— импульс релятивистской частицы
до столкновения; р’
— импульс
составной релятивистской
частицы.
Выразим р
через
кинетическую энергию Т:

Так
как
,
то

Релятивистский
импульс
.
Учитывая, что
,
закон
сохранения импульса можно записать в
виде
,
откуда

Подставив
выражения υ’
и т’
в
формулу (I),
найдем
массу покоя составной
частицы:

, или

3.
Кинетическую энергию Т’
составной
релятивистской частицы найдем
как разность полной энергии т’с²
и
энергии покоя т₀‘с²
составной
частицы:

Подставив
выражения т’
и
m₀‘,
получим

• Этот
  закон см., например, в кн.: Савельев
  И. В. Куре
  общей физики.

М.,
1977. Т. I,
§70.