В 4 классе дети начинают решать задачи на скорость сближения и скорость удаления. Ребята начинают путаться. Часто они не могут определить вид задачи или просто не знают формулы. Однако понять эту тему легко. В этой статье Я расскажу, как учу своих учеников не путаться в задачах данного вида.
Ситуация 1
Представь, что вы с мамой вышли из дома и пошли в разные стороны. Вы будете приближаться друг к другу или удаляться друг от друга? Удаляться. Расстояние между вами будет увеличиваться или уменьшаться? Увеличиваться. Для того, чтобы найти скорость удаления в данной ситуации, нужно две скорости сложить.
Задача
Из города одновременно в разных направлениях выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 70 км/ч, скорость второго автомобиля 90 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
1) 90 + 70 = 160 (км/ч) – скорость удаления.
2) 160 × 4 = 640 (км)
Ответ: 640 км будет расстояние между автомобилями через 4 часа.
Ситуация 2
Представь, что вы с мамой идете навстречу друг другу.
В каждой из обсуждаемых ситуаций я задаю одни и те же вопросы, как в первой ситуации. Поэтому дальше я буду писать только результат наших рассуждений.
Когда мы идем навстречу друг другу, мы приближаемся друг к другу. Поэтому ищем скорость сближения. Расстояние между нами будет становиться меньше. Для того, чтобы найти скорость сближения в данной ситуации, нужно скорости сложить.
Задача
Расстояние между двумя городами 640 км. Из каждой из них одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 90 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч. Через сколько часов автомобили встретятся?
1) 90 + 70 = 160 (км/ч) – скорость сближения
2) 640 : 160 = 4 (ч)
Ответ: автомобили встретятся через 4 часа.
Ситуация 3
Представь, что ты идешь по улице и видишь, что впереди идет мама. Ты решаешь ее догнать. Твоя скорость больше, чем скорость мамы. Ты догонишь маму? Да. Вы будете приближаться к друг другу или удаляться?Расстояние между вами будет увеличиваться или уменьшаться? Уменьшаться. (приближаться, т. к. ребенок сокращает расстояние). В этой ситуации мы находим скорость сближения.
Задача
Из города в посёлок выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля 70 км/ч, скорость второго автомобиля 90 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый, если расстояние между ними равно 120 км?
1) 90 – 70 = 20 (км/ч) – скорость сближения
2) 120 : 20 = 6 ( ч)
Ответ: второй автомобиль догонит первый через 6 часов.
Ситуация 4
Представь ту же ситуацию, но теперь скорость больше у мамы. Ты догонишь маму? Нет. Почему? Она будет постоянно удаляться. Находим скорость удаления. Для этого из большей скорости вычитаем меньшую.
Задача
Одновременно из города выехали два автомобиля и поехали в одном направлении. Скорость первого автомобиля 90 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
1) 90 – 70 = 20 (км/ч) – скорость удаления
2) 20 × 4 = 80 (км)
Ответ: 80 км будет расстояние между автомобилями через 4 часа.
Делитесь своим мнением в комментариях, подписывайтесь на мой канал
Для решения задач на движение стоит прояснить объекты сближаются или удаляются, ответ зависит от вида движения. Когда объекты двигаются навстречу друг другу из разных пунтков, то они сближаются:
(v_1+v_2=20+30=50) км/час скорость сближения
Когда объекты двигаются в противоположных направлениях из одного пункта, то они удаляются:
(v_1+v_2=20+30=50) км/час скорость удаления
Когда объекты двигаются в одном направление одновременно:
- Если они выезжают одновременно, то два объекта удаляются друг от друга, так как скорость у них разная, для того чтобы найти скорость их удаления надо из большей скорости вычесть меньшую.
(v_y=v_2-v_1)
- Если они выезжают с интервалом, то два объекта могут удаляться или сближаться в зависимости от их скоростей:
1) если скорость объекта, который впереди больше, то они удаляются. (v_2>v_1)
2) если скорость объекта, который впереди меньше, то они сближаются . (v_1>v_2)
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Памятка «Учимся решать задач на движение»
В задачах на движение рассматриваются три взаимосвязанные величины:
S – расстояние (пройденный путь),
t – время движения и
V – скорость – расстояние, пройденное за единицу времени.
Расстояние – это произведение скорости на время движения
S = V ● t
Скорость – это частное от деления расстояния на время движения
V = S : t
Время – это частное от деления расстояния на скорость движения
t = S : V
Задачи на встречное движение
Скорость сближения – это сумма скоростей, движущихся навстречу друг другу тел. V сближ. = 1V + 2V
Пример 1. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии находятся посёлки?
Схема к задаче:
Решение:
S = V ● t
V сближ. = 1V + 2V
1 способ:
1) 12 • 3 = 36 (км) – проехал первый велосипедист до встречи
2) 14 • 3 = 42 (км) – проехал второй велосипедист до встречи
3) 36 + 42 = 78 (км)
2 способ:
1) 12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость сближения
2) 26 • 3 = 78 (км)
Ответ: расстояние между посёлками 78 км.
Пример 2. Из двух городов навстречу друг другу выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч, скорость второй – 60 км/ч. Через, сколько часов машины встретятся, если расстояние между городами 280 км?
Схема к задаче:
Решение:
V сближ. = 1V + 2V
t = S : V
1) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость сближения
2) 280 : 140 = 2 (ч)
Ответ: машины встретятся через 2 часа.
Пример 3. Из двух городов, расстояние между которыми 340 км, выехали одновременно навстречу друг другу две машины. Скорость первой – 80 км/ч. С какой скоростью ехала вторая машина, если встретились они через 2 часа?
Схема к задаче:
Решение:
V = S : t
2V = V сближ. – 1V
1) 340 : 2 = 170 (км/ч) – скорость сближения
2) 170 – 80 = 90 (км/ч)
Ответ: 90 км/ч. скорость второй машины
Задачи на движение в противоположных направлениях
Скорость удаления – это расстояние, которое проходят тела за 1 ч при движении в противоположных направлениях.
V удал. = 1V + 2V
Пример 1. Два лыжника одновременно вышли из пункта А в противоположных направлениях. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч, а второй – 14 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 3 ч?
Схема к задаче:
Решение:
S = V ● t
1 способ
1)12 • 3 = 36 (км) – расстояние, которое прошёл первый лыжник за 3 ч
2)14 • 3 = 42 (км) – расстояние, которое прошёл второй лыжник за 3 ч
3)36 + 42 = 78 (км)
2 способ
V удал. = 1V + 2V
S = V ● t
1)12 + 14 = 26 (км/ч) – скорость удаления
2)26 • 3 = 78 (км)
Ответ: через 3 ч они будут друг от друга на расстоянии 78 км.
Пример 2. Из города в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч, скорость второй – 60 км/ч. Через сколько часов расстояние между машинами будет 280 км?
Схема к задаче:
Решение:
V удал. = 1V + 2V
t = S : V
1) 80 + 60 = 140 (км/ч) – скорость удаления
2) 280 : 140 = 2 (ч)
Ответ: через 2 часа расстояние между машинами будет 280 км
Пример 3. Из города одновременно в противоположных направлениях выехали две машины. Скорость первой – 80 км/ч. С какой скоростью ехала вторая машина, если через 2 часа расстояние между ними было 340 км?
Схема к задаче:
Решение:
V = S : t
2V = V удал. – 1V
1) 340 : 2 = 170 (км/ч) – скорость удаления машин
2) 170 – 80 = 90 (км/ч)
Ответ: скорость второй машины 90 км/ч.
Юра и Яра договорились встретиться в музее космонавтики. Они выехали с разных концов города навстречу друг другу на автомобилях. Скорость автомобиля Юры — (80) км/ч, а скорость автомобиля, на котором едет Яра — (65) км/ч. Как и с какой скоростью изменится расстояние между ними до момента встречи?
Рассмотрим схему движения Юры и Яры.
Юра и Яра движутся навстречу друг другу, значит, расстояние между ними сокращается.
Чтобы найти, с какой скоростью сокращается между ними расстояние, рассмотрим правило вычисления скорости сближения.
Получается, что скорость сближения автомобилей Юры и Яры: (80 + 65 = 145) км/ч.
После музея друзья решили отправиться в планетарий. Яра выехала на автомобиле со скоростью (58) км/ч. Вслед за ней выехал Юра на автомобиле со скоростью (73) км/ч. Уменьшится или увеличится расстояние между ними и с какой скоростью?
Рассмотрим схему движения Юры и Яры.
Скорость автомобиля Юры больше, чем автомобиля, на котором едет Яра, значит, расстояние между ними уменьшается. Перед нами — движение вдогонку.
Чтобы найти, с какой скоростью сокращается между ними расстояние, рассмотрим правило вычисления скорости сближения во время движения вдогонку.
Получается, что скорость сближения автомобилей Юры и Яры: (73 – 58 = 15) км/ч.
Расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени, называется скоростью сближения.
Сделаем вывод:
при встречном движении скорость сближения равна сумме скоростей:
vсбл.=v1+v2
.
При движении вдогонку скорость сближения равна разности скоростей:
vсбл.=v1
−v2
.
Математика, 4 класс
Урок №39. Задачи на встречное движение
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
– какие бывают направления движения?
– что такое скорость сближения?
– как узнать скорость сближения?
Глоссарий по теме:
Скорость сближения – расстояние, на которое сближаются движущиеся предметы в единицу времени.
Встречное движение – движение навстречу друг другу.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
1. Моро М.И.,Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ч.2 – М.; Просвещение, 2017. – с.6-8.
2. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 2. М.; Просвещение, 2016. – с.15.
3. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.54.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим новый вид задач, задачи на встречное движение. Автобус и автомобиль выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов и встретились через 3 ч. Автобус ехал со скоростью 60 км/ч, а автомобиль – 90 км/ч. 
Найдите расстояние между городами. Это задача на встречное движение, потому что в ней речь идёт о двух транспортных средствах, которые движутся навстречу друг другу. При этом расстояние между ними сокращается.
После встречи автобус и автомобиль движутся в противоположных направлениях, удаляются друг от друга. Это уже другой вид движения и другой тип задач. Таким образом, существует встречное движение (навстречу друг другу) и движение в противоположных направлениях.
Сделаем чертёж к нашей задаче. На чертеже отрезком обозначают расстояние между городами. Его нужно найти. Записываем под отрезком вопросительный знак. Автобус и автомобиль движутся навстречу друг другу. Покажем это на чертеже стрелками.
В условии задачи даны скорости движения машин. Запишем их на чертеже. Место встречи машин отмечено флажком. Обрати внимание, что автомобиль двигался быстрее автобуса. Он проехал большее расстояние, чем автобус. Поэтому флажок на чертеже располагается ближе к тому месту, откуда выехал автобус. Время в пути автобуса и автомобиля одинаковое, 3 часа. Поэтому отрезки, обозначающие расстояние, пройденное до встречи каждым транспортным средством, поделим на три равные части. Каждая такая часть будет означать расстояние, пройденное за один час. Заметьте, части слева и справа от флажка получились разными, т.к. разными были скорости движения. Каждая часть слева от флажка обозначает 60 км в час. А каждая часть справа от флажка обозначает 90 км, которые проезжает за один час автомобиль.
Теперь приступим к решению задачи. Общее расстояние между городами складывается из расстояния, которое проехал автобус и расстояния, которое проехал автомобиль до их встречи. Каждое из этих расстояний находится умножением скорости на время. После этого полученные величины надо сложить. Мы ответили на вопрос задачи. Запишем ответ.
1) 60 ∙ 3 = 180 (км) – расстояние, которое проехал автобус.
2) 90 ∙ 3 = 270 (км) – расстояние, которое проехал автомобиль.
3) 180 + 270 = 450 (км) – расстояние между городами.
Ответ: расстояние между городами 450 км.
Эту задачу можно решить другим способом. Автобус и автомобиль начали движение одновременно. После первого часа пути автобус проехал 60 км, а автомобиль 90 км. Значит, за один час они сблизились на 150 км. По другому можно сказать, что скорость сближения машин равна 150 км в час. За следующий час пути автобус и автомобиль сблизились ещё на 150 км. За третий час они сблизились ещё на 150 км. И так, до встречи машины сближались три раза по 150 км, т.к. были в пути 3 часа. Значит, чтобы узнать расстояние между ними в самом начале пути, надо 150 умножить на 3. То есть, скорость сближения умножить на время движения до встречи.
1) 60 + 90 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 ∙ 3 = 450 (км)
Ответ: расстояние между городами 450 км.
Это второй способ решения задачи.
Расстояние, на которое сближаются движущиеся предметы в единицу времени, называют скоростью сближения.
Задания тренировочного модуля:
1. Вставьте в таблицу пропущенные данные.
Два лыжника вышли одновременно навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3 часа. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч, второй – 14 км/ч. Найдите расстояние между посёлками.
|
Скорость |
Время |
Расстояние |
|
|
Первый лыжник |
? |
||
|
Второй лыжник |
? |
Правильный ответ:
|
Скорость |
Время |
Расстояние |
|
|
Первый лыжник |
12 км/ч |
3 ч |
? |
|
Второй лыжник |
14 км/ч |
3 ч |
? |
2. Распределите решения задач по группам. Перенесите их в соответствующие столбики.
|
Из двух посёлков, расстояние между которыми 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый из них шёл со скоростью 12 км/ч, второй – 14 км/ч. Через сколько часов лыжники встретились? |
Из двух посёлков, находящихся на расстоянии 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника и встретились через 3 ч. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью шёл второй лыжник? |
Варианты ответа:
(78 – 12 ∙ 3) : 3
78 : (12 + 14)
Правильный вариант:
|
Из двух посёлков, расстояние между которыми 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый из них шёл со скоростью 12 км/ч, второй – 14 км/ч. Через сколько часов лыжники встретились? |
Из двух посёлков, находящихся на расстоянии 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника и встретились через 3 ч. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч. С какой скоростью шёл второй лыжник? |
|
78 : (12 + 14) |
(78 – 12· 3) : 3 |
3. Расположите величины по возрастанию.
От порта к бухте отправился катер. В то же время навстречу ему от бухты поплыла вёсельная лодка. Через 20 минут они одновременно проплыли мимо одного и того же пляжа.
Варианты ответа: Скорость катера; Скорость сближения катера и лодки; Скорость лодки.
Правильный вариант: Скорость лодки; Скорость катера; Скорость сближения катера и лодки.
