Как найти скорость шарика подвешенного на нити

Шар подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 0,5 м. Какую минимальную горизонтально направленную скорость v_o надо сообщить шару, чтобы он сделал полный оборот в вертикальной плоскости?

Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 25 мая 2007 года.

Решение:

Воспользуемся законом сохранения механической энергии при переходе шарика из нижнего положения в верхнее:

mvo2	= mg • 2l +	mv2	(1),
2	2

где l — длина подвеса или нерастяжимой нити.

В верхней точке на шарик будут действовать 2 силы: сила тяжести mg (направлена вниз) и сила натяжения нити T (также направлена вниз). Эти силы сообщают шарику центростремительное ускорение, направленное вниз — к точке подвеса:

ma_ц = mg + T

Поскольку шарик достиг верхней точки (T = 0, условие задачи), то

отсюда

v² = gl    (2).

Сделаем подстановку (2) в (1), получим

v_o² = g4l + gl = 5gl.

v_o = √(5gl)

Выполнив вычисления, получим: v_o = √(5×10×0,5) = 5 (м/с).

Примечание: если шар подвешен на жестком стержне, то в верхней точке скорость v может обратиться в нуль, тогда из (1)

v_o² = 4gl,

v_o = √(4gl) = 2√(gl)

---

Спрятать решение

Источник: Кирик Л. А. Са­мо­сто­я­тель­ные и кон­троль­ные ра­бо­ты для 9 клас­са, Х.: «Гим­на­зия», 2002 (№ 6 (дост.) стр. 130)

Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости

1. Груз, подвешенный на нити и стержне

Шарик массой m подвешен в точке O на нити длиной l (рис. 33.1). Отведем его на угол 90′ и отпустим без толчка. Шарик начнет двигаться по окружности.

Обозначим скорость, с которой шарик проходит положение равновесия (рис. 33.2).

? 1. Используя рисунок 33.2, ответьте на вопросы:
а) Какие силы показаны на рисунке?
б) Как направлено ускорение шарика?
в) Выразите модуль равнодействующей через модули показанных сил.

? 2. Перенесите в тетрадь рисунок 33.2, укажите на нем ускорение шарика и объясните смысл следующих уравнений:

? 3. Шарик массой 100 г подвешен на нити длиной 1 м. Его отклоняют на 90º и отпускают без толчка.
а) Чему равна сила натяжения нити, когда шарик проходит положение равновесия?
б) Во сколько раз вес шарика при прохождении положения равновесия больше силы тяжести?
Подсказка. Чтобы найти силу натяжения нити, удобно разделить уравнение (2) иа уравнение (1). Вспомните определение веса тела.

Итак, в данном случае при прохождении шариком положения равновесия нить должна выдержать «тройной вес»!

Сообщим шарику в нижней точке такую скорость _н, чтобы он двигался в вертикальной плоскости по окружности (рис. 33.3).

На рисунке показаны последовательные положения шарика через равные промежутки времени (их можно зафиксировать, например, с помощью видеосъемки).

? 4. Почему в верхней части рисунка расстояния между последовательными положениями шарика меньше?

? 5. Сделайте в тетради чертеж, на котором изобразите:
а) силы, действующие на шарик в верхней и нижней точках окружности (обозначьте _в и _н силы натяжения нити в этих точках);
б) ускорение шарика в этих точках. В верхней точке ускорение направлено вниз, а в нижней – вверх.

? 6. Объясните смысл следующих уравнений:

? 7. Подвешенный на нити шарик массой 100 г вращается в вертикальной плоскости. Насколько больше сила натяжения нити, когда шарик проходит положение равновесия, чем когда он находится в верхней точке окружности?
Подсказка. Удобно вычесть уравнение (4) из уравнения (б) и сравнить полученное уравнение с уравнением (3).

«Шестикратный вес»

Шарик движется но окружности при условии, что нить натянута. Поэтому минимальная скорость, которую нужно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он стал двигаться по окружности„должна быть такой, чтобы сила натяжения нити обратилась в нуль только в верхней точке окружности.

? 8. Шарику, подвешенному на нити длиной l, сообщили в нижней точке минимальную горизонтальную скорость, необходимую для того, чтобы он начал двигаться по окружности. Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шарик в верхней и нижней точках окружности. Чему в этом случае равны:
а) скорость шарика в верхней точке окружности?
б) ускорение шарика в верхней точке окружности?
в) скорость шарика в нижней точке окружности?
г) вес шарика в нижней точке окружности?
Подсказка. Воспользуйтесь уравнениями (3)–(5).

Итак, когда груз проходит нижнюю точку, нить должна выдерживать шестикратный вес груза!

В какой точке шарик сойдет с окружности?

Пусть теперь скорость шарика в нижней точке недостаточна для того, чтобы он мог совершить полный оборот.

В таком случае есть две возможности.

1) Шарик не поднимется выше точки подвеса О. Тогда он начнет колебаться между крайними положениями (рис. 33.4).

2) Шарик поднимется выше точки подвеса, но сила натяжения нити обратится в некоторой точке А в нуль (рис. 33.5). После этого шарик будет двигаться по параболе, показанной красным пунктиром. Когда шарик находится в точке А, центростремительное ускорение ему сообщает только составляющая силы тяжести, направленная вдоль радиуса к центру окружности. На рисунке показано, как найти модуль этой составляющей (отрезок зеленого цвета).

? 9. Шарику массой m, подвешенному на нити длиной l, сообщают горизонтальную начальную скорость v₀. Когда шарик находится на высоте h, сила натяжения нити обращается в нуль. Обозначим скорость шарика в этот момент. Используя рисунок 33.6:
а) объясните смысл уравнений

б) выразите h через l и альфа.

? 10. Шарику массой 200 г, подвешенному на нити длиной 50 см, сообщают горизонтальную скорость 4 м/с.
а) До какой высоты (по отношению к положению равновесия) шарик будет двигаться по окружности?
б) Чему будет равна сила натяжения нити, когда шарик будет находиться на одной горизонтали с точкой подвеса?
Подсказка. Когда шарик находится на одной горизонтали с точкой подвеса, центростремительное ускорение шарику сообщает только сила натяжения нити.

? 11. Небольшая шайба массой m лежит внутри закрепленного цилиндра. Ось цилиндра горизонтальна (рис. 33.7). Внутренний радиус цилиндра 30 см, стенки цилиндра гладкие. Какую скорость v0 надо сообщить шайбе перпендикулярно оси цилиндра, чтобы она:
а) совершила полный оборот, двигаясь по окружности?
б) оторвалась от поверхности цилиндра на высоте 40 см?

Подсказки. Движение шайбы в цилиндре отличается от движения подвешенного на нити шарика только тем, что роль силы натяжения нити играет сила нормальной реакции, а длину нити l надо заменить на радиус цилиндра r.

Груз, подвешенный на стержне

Рассмотрим теперь вращение груза, подвешенного на легком стержне (массой стержня можно пренебречь). В отличие от нити стержень сохраняет форму и поэтому не дает грузу сойти с окружности. По этой причине минимально возможная скорость груза в верхней точке равна нулю.

? 12. Шарик подвешен на легком стержне длиной l, который может вращаться без трения вокруг точки подвеса O.
а) Какова минимально возможная скорость шарика в верхней точке траектории?
б) Какую минимальную скорость надо сообщить шарику в нижней точке, чтобы он совершил полный оборот?
в) Чему равен вес шарика в нижней точке?

Итак, подвешенному на стержне шарику надо сообщить меньшую начальную скорость, чтобы он сделал полный оборот, чем в случае, когда шарик подвешен на нити той же длины.

2. Движение по «мертвой петле»

Рассмотрим движение тела в вертикальной плоскости по гладкому желобу, переходящему в окружность (рис. 33.8). По аналогии с фигурой высшего пилотажа, когда самолет совершает круговой виток в вертикальной плоскости, такое движение называют иногда мертвой петлей.

Движение по круговому желобу очень похоже на рассмотренное выше движение подвешенного на нити груза. Роль действующей на груз силы натяжения нити играет теперь сила нормальной реакции , направленная тоже по радиусу к центру окружности. А моменту, когда сила натяжения нити обращается в нуль, соответствует момент, когда тело отрывается от желоба.

? 13. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H по гладкому наклонному желобу, переходящему в окружность радиусом r, и движется по окружности, не отрываясь от желоба. Обозначим _в силу нормальной реакции, действующую на шайбу в верхней точке окружности. Скорость шайбы в этот момент обозначим v.
а) Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в верхней и нижней точках окружности.
б) Объясните смысл следующих уравнений:

? 14. Чему равна минимальная высота H_min, с которой должна соскальзывать шайба, чтобы она могла совершить полный оборот?
Подсказка. В этом случае N_в обращается в нуль в верхней точке окружности.

Если начальная высота шайбы H меньше, чем Hmin, то в некоторой точке шайба оторвется от желоба. В этой точке сила нормальной реакции обращается в нуль.

? 15. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H по гладкому желобу, переходящему в окружность радиусом r, и отрывается от желоба на высоте h (по отношению к нижней точке окружности). Скорость шайбы в этот момент обозначим v.
а) Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в момент отрыва от желоба.
б) Используя этот чертеж, объясните смысл уравнений

? 16. Небольшая шайба массой 50 г соскальзывает с некоторой высоты H по гладкому желобу, переходящему в окружность радиусом 30 см, и отрывается от желоба на высоте 40 см (по отношению к нижней точке окружности).
а) Чему равно H?
б) С какой силой шайба давит на желоб, когда она находится на одной горизонтали с центром окружности?

З. Соскальзывание с полусферы

Пусть на вершине гладкой полусферы радиусом г, укрепленной на столе, лежит небольшая шайба массой m (рис. ЗЗ.9). От незначительного толчка шайба начинает соскальзывать.

Пока шайба скользит, действующая на нее сила нормальной реакции уменьшается. В некоторой точке она обратится в нуль – в этот момент шайба оторвется от полусферы (рис. 33.10) и начнет двигаться по параболе (красная пунктирная линия). Обозначим и скорость шайбы в момент отрыва от полусферы.

? 17. Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в момент отрыва от полусферы, и направление скорости шайбы в этот момент. Обозначьте h высоту, на которой находится при этом шайба, а α – угол между радиусом, проведенный к шайбе и вертикалью. Используя этот чертеж:
а) объясните смысл уравнений

б) выразите h через r и α.
в) выразите h через r.

? 18. На вершине гладкой сферы лежит небольшая шайба массой m, соединенная нитью с грузом массой M (рис. 33.11). В начальный момент тела покоятся. Их отпускают без толчка. Шайба отрывается от полусферы, когда угол между радиусом, проведенным к шайбе, и вертикалью равен α. Обозначим и модуль скорости тел в момент отрыва.

а) Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в момент отрыва от полусферы.
Подсказка. В момент отрыва на шайбу действуют только сила тяжести и сила натяжения нити, направленная по касательной к окружности.
б) Насколько опустилась шайба и насколько опустился груз к моменту отрыва шайбы по сравнению с их начальным положением?
Подсказка. См. рисунок 33.12. Шайба опустилась на расстояние, отмеченное синим отрезком, а груз опустился на расстояние (зеленый отрезок), равное длине дуги, пройденной шайбой до отрыва (зеленый пунктир). Длина дуги равна rα (где α задано в радианах).

в) Используя этот чертеж, объясните смысл уравнений

Подсказка. Действующая на шайбу сила натяжения нити направлена по касательной к окружности. Поэтому центростремительное ускорение шайбе перед самым отрывом сообщает только составляющая действующей на шайбу силы тяжести, направленная по радиусу к центру окружности.
г) Чему равно отношение M/m, если α = π/6?

Дополнительные вопросы и задания

19. Какую скорость можно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он начал совершать колебания, если:
а) шарик подвешен на нити длиной l?
б) шарик подвешен на легком стрежне длиной l?
Подсказка. Шарик на нити не должен подняться выше точки подвеса, а шарик на стержне не должен достичь верхней точки окружности.

20. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H = 2r по гладкому желобу, переходящему в окружность с радиусом r.
а) На какой высоте h (по отношению к нижней точке окружности) шайба оторвется от желоба?
б) С какой силой шайба давит на желоб, когда она находится на одной горизонтали с центром окружности?

21. На гладкой полусфере радиуса r, укрепленной на столе, лежит небольшая шайба. Ей сообщают начальную горизонтальную скорость v0. На какой высоте h от стола шайба оторвется от полусферы?
Подсказка. Если начальная скорость достаточно велика, шайба оторвется от полусферы сразу.

22. На укрепленной на столе полусфере радиуса r лежит небольшая шайба массой m. От незначительного толчка шайба начинает соскальзывать. Вследствие трения за время, в течение которого шайба скользила по полусфере, выделилось количество теплоты Q.
а) На какой высоте h шайба оторвалась от полусферы?
б) На какой высоте h шайба оторвалась от полусферы, если выделившееся количество теплоты равно кинетической энергии шайбы в момент отрыва?

23. Впервые в мире круговой виток в вертикальной плоскости выполнил русский летчик П. Н. Нестеров в 1913 году. Эту фигуру высшего пилотажа называют мертвой петлей или петлей Нестерова. Нестеров так доверял своим расчетам, что перед выполнением мертвой петли не пристегнулся ремнями к креслу пилота. Расчет летчика оказался правильным: ремни не понадобились! Почему при выполнении мертвой петли летчик не выпадает из кресла пилота в верхней точке траектории?

Неравномерное движение по окружности в физике – формулы и определение с примерами

Неравномерное движение по окружности:

Вы в 7 классе ознакомились с равномерным движением по окружности. В данной теме мы рассмотрим неравномерное движение по окружности. Вспомним физические величины, которые описывают равномерное движение по окружности (рис. 1.2).

Величина, численно равная пути, пройденному за единицу времени равномерно двигающейся по дуге окружности материальной точкой, называется линейной скоростью и определяется следующим выражением:

2. Отношение угла поворота радиуса окружности при равномерном движении по окружности ко времени поворота называется угловой скоростью:

Угловая скорость, также как и линейная скорость, считается векторной величиной. Ее направление определяется по правилу правого винта. То есть, если головку винта вращать по направлению вращения тела, то поступательное движение его укажет направление вектора углового перемещения, или угловой скорости (рис. 1.3).

В большинстве случаев тела, совершающие вращательные движения, меняют скорость вращения. Например, в начале движения автомобиля до достижения им определенной скорости или в момент торможении до полной остановки, колеса автомобиля совершают вращательные движения с разной скоростью.

Движение, при котором угловая скорость предмета, совершающего вращательное движение, изменяется по времени называется переменным вращательным движением.

Среди переменных вращательных движений встречаются движения, в которых угловая скорость за любые равные промежутки времени меняется на равные значения. Например, колеса автобуса, который приближается к остановке или отъезжает от нее, совершают равнопеременное вращательное движение. В таких движениях ритм изменения угловой скорости описывается физической величиной, называемой угловым ускорением.

Величина, измеряемая отношением изменения угловой скорости ко времени, за которое произошло это изменение, называется угловым ускорением.

Угловое ускорение при равнопеременном движении с течением времени не меняется, так как угловая скорость такого движения тоже меняется за равные промежутки времени на равные значения. Если начальная угловая скорость двигающейся материальной точки равна , угловая скорость через промежуток времени равна , то изменение угловой скорости будет: . Тогда уравнение (1.12) приобретает вид:

Исходя из этого, единица измерения углового ускорения будет равна . Из выражения (1.13) можно вывести формулу для определения угловой скорости в любой момент времени:

Если угловая скорость в ходе движения растет равномерно, вращательное движение будет равноускоренным (рис. 1.4 а). Если угловая скорость вращательного движения в ходе вращения равномерно уменьшается, такое вращательное движение называется равномерно замедленным (рис. 1.4 б).

Из-за того, что при вращательном движении угловая скорость является векторной величиной, угловое ускорение тоже считается векторной величиной. Так как, в формуле (1.13) является скалярной величиной. В случае , вектор и угловое ускорение совпадает с направлением угловой скорости, а в случае будет, и вектор противонаправлен вектору .

В уравнении равнопеременного прямолинейного движения достаточно заменить пройденный путь на угол поворота , скорость на угловую скорость , ускорение на угловое ускорение чтобы получить уравнение равномерно изменяющегося вращательного движения. Сопоставление этих уравнений для данных видов движения приводится в следующей таблице:

При вращательном движении встречаются случаи, когда меняется количественная величина линейной скорости материальной точки. В таких случаях в связи с изменением линейной скорости материальной точки возникает ускорение. Из-за того, что это ускорение появилось в результате изменения количественных величин скорости, его направление совпадает с направлением скорости. Поэтому оно называется касательным, т.е. тангенциальным ускорением и его можно выразить формулой:

Таким образом, если меняется линейная скорость материальной точки, совершающей вращательное движение, ее общее ускорение можно определить по формуле:

здесь .

Рекомендую подробно изучить предметы:

Физика Атомная физика Ядерная физика Квантовая физика Молекулярная физика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Равномерное движение по окружности
• Взаимная передача вращательного и поступательного движения
• Движение горизонтально брошенного тела
• Движение тела, брошенного под углом к горизонту
• Электромагниты и их применение в физике
• Колебательный контур в физике
• Исследовательские методы в физике
• Вертикальное движение тел в физик

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант

Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант. — 1972. — № 9. — С. 51-57.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Для описания движения по окружности наряду с линейной скоростью вводят понятие угловой скорости. Если точка при движении по окружности за время Δt описывает дугу, угловая мера которой Δφ, то угловая скорость .

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением υ = ω·r, где r — радиус окружности, по которой движется точка (рис. 1). Понятие угловой скорости особенно удобно для описания вращения твердого тела вокруг оси. Хотя линейные скорости у точек, находящихся на разном расстоянии от оси, будут неодинаковыми, их угловые скорости будут равны, и можно говорить об угловой скорости вращения тела в целом.

Задача 1. Диск радиуса r катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянная и равна υ_п. С какой угловой скоростью при этом вращается диск?

Каждая точка диска участвует в двух движениях — в поступательном движении со скоростью υ_п вместе с центром диска и во вращательном движении вокруг центра с некоторой угловой скоростью ω.

Для нахождения ω воспользуемся отсутствием проскальзывания, то есть тем, что в каждый момент времени скорость точки диска, соприкасающейся с плоскостью, равна нулю. Это означает, что для точки А (рис. 2) скорость поступательного движения υ_п равна по величине и противоположна по направлению линейной скорости вращательного движения υ_вр = ω·r. Отсюда сразу получаем .

Задача 2. Найти скорости точек В, С и D того же диска (рис. 3).

Рассмотрим вначале точку В. Линейная скорость ее вращательного движения направлена вертикально вверх и равна , то есть по величине равна скорости поступательного движения, которая, однако, направлена горизонтально. Складывая векторно эти две скорости, находим, что результирующая скорость υ_B по величине равна и образует угол 45º с горизонтом. У точки С скорости вращательного и поступательного движения направлены в одну сторону. Результирующая скорость υ_C равна 2υ_п и направлена горизонтально. Аналогично находится и скорость точки D (см. рис. 3).

Даже в том случае, когда скорость точки, движущейся по окружности, не меняется по величине, точка имеет некоторое ускорение, так как меняется направление вектора скорости. Это ускорение называется центростремительным. Оно направлено к центру окружности и равно (R — радиус окружности, ω и υ — угловая и линейная скорости точки).

Если же скорость точки, движущейся по окружности, меняется не только по направлению, но и по величине, то наряду с центростремительным ускорением существует и так называемое тангенциальное ускорение. Оно направлено по касательной к окружности и равно отношению (Δυ — изменение величины скорости за время Δt).

Задача 3. Найти ускорения точек А, В, С и D диска радиуса r, катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянна и равна υ_п (рис. 3).

В системе координат, связанной с центром диска, диск вращается с угловой скоростью ω, а плоскость движется поступательно со скоростью υ_п. Проскальзывание между диском и плоскостью отсутствует, следовательно, . Скорость поступательного движения υ_п не меняется, поэтому угловая скорость вращения диска постоянная и точки диска имеют только центростремительное ускорение , направленное к центру диска. Так как система координат движется без ускорения (с постоянной скоростью υ_п), то в неподвижной системе координат ускорения точек диска будут теми же.

Перейдем теперь к задачам на динамику вращательного движения. Вначале рассмотрим простейший случай, когда движение по окружности происходит с постоянной скоростью. Так как ускорение тела при этом направлено к центру, то и векторная сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть тоже направлена к центру, и по II закону Ньютона .

Следует помнить, что в правую часть этого уравнения входят только реальные силы, действующие на данное тело со стороны других тел. Никакой центростремительной силы при движении по окружности не возникает. Этим термином пользуются просто для обозначения равнодействующей сил, приложенных к телу, движущемуся по окружности. Что касается центробежной силы, то она возникает только при описании движения по окружности в неинерциальной (вращающейся) системе координат. Мы пользоваться здесь понятием центростремительной и центробежной силы вообще не будем.

Задача 4. Определить наименьший радиус закругления дороги, которое автомобиль может пройти при скорости υ = 70 км/ч и коэффициенте трения шин о дорогу k =0,3.

На автомобиль действуют сила тяжести Р = m·g, сила реакции дороги N и сила трения F_тp между шинами автомобиля и дорогой. Силы Р и N направлены вертикально и равны по величине: P = N. Сила трения, препятствующая проскальзыванию («заносу») автомобиля, направлена к центру поворота и сообщает центростремительное ускорение: . Максимальное значение силы трения F_{тр max} = k·N = k·m·g, поэтому минимальное значение радиуса окружности, по которой еще возможно движение со скоростью υ, определяется из уравнения . Отсюда (м).

Сила реакции дороги N при движении автомобиля по окружности не проходит через центр тяжести автомобиля. Это связано с тем, что ее момент относительно центра тяжести должен компенсировать момент силы трения, стремящийся опрокинуть автомобиль. Величина силы трения тем больше, чем больше скорость автомобиля . При некотором значении скорости момент силы трения превысит момент силы реакции и автомобиль опрокинется.

Задача 5. При какой скорости автомобиль, движущийся по дуге окружности радиуса R = 130 м, может опрокинуться? Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м над дорогой, ширина следа автомобиля l = 1,5 м (рис. 4).

В момент опрокидывания автомобиля как сила реакции дороги N, так и сила трения F_тp приложены к «внешнему» колесу. При движении автомобиля по окружности со скоростью υ на него действует сила трения . Эта сила создает момент относительно центра тяжести автомобиля . Максимальный момент силы реакции дороги N = m·g относительно центра тяжести равен (в момент опрокидывания сила реакции проходит через внешнее колесо). Приравнивая эти моменты, найдем уравнение для максимальной скорости, при которой автомобиль еще не опрокинется:

Откуда ≈ 30 м/с ≈ 110 км/ч.

Чтобы автомобиль мог двигаться с такой скоростью, необходим коэффициент трения (см. предыдущую задачу).

Аналогичная ситуация возникает при повороте мотоцикла или велосипеда. Сила трения, создающая центростремительное ускорение, имеет момент относительно центра тяжести, стремящийся опрокинуть мотоцикл. Поэтому для компенсации этого момента моментом силы реакции дороги мотоциклист наклоняется в сторону поворота (рис. 5).

Задача 6. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью υ = 70 км/ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой угол α к горизонту он должен при этом наклониться, чтобы не упасть?

Сила трения между мотоциклом и дорогой , так как она сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Сила реакции дороги N = m·g. Условие равенства моментов силы трения и силы реакции относительно центра тяжести дает уравнение: F_тp·l·sin α = N·l·cos α, где l — расстояние ОА от центра тяжести до следа мотоцикла (см. рис. 5).

Подставляя сюда значения F_тp и N, находим что или . Отметим, что равнодействующая сил N и F_тp при этом угле наклона мотоцикла проходит через центр тяжести, что и обеспечивает равенство нулю суммарного момента сил N и F_тp.

Для того, чтобы увеличить скорость движения по закруглению дороги, участок дороги на повороте делают наклонным. При этом в создании центростремительного ускорения, кроме силы трения, участвует и сила реакции дороги.

Задача 7. С какой максимальной скоростью υ может двигаться автомобиль по наклонному треку с углом наклона α при радиусе закругления R и коэффициенте трения шин о дорогу k?

На автомобиль действуют сила тяжести m·g, сила реакции N, направленная перпендикулярно плоскости трека, и сила трения F_тp, направленная вдоль трека (рис. 6).

Так как нас не интересуют в данном случае моменты сил, действующих на автомобиль, мы нарисовали все силы приложенными к центру тяжести автомобиля. Векторная сумма всех сил должна быть направлена к центру окружности, по которой движется автомобиль, и сообщать ему центростремительное ускорение. Поэтому сумма проекций сил на направление к центру (горизонтальное направление) равна , то есть

Сумма проекций всех сил на вертикальное направление равна нулю:

Подставляя в эти уравнения максимальное возможное значение силы трения F_тp = k·N и исключая силу N, находим максимальную скорость , с которой еще возможно движение по такому треку. Это выражение всегда больше значения , соответствующего горизонтальной дороге.

Разобравшись с динамикой поворота, перейдем к задачам на вращательное движение в вертикальной плоскости.

Задача 8. Автомобиль массы m = 1,5 т движется со скоростью υ = 70 км/ч по дороге, показанной на рисунке 7. Участки дороги АВ и ВС можно считать дугами окружностей радиуса R = 200 м, касающимися друг друга в точке В. Определить силу давления автомобиля на дорогу в точках А и С. Как меняется сила давления при прохождении автомобилем точки В?

В точке А на автомобиль действуют сила тяжести Р = m·g и сила реакции дороги N_A. Векторная сумма этих сил должна быть направлена к центру окружности, то есть вертикально вниз, и создавать центростремительное ускорение: , откуда (Н). Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе реакции. В точке С векторная сумма сил направлена вертикально вверх: и (Н). Таким образом, в точке А сила давления меньше силы тяжести, а в точке С — больше.

В точке В автомобиль переходит с выпуклого участка дороги на вогнутый (или наоборот). При движении по выпуклому участку проекция силы тяжести на направление к центру должна превышать силу реакции дороги N_B1, причем . При движении по вогнутому участку дороги, наоборот, сила реакции дороги N_В2 превосходит проекцию силы тяжести: .

Из этих уравнений получаем, что при прохождении точки В сила давления автомобиля на дорогу меняется скачком на величину ≈ 6·10 3 Н. Разумеется, такие ударные нагрузки действуют разрушающе как на автомобиль, так и на дорогу. Поэтому дороги и мосты всегда стараются делать так, чтобы их кривизна менялась плавно.

При движении автомобиля по окружности с постоянной скоростью сумма проекций всех сил на направление, касательное к окружности, должна быть равна нулю. В нашем случае касательная составляющая силы тяжести уравновешивается силой трения между колесами автомобиля и дорогой.

Величина силы трения регулируется вращательным моментом, прикладываемым к колесам со стороны мотора. Этот момент стремится вызвать проскальзывание колес относительно дороги. Поэтому возникает сила трения, препятствующая проскальзыванию и пропорциональная приложенному моменту. Максимальное значение силы трения равно k·N, где k — коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой, N — сила давления на дорогу. При движении автомобиля вниз сила трения играет роль тормозящей силы, а при движении вверх, наоборот, роль силы тяги.

Задача 9. Автомобиль массой m = 0,5 т, движущийся со скоростью υ = 200 км/ч, совершает «мертвую петлю» радиуса R = 100 м (рис. 8). Определить силу давления автомобиля на дорогу в верхней точке петли А; в точке В, радиус-вектор которой составляет угол α = 30º с вертикалью; в точке С, в которой скорость автомобиля направлена вертикально. Возможно ли движение автомобиля по петле с такой постоянной скоростью при коэффициенте трения шин о дорогу k = 0,5?

В верхней точке петли сила тяжести и сила реакции дороги N_A направлены вертикально вниз. Сумма этих сил создает центростремительное ускорение: . Поэтому Н.

Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе N_А.

В точке В центростремительное ускорение создается суммой силы реакции и проекции силы тяжести на направление к центру: . Отсюда Н.

Легко видеть, что N_B > N_A; с увеличением угла α сила реакции дороги увеличивается.

В точке С сила реакции Н; центростремительное ускорение в этой точке создается только силой реакции, а сила тяжести направлена по касательной. При движении по нижней части петли сила реакции будет превышать и максимальное значение Н сила реакции имеет в точке D. Значение , таким образом, является минимальным значением силы реакции.

Скорость автомобиля будет постоянной, если касательная составляющая силы тяжести не превышает максимальной силы трения k·N во всех точках петли. Это условие заведомо выполняется, если минимальное значение превосходит максимальное значение касательной составляющей силы веса. В нашем случае это максимальное значение равно m·g (оно достигается в точке С), и условие выполняется при k = 0,5, υ = 200 км/ч, R = 100 м.

Таким образом, в нашем случае движение автомобиля по «мертвой петле» с постоянной скоростью возможно.

Рассмотрим теперь движение автомобиля по «мертвой петле» с выключенным мотором. Как уже отмечалось, обычно момент силы трения противодействует моменту, приложенному к колесам со стороны мотора. При движении автомобиля с выключенным мотором этого момента нет, и силой трения между колесами автомобиля и дорогой можно пренебречь.

Скорость автомобиля уже не будет постоянной — касательная составляющая силы тяжести замедляет или ускоряет движение автомобиля по «мертвой петле». Центростремительное ускорение тоже будет меняться. Создается оно, как обычно, равнодействующей силы реакции дороги и проекции силы тяжести на направление к центру петли.

Задача 10. Какую наименьшую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D (см. рис. 8) для того, чтобы совершить ее с выключенным мотором? Чему будет равна при этом сила давления автомобиля на дорогу в точке В? Радиус петли R = 100 м, масса автомобиля m = 0,5 т.

Посмотрим, какую минимальную скорость может иметь автомобиль в верхней точке петли А, чтобы продолжать двигаться по окружности?

Центростремительное ускорение в этой точке дороги создается суммой силы тяжести и силы реакции дороги . Чем меньшую скорость имеет автомобиль, тем меньшая возникает сила реакции N_A. При значении эта сила обращается в нуль. При меньшей скорости сила тяжести превысит значение, необходимое для создания центростремительного ускорения, и автомобиль оторвется от дороги. При скорости сила реакции дороги обращается в нуль только в верхней точке петли. В самом деле, скорость автомобиля на других участках петли будет большей, и как легко видеть из решения предыдущей задачи, сила реакции дороги тоже будет большей, чем в точке А. Поэтому, если автомобиль в верхней точке петли имеет скорость , то он нигде не оторвется от петли.

Теперь определим, какую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D, чтобы в верхней точке петли А его скорость . Для нахождения скорости υ_D можно воспользоваться законом сохранения энергии, как если бы автомобиль двигался только под действием силы тяжести. Дело в том, что сила реакции дороги в каждый момент направлена перпендикулярно перемещению автомобиля, а, следовательно, ее работа равна нулю (напомним, что работа ΔA = F·Δs·cos α, где α — угол между силой F и направлением перемещения Δs). Силой трения между колесами автомобиля и дорогой при движении с выключенным мотором можно пренебречь. Поэтому сумма потенциальной и кинетической энергии автомобиля при движении с выключенным мотором не меняется.

Приравняем значения энергии автомобиля в точках А и D. При этом будем отсчитывать высоту от уровня точки D, то есть потенциальную энергию автомобиля в этой точке будем считать равной нулю. Тогда получаем

Подставляя сюда значение для искомой скорости υ_D, находим: ≈ 70 м/с ≈ 260 км/ч.

Если автомобиль въедет в петлю с такой скоростью, то он сможет совершить ее с выключенным мотором.

Определим теперь, с какой силой при этом автомобиль будет давить на дорогу в точке В. Скорость автомобиля в точке В опять легко находится из закона сохранения энергии:

Подставляя сюда значение , находим, что скорость .

Воспользовавшись решением предыдущей задачи, по заданной скорости находим силу давления в точке B:

Н.

Аналогично можно найти силу давления в любой другой точке «мертвой петли».

1. Найти угловую скорость искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите с периодом обращения Т = 88 мин. Найти линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии R = 200 км от поверхности Земли.

2. Диск радиуса R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся со скоростями υ₁ и υ₂. Определить угловую скорость вращения диска и скорость его центра. Проскальзывание отсутствует.

3. Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Показать, что концы векторов скоростей точек вертикального диаметра находятся на одной прямой.

4. Самолет движется по окружности с постоянной горизонтальной скоростью υ = 700 км/час. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета наклонен на угол α = 5°.

5. Груз массы m = 100 г, подвешенный на нити длины l = 1 м, равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Найти период обращения груза, если при его вращении нить отклонена по вертикали на угол α = 30°. Определить также натяжение нити.

6. Автомобиль движется со скоростью υ = 80 км/ч по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R = 10 м по горизонтальному кругу. При каком минимальном коэффициенте трения между шинами автомобиля и поверхностью цилиндра это возможно?

7. Груз массой m подвешен на нерастяжимой нити, максимально возможное натяжение которой равно 1,5m·g. На какой максимальный угол α можно отклонить нить от вертикали, чтобы при дальнейшем движении груза нить не оборвалась? Чему будет равно при этом натяжение нити в тот момент, когда нить составит угол α/2 с вертикалью?

I. Угловая скорость искусственного спутника Земли ≈ 0,071 рад/с. Линейная скорость спутника υ = ω·R. где R — радиус орбиты. Подставляя сюда R = R₃ + h, где R₃ ≈ 6400 км, находим υ ≈ 467 км/с.

2. Здесь возможны два случая (рис. 1). Если угловая скорость диска ω, а скорость его центра υ, то скорости точек, соприкасающихся с рейками, будут соответственно равны

(Мы приняли для определенности, что υ₁ > υ₂). Решая эти системы, находим:

а)

б)

3. Скорость любой точки М, лежащей на отрезке ОВ (см. рис. 2), находится по формуле υ_M = υ + ω·r_M, где r_M — расстояние от точки М до центра диска О. Для любой точки N, принадлежащей отрезку ОА, имеем: υ_N = υ – ω·r_N, где r_N — расстояние от точки N до центра. Обозначим через ρ расстояние от любой точки диаметра ВА до точки А соприкосновения диска с плоскостью. Тогда очевидно, что r_M = ρ – R и r_N = R – ρ = –(ρ – R). где R — радиус диска. Поэтому скорость любой точки на диаметре ВА находится по формуле: υ_ρ = υ + ω·(ρ – R). Так как диск катится без проскальзывания, то и для скорости υ_ρ получаем υ_ρ = ω·ρ. Отсюда следует, что концы векторов скоростей находятся на прямой, выходящей из точки А и наклоненной к диаметру ВА под углом, пропорциональным угловой скорости вращения диска ω.

Доказанное утверждение позволяет нам сделать вывод, что сложное движение точек, находящихся на диаметре ВА, можно в каждый данный момент рассматривать как простое вращение вокруг неподвижной точки А с угловой скоростью ω, равной угловой скорости вращения вокруг центра диска. В самом деле, в каждый момент скорости этих точек направлены перпендикулярно диаметру ВА, а по величине равны произведению ω на расстояние до точки А.

Оказывается, что это утверждение справедливо для любой точки диска. Более того, оно является общим правилом. При любом движении твердого тела в каждый момент существует ось, вокруг которой тело просто вращается — мгновенная ось вращения.

4. На самолет действуют (см. рис. 3) сила тяжести Р = m·g и подъемная сила N, направленная перпендикулярно плоскости крыльев (так как самолет движется с постоянной скоростью, то сила тяги и сила лобового сопротивления воздуха уравновешивают друг друга). Равнодействующая сил Р и N должна быть направлена к центру окружности, по которой движется самолет, и создавать центростремительное ускорение . Из рисунка находим:

или км.

5. Равнодействующая силы тяжести Р = m·g и силы натяжения нити Т должна создавать центростремительное ускорение а_ц = ω 2 ·R, где R = l·sin α — радиус круга, по которому вращается груз. Из рисунка 4 получаем:

m·ω 2 ·R = m·g·tg α, откуда

Период обращения груза

Натяжение нити

6. На автомобиль действуют (рис. 5) сила тяжести Р = m·g, сила реакции со стороны цилиндра N и сила трения F_тp. Так как автомобиль движется по горизонтальному кругу, то силы Р и F_тp уравновешивают друг друга, а сила N создает центростремительное ускорение . Максимальное значение силы трения связано с силой реакции N соотношением: F_тp = k·N. В результате получаем систему уравнений: , из которой находится минимальное значение коэффициента трения

7. Груз будет двигаться по окружности радиуса l (рис. 6). Центростремительное ускорение груза (υ — скорость груза) создается разностью величин силы натяжения нити Т и проекции силы тяжести m·g направление нити: . Поэтому , где β — угол, образуемый нитью с вертикалью. По мере того, как груз будет опускаться, его скорость будет расти, а угол β будет уменьшаться. Натяжение нити станет максимальным при угле β = 0 (в тот момент, когда нить будет вертикальной): . Максимальная скорость груза υ₀ находится по углу α, на который отклоняют нить, из закона сохранения энергии:

Используя это соотношение, для максимального значения натяжения нити получаем формулу: T_max = m·g·(3 – 2 cos α). По условию задачи T_mах = 2m·g. Приравнивая эти выражения, находим cos α = 0,5 и, следовательно, α = 60°.

Определим теперь натяжение нити при . Скорость груза в этот момент также находится из закона сохранения энергии:

Подставляя значение υ₁ в формулу для силы натяжения, находим:

[spoiler title=”источники:”]

http://www.evkova.org/neravnomernoe-dvizhenie-po-okruzhnosti-v-fizike

http://alsak.ru/item/223-8.html

[/spoiler]

1. Груз, подвешенный на нити и стержне

Шарик массой m подвешен в точке O на нити длиной l (рис. 33.1). Отведем его на угол 90′ и отпустим без толчка. Шарик начнет двигаться по окружности.

Обозначим скорость, с которой шарик проходит положение равновесия (рис. 33.2).

? 1. Используя рисунок 33.2, ответьте на вопросы:
а) Какие силы показаны на рисунке?
б) Как направлено ускорение шарика?
в) Выразите модуль равнодействующей через модули показанных сил.

? 2. Перенесите в тетрадь рисунок 33.2, укажите на нем ускорение шарика и объясните смысл следующих уравнений:

? 3. Шарик массой 100 г подвешен на нити длиной 1 м. Его отклоняют на 90º и отпускают без толчка.
а) Чему равна сила натяжения нити, когда шарик проходит положение равновесия?
б) Во сколько раз вес шарика при прохождении положения равновесия больше силы тяжести?
Подсказка. Чтобы найти силу натяжения нити, удобно разделить уравнение (2) иа уравнение (1). Вспомните определение веса тела.

Итак, в данном случае при прохождении шариком положения равновесия нить должна выдержать «тройной вес»!

Поставим опыт

Сообщим шарику в нижней точке такую скорость _н, чтобы он двигался в вертикальной плоскости по окружности (рис. 33.3).

На рисунке показаны последовательные положения шарика через равные промежутки времени (их можно зафиксировать, например, с помощью видеосъемки).

? 4. Почему в верхней части рисунка расстояния между последовательными положениями шарика меньше?

? 5. Сделайте в тетради чертеж, на котором изобразите:
а) силы, действующие на шарик в верхней и нижней точках окружности (обозначьте _в и _н силы натяжения нити в этих точках);
б) ускорение шарика в этих точках. В верхней точке ускорение направлено вниз, а в нижней – вверх.

? 6. Объясните смысл следующих уравнений:

? 7. Подвешенный на нити шарик массой 100 г вращается в вертикальной плоскости. Насколько больше сила натяжения нити, когда шарик проходит положение равновесия, чем когда он находится в верхней точке окружности?
Подсказка. Удобно вычесть уравнение (4) из уравнения (б) и сравнить полученное уравнение с уравнением (3).

«Шестикратный вес»

Шарик движется но окружности при условии, что нить натянута. Поэтому минимальная скорость, которую нужно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он стал двигаться по окружности„должна быть такой, чтобы сила натяжения нити обратилась в нуль только в верхней точке окружности.

? 8. Шарику, подвешенному на нити длиной l, сообщили в нижней точке минимальную горизонтальную скорость, необходимую для того, чтобы он начал двигаться по окружности. Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шарик в верхней и нижней точках окружности. Чему в этом случае равны:
а) скорость шарика в верхней точке окружности?
б) ускорение шарика в верхней точке окружности?
в) скорость шарика в нижней точке окружности?
г) вес шарика в нижней точке окружности?
Подсказка. Воспользуйтесь уравнениями (3)–(5).

Итак, когда груз проходит нижнюю точку, нить должна выдерживать шестикратный вес груза!

В какой точке шарик сойдет с окружности?

Пусть теперь скорость шарика в нижней точке недостаточна для того, чтобы он мог совершить полный оборот.

В таком случае есть две возможности.

1) Шарик не поднимется выше точки подвеса О. Тогда он начнет колебаться между крайними положениями (рис. 33.4).

2) Шарик поднимется выше точки подвеса, но сила натяжения нити обратится в некоторой точке А в нуль (рис. 33.5). После этого шарик будет двигаться по параболе, показанной красным пунктиром. Когда шарик находится в точке А, центростремительное ускорение ему сообщает только составляющая силы тяжести, направленная вдоль радиуса к центру окружности. На рисунке показано, как найти модуль этой составляющей (отрезок зеленого цвета).

? 9. Шарику массой m, подвешенному на нити длиной l, сообщают горизонтальную начальную скорость v₀. Когда шарик находится на высоте h, сила натяжения нити обращается в нуль. Обозначим скорость шарика в этот момент. Используя рисунок 33.6:
а) объясните смысл уравнений

б) выразите h через l и альфа.

? 10. Шарику массой 200 г, подвешенному на нити длиной 50 см, сообщают горизонтальную скорость 4 м/с.
а) До какой высоты (по отношению к положению равновесия) шарик будет двигаться по окружности?
б) Чему будет равна сила натяжения нити, когда шарик будет находиться на одной горизонтали с точкой подвеса?
Подсказка. Когда шарик находится на одной горизонтали с точкой подвеса, центростремительное ускорение шарику сообщает только сила натяжения нити.

? 11. Небольшая шайба массой m лежит внутри закрепленного цилиндра. Ось цилиндра горизонтальна (рис. 33.7). Внутренний радиус цилиндра 30 см, стенки цилиндра гладкие. Какую скорость v0 надо сообщить шайбе перпендикулярно оси цилиндра, чтобы она:
а) совершила полный оборот, двигаясь по окружности?
б) оторвалась от поверхности цилиндра на высоте 40 см?

Подсказки. Движение шайбы в цилиндре отличается от движения подвешенного на нити шарика только тем, что роль силы натяжения нити играет сила нормальной реакции, а длину нити l надо заменить на радиус цилиндра r.

Груз, подвешенный на стержне

Рассмотрим теперь вращение груза, подвешенного на легком стержне (массой стержня можно пренебречь). В отличие от нити стержень сохраняет форму и поэтому не дает грузу сойти с окружности. По этой причине минимально возможная скорость груза в верхней точке равна нулю.

? 12. Шарик подвешен на легком стержне длиной l, который может вращаться без трения вокруг точки подвеса O.
а) Какова минимально возможная скорость шарика в верхней точке траектории?
б) Какую минимальную скорость надо сообщить шарику в нижней точке, чтобы он совершил полный оборот?
в) Чему равен вес шарика в нижней точке?

Итак, подвешенному на стержне шарику надо сообщить меньшую начальную скорость, чтобы он сделал полный оборот, чем в случае, когда шарик подвешен на нити той же длины.

2. Движение по «мертвой петле»

Рассмотрим движение тела в вертикальной плоскости по гладкому желобу, переходящему в окружность (рис. 33.8). По аналогии с фигурой высшего пилотажа, когда самолет совершает круговой виток в вертикальной плоскости, такое движение называют иногда мертвой петлей.

Движение по круговому желобу очень похоже на рассмотренное выше движение подвешенного на нити груза. Роль действующей на груз силы натяжения нити играет теперь сила нормальной реакции , направленная тоже по радиусу к центру окружности. А моменту, когда сила натяжения нити обращается в нуль, соответствует момент, когда тело отрывается от желоба.

? 13. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H по гладкому наклонному желобу, переходящему в окружность радиусом r, и движется по окружности, не отрываясь от желоба. Обозначим _в силу нормальной реакции, действующую на шайбу в верхней точке окружности. Скорость шайбы в этот момент обозначим v.
а) Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в верхней и нижней точках окружности.
б) Объясните смысл следующих уравнений:

? 14. Чему равна минимальная высота H_min, с которой должна соскальзывать шайба, чтобы она могла совершить полный оборот?
Подсказка. В этом случае N_в обращается в нуль в верхней точке окружности.

Если начальная высота шайбы H меньше, чем Hmin, то в некоторой точке шайба оторвется от желоба. В этой точке сила нормальной реакции обращается в нуль.

? 15. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H по гладкому желобу, переходящему в окружность радиусом r, и отрывается от желоба на высоте h (по отношению к нижней точке окружности). Скорость шайбы в этот момент обозначим v.
а) Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в момент отрыва от желоба.
б) Используя этот чертеж, объясните смысл уравнений

? 16. Небольшая шайба массой 50 г соскальзывает с некоторой высоты H по гладкому желобу, переходящему в окружность радиусом 30 см, и отрывается от желоба на высоте 40 см (по отношению к нижней точке окружности).
а) Чему равно H?
б) С какой силой шайба давит на желоб, когда она находится на одной горизонтали с центром окружности?

З. Соскальзывание с полусферы

Пусть на вершине гладкой полусферы радиусом г, укрепленной на столе, лежит небольшая шайба массой m (рис. ЗЗ.9). От незначительного толчка шайба начинает соскальзывать.

Пока шайба скользит, действующая на нее сила нормальной реакции уменьшается. В некоторой точке она обратится в нуль – в этот момент шайба оторвется от полусферы (рис. 33.10) и начнет двигаться по параболе (красная пунктирная линия). Обозначим и скорость шайбы в момент отрыва от полусферы.

? 17. Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в момент отрыва от полусферы, и направление скорости шайбы в этот момент. Обозначьте h высоту, на которой находится при этом шайба, а α – угол между радиусом, проведенный к шайбе и вертикалью. Используя этот чертеж:
а) объясните смысл уравнений

б) выразите h через r и α.
в) выразите h через r.

? 18. На вершине гладкой сферы лежит небольшая шайба массой m, соединенная нитью с грузом массой M (рис. 33.11). В начальный момент тела покоятся. Их отпускают без толчка. Шайба отрывается от полусферы, когда угол между радиусом, проведенным к шайбе, и вертикалью равен α. Обозначим и модуль скорости тел в момент отрыва.

а) Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в момент отрыва от полусферы.
Подсказка. В момент отрыва на шайбу действуют только сила тяжести и сила натяжения нити, направленная по касательной к окружности.
б) Насколько опустилась шайба и насколько опустился груз к моменту отрыва шайбы по сравнению с их начальным положением?
Подсказка. См. рисунок 33.12. Шайба опустилась на расстояние, отмеченное синим отрезком, а груз опустился на расстояние (зеленый отрезок), равное длине дуги, пройденной шайбой до отрыва (зеленый пунктир). Длина дуги равна rα (где α задано в радианах).

в) Используя этот чертеж, объясните смысл уравнений

Подсказка. Действующая на шайбу сила натяжения нити направлена по касательной к окружности. Поэтому центростремительное ускорение шайбе перед самым отрывом сообщает только составляющая действующей на шайбу силы тяжести, направленная по радиусу к центру окружности.
г) Чему равно отношение M/m, если α = π/6?

Дополнительные вопросы и задания

19. Какую скорость можно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он начал совершать колебания, если:
а) шарик подвешен на нити длиной l?
б) шарик подвешен на легком стрежне длиной l?
Подсказка. Шарик на нити не должен подняться выше точки подвеса, а шарик на стержне не должен достичь верхней точки окружности.

20. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H = 2r по гладкому желобу, переходящему в окружность с радиусом r.
а) На какой высоте h (по отношению к нижней точке окружности) шайба оторвется от желоба?
б) С какой силой шайба давит на желоб, когда она находится на одной горизонтали с центром окружности?

21. На гладкой полусфере радиуса r, укрепленной на столе, лежит небольшая шайба. Ей сообщают начальную горизонтальную скорость v0. На какой высоте h от стола шайба оторвется от полусферы?
Подсказка. Если начальная скорость достаточно велика, шайба оторвется от полусферы сразу.

22. На укрепленной на столе полусфере радиуса r лежит небольшая шайба массой m. От незначительного толчка шайба начинает соскальзывать. Вследствие трения за время, в течение которого шайба скользила по полусфере, выделилось количество теплоты Q.
а) На какой высоте h шайба оторвалась от полусферы?
б) На какой высоте h шайба оторвалась от полусферы, если выделившееся количество теплоты равно кинетической энергии шайбы в момент отрыва?

23. Впервые в мире круговой виток в вертикальной плоскости выполнил русский летчик П. Н. Нестеров в 1913 году. Эту фигуру высшего пилотажа называют мертвой петлей или петлей Нестерова. Нестеров так доверял своим расчетам, что перед выполнением мертвой петли не пристегнулся ремнями к креслу пилота. Расчет летчика оказался правильным: ремни не понадобились! Почему при выполнении мертвой петли летчик не выпадает из кресла пилота в верхней точке траектории?