Как найти скорость спутника на высоте

Как найти скорость спутника на высоте

Для решения этой задачи мы принимаем несколько допущений: 1) орбита спутника – окружность (строго говоря, она – эллипс, но с очень малым эксцентрисететом), 2) Земля – шар, радиусом 6400 км (опять же, строго говоря, Земля – не совсем шар, но по сравнению с её радиусом этими отличиями можно пренебречь).

Для того, чтобы спутник оставался на орбите, в соответсвии со вторым законм Ньютона, к нему нужно приложить силу F=ma, где a – ускорение, направленное к центру Земли.

В свою очередь это ускорение вычисляется по формуле a=v*v/(R+h), то есть “скорость спутника в квадрате разделить на расстояние центрами масс двух тел”. Здесь R – радус земли, а h – высота спутника над поверхностью Земли.

Наконец, центростремительная сила, действующая на спутник, возникает из-за притяжения Земли, поэтому используем формулу закона всемирного тяготения F=G(mM/R*R). Здесь G – гравитационная постоянная, равная 6,67*10Е-11 (т.е. 6,67 умножить на 10 в -11 степени), m – масса спутника, M – масса Земли, равная 6*10Е24 кг (6 умножить на 10 в 24 степени), R – радиус земли, равный 6,4*10Е6 м.

Соединим эти формулы и выразим скорость. Получим v=sqrt(G*M/(R+h)) (корень квадратный из произведения G на частное от M на R+h). Видим, что скорость спутника не зависит от его массы. Подставив в это выражение все известные нам данные, получим, что скорость равна почти 7615 метров в секунду или, округляя, 7,6 км/с.

9,8 K

Комментировать ответ…Комментировать…

Источник

Четверг, 11 февраля, 2016

Солнечная система (иллюстрация)

В космосе гравитация обеспечивает силу, из-за которой спутники (такие, как Луна) вращаются по орбитам вокруг более крупных тел (таких, как Земля). Эти орбиты в общем случае имеют форму эллипса, на чаще всего, этот эллипс не сильно отличается от окружности. Поэтому в первом приближении можно считать орбиты спутников круговыми. Зная массу планеты и высоту орбиты спутника над Землей, можно рассчитать, какой должна быть скорость движения спутника вокруг Земли.

Расчет скорости движения спутника вокруг Земли

Вращаясь по круговой орбите вокруг Земли, спутник в любой точке своей траектории может двигаться только с постоянной по модулю скоростью, хотя направление этой скорости будет постоянно изменяться. Какова же величина этой скорости? Её можно рассчитать с помощью второго закона Ньютона и закона тяготения.

Для поддержания круговой орбиты спутника массы m в соответствии со вторым законом Ньютона потребуется центростремительная сила: F = ma_n, где a_n — центростремительное ускорение.

Как известно, центростремительное ускорение определяется по формуле:

    [ a_n = frac{upsilon^2}{R}, ]

где upsilon — скорость движения спутника, R — радиус круговой орбиты, по которой движется спутник.

Центростремительную силу обеспечивает гравитация, поэтому в соответствии с законом тяготения:

    [ F = Gfrac{mM}{R^2}, ]

где M = 6times 10^{24} кг — масса Земли, G = 6.67times 10^{-11} м3⋅кг-1⋅с-2 — гравитационная постоянная.

Подставляя все в исходную формулу, получаем:

    [ Gfrac{mM}{R^2} = mfrac{upsilon^2}{R}. ]

Выражая искомую скорость upsilon, получаем, что скорость движения спутника вокруг Земли равна:

    [ upsilon = sqrt{Gfrac{M}{R}}. ]

Это формула скорости, которую должен иметь спутник Земли на заданном радиусе R (т.е. расстоянии от центра планеты) для поддержания круговой орбиты. Скорость не может меняться по модулю, пока спутник сохраняет постоянный орбитальный радиус, то есть пока он продолжает обращаться вокруг планеты по круговой траектории.

При использовании полученной формулы следует учитывать несколько деталей:

  • В качестве радиуса нужно использовать расстояние от центра Земли, а не высоту над поверхностью.
    Следовательно, расстояние R в формуле – это расстояние между центрами двух тел. В том случае, если известна высота спутника над поверхностью Земли, то для нахождения R к этой высоте нужно прибавить радиус Земли, который приблизительно равен 6400 км.
  • Данная формула верна для спутников, находящихся за пределами атмосферы.
    Однако в случае искусственных спутников это не совсем так. Даже на высоте 600 км от Земли имеет место определённое сопротивление воздуха. Постепенно это сопротивление, т.е. трение о воздух, заставляет спутники снижаться, и в конце концов они сгорают при входе в атмосферу. На высоте менее 160 км орбита спутника существенно понижается при каждом обороте вокруг Земли из-за сопротивления воздуха.
  • Скорость спутника на круговой орбите не зависит от его массы.
    Если представить себе, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, и Луна обращается вокруг Земли на расстоянии 640 км, то для сохранения орбиты она должна двигаться с такой же точно скоростью, что и искусственный спутник на той же высоте, хотя масса и размеры Луны намного больше.

Искусственные спутники Земли, как правило, обращаются вокруг планеты на высоте от 500 до 2000 км от поверхности планеты. Рассчитаем, с какой скоростью должен двигаться такой спутник на высоте 1000 км над поверхностью Земли. В этом случае R = 1000 + 6400 = 7400 км. Подставляя числа, получаем:

upsilon = sqrt{6.67times 10^{-11}cdotfrac{5.9times 10^{24}}{7.4times 10^6}} approx 7.3 км/с.

Материал подготовлен репетитором по математике и физике в Москве, Сергеем Валерьевичем

Источник

Факт того, что неверный ответ собирает плюсы, свидетельствует о безграмотности БВешников. Ведь вопрос этот школьного уровня. И наверняка, даже и не школьники знают, что с удалением от Земли её сила притяжения ослабевает. А раз так, то спутник, находящийся на какой-нибудь орбите, что бы не упасть на Землю, может иметь скорость менее первой космической. Эту минимальную орбитальную скорость можно найти по формуле: V = √{G*M/(R+h)}, здесь G – гравитационная постоянная; M – масса Земли; R – радиус Земли; h – высота полета спутника над поверхностью Земли. Из формулы видно, что минимальная линейная орбитальная скорость зависит от высоты полета спутника. И чем больше высота полета, тем меньшую скорость может иметь спутник, чтобы не упасть на Землю. Так, например, геостационарные спутники имеют скорость чуть более 3 км/сек. А наш естественный спутник Луна движется по своей орбите со скоростью около 1 км/сек. Первая космическая скорость нужна для того, что бы вывести наземный объект на какую-либо орбиту. А вот дальнейшее движение по этой орбите зависит от высоты этой орбиты. Если бы не атмосфера, то для полета МКС по круговой орбите вокруг Земли, было бы достаточно скорости 7,67 км/сек. Но и на высоте 400 км, на которой летает МКС, присутствуют атмосфера. Пусть она очень разрежена, но её достаточно, что бы тормозить полет МКС. Это приводит к тому, что за сутки МКС опускается на 150 – 200 метров. Поэтому коррекция орбиты МКС проводится периодически. На геостационарной орбите (высота около 36000 км) атмосфера практически отсутствует. Поэтому геостационарные спутники летают годами без коррекции орбиты. И их скорости в 3 с небольшим км в секунду вполне достаточно, что бы спутники не падали на Землю. А луна со своей «черепашьей» скоростью вот уже не один миллиард лет не падает на Землю. Так что заявление уважаемого Анатолия 44 «Потому что если меньше первой космической скорости в 7,9 км/ сек будут лететь то упадут на Землю и сгорят в земной атмосфере» совершенно не соответствует действительности.

система выбрала этот ответ лучшим

Анато­лий44
[17.3K]

3 года назад 

На скоростях от 7,9 км/сек до 11,2 км/сек где то в этих пределах летают ИСЗ

Потому что если меньше перввой космической скорости в 7,9 км/ сек будут лететь то упадут на Землю и сгорят в земной атмосфере. А если больше второй космической скорости в 11,2 км/сек будут лететь спутники то они сойдут с околоземной орбиты на околосолнечную орбиту и улетят от нас и нашей Земли.Есть и третья космическая скорость – тогда тело улетит вообще от Солнца.

Знаете ответ?
Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 19 июля 2021 года; проверки требуют 10 правок.

Файл:Скорость небесного тела

Скорость кеплеровского движения небесного тела вокруг Солнца, а также её радиальная и поперечная компоненты (анимация).

Орбитальная скорость тела (обычно планеты, естественного или искусственного спутника, кратной звезды) — скорость, с которой оно вращается вокруг барицентра системы, как правило вокруг более массивного тела.

Определение[править | править код]

В полярных координатах выражение для орбитальной скорости v при кеплеровском движении по коническому сечению (эллипсу, параболе или гиперболе) имеет следующий вид[1]:

{displaystyle v={sqrt {{frac {mu }{p}}(1+2varepsilon cos theta +varepsilon ^{2})}},}

где:

mu — гравитационный параметр, равный G(M + m) — в общей задаче двух тел, или GM — в ограниченной, где G — гравитационная постоянная, M — масса центрального тела, m — масса вращающегося тела;
p — фокальный параметр конического сечения (расстояние от фокуса до директрисы для параболы, отношение {displaystyle b^{2}/a} — для эллипса и гиперболы);
varepsilon — эксцентриситет (0<varepsilon <1 для эллипса, varepsilon = 1 для параболы, varepsilon > 1 — для гиперболы);
theta — истинная аномалия, угол между направлением из центра, расположенного в фокусе, на ближайшую к нему точку орбиты и радиусом-вектором вращающегося тела.

Орбитальная скорость также может вычисляться по общей формуле

{displaystyle v={sqrt {2left({frac {mu }{r}}+epsilon right)}}={sqrt {mu left({frac {2}{r}}-{frac {1}{a}}right)}},}

где

mu — гравитационный параметр,
r — расстояние между вращающимся телом и центральным телом,
epsilon — удельная орбитальная энергия,
a — длина большой полуоси (или вещественной оси).

При этом

Орбиты Земли[править | править код]

Орбита Расстояние между центрами масс, км Высота над
поверхностью Земли, км 		Орбитальная скорость, км/с Орбитальный период Удельная орбитальная энергия, МДж/кг
Поверхность Земли, для сравнения 6 400 0 7,89 — −62,6
Низкая околоземная орбита 6 600—8 400 200—2 000 круговая: 7,8—6,9
эллиптическая: 6,5—8,2		 89—128 мин −29,8
Высокоэллиптическая орбита спутников Молния 6 900—46 300 500—39 900 1,5—10,0 11 ч 58 мин −4,7
Геостационарная орбита 42 000 35 786 3,1 23 ч 56 мин −4,6
Орбита Луны 363 000—406 000 357 000—399 000 0,97—1,08 27,3 дня −0,5

Солнечная система[править | править код]

Планета
(другое тело) 		Орбитальная скорость,
км/с
Меркурий 47,36
Венера 35,02
Земля 29,78
Марс 24,13
Церера 17,88
Юпитер 13,07
Сатурн 9,69
Уран 6,81
Нептун 5,43
Плутон 4,66
Хаумеа 4,48
Макемаке 4,41
Эрида 3,43
Луна 1,02

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Балк М. Б. Скорость спутника и её компоненты // Элементы динамики космического полета. — М.: Наука, 1965. — С. 61—62. — 340 с. — (Механика космического полета).
Источник

Условие задачи:

Искусственный спутник Земли движется на высоте 12800 км. Найти скорость движения спутника.

Задача №2.5.4 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(H=12800) км, (upsilon-?)

Решение задачи:

Схема к решению задачиПри движении спутника вокруг Земли по круговой орбите сила тяготения (F_т) сообщает ему центростремительное ускорение, поэтому второй закон Ньютона запишется в следующем виде:

[{F_т} = m{a_ц};;;;(1)]

Силу тяготения определяют по закону всемирного тяготения:

[{F_т} = Gfrac{{Mm}}{{{{left( {R + H} right)}^2}}};;;;(2)]

Если спутник движется с некоторой скоростью (upsilon), то центростремительное ускорение равно:

[{a_ц} = frac{{{upsilon ^2}}}{{R + H}};;;;(3)]

Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1), тогда:

[Gfrac{{Mm}}{{{{left( {R + H} right)}^2}}} = frac{{m{upsilon ^2}}}{{R + H}}]

Путем простых математических действий получим такое выражение для определения скорости спутника (upsilon):

[upsilon  = sqrt {Gfrac{M}{{R + H}}} ]

Можно считать ответ по этой формуле, но мы сделаем следующий трюк – дробь под корнем домножим и поделим на (R^2) (это можно делать благодаря основному свойству дроби), тогда:

[upsilon  = sqrt {Gfrac{M}{{{R^2}}}frac{{{R^2}}}{{R + H}}} ]

Заметим, то выражение ({Gfrac{M}{{{R^2}}}}) равно ускорению свободного падения (g) вблизи поверхности Земли ((g=10) м/с2). Значит:

[upsilon  = sqrt {frac{{g{R^2}}}{{R + H}}} ]

[upsilon  = Rsqrt {frac{g}{{R + H}}} ]

Переведем высоту орбиты спутника в систему СИ:

[12800; км = 12,8 cdot {10^6}; м]

Посчитаем численный ответ (напомним, что радиус Земли – это табличная величина, равная 6,4·106 м):

[upsilon  = 6,4 cdot {10^6} cdot sqrt {frac{{9,8}}{{6,4 cdot {{10}^6} + 12,8 cdot {{10}^6}}}}  = 4618,8; м/с approx 4,62; км/с]

Ответ: 4,62 км/с.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

2.5.3 Во сколько раз ускорение свободного падения около поверхности Земли больше
2.5.5 Каково ускорение свободного падения на поверхности Солнца, если радиус Солнца
2.5.6 На какое расстояние от поверхности Земли нужно удалить тело, чтобы сила тяготения

Источник

Добавить комментарий