Как найти скорость спутника в апогее

С древних времен и до наших дней вид звездного неба будоражил воображение людей своей красотой и величием. Исторически одна из первых задач астрономии заключалась в разумном объяснении движении планет, случайным образом изменяющих свое положение относительно звезд. Над поиском ответа на эту задачу ученые безуспешно бились на протяжении почти двух тысячелетий вплоть до Кеплера. Законы Кеплера математически выражают поразительную простоту планетных движений, наблюдаемых гелиоцентрической системе отсчета. Это был поистине фантастический прорыв в понимании Природы. Но и поныне движения небесных тел – малых и больших планет Солнечной системы, их спутников, комет, астероидов, а в наше время – также рукотворных космических кораблей и искусственных спутников – дают наиболее впечатляющие опытные подтверждения законов. Современное общество не представляет свое существование без искусственных спутников, потому что в настоящее время это рабочие элементы глобальных связных телекоммуникационных систем, систем прогнозирования погоды, навигационных систем и организуется новая система обнаружения космических объектов, представляющих угрозу земле от столкновения с ними. Также ИСЗ используют для военных целей – разведки, слежения за состоянием военных сил противника. Со спутников ведется разведка полезных ископаемых. Ну а интернет не смог бы иметь такие масштабы развития без ИСЗ.

Кеплерова орбита спутника

кеплеров эллипс спутник орбита

Если спутник выведен на заданное расстояние r от центра (масс) Земли и его двигатели отключены, то в данной точке пространства он приобрел известную нас скорость v, а также направление движения – угол x между направлением движения спутника и радиус-вектором r. Этих данных достаточно, чтобы определить кеплеров эллипс, по которому спутник будет двигаться вокруг Земли. Здесь мы исходим из положения, что вся масса Земли сосредоточена в ее центре и на спутник не действуют прочие возмущающие массы (Луна, Солнце, планеты).

Используя исходные данные r, v, и x, определим постоянные величины эллипса рис.1.

Большая полуось орбиты

(1)

(G – гравитационная постоянная, M – масса Земли, GM – геоцентрическая гравитационная постоянная),

Эксцентриситет

(2)

Рис. 1. Кеплеров эллипс

О – центр; , – фокусы; a, b – большая и малая полуоси; – фокальный параметр; – расстояние от центра до фокуса; П, А,- точки перицентра и апоцентра; А-П – линия апсид; GM – центрическая постоянная; r – радиус – вектор тела m; – расстояние от m до второго фокуса; v – скорость тела m; – средняя скорость; х – угол между радиусом- вектором и касательной; , , – эксцентрическая, средняя и истинная аномалии.

Малая полуось орбиты :

(3)

Расстояние от центра Земли до центра эллипса:

(4)

Фокальный параметр эллипса:

(5)

Средняя скорость спутника (если бы спутник двигался по кругу с центром в центре эллипса):

(6)

Расстояние от центра Земли до ближайшей точки эллипса – перигея:

(7)

Расстояние от центра Земли до наиболее удаленной точки эллипса – апогея:

(8)

Скорости спутника в перигее:

(9)

Скорость спутника в апогее:

(10)

Период обращения спутника по эллипсу:

(11)

Площадь эллипса:

(12)

Геоцентрическая гравитационная постоянная:

(13)

(- круговая скорость тел на расстоянии r от центра масс Земли).

Таким образом на основе минимальных данных v, r, x определены постоянные параметры эллипса, являющегося траекторией невозмущенного движения спутника.

Далее находим переменные величины, характеризующие спутник на орбите в момент отключения двигателей: истинная аномалия (угол между направлением на перигей и радиус-вектором r) рис.

(14)

Эксцентрическая аномалия :

(15)

Средняя аномалия :

(16)

Равенство (16) – это трансцендентное уравнение Кеплера. Средняя аномалия представляет собой угол поворота большой полуоси за некоторый промежуток времени в предложении, что орбита является круговой. А в связи с тем, что вычисления по (16) должны производиться в радианной мере, то следовательно, это и дуга круга, которую описывает орбитальное тело за данное время. Именно благодаря средней аномалии , всегда пропорциональной времени, находится промежуток времени, необходимый телу при движении от линии апсид до заданной точки эллипса

(17)

Однако надо сказать, что при вычислении орбит планет вначале, исходя из заданного времени, определяется средняя аномалия по равенству (17), а затем уже методом последовательных приближений находится эксцентрическая аномалия по уравнению Кеплера (16). Знание вспомогательной величины дает возможность находить другие необходимые переменные величины на заданный момент времени и таким образом уравнение (16) является важнейшим в решении задач движения тел по орбитам.

По второму закону Кеплера определим площадь, описываемую радиусом-вектором за известный промежуток времени

(18)

Определим и расстояние от спутника до второго фокуса эллипса

(19)

Проверим точность найденных углов и по одной из формул Кеплера.

(20)

или по следующим равенствам

(21)

После того, как установлены основные параметры спутника на момент выключения двигателей, необходимо определить его положение на орбите через какой-либо другой промежуток времени, прошедший от исходного момента. Для этого к известному промежутку (за который спутника проходит по орбите от перигея до точки отключения двигателей) прибавим интересующее нас время :

(22)

По суммарному времени находиться средняя аномалия по (17), а по уравнению Кеплера (16) методом последовательной итерации определяется эксцентрическая аномалия . Именно благодаря трансцендентному уравнению Кеплера (16) можно получать характеристики тела в любой из моментов его движения по эллипсу.

Определим параметры спутника на заданный момент времени:

Угол между радиусом-вектором и направлением движения спутника

(23)

угол между радиусом-вектором и направлением на перигей – истинная аномалия

(24)

расстояние от центра Земли до спутника

(25)

Вычислим скорость спутника в заданный момент времени по одной из формул Кеплера (позже названной интегралом энергии)

(26)

Наконец по второму закону Кеплера (18) вычислим площадь, описываемую радиус-вектором за суммарный промежуток времени (22).

Однако, если мы намерены вначале задать не промежуток времени , а угол между радиусом-вектором и направлением на перигей и определить параметры спутника, когда он находиться под заданным углом, то вначале по углу определим расстояние от центра масс Земли до спутника

(27)

Также по углу находиться и угол между направлением движения спутника в данной точке пространства и радиусом-вектором

(28)

затем по интегралу энергии (26) находиться скорость спутника в данной точке.

Иногда можно исключить использование вспомогательных углов и из наших формул, хотя в действительности новые формулы выводятся благодаря уравнению Кеплера (9.16).

При очень малой скорости по эллипсу, пересекающему поверхность Земли, спутник упадет на Землю. Если двигатели спутника остановлены при скорости, превышающей , то орбита космического аппарата станет параболической и он преодолеет тяготение Земли и перейдет в сферу гравитационного действия Солнца.

Рассмотрим энергию, которой обладают тела, взаимодействующие только друг с другом. Напомним, что такие тела образуют замкнутую систему тел.

В параграфе “Потенциальная энергия упруго деформированного тела” и “Потенциальная энергия тела, находящегося под действием силы тяжести” было установлено, что, когда тела взаимодействуют силой упругости или силой тяжести, совершенная этими силами работа равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии системы.

Но силы взаимодействия могут вызвать изменение и скоростей тел, а следовательно, и изменение их кинетической энергии. Согласно теореме о кинетической энергии работа силы, действующей на тело, равна изменению его кинетической энергии. Следовательно, работа сил взаимодействия между телами равна по величине и совпадает по знаку с изменением кинетической энергии взаимодействующих тел.

Итак, мы видим, что одна и та же работа сил взаимодействия равна изменению потенциальной энергии, взятому со знаком «-», и изменению кинетической энергии, взятому со знаком «+ ». Это означает, что изменение кинетической энергии равно взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии.

Если потенциальная энергия увеличивается, то кинетическая на столько же уменьшается и наоборот, когда потенциальная энергия уменьшается, растет кинетическая.

Сумму потенциальной и кинетической энергии тел называют полной механической энергией.

Из приведенных нами рассуждений следует закон сохранения механической энергии замкнутой системы тел.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел остается неизменной при любых движениях тел этой системы, если между телами действуют силы тяготения или силы упругости.

Превращение потенциальной энергии в кинетическую или кинетической в потенциальную – одно из самых замечательных явлений в природе. Это главное отличительное свойство энергии. В дальнейшем мы ознакомимся со многими другими примерами превращений одного вида энергии в другой.

Закон сохранения энергии позволяет лучше понять физический смысл работы. Из того факта, что одна и та же работа приводит к увеличению кинетической энергии и такому же уменьшению потенциальной энергии, следует, что работа равна энергии, испытавшей превращение из одного вида в другой.

В девятой главе мы ознакомились с законом сохранения импульса замкнутой системы тел. Теперь мы получили второй закон сохранения – закон сохранения энергии. Эти два закона носят самый общий характер и являются абсолютно точными даже тогда, когда законы механики Ньютона перестают быть справедливыми.

Если система тел не является замкнутой, например на одно из тел этой системы действует внешнее тело, не относящееся к системе, то полная механическая энергия системы уже не остается постоянной. Когда подъемный кран поднимает груз, на груз действует не только сила тяжести (сила его взаимодействия с Землей), но и сила натяжения троса. Поэтому система груз – Земля не является замкнутой. Если сила натяжения троса равна $F$, а кран поднял груз на высоту $h$, то работа, совершенная обеими этими силами, равна:

$A = (F – mg)h$.

Эта работа согласно теореме о кинетической энергии равна изменению кинетической энергии груза:

$A = frac{mv_{2}^{2} }{2} – frac{mv_{1}^{} }{2}$,

где $v_{1}$ – скорость груза в начале, а $v_{2}$ – в конце подьема. Следовательно,

$(F – mg )h = frac{mv_{2}^{2} }{2} – frac{mv_{1}^{2} }{2}$,

Отсюда

$Fh = mgh + left ( frac{mv_{2}^{2} }{2} + frac{mv_{1}^{2} }{2} right )$.

Здесь $mgh$ – изменение потенциальной энергии груза, а $frac{mv_{2}^{2} }{2} – frac{mv_{1}^{2} }{2}$ – изменение его кинетической энергии.

Таким образом, полная механическая энергия этой системы изменяется на величину работы, совершенной силой натяжения троса.

Если на тело или тела, образующие систему, действуют внешние по отношению к той системе силы, полная энергия системы изменяется на величину работы, совершенной этими силами.

Если скорость подъема груза, как это часто бывает, остается постоянной, то

$Fh = mgh$,

т. е. работа, совершенная силой натяжения троса, равна изменению потенциальной энергии системы.

1. Как объяснить движение искусственного спутника по круговой орбите?

— Брошенное горизонтально (на известной высоте) тело движется по дуге эллипса (Э₁, Э₂, Э₃, Э₄), имеющего один фокус в центре Земли (О), а другой (О₁, О₂, О₃, О₄) ближе к точке бросания. По мере увеличения начальной скорости размеры эллипса увеличиваются, а второй фокус эллипса приближается к центру Земли. При достижении определенной начальной скорости второй фокус тоже совпадает с центром нашей планеты, и эллипс превращается в окружность, движение по которой происходит с постоянной скоростью, равной начальной («круговая скорость»).

2. Известно, что если телу сообщить скорость больше круговой, то оно начинает двигаться по эллиптической орбите. Чем такой эллипс отличается от предыдущих?

3. Какова самая малая скорость движения искусственного спутника по своей орбите?

— Эта скорость может быть сколь угодно малой и зависит от удаленности апогея: чем дальше от центра Земли расположен апогей орбиты, тем меньше скорость движения спутника. Самое замедленное движение имеет спутник при прохождении через апогей, а самое быстрое — в перигее (ближайшая к Земле точка орбиты). Отношение между этими величинами напоминает известное правило рычага. Если, например, в перигее скорость спутника равна 5 км/сек, а апогей находится на расстоянии в пять раз большем перигея от центра Земли, то апогейная скорость составляет 1 км/сек (5 км/сек: 5).

4. Одинакова ли средняя скорость движения спутников, имеющих один и тот же период обращения?

5. Как связаны между собой скорости движения спутника по эллипсу и по кругу?

— При движении спутника по эллиптической орбите его скорость оказывается то больше той скорости, которую он бы имел, если бы двигался по окружности с диаметром, равным большой оси эллипса, то меньше ее. Если разделить эллипс на две части его малой осью, то скорость спутника больше соответствующей круговой, когда он движется по той половине эллипса, которая ближе к Земле (часть эллипса, находящаяся внутри окружности), и меньше, когда он движется по другой половине (с наружной стороны окружности). Наконец скорости спутника в моменты, когда он проходит через концы малой оси эллипса (точки пересечения эллипса с окружностью), равны круговой скорости.

6. Когда наблюдатель на Земле видит, что два спутника движутся в обратных направлениях, то всегда ли это так?

Рассмотрим, например, два искусственных спутника, движущиеся в направлении вращения Земли, то есть с запада на восток в экваториальной плоскости по круговым орбитам с радиусами 33 800 и 59 400 километров. Допустим, что в некоторый момент времени оба спутника находились над головой наблюдателя в одной точке неба — в зените. Нижний спутник, имеющий период обращения 17,1 часа, за один час опишет на своей орбите дугу 360°: 17,1 = 21°, а верхний — с периодом обращения 40 часов пройдет за то же время дугу 360° : 40 = 9°. Между тем за этот же час наблюдатель, участвуя в суточном вращении Земли, пройдет в восточном направлении дугу 360° : 24 = 15°. Таким образом, за час нижний спутник обгонит наблюдателя на 21°—15° = 6°, а верхний отстанет от него на 15° — 9° = 6°. Наблюдателю же будет казаться, что спутники движутся на небесной сфере в противоположных направлениях (нижний — на восток, верхний — на запад), проходя каждый 1° за 10 минут.

7. Известно, что движение планет кажется иногда наблюдателю с Земли попятным. Можно ли будет наблюдать такое явление и при движении искусственных спутников?

На рисунке изображены эллиптические орбиты экваториальных искусственных спутников. Для спутников, вращающихся в первой зоне, кажущееся направление движения будет совпадать с действительным, так как их угловая скорость больше угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси. Для других спутников, проходящих частично во второй и третьей зонах, кажущиеся и действительные направления будут совпадать только на части пути. Пока спутник находится вблизи Земли, его угловая скорость сравнительно велика и он кажется движущимся на восток, но по мере приближения спутника к указанной на рисунке межзональной границе видимое движение его по небесной сфере постоянно замедляется. В момент достижения спутником указанной границы он как бы на мгновение останавливается (угловая скорость обращается в нуль), чтобы начать затем двигаться в обратном направлении — с востока на запад. Последнее движение длится до тех пор, пока спутник вновь достигнет межзональной границы и видимое направление движения изменится.

8. Искусственные спутники Земли могут облетать поверхность всего земного шара за одни сутки. Можно ли будет столь же быстро обследовать поверхность Луны с борта ее искусственного спутника?

— Поскольку Луна делает одно полное обращение вокруг своей оси примерно за четыре недели, потребовалось бы не менее двух недель для обследования всей ее поверхности с борта спутника в солнечном освещении и отраженном Землей свете. Но можно также применить ускоренный метод, не дожидаясь, чтобы Луна сделала полуоборот вокруг своей оси. Для этого, совершив одно обращение вокруг Луны с выключенным двигателем и обозрев полосу определенной ширины, космонавты смогут, пролетая, например, над полюсом, включить ракетный двигатель, чтобы повернуть плоскость орбиты спутника вокруг оси Луны на определенный угол по отношению к звездам. Таким образом, при следующем обращении спутника вокруг Луны по новой орбите астронавты увидят совершенно новые территории. Чем больше высота движения спутника, тем шире видимая полоса и тем меньше раз придется менять плоскость орбиты спутника. На рисунке показан такой ускоренный метод обозрения поверхности Луны в случае двукратного изменения плоскости орбиты, расположенной на высоте, равной радиусу Луны. Время обозрения Луны за три полных обращения спутника составляет всего пять с половиной часов. Цифрами отмечено, сколько раз можно со спутника обозреть данную площадь.

9. Как известно, вследствие сопротивления воздуха орбита искусственного спутника постепенно уменьшается. Уменьшается ли орбита равномерно со всех сторон?

— Нет. Самым резким является это уменьшение в апогее. Как видно на рисунке, в перигее это уменьшение незначительно. Таким образом, эллиптическая орбита постепенно переходит почти в круговую, точнее — в частую спираль, вдоль которой в плотных слоях атмосферы спутник превращается в «падающую звезду».

10. Можно ли будет произвести спуск с искусственного спутника?

— Да. Например, с помощью миниатюрного ракетного двигателя можно столкнуть со спутника космический планер со сравнительно небольшой скоростью в сторону, противоположную орбитальному движению (точка А). Тогда скорость планера сделается меньше орбитальной, и он по полуэллиптической орбите начнет приближаться к поверхности Земли (полуэллипс АВ). В перигее этой траектории планер войдет в плотные слои атмосферы (точка В на рисунке). Здесь и начинается торможение планера атмосферой. Когда скорость космического планера будет почти погашена и упадет у поверхности примерно до 100 км/сек, он сможет приземлиться подобно обычному планеру (точка С на рисунке).

11. При спуске с искусственного спутника, летящего на большой высоте, скорость вторжения в атмосферу может быть порядка 11 км сек. Не опасно ли это? Не сгорит ли планер?

— С очень высоко летящего искусственного спутника (точка А) спуск будет происходить несколько иначе, чем в предыдущем случае. Для облегчения задачи можно разделить операцию торможения на несколько этапов. Космический планер, обогнув Землю в очень разреженных слоях атмосферы (точка В на рисунке), возвращается в межпланетное пространство с уменьшенной скоростью. Вернувшись по эллипсу ВОВ в атмосферу Земли, планер опять замедляет свою скорость. Дальнейшее движение происходит по эллипсу ВСВ, вдоль которого, как и во время движения по предыдущему эллипсу, происходит охлаждение перегретых частей конструкции планера вследствие лучеиспускания. Наконец, пройдя спираль ВЕ, планер приземляется в точке Е.

На следующие вопросы мы попросили ответить тт. КАЗНЕВСКОГО В. П., ИСАКОВА П. К., РАПОПОРТ Т. Л. и ЛУЦКОГО В. К., написавших недавно интересную книгу «СТО ВОПРОСОВ И ОТВЕТОВ ОБ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКАХ ЗЕМЛИ» для издательства «Знание».

КАКОВЫ ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ АСТРОНАВТИКИ НА БЛИЖАЙШИЕ ГОДЫ?

Самым трудным было сделать первый шаг в космос. Для этого требовалось достичь скорости 8 км/сек, в то время как современные сверхскоростные самолеты развивают не больше 1 км/сек. Для полного преодоления земного тяготения потребуется прибавить к круговой скорости всего 3 с небольшим километра в секунду. Это, конечно, значительно проще, чем увеличить скорость с 1 км/сек на 8 км/сек. Поэтому следует ожидать бурного развития астронавтики. Посылка автоматической ракеты на Луну может произойти в ближайшие несколько лет. Полет людей на круговые орбиты и на Луну — это тоже вопрос ближайших десятилетий. Для этого нужно только решить проблему возвращения с искусственного спутника. Полеты на соседние планеты будут осуществлены, как только будет построена атомная ракета, над созданием которой уже сейчас напряженно работают ученые ряда стран. Полеты к звездам — это пока дело далекого будущего, но уже сейчас решен ряд теоретических вопросов такого полета.

Возвращение на Землю будет происходить в обратном порядке. Отправляясь в обратный путь, посадочная «ракета-лодка» подлетает к поджидающему ее космическому кораблю-спутнику, который забирает астронавтов, включает двигатель и устремляется к искусственному спутнику Земли.

Ускорения, развиваемые космическими кораблями, стартующими со спутника, могут быть совсем небольшими, и корабль может постепенно набирать скорость, что особенно облегчит работу будущим конструкторам новых типов ракет. В первый период полетов на жидкостных ракетах искусственные спутники можно использовать как станции для заправки топливом. Значение искусственных спутников, как будущих межпланетных вокзалов, безусловно, огромное.

Невесомость, то есть отсутствие веса, возникает после прекращения работы двигателей ракеты-носителя и вывода искусственного спутника Земли на заданную орбиту. Состояние невесомости длится в течение всего полета спутника в космосе. Во время запусков высотных ракет с помещенными в них животными — обезьянами, мышами, собаками — велись исследования поведения и состояния их внутри ракеты. Было установлено, что в состоянии невесомости у животных нарушается некоторая координация движений, они принимают самые неестественные позы, утрачивают способность захватывать пищу. Однако полет ракеты длится всего лишь несколько минут. Опыт с собакой Лайкой, помещенной на втором спутнике, показал, что при соответствующей тренировке и соответствующем оборудовании — специальной герметической кабины все жизненные функции организма протекают вполне нормально.

Последняя скорость 5,15 км/сек означает, что советская ракета-носитель наверняка могла бы уже сейчас стартовать с планеты Марс и достичь либо Земли, либо планеты Венеры.