Тема: Задачи на движение по реке.
Цели:
- обобщить и систематизировать знания по теме
«Задачи на движение по реке»; - проверить знание теоретического материала,
умение решать задачи арифметическим способом; - развивать кругозор, мышление, внимание,
культуру математической речи; - прививать интерес к математике.
Методы обучения: частично-поисковый
(эвристический), системные обобщения,
самопроверка, взаимопроверка.
Формы организации урока: фронтальная,
индивидуальная.
Оборудование: презентация к уроку,
листы учета знаний.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Сообщить учащимся цели урока. Настроить ребят
на активную работу.
II. Проверка домашнего задания
№ 391(а).
Собственная скорость теплохода 27км/ч, скорость
течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит
теплоход на путь по течению реки между двумя
причалами, если расстояние между ними 120 км?
Решение:
1) Vпо теч.= Vсоб.+ Vтеч. = 27 + 3 = 30 (км/ч).
2) tпо теч.= S : Vпо теч.= 120 : 30 = 4 (ч.)
Ответ: 4 часа.
№ 392.
Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч,
проплыл 2 часа по течению реки и 3часа против
течения. Какое расстояние проплыл катер за все
время, если скорость течения реки 2 км/ч?
Решение:
1) Vпо теч.= Vсоб. + Vтеч.= 15 + 2 = 17 (км/ч.)
2) Vпр. теч.= Vсоб. – Vтеч.= 15 – 2 = 13 (км/ч.)
3) Sпо теч.= Vпо теч. · tпо теч. = 17 · 2 = 34 (км)
4) Sпр теч.= Vпр. теч.· t пр. теч.=13 · 3 = 39 (км)
5) S=Sпо теч.+ Sпр. теч. = 34 + 39 = 73 (км)
Ответ: 73 км
III. Актуализация знаний
(Фронтальная работа)
Вопросы: (устно или с использованием
проектора.)
1. Что такое собственная скорость катера? Ответ:
скорость катера в стоячей воде (озере, пруду).
2. Что такое скорость течения? Ответ: на какое
расстояние относит река предмет за единицу
времени.
3. Как определяется скорость катера по течению
реки? Ответ: как сумма скорости собственной и
течения.
4. Как определяется скорость катера против
течения? Ответ: как разность скорости
собственной и течения.
5. Как определяется скорость движения плота по
реке? Ответ: как скорость течения реки.
Подведем итог:
Vпо течению – сумма V течения и V
собственной.
V против течения – разность Vсобственной и
Vтечения.
Значит, зная Vпо течению и Vпротив течения, можно
найти Vтечения и Vсобственной.
Вспомним задачу на нахождение двух чисел по их
сумме и разности.
1) (V по теч. – V пр. теч.) : 2 = Vтеч.
2) Vпо теч. – Vтеч. = Vсоб.
IV. Решение задач
№ 1.
Из четырех скоростей (Vсоб.,Vпо теч.,Vпр. теч.,Vтеч.
) две заданы и изображены отрезком. Вычислите две
другие скорости и изобразите их отрезками:
№ 2. Заполним таблицу.
|
Vсоб, км/ч |
V теч, км/ч |
Vпо теч, км/ч |
Vпр. теч, км/ч |
|
15 |
3 |
? |
? |
|
16 |
? |
18 |
? |
|
13 |
? |
? |
10 |
|
? |
2 |
11 |
? |
|
? |
3 |
? |
15 |
|
? |
? |
28 |
24 |
№ 3
Решим задачу № 393 (а).
Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько
времени потратит моторная лодка на путь от
одного причала до другого и обратно, если
собственная скорость моторной лодки 10 км/ч, а
скорость течения 2 км/ч?
Решение:
1) Vпо теч.= Vтеч.+ Vсоб.= 2 + 10 = 12 (км/ч)
2) Vпр. теч. = Vсоб. – Vтеч.= 10 – 2 = 8 (км/ч)
3) tпо теч.= S : Vпо теч.= 24 : 12 = 2 (ч)
4) tпр. теч.= S : Vпр. теч.= 24 : 8 = 3 (ч)
5) t = tпо теч. + tпр. теч.= 2 + 3 = 5 (ч)
Ответ: 5 часов.
V. Самостоятельная работа
|
I вариант |
II вариант |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1) Скорость моторной лодки в стоячей воде 15км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от одной пристани до другой и обратно, если расстояние между пристанями 36 км? 2)
|
1) Скорость моторной лодки в стоячей воде 10 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Сколько времени потратит моторная лодка на движение от одной пристани до другой и обратно, если расстояние между пристанями 24 км? 2)
|
VI. Подведение итогов урока
Заполнить карточку самоанализа.
Объявление оценок за урок.
VII. Определение домашнего задания
№ 393 (б), 394 С.М.Никольский, М.К.Потапов,
Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. Математика:
учебник для 6 кл. общеобразовательных
учреждений.– М.: Просвещение, 2008 г.
Презентация
Список литературы:
1. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников,
А.В.Шевкин. Математика: учебник для 6 кл.
общеобразовательных учреждений. – М.:
Просвещение, 2008 г.
2. А.В.Шевкин. Обучение решению текстовых
задач в 5-6 классах. – М.: «Русское слово», 2001г.
Задачи на движение по реке
Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.
Задача 1. Катер движется против течения реки. За сколько часов он преодолеет расстояние 112 км, если его собственная скорость 30 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч?
Решение: Сначала узнаем скорость движения катера против течения реки, для этого от его собственной скорости отнимем скорость течения:
30 – 2 = 28 (км/ч) — скорость движения катера против течения.
Теперь можно узнать за сколько часов катер преодолеет 112 км, разделив расстояние на скорость:
112 : 28 = 4 (ч).
Решение задачи по действиям можно записать так:
1) 30 – 2 = 28 (км/ч) — скорость движения катера против течения,
2) 112 : 28 = 4 (ч).
Ответ: За 4 часа катер преодолеет расстояние 112 км.
Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки.
Задача 2. Расстояние от пункта A до пункта B по реке равно 120 км. Сколько времени потратит моторная лодка на путь от пункта A до B, если её собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Рассмотрите два варианта:
1) лодка движется по течению реки;
2) лодка движется против течения реки.
Решение: Если моторная лодка будет двигаться по течению реки, то её скорость будет равна сумме собственной скорости со скоростью течения реки:
27 + 3 = 30 (км/ч).
Значит расстояние между пунктами лодка преодолеет за:
120 : 30 = 4 (ч).
Если лодка будет двигаться против течения реки, то её скорость будет равна разности собственной скорости и скорости течения реки:
27 – 3 = 24 (км/ч).
Значит, чтобы узнать сколько времени потратит лодка на путь от пункта A до пункта B, надо расстояние разделить на скорость:
120 : 24 = 5 (ч).
Решение задачи по действиям для движения по течению реки можно записать так:
1) 27 + 3 = 30 (км/ч) — скорость лодки,
2) 120 : 30 = 4 (ч).
Для движения против течения реки решение задачи по действиям можно записать так:
1) 27 – 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки,
2) 120 : 24 = 5 (ч).
Ответ:
1) При движении по течению реки моторная лодка потратит 4 часа на путь от пункта A до пункта B.
2) При движении против течения реки моторная лодка потратит 5 часов на путь от пункта A до пункта B.
Одними из увлекательных задач по математике и физике, которые предлагает учитель решить школьникам, являются задачи на определение скорости течения реки. В данной статье рассмотрим особенности решения этих задач и приведем несколько конкретных примеров.
О каких задачах пойдет речь?
Каждый знает, что вода в реке обладает некоторой скоростью течения. Равнинные реки (Дон, Волга) текут относительно медленно, небольшие же горные реки отличаются сильным течением и присутствием водяных воронок. Любой плавающий предмет, который брошен в реку, будет удаляться от наблюдателя со скоростью течения реки.
Люди, которые купались в реке, знают, что против ее течения плыть очень тяжело. Чтобы продвинуться на несколько метров, необходимо приложить намного больше усилий, чем при движении в стоячей воде озера. Наоборот, движение по течению осуществляется практически без каких-либо затрат энергии. Достаточно лишь поддерживать тело на плаву.
Все эти особенности позволяют сделать следующий важный вывод: если тело, имеющее в стоячей воде скорость v, будет двигаться в русле реки, то его скорость относительно берега будет равна:
- v + u для движения по течению;
- v – u для движения против течения.
Здесь u – скорость течения.
Если тело движется под некоторым углом к течению, то результирующий вектор его скорости будет равен сумме векторов v¯ и u¯.
Формулы, которые необходимо запомнить
Помимо приведенной выше информации, для решения задач на скорость течения реки следует запомнить несколько формул. Перечислим их.
Скорость течения является величиной постоянной, а вот скорость тела (лодки, катера, пловца) в общем случае может меняться, как по величине, так и по направлению. Для равномерного прямолинейного движения справедливой будет формула:
S = v*t
Где S – пройденный путь, v – скорость перемещения тела. Если движение происходит с ускорением a, тогда следует применять формулу:
S = a*t2/2
Помимо этих формул, для успешного решения задач следует уметь пользоваться тригонометрическими функциями при разложении векторов скорости на составляющие.
Теперь перейдем к решению конкретных задач.
Задача с лодкой и рыбаком
Один рыбак решил отправиться на своей лодке без мотора вверх против течения реки на расстояние 2 километра. В стоячей воде он бы преодолел это расстояние за 30 минут, но при движении по реке ему понадобился целый час. Необходимо найти, чему равна скорость течения реки.
Поскольку скорость воды в реке является величиной неизвестной, то обозначим ее буквой x. Скорость лодки также неизвестна, однако ее можно вычислить, используя значения из условия для движения в стоячей воде. Получаем для скорости v лодки:
v = S/t1 = 2/0,5 = 4 км/ч
Мы нашли скорость, с которой рыбак на лодке может перемещаться по спокойному озеру. Чтобы найти скорость лодки против течения, необходимо из найденной величины вычесть значение x. Тогда для движения вверх по реке можно записать следующее равенство:
S = (4 – x)*t2
Выражаем отсюда значение неизвестного параметра, имеем:
x = 4 – S/t2
Осталось подставить цифры из условия задачи и записать ответ:
x = 4 – S/t2 = 4 – 2/1 = 2 км/ч
Таким образом, скорость течения в реке в два раза меньше таковой для лодки.
Задача с моторной лодкой
Моторная лодка совершает каждый день переходы по реке из пункта A в пункт B. Дистанция между A и B составляет 7 км. Известно, что скорость лодки по течению равна 8 км/ч. Чему равна скорость течения, если на путь вниз по реке лодка затрачивает на 10 минут больше времени, чем при движении вверх по ней.
В данном случае мы не знаем ни скорость моторной лодки, ни скорость воды в реке. Обозначим первую как y, а вторую как x. Тогда можно записать следующие четыре уравнения:
x + y = 8;
S/t1 = x + y;
S/t2 = y – x;
t2 – t1 = 1/6
Первое уравнение отражает скорость лодки по течению, второе и третье уравнения связывают время и скорость при движении вниз и вверх по реке соответственно. Четвертое уравнение следует из условия задачи о разности времен прямого и обратного пути между пунктами A и B.
Сначала найдем из этих уравнений время t1 и t2:
t1 = 7/8 = 0,875 ч;
t2 = 1/6 + 7/8 = 1,0417 ч
Для определения скорости x воды в реке вычтем из второго третье уравнение, получим:
S/t1 – S/t2 = 2*x =>
x = S/2*(1/t1 – 1/t2)
Подставляем в это равенство рассчитанные величины t1 и t2, а также расстояние между пунктами S, получаем, что вода в реке течет со скоростью 0,64 км/ч.
Задача: движение катера под углом к течению
Теперь решим задачу, которая требует умения пользоваться тригонометрическими формулами.
Катер начал движение от одного берега реки к другому под углом 60o к течению. Скорость катера в стоячей воде равна 10 км/ч. Скорость течения составляет 2 км/ч. Необходимо определить, на какое расстояние катер сместится вдоль берега, прибыв на противоположную сторону реки. Ширина русла реки равна 500 метров.
Данную задачу следует решать, разбив путь катера на две составляющие: перпендикулярную и параллельную берегу. Используя данные задачи, для перпендикулярной составляющей пути можно записать выражение:
v*sin(60o)*t = S1
Где v – скорость катера, S1 – ширина реки. Подставляя данные, находим время, которое катер находился в пути:
t = S1/(v*sin(60o)) = 0,0577 ч
Для вычисления параллельного берегу пути S2 к горизонтальной проекции скорости катера следует добавить скорость течения, тогда соответствующее равенство будет иметь вид:
S2 = (v*cos(60o) + 2)*t
Подставляя известные величины, получаем ответ: катер вдоль берега пройдет путь 404 метра.
Содержание материала
- Скорость тела. Средняя скорость тела
- Видео
- Задача с рыбаком и лодкой
- Ширина русла и водоносность
- Задача с моторной лодкой
- Формулы, которые необходимо запомнить
- Движение по реке. Скорость течения реки
Скорость тела. Средняя скорость тела
Решение задач на движение опирается на хорошо известную из курса физики формулу
позволяющую найти путь S , пройденный за время t телом, движущимся с постоянной скоростью v .
Сразу же сделаем важное
Замечание 1. Единицы измерения величин S , t и v должны быть согласованными. Например, если путь измеряется в километрах, а время – в часах, то скорость должна измеряться в км/час.
В случае, когда тело движется с разными скоростями на разных участках пути, вводят понятие средней скорости, которая вычисляется по формуле
 |
(1) |
Например, если тело в течение времени t1 двигалось со скоростью v1 , в течение времени t2 двигалось со скоростью v2 , в течение времени t3 двигалось со скоростью v3 , то средняя скорость
 |
(2) |
Задача 1. По расписанию междугородный автобус должен проходить путь в 100 километров с одной и той же скоростью и без остановок. Однако, пройдя половину пути, автобус был вынужден остановиться на 25 минут. Для того, чтобы вовремя прибыть в конечный пункт, водитель автобуса во второй половине маршрута увеличил скорость на 20 км/час. Какова скорость автобуса по расписанию?
Решение. Обозначим буквой v скорость автобуса по расписанию и будем считать, что скорость v измеряется в км/час. Изобразим данные, приведенные в условии задачи 1, на рисунке 1.
Рис. 1
Тогда
– время движения автобуса по расписанию (в часах);
– время, за которое автобус проехал первую половину пути (в часах);
v + 20 – скорость автобуса во второй половине пути (в км/час);
– время, за которое автобус проехал вторую половину пути (в часах).
В условии задачи дано время остановки автобуса – 25 минут. Его необходимо выразить в часах, чтобы все единицы измерения были согласованными:
Теперь можно составить уравнение, исходя из того, что автобус прибыл в конечный пункт вовремя, а, значит, время, которое он был в пути, плюс время остановки должно равняться времени движения автобуса по расписанию:
Решим это уравнение:
По смыслу задачи первый корень должен быть отброшен.
Ответ. 40 км/час.
Задача 2. (МИОО) Первый час автомобиль ехал со скоростью 120 км/час, следующие три часа – со скоростью 105 км/час, а затем три часа – со скоростью 65 км/час. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение. Воспользовавшись формулой (2), получаем
Ответ. 90 км/час.
Задача 3. Первую половину пути поезд шел со скоростью 40 км/час, а вторую половину пути – со скоростью 60 км/час. Найдите среднюю скорость поезда на протяжении всего пути.
Решение. Обозначим буквой S длину всего пути, выраженную в километрах. Изобразим данные, приведенные в условии задачи 3, на рисунке 2.
Рис. 2
Тогда
– время, за которое поезд прошел первую половину пути, выраженное в часах;
– время, за которое поезд прошел вторую половину пути, выраженное в часах.
Следовательно, время, за которое поезд прошел весь путь, равно
В соответствии с формулой (1) средняя скорость поезда на протяжении всего пути
Ответ. 48 км/час.
Замечание 2. Средняя скорость поезда в задаче 3 равна 48 км/час, а не 50 км/час, как иногда ошибочно полагают, вычисляя среднее арифметическое чисел (скоростей) 40 км/час и 60 км/час. Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей, а является величиной, вычисляемой по формуле (1).
Видео
Задача с рыбаком и лодкой
Разобравшись, как найти скорость течения реки, решим следующую задачу. Известно, что рыбак на лодке должен проплыть по реке 10 км. Проведя необходимые измерения, он установил, что течение в реке составляет 1 м/с. Какое время рыбаку понадобиться для того, чтобы по течению проплыть указанное расстояние, не используя при этом дополнительные средства тяги (мотор, весла).
Переводим скорость из м/с в км/ч, получаем 3,6 км/ч. Тогда искомое время будет равно:
t = S/v = 10/3,6 ≈ 2,8 ч.
Ширина русла и водоносность
Для более глубокого понимания вопроса, как найти скорость течения реки, важно знать еще один момент. Дело в том, что одна и та же река в разных местах может течь с различной скоростью. Причиной является изменение площади сечения ее русла, которое внешне связано с изменение ширины. Справедливости ради отметим, что не только изменение ширины, но и колебания в глубине влияют на быстроту течения воды (чем глубже, тем медленнее).
В виду сказанного выше, о скорости перемещения воды в реке имеет смысл говорить, если на достаточно длительном участке (километры и более) параметры ее русла колеблется незначительно, и река не имеет на этом участке притоков.
Более надежной характеристикой для любой реки является ее водоносность. Под водоносностью понимают объем воды, проходящий через вертикальное сечение русла за единицу времени. Водоносность не зависит от параметров русла, однако, она так же, как и скорость, изменится, если на рассматриваемом участке реки имеется приток.
В данной статье мы ограничимся предоставленной информацией о водоносности и перейдем к вопросу, как найти скорость течения реки.
Задача с моторной лодкой
Моторная лодка совершает каждый день переходы по реке из пункта A в пункт B. Дистанция между A и B составляет 7 км. Известно, что скорость лодки по течению равна 8 км/ч. Чему равна скорость течения, если на путь вниз по реке лодка затрачивает на 10 минут больше времени, чем при движении вверх по ней.
В данном случае мы не знаем ни скорость моторной лодки, ни скорость воды в реке. Обозначим первую как y, а вторую как x. Тогда можно записать следующие четыре уравнения:
x + y = 8;
S/t1 = x + y;
S/t2 = y — x;
t2 — t1 = 1/6
Первое уравнение отражает скорость лодки по течению, второе и третье уравнения связывают время и скорость при движении вниз и вверх по реке соответственно. Четвертое уравнение следует из условия задачи о разности времен прямого и обратного пути между пунктами A и B.
Сначала найдем из этих уравнений время t1 и t2:
t1 = 7/8 = 0,875 ч;
t2 = 1/6 + 7/8 = 1,0417 ч
Для определения скорости x воды в реке вычтем из второго третье уравнение, получим:
S/t1 — S/t2 = 2*x =>
x = S/2*(1/t1 — 1/t2)
Подставляем в это равенство рассчитанные величины t1 и t2, а также расстояние между пунктами S, получаем, что вода в реке течет со скоростью 0,64 км/ч.
Формулы, которые необходимо запомнить
Помимо приведенной выше информации, для решения задач на скорость течения реки следует запомнить несколько формул. Перечислим их.
Скорость течения является величиной постоянной, а вот скорость тела (лодки, катера, пловца) в общем случае может меняться, как по величине, так и по направлению. Для равномерного прямолинейного движения справедливой будет формула:
S = v*t
Где S — пройденный путь, v — скорость перемещения тела. Если движение происходит с ускорением a, тогда следует применять формулу:
S = a*t2/2
Помимо этих формул, для успешного решения задач следует уметь пользоваться тригонометрическими функциями при разложении векторов скорости на составляющие.
Теперь перейдем к решению конкретных задач.
Движение по реке. Скорость течения реки
В отличие от задач на движение по суше, в задачах на движение по реке появляется новая величина – скорость течения реки.
По отношению к берегу, который неподвижен, скорость тела, движущегося по течению реки, равна сумме собственной скорости тела (скорости тела по озеру, скорости тела в неподвижной воде, скорости тела в стоячей воде) и скорости течения реки. По отношению к берегу скорость тела, движущегося против течения реки, равна разности собственной скорости тела и скорости течения реки.
Задача 4. Моторная лодка прошла по течению реки 14 км, а затем 9 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Скорость лодки в стоячей воде 5 км/час. Найдите скорость течения реки.
Решение. Обозначим буквой v скорость течения реки и будем считать, что скорость v измеряется в км/час.Изобразим данные, приведенные в условии задачи 4, на рисунке 3.
Рис. 3
Тогда
5 + v – скорость, с которой лодка шла по течению реки (в км/час);
– время движения лодки по течению реки (в часах);
5 – v – скорость, с которой лодка шла против течения реки (в км/час);
– время движения лодки против течения реки (в часах);
Теперь можно составить уравнение, принимая во внимание тот факт, что лодка находилась в пути 5 часов:
Решим это уравнение:
По смыслу задачи первый корень должен быть отброшен.
Ответ. 2 км/час.
Задача 5. (Бюро «Квантум») Моторная лодка прошла по течению реки 34 км и 39 км против течения, затратив на это столько же времени, сколько ей нужно, чтобы пройти 75 километров в стоячей воде. Найдите отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения реки.
Решение. Обозначим vс (км/ч) скорость лодки в стоячей воде и обозначим vр (км/ч) скорость течения реки. Изобразим данные задачи 5 на рисунках 4 и 5.
Рис. 4
Рис. 5
Учитывая тот факт, что в обеих ситуациях лодка провела в пути одно и то же время, можно составить уравнение:
 |
(3) |
Если ввести обозначение
то, воспользовавшись формулой
vс = xvр ,
перепишем уравнение (3) в виде
 |
(4) |
Умножая уравнение (4) на vр , получим
По смыслу задачи первый корень должен быть отброшен.
Ответ. 7,5 .
Теги
подскажите пожалуйста формулы нахождения скорости собственной,скорость реки,по течению и против течения!
Ученик
(2),
закрыт
10 лет назад
Луношерстная
Профи
(584)
12 лет назад
V по теч. = V соб. + V теч.
V пр. теч. = V соб. – V теч.
V соб. = (V по теч. + V пр. теч. ) /2
V теч. = (V по теч. – V пр. теч.) /2
Источник: учебник математики, 6 класс, Г. В. Дрофеев, Л. Г. Петерсон
Анна Сергеева
Ученик
(126)
7 лет назад
V по теч. = V соб. + V теч.
V пр. теч. = V соб. – V теч.
V соб. = (V по теч. + V пр. теч. ) /2
V теч. = (V по теч. – V пр. теч.) /2
V по теч. = Vсоб. + Vтеч.
Vпр. теч = Vсоб. – Vтеч.
Vсоб. = (Vпо теч. + Vпр. теч.) :2
Vтеч. = (Vпо теч. – Vпр. теч.) :2
ненавижу зачеты
Светлана
Знаток
(322)
6 лет назад
V по теч. = V соб. + V теч.
V пр. теч. = V соб. – V теч.
V соб. = (V по теч. + V пр. теч. ) /2
V теч. = (V по теч. – V пр. теч.) /2
Ирина Яньшина
Знаток
(372)
6 лет назад
V по теч. = V соб. + V теч.
V пр. теч. = V соб. – V теч.
V соб. = (V по теч. + V пр. теч. ) /2
V теч. = (V по теч. – V пр. теч.) /2
2 Нравится Пожаловаться
aysel qaxramanova
Ученик
(153)
6 лет назад
V течения = ( V по течению – V против течения )
V собственная = ( V по течению + V против течения )
V против течения = V собственная – V течения
V по течению = V собственная + V течения
Пишу для тупых по подробнее
