Как найти скорость точки при плоском движении

3.2.1. Метод полюса

Рис.3.4

На рис.3.4 представлено положение плоской
фигуры S и ее
отрезка PM в
неподвижной системе координат OXYZ,
Для произвольного момента времени
справедливо векторное равенство:


(3.3)

При движении плоской фигуры векторы

и

изменяются и по модулю и по направлению,
вектор же

изменяется только по направлению,
так как его модуль равен для твердого
тела расстоянию между точками P
и M. Продифференцировав
по времени равенство (3.3), получим:

Обозначив

и назвав

скоростью точки M
тела при вращении его вокруг оси Pz,
проходящей через полюс P
перпендикулярно плоскости плоской
фигуры, получим

(3.4)

Рассмотрим вектор

.
Поскольку вектор


вектор
постоянного модуля, то

=


,
где


вектор, лежащий в плоскости фигуры,
перпендикулярный

и направленный против хода
часовой стрелки. Тогда вектор

лежит в плоскости фигуры, перпендикулярен
отрезку PM,
соединяющему точку M
с полюсом P, и
направлен в сторону вращения плоской
фигуры вокруг оси Pz
(рис.3.4).

Модуль вектора определяется как:


(3.5)

Применив векторную формулу Эйлера,
определяющую вектор скорости точки
тела, вращающегося вокруг оси, равный
векторному произведению вектора угловой
скорости тела на радиус-вектор точки
относительно какой-либо точки, лежащей
на оси вращения тела (см. 2.14):

можно представить выражение (3.5) в
векторной форме:

Окончательно имеем выражение для
определения скоростей точек плоской
фигуры методом полюса:



(3.6)

Таким образом, скорость любой точки
плоской фигуры при ее плоском движении
по методу полюса равна
векторной сумме скорости полюса,
построенной при рассматриваемой точке
M, и скорости данной
точки при вращении фигуры вокруг оси
Pz,
проходящей через полюс перпендикулярно
плоскости плоской фигуры.

3.2.2. Метод мгновенного центра скоростей

Мгновенным центром скоростей называется
точка на плоскости, скорость которой в
данный момент времени равна нулю. Найдем
эту точку, обозначив ее

.
Пусть в данный момент времени скорость
точки P, принятой за
полюс, равна

и фигура S вращается
с угловой cкоростью

Проведем прямую РNH,
перпендикулярную вектору
,
в направлении вращения

(рис.3.5),
отложим на этой прямой отрезок P

=

и определим скорость полученной точки

,
выбрав за полюс точку P:

Отсюда следует, что векторы

и

должны быть равны по модулю и противоположны
по направлению. Так как вектор

перпендикулярен отрезку P
,
то прямая, на которой должна

н

аходиться
точка

,
перпендикулярна вектору

.
Чтобы

Рис.3.5

выполнялось условие

=

,
точка


должна находиться на прямой PNH.
Поскольку

=
,
а


,

мгновенный радиус (расстояние от
точки до мгновенного центра скоростей

)
будет равен: P

=
.

Таким образом, приняв за полюс плоской
фигуры S точку

,
можно определить скорость любой точки
(пусть точки M) по формуле:

(3.7)

где

 расстояние от точки
M до мгновенного
центра скоростей

.
Вектор


перпендикулярен отрезку

и направлен в сторону вращения фигуры
вокруг оси

,
проходящей через

z’,
а его модуль пропорционален мгновенному
радиусу =

.

Таким образом, скорости точек плоской
фигуры в данный момент времени вычисляются
так же, как если бы фигура вращалась
вокруг оси, проходящей через

z’
перпендикулярно плоскости плоской
фигуры и плоскости движения, с той же
угловой скоростью


.

Метод МЦС значительно упрощает
определение скоростей точек твердого
тела при плоском движении. Поэтому важно
уметь определять положение МЦС, т.е.
точки

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Содержание:

  1. Плоское движение тела
  2. Определение скоростей точек тела
  3. Уравнения плоского движения
  4. Скорости точек фигуры. Мгновенный центр скоростей
  5. Определение положения мгновенного центра скоростей
  6. Порядок решения задач на тему: Определение скоростей точек тела
  7. Примеры решения задач на тему: Определение скоростей точек тела
  8. Решение задачи графоаналитическим способом
  9. Решение задачи с помощью мгновенного центра скоростей
  10. Определение ускорений точек тела
  11. Ускорения точек плоской фигуры
  12. Порядок решения задач на тему: Определение ускорений точек тела
  13. Примеры решения задач на тему: Определение ускорений точек тела
  14. План скоростей
  15. Порядок решения задач на тему: План скоростей
  16. Примеры решения задач на тему: План скоростей
  17. План ускорений
  18. Примеры решения задач на тему: План ускорений

Плоское движение тела – это такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Плоское движение тела

Плоскопараллельное движение (плоское движение) — вид движения абсолютно твёрдого тела, при котором траектории всех точек тела располагаются в плоскостях, параллельных заданной плоскости. Примером плоскопараллельного движения по отношению к вертикальной плоскости, относительно которой тело движется в параллельном направлении, является качение колеса по горизонтальной дороге

Определение скоростей точек тела

Скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей, и это отношение определяет угловую скорость тела в данный момент времени: Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, то точка касания Р имеет в данный момент времени скорость равную нулю, и, следовательно является мгновенным центром скоростей .

Уравнения плоского движения

Плоским называется такое движение тела, при котором траектории всех его точек лежат в плоскостях, параллельных данной неподвижной плоскости.

При таком движении все точки твердого тела, лежащих на перпендикуляре к этой плоскости, имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения.

Плоское движение фигуры можно рассматривать как сложное (то есть, абсолютное) движение, которое включает поступательное движение вместе с произвольно выбранной точкой Плоское движение тела, что называется полюсом (переносное движение), и на вращательное движение фигуры вокруг этой точки (относительное движение).

На рис.4.1 с телом Плоское движение тела связана подвижная система координат Плоское движение тела. При движении тела начало координат Плоское движение тела и угол поворота Плоское движение тела подвижной системы координат относительно неподвижной системы Плоское движение тела со временем меняются. Таким образом, чтобы однозначно задать положение тела при плоском движении нужно задать закон движения начала подвижной системы координат (полюса Плоское движение тела) и угол поворота подвижной системы относительно неподвижной системы координат, то есть:

Плоское движение тела

Уравнения (4.1) называются уравнениями плоского движения твердого тела.

При этом, поступательная часть плоского движения описывается двумя уравнениями:

Плоское движение тела

а относительная вращательная вокруг полюса – третьим уравнением:

Плоское движение тела

Координаты любой точки Плоское движение тела плоской фигуры Плоское движение тела (рис.4.1), если за полюс выбрана точка Плоское движение тела и задан угол Плоское движение тела, определяются по уравнениям:

Плоское движение тела

Плоское движение тела

Скорости точек фигуры. Мгновенный центр скоростей

Поскольку плоское движение тела состоит из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг него, то скорость любой точки тела Плоское движение тела (рис.4.2) геометрически состоит из абсолютной скорости Плоское движение тела точки Плоское движение тела, которую принято за полюс, и относительной скорости Плоское движение тела в относительном вращательном движении точки Плоское движение тела вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Плоское движение тела

Вектор относительной скорости Плоское движение тела точки Плоское движение тела в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела направлен перпендикулярно Плоское движение тела в сторону угловой скорости.

Модуль и направление абсолютной скорости Плоское движение тела находится построением соответствующего параллелограмма на векторах Плоское движение тела и Плоское движение тела (рис.4.2). Таков путь решения векторного уравнения, когда по записанному уравнению строят векторную фигуру, называется графоаналитическим.

Относительная скорость Плоское движение тела в относительном вращательном движении точки Плоское движение тела вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела по модулю равна:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – угловая скорость вращения тела вокруг полюса.

Найти скорость любой точки тела можно также на основе теоремы, которая гласит:

Проекции скоростей двух точек фигуры на прямую, что соединяет эти точки, равны между собой.

Согласно этой теореме (рис.4.3) :

Плоское движение тела

или

Плоское движение тела

Плоское движение тела

Если известна скорость Плоское движение тела точки Плоское движение тела тела, то:

Плоское движение тела

При плоском движении тела в каждый момент времени существует точка тела, скорость которой равна нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей и, как правило, обозначается буквой Плоское движение тела.

Если мгновенный центр скоростей известен, то легко можно найти мгновенное распределение скоростей всех точек тела (рис.4.4).

Плоское движение тела

Выберем за полюс поступательного движения мгновенный центр скоростей Плоское движение тела. Тогда для точек Плоское движение тела и Плоское движение тела тела можно записать векторные уравнения (4.3):

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – вектор абсолютной скорости полюса Плоское движение тела;

Плоское движение тела – вектор относительной скорости точки Плоское движение тела в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела, направлен перпендикулярно Плоское движение тела;

Плоское движение тела – вектор относительной скорости точки Плоское движение тела в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела, направлен перпендикулярно Плоское движение тела.

Поскольку скорость выбранного полюса Плоское движение тела равна нулю Плоское движение тела, то:

Плоское движение тела

По модулю скорости вращения точек Плоское движение тела и Плоское движение тела вокруг полюса Плоское движение тела равны:

Плоское движение тела

Разделив Плоское движение тела на Плоское движение тела получим:

Плоское движение тела

Таким образом, мгновенное распределение скоростей точек тела при его плоском движении, такое же, какое было бы при его вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей.

Определение положения мгновенного центра скоростей

Существует несколько способов нахождения положения мгновенного центра скоростей.

Случай 1. Известна скорость Плоское движение тела одной точки Плоское движение тела тела и угловая скорость его вращения Плоское движение тела (рис.4.5).

Плоское движение тела

Мгновенный центр скоростей Плоское движение тела лежит на перпендикуляре к скорости Плоское движение тела точки Плоское движение тела, на расстоянии:

Плоское движение тела

Для нахождения направления перпендикуляра надо повернуть вектор Плоское движение тела относительно точки Плоское движение тела на угол Плоское движение тела в сторону угловой скорости.

Случай 2. Известны направления скоростей Плоское движение тела и Плоское движение тела двух точек Плоское движение тела и Плоское движение тела тела (рис.4.6).

Плоское движение тела

Мгновенный центр скоростей должен лежать как на перпендикуляре к вектору Плоское движение тела, так и на перпендикуляре к вектору Плоское движение тела, то есть мгновенный центр скоростей Плоское движение тела лежит в точке пересечения этих перпендикуляров.

Случай 3. Скорости двух точек Плоское движение тела и Плоское движение тела тела параллельны между собой, а перпендикуляры к ним не совпадают (рис.4.7).

Плоское движение тела

Говорят, что в этом случае мгновенный центр скоростей лежит на бесконечности. Угловая скорость вращения равна нулю, а скорости всех точек тела геометрически равны, то есть в данный момент времени тело выполняет поступательное движение.

Случай 4. Скорости двух точек Плоское движение тела и Плоское движение тела параллельны, направлены в одну сторону и не равны по модулю. Кроме того, Плоское движение тела и Плоское движение тела перпендикулярны отрезку Плоское движение тела (рис.4.8).

Плоское движение тела

Мгновенный центр скоростей находится на продолжении отрезка Плоское движение тела той точки, скорость которой меньше. Расстояние от точки к мгновенному центру скоростей можно найти из пропорции (4.6):

Плоское движение тела

Решив это уравнение относительно Плоское движение тела, получим:

Плоское движение тела

Таким образом, для определения положения мгновенного центра скоростей надо знать не только направления скоростей, но и их величину.

Случай 5. Скорости двух точек Плоское движение тела и Плоское движение тела тела параллельны друг другу, перпендикулярны отрезку Плоское движение тела, но направлены в разные стороны (рис.4.9).

Плоское движение тела

Мгновенный центр скоростей лежит на отрезке Плоское движение тела и делит его на части пропорциональные скоростям. Поскольку Плоское движение тела, то по формуле (4.6) можно записать:

Плоское движение тела

Решив уравнение относительно Плоское движение тела, получим:

Плоское движение тела

Таким образом, для нахождения положения мгновенного центра скоростей надо знать величины и направления скоростей обеих точек.

Случай 6. Тело катится без проскальзывания по неподвижной поверхности (рис.4.10).

Плоское движение тела

В этом случае мгновенный центр скоростей находится в точке Плоское движение тела прикосновения тела к поверхности. Действительно, если отсутствует скольжение тела относительно поверхности, то скорости точек прикосновения тела и поверхности должны быть одинаковыми. Но скорости точки Плоское движение тела, принадлежащей неподвижной поверхности, равна нулю.

Тогда и скорость точки Плоское движение тела, которой в данный момент времени движущееся тело прикасается к неподвижной поверхности, тоже равна нулю.

Порядок решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

а) решение графоаналитическим методом:

  • выбрать за полюс ту точку тела, скорость которой известна по величине и направлению или легко определяется из условий задачи;
  • найти точку тела, направление скорости которой известно;
  • пользуясь формулами плоского движения найти скорость этой точки;
  • определить угловую скорость тела в данный момент времени;
  • по известной угловой скорости и скорости полюса, пользуясь формулами плоского движения найти скорости других точек тела.

б) решение с помощью мгновенного центра скоростей:

  • определить положение мгновенного центра скоростей одним из известных способов;
  • определить значение мгновенного радиуса той точки тела, скорость которой известна, и найти угловую скорость тела;
  • найти скорости других точек тела.

Примеры решения задач на тему: Определение скоростей точек тела

Задача №1

Стержень Плоское движение тела (рис.4.11) длиной Плоское движение тела выполняет плоское движение. Вектор скорости точки Плоское движение тела образует угол Плоское движение тела с осью стержня и в данный момент времени равен Плоское движение тела. Вектор скорости точки Плоское движение тела в этот же момент времени образует угол Плоское движение тела с осью стержня.

Плоское движение тела

Определить величину скорости точки Плоское движение тела, положение мгновенного центра скоростей, угловую скорость стержня и скорость точки Плоское движение тела, которая лежит на середине стержня.

Решение задачи графоаналитическим способом

1. Выберем за полюс точку Плоское движение тела (рис.4.11), поскольку известны направление и величина скорости этой точки.

2. Используя формулу распределения скоростей при плоском движении, запишем векторное уравнение для определения скорости точки Плоское движение тела:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – скорость полюса точки Плоское движение тела;

Плоское движение тела – относительная скорость точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела.

Данное векторное уравнение можно решить построением векторного треугольника скоростей (рис.4.12). Для этого из произвольной точки плоскости Плоское движение тела надо построить правую и левую часть векторного уравнения (1).

Плоское движение тела

При построении правой части уравнения (1) из точки Плоское движение тела в произвольном масштабе отложим вектор скорости Плоское движение тела, который является известным и по величине и по направлению. К вектору Плоское движение тела надо добавить вектор относительной скорости Плоское движение тела, направление которого является известным, поскольку скорость точки Плоское движение тела у ее относительном вращательном движении вокруг полюса Плоское движение тела перпендикулярна радиусу вращения, в данном случае радиус вращения – отрезок Плоское движение тела. Величина вектора Плоское движение тела неизвестна и поэтому через точку Плоское движение тела проводится только его направление (прямая Плоское движение тела рис.4.12).

Теперь из точки Плоское движение тела построим левую часть уравнения (1). Направление скорости точки Плоское движение тела является известным (по условию задачи), но неизвестна ее величина, и потому, из точки Плоское движение тела проводим линию параллельную Плоское движение тела.

Точка Плоское движение тела пересечения прямых, параллельных Плоское движение тела и Плоское движение тела, и будет решением данного векторного уравнения.

В результате построения получили замкнутый треугольник скоростей, стороны которого в выбранном масштабе определяют искомую скорость точки Плоское движение тела и относительную скорость этой же точки при ее вращении вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела.

В этом треугольнике известны все углы и одна сторона Плоское движение тела. С треугольника Плоское движение тела находим:

Плоское движение тела

3. Определим угловую скорость вращения стержня Плоское движение тела. Поскольку Плоское движение тела, то :

Плоское движение тела

4. Найдем скорость точки Плоское движение тела, лежащей посередине отрезка Плоское движение тела. Для этого запишем формулу для скорости точки Плоское движение тела относительно того же самого полюса точки Плоское движение тела:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – скорость полюса точки Плоское движение тела;

Плоское движение тела – относительная скорость точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела.

Скорость Плоское движение тела имеет то же направление, что и Плоское движение тела, а по модулю равна:

Плоское движение тела

Отложив от точки Плоское движение тела (рис.4.12) вектор Плоское движение тела, равный половине вектора Плоское движение тела , получим точку Плоское движение тела. Вектор, проведенный из точки начала построения (точки Плоское движение тела ) в точку Плоское движение тела изображает скорость Плоское движение тела точки Плоское движение тела.

Поскольку стороны Плоское движение тела и Плоское движение тела треугольника Плоское движение тела равны между собой Плоское движение тела и угол между ними Плоское движение тела, то треугольник равносторонний. Таким образом: Плоское движение тела

Решение задачи с помощью мгновенного центра скоростей

1. Определим положение мгновенного центра скоростей. Для этого с точек Плоское движение тела и Плоское движение тела (рис.4.13) проведем перпендикуляры к скоростям Плоское движение тела и Плоское движение тела. Пересечение этих перпендикуляров (точка Плоское движение тела) будет мгновенным центром скоростей.

Плоское движение тела

2. Определим мгновенные радиусы. Поскольку треугольник Плоское движение тела прямоугольный, то:

Плоское движение тела

3. Вычислим угловую скорость вращения фигуры вокруг мгновенного центра скоростей:

Плоское движение тела

4. Найдем скорости точек Плоское движение тела и Плоское движение тела:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – мгновенный радиус точки Плоское движение тела, поскольку треугольник Плоское движение тела равносторонний (Плоское движение тела угол между ними Плоское движение тела), то Плоское движение тела

Если надо было бы определить только величину скорости Плоское движение тела, то можно было бы воспользоваться теоремой о равенстве проекций двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки:

Плоское движение тела

Тогда:

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела

Задача №2

Колесо радиусом Плоское движение тела катится по горизонтальной поверхности. В момент рассматриваемого времени скорость центра Плоское движение тела и угловая скорость колеса Плоское движение тела (рис.4.14).

Определить: скорости точек Плоское движение тела, Плоское движение тела и Плоское движение тела, которые лежат на концах вертикального и горизонтального диаметров.

Плоское движение тела

Решение.

1. В качестве полюса выберем точку Плоское движение тела, направление и величина скорости которой известны.

2.Используя формулу распределения скоростей точек тела при плоском движении определяем скорости других точек колеса.

Для точки Плоское движение тела колеса:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – относительная скорость точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг полюса Плоское движение тела.

По модулю Плоское движение тела равна:

Плоское движение тела

Скорость Плоское движение тела направлена перпендикулярно Плоское движение тела в сторону угловой скорости, то есть по направлению Плоское движение тела и Плоское движение тела будут совпадать.

Из точки Плоское движение тела (рис.4.14) строим уравнение (1): откладываем вектор Плоское движение тела, а с его конца по тому же направлению Плоское движение тела.

Тогда:

Плоское движение тела

Векторное уравнение для определения скорости точки Плоское движение тела, будет иметь вид:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – скорость точки Плоское движение тела в ее вращательном движении вокруг полюса Плоское движение тела.

Эта скорость параллельна скорости Плоское движение тела, но будет направлена в противоположную сторону и по модулю равна:

Плоское движение тела

Из точки Плоское движение тела (рис.4.14) строим векторное уравнение (2): откладываем вектор Плоское движение тела, а с его конца в противоположную сторону Плоское движение тела.

Поскольку векторы коллинеарны, то:

Плоское движение тела

Таким образом, скорость точки Плоское движение тела равна Плоское движение тела и направлена в противоположную сторону от Плоское движение тела. Колесо катится со скольжением по поверхности.

Составляем векторное уравнение для определения скорости точки Плоское движение тела:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – относительная скорость точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг полюса Плоское движение тела.

По модулю Плоское движение тела равна:

Плоское движение тела

Скорость Плоское движение тела направлена перпендикулярно Плоское движение тела в сторону угловой скорости Плоское движение тела, то есть вертикально вниз.

Из точки Плоское движение тела (рис.4.14) строим уравнение (3): откладываем вектор Плоское движение тела, а с его конца вектор Плоское движение тела вертикально вниз. Соединив точку Плоское движение тела с концом вектора Плоское движение тела получим вектор Плоское движение тела скорости точки Плоское движение тела.

Поскольку векторы Плоское движение тела и Плоское движение тела между собой перпендикулярны, то вектор Плоское движение тела является гипотенузой прямоугольного треугольника:

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела

Задача №3

Колесо радиусом Плоское движение тела катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью центра колеса Плоское движение тела

Определить: скорости точек Плоское движение тела, Плоское движение телаПлоское движение тела (рис.4.15).

Плоское движение тела

Решение. Решим задачу с помощью мгновенного центра скоростей.

1. Определим положение мгновенного центра скоростей. Поскольку колесо катится по неподвижной поверхности, то мгновенный центр скоростей находится в точке Плоское движение тела прикосновения колеса к неподвижной поверхности.

2. Мгновенный радиус для точки Плоское движение тела равен Плоское движение тела. Тогда с формулы (4.4) получим угловую скорость Плоское движение тела колеса:

Плоское движение тела

Направлена угловая скорость по ходу часовой стрелки.

3. Определим величину и направление скоростей точек Плоское движение тела, Плоское движение телаПлоское движение тела.

Соединим точки Плоское движение тела, Плоское движение телаПлоское движение тела с мгновенным центром скоростей Плоское движение тела. Векторы скоростей Плоское движение тела, Плоское движение тела и Плоское движение тела будут направлены перпендикулярно мгновенным радиусам Плоское движение тела и Плоское движение тела, соответственно.

По модулю скорости будут равны:

Плоское движение тела

где

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 16.2; 16.4; 16.11; 16.12 [2]

Определение ускорений точек тела

Теорема: ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

Ускорения точек плоской фигуры

Формула распределения ускорений при плоском движении тела имеет вид:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – ускорение полюса, точки Плоское движение тела, в поступательном движении;

Плоское движение тела – относительное ускорение точки Плоское движение тела в ее вращательном движении вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела;

Плоское движение тела – ускорение любой точки Плоское движение тела тела.

Ускорение любой точки Плоское движение тела плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения точки, которую выбрано за полюс, и ускорения точки Плоское движение тела при его вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

Графическое определение ускорения точки Плоское движение тела выполняется следующим образом (рис.4.16):

Плоское движение тела

Плоское движение тела

Вычисление величины ускорения точки Плоское движение тела с помощью рассматриваемого параллелограмма затрудняет расчеты, поскольку предварительно надо определить угол между векторами Плоское движение тела и Плоское движение тела.

Учитывая, что Плоское движение телапредставляет собой относительное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг полюса Плоское движение тела, то это ускорение можно разложить на относительную тангенциальную (касательную) и относительную нормальную (центростремительную) составляющие:

Плоское движение тела

где

Плоское движение тела

Вектор Плоское движение тела направлен перпендикулярно Плоское движение тела в сторону углового ускорения, а вектор Плоское движение тела всегда направлен от точки Плоское движение тела к выбранному полюсу Плоское движение тела (рис.4.17).

Тогда уравнение (4.10) примет вид:

Плоское движение тела

Если точка Плоское движение тела, которая выбрана за полюс поступательного движения, движется не прямолинейно, то ее ускорение, в свою очередь, тоже можно разложить на тангенциальную Плоское движение тела и нормальную Плоское движение тела составляющие:

Плоское движение тела

Плоское движение тела

Порядок решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

1. Выбрать точку, которая будет полюсом при записи уравнения плоского движения (как правило выбирают точку, ускорение которой известно).

2. Записать векторное уравнение распределения ускорений.

3. Спроектировать уравнение распределения ускорений на две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых совпадает с нормальным ускорением, а вторая – с тангенциальным.

4. Определить мгновенное угловое ускорение плоской фигуры.

5. Найти искомые ускорения точек с помощью уравнения распределения ускорений.

Примеры решения задач на тему: Определение ускорений точек тела

Задача №1

Прямоугольная (рис.4.18, а) пластина Плоское движение тела движется в плоскости чертежа. Ускорение точки Плоское движение тела в данный момент времени равно Плоское движение тела и образует с прямой Плоское движение тела угол Плоское движение тела.

Ускорение точки Плоское движение тела составляет Плоское движение тела и образует угол Плоское движение тела с прямой Плоское движение тела.

Плоское движение тела

Определить мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение пластины, и ускорение точки Плоское движение тела, если Плоское движение тела

Решение.

1. Выберем за полюс точку Плоское движение тела, поскольку ее ускорение известно (задано в исходных данных).

2. Составим векторное уравнение для ускорения точки Плоское движение тела пластины:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – относительное нормальное ускорение точки Плоское движение тела в ее вращательном движении вместе с телом вокруг точки Плоское движение тела. Вектор этого ускорения направлен от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела и по модулю равен: Плоское движение тела

Плоское движение тела – относительное тангенциальное (касательное) ускорение точки Плоское движение тела в ее вращении вместе с телом вокруг точки Плоское движение тела. Направлен вектор этого ускорения перпендикулярно Плоское движение тела в сторону углового ускорения и по модулю равен Плоское движение тела.

Поскольку направление углового ускорения неизвестное, то направлением Плоское движение тела на рис. 4.18,а задаемся.

3. Спроектируем составленное уравнение (1) на оси Плоское движение тела и Плоское движение тела.

В проекции на ось Плоское движение тела получим:

Плоское движение тела

В проекции на ось Плоское движение тела:

Плоское движение тела

4. Из уравнения (2) получим величину нормального ускорения:

Плоское движение тела

Найдем мгновенную угловую скорость фигуры:

Плоское движение тела

5. Из уравнения (3) получим величину тангенциального ускорения:

Плоское движение тела

Угловое ускорение фигуры:

Плоское движение тела

Поскольку величина Плоское движение тела положительная, то направление тангенциального, а соответственно и углового ускорений выбрано верно.

6. Определим ускорение точки Плоское движение тела.

Для вычисления ускорения точки Плоское движение тела лучше за полюс выбрать точку Плоское движение тела, поскольку ускорение этой точки уже известно и задана сторона Плоское движение тела прямоугольника:

Плоское движение тела

Направление векторов Плоское движение тела и Плоское движение тела показано на рис. 4.18,б.

Спроектируем записанное уравнение на оси Плоское движение тела и Плоское движение тела:

Плоское движение тела

где

Плоское движение тела

Полное ускорение точки Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела Плоское движение тела

Задача №2

Равносторонний треугольник Плоское движение тела движется в плоскости чертежа. Ускорение вершин Плоское движение тела и  Плоское движение тела в данный момент времени равны Плоское движение тела и направлены вдоль сторон треугольника (рис.4.19).

Определить ускорение вершины Плоское движение тела.

Решение. Если известны ускорения двух точек плоской фигуры, например Плоское движение тела и  Плоское движение тела, то задачу рекомендуется решать в следующей последовательности:

1. Рассматривая первую точку Плоское движение тела как полюс поступательного движения, записать векторное уравнение распределения ускорений при плоском движении для точки Плоское движение тела и спроектировать это уравнение на прямую Плоское движение тела, соединяющую обе точки.

2. Из уравнения проекций определить величину нормального ускорения Плоское движение тела и значение  угловой скорости фигуры Плоское движение тела.

3. Спроектировать векторное уравнение распределения ускорений при плоском движении на прямую, которая перпендикулярна Плоское движение тела, и определить из уравнения проекций величину тангенциального ускорения Плоское движение тела и значение углового ускорения фигуры Плоское движение тела.

4. Если нужно, то, используя формулу распределения ускорений при плоском движении, определить ускорение любой другой точки плоской фигуры.

Решим задачу, придерживаясь приведенной последовательности.

1. Выберем за полюс точку Плоское движение тела. Для точки Плоское движение тела треугольника можно записать:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – относительное нормальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено вдоль Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела;

Плоское движение тела – относительное тангенциальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено перпендикулярно Плоское движение тела, направлением задаемся (рис.4.19).

Спроектируем записанное равенство (1) на прямую Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Плоское движение тела

2. Откуда: 

Плоское движение тела

Поскольку Плоское движение тела то:

Плоское движение тела

3. Спроектируем векторное уравнение на прямую, которая перпендикулярна Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Откуда: 

Плоское движение тела

Учитывая то, что Плоское движение тела, получим:

Плоское движение тела

Поскольку величина тангенциального ускорения Плоское движение тела положительная, то его направление на рис. 4.19 выбрано верно. Отсюда следует, что угловое ускорение направлено против хода часовой стрелки.

4. Определим ускорение точки Плоское движение тела, приняв за полюс точку Плоское движение тела:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – относительное нормальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено вдоль Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела;

Плоское движение тела – относительное тангенциальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено перпендикулярно Плоское движение тела в сторону углового ускорение фигуры Плоское движение тела.

Учитывая, что Плоское движение тела, определим модули относительного нормального и тангенциального ускорений:

Плоское движение тела

От точки Плоское движение тела (рис.4.20) отложим векторы ускорений, которые составляют правую часть уравнения (2).

Выберем систему координат Плоское движение тела, причем ось Плоское движение тела направим вдоль стороны Плоское движение тела треугольника.

Спроектируем равенство (2) на оси выбранной системы координат:

Плоское движение тела

Подставляя числовые данные, получим:

Плоское движение тела

Таким образом, ускорение вершины Плоское движение тела треугольника равно:

Плоское движение тела

Поскольку проекция ускорения Плоское движение тела на ось Плоское движение тела равна нулю и величина проекции на ось Плоское движение тела положительная, то вектор ускорения точки Плоское движение тела будет направлен вдоль стороны Плоское движение тела треугольника от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела.

Ответ: Плоское движение тела

Задача № 3

В шарнирном механизме (рис.4.21) в данный момент времени угловая скорость и угловое ускорение кривошипа Плоское движение тела равны Плоское движение тела Точка Плоское движение тела механизма движется по дуге окружности радиусом Плоское движение тела и в момент времени, что рассматривается, лежит на прямой Плоское движение тела.

Плоское движение тела

Найти ускорение точки Плоское движение тела и мгновенное угловое ускорение шатуна Плоское движение тела, если Плоское движение тела 

Решение. Скорость точки Плоское движение тела кривошипа, который вращается вокруг точки Плоское движение тела равен:

Плоское движение тела

Направлена скорость Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела в сторону угловой скорости Плоское движение тела (рис.4.21).

Точка Плоское движение тела шатуна вращается вокруг центра Плоское движение тела и ее линейная скорость направлена перпендикулярно Плоское движение тела.

Поскольку скорости точек Плоское движение тела и Плоское движение тела шатуна параллельны, то мгновенный центр скоростей шатуна лежит в бесконечности и мгновенное движение шатуна является поступательным, то есть

Плоское движение тела

Ускорение точки Плоское движение тела равно геометрической сумме нормального и тангенциального ускорений:

Плоское движение тела

где 

Плоское движение тела

Направления ускорений Плоское движение тела и Плоское движение тела показаны на рис.4.21.

Выберем точку Плоское движение тела за полюс для шатуна Плоское движение тела. Тогда для точки Плоское движение тела шатуна:

Плоское движение тела

или

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – относительное нормальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено вдоль Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение телаПлоское движение тела

Плоское движение тела – относительное тангенциальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено перпендикулярно Плоское движение тела, направлением задаемся (рис.4.22), Плоское движение тела

Свяжем с точкой Плоское движение тела прямоугольную систему координат Плоское движение тела (рис.4.22) и спроектируем уравнение (1), помня, что Плоское движение тела, на оси выбранной системы координат:

Плоское движение тела

С другой стороны, при движении точки Плоское движение тела по дуге окружности радиуса Плоское движение тела, точка приобретет ускорения Плоское движение тела:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – нормальное ускорение точки Плоское движение тела в ее вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела направлено к центру вращения;

Плоское движение тела – тангенциальное ускорение точки Плоское движение тела в ее вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено перпендикулярно Плоское движение тела, задаемся направлением (рис.4.22).

Плоское движение тела

По величине нормальное Плоское движение тела и тангенциальное Плоское движение тела ускорения соответственно равны:

Плоское движение тела

Спроектируем уравнение (4) на оси выбранной системы координат:

Плоское движение тела

Подставим в (3) все рассчитанные величины:

Плоское движение тела

Поскольку

Плоское движение тела

то

Плоское движение тела

Положительное значение величины Плоское движение тела указывает на то, что направление Плоское движение тела было выбрано верно.

Угловое ускорение тела Плоское движение тела равно:

Плоское движение тела

Угловое ускорение Плоское движение тела направлено в сторону Плоское движение тела, то есть против хода часовой стрелки.

Для определения тангенциального ускорения Плоское движение тела в уравнение (2) подставим Плоское движение тела из (5):

Плоское движение тела

Откуда

Плоское движение тела

Поскольку величина Плоское движение тела отрицательная, то направление тангенциального ускорения Плоское движение тела выбрано не в ту сторону.

Полное ускорение точки Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 18.12; 18.14; 18.22 [2].

План скоростей

План скоростей и план ускорений – физическое изображение векторных уравнений, связывающих скорости и ускорения точек механизма. Изображение механизма, выполненное с помощью условных обозначений (см. выше) называется структурной схемой механизма.

Определение скоростей различных точек движущейся плоской фигуры легко может быть выполнено графически с помощью построения плана скоростей.

План скоростей – это графическое изображение из единого центра (полюса) векторов абсолютных скоростей точек фигуры в фиксированный момент ее движения.

План скоростей может быть построен, если:

  • известная скорость одной точки плоской фигуры и направление скорости другой точки;
  • известная скорость одной точки плоской фигуры и мгновенная угловая скорость фигуры

Пусть известные скорости Плоское движение тела, Плоское движение тела, Плоское движение тела и Плоское движение тела, вершин прямоугольника Плоское движение тела (рис. 4.23, а). Для построения плана скоростей с произвольной точки Плоское движение тела (рис.4.23,б), которая называется полюсом плана скоростей, отложим направленные отрезки Плоское движение тела и Плоское движение тела, которые в выбранном масштабе будут изображать скорости Плоское движение тела, Плоское движение тела, Плоское движение тела и Плоское движение тела. Полученные точки Плоское движение тела и Плоское движение тела, которые называются вершинами плана скоростей, соединим между собой прямыми линиями.

Плоское движение тела

Установим свойства и правила построения плана скоростей.

По уравнению распределения скоростей при плоском движении фигуры, если за полюс принять точку Плоское движение тела, то для точки Плоское движение тела получим:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – вектор абсолютной скорости точки Плоское движение тела;

Плоское движение тела – вектор относительной скорости точки Плоское движение тела в относительном вращательном движении вместе с телом вокруг точки Плоское движение тела, направлена перпендикулярно Плоское движение тела и по модулю равна Плоское движение тела

С другой стороны для векторов треугольника Плоское движение тела плана скоростей (рис.4.23,б) можно записать:

Плоское движение тела

Учитывая, что векторы Плоское движение тела и Плоское движение тела изображают в выбранном масштабе абсолютные скорости Плоское движение тела и Плоское движение тела и, сравнивая уравнения (4.14) и (4.15), можно сделать вывод, что отрезок Плоское движение тела изображает в масштабе скорость Плоское движение тела.

Таким образом, отрезок Плоское движение тела плана скоростей направлен перпендикулярно стороне Плоское движение тела фигуры и по модулю равен: 

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – масштабный коэффициент, который принят при построении плана скоростей.

Аналогично:

Плоское движение тела

Отсюда мгновенная скорость вращения плоской фигуры:

Плоское движение тела

Вектор Плоское движение тела согласно уравнению (4.14) направлен на плане скоростей от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела. Если этот вектор перенести в точку Плоское движение тела фигуры, то можно определить направление вращения точки Плоское движение тела вокруг точки Плоское движение тела вместе с фигурой (в данном случае, по ходу часовой стрелки). Направление же мгновенной угловой скорости Плоское движение тела плоской фигуры будет совпадать с направлением ее вращения.

Из рассматриваемого вытекает:

Порядок решения задач на тему: План скоростей

1. Изображают на чертеже в выбранном масштабе плоскую фигуру и вектор скорости той точки, скорость которой известна.

2. Определяют направление скорости второй точки плоской фигуры.

3. Записывают векторное уравнение распределения скоростей при плоском движении, принимая за полюс точку, скорость которой известна, а за искомую ту точку, направление скорости которой известно.

4. Решают записанное векторное уравнение графически путем построения в выбранном масштабе плана скоростей.

5. Определяют мгновенную угловую скорость вращения плоской фигуры.

6. Определяют скорость других точек плоской фигуры.

Примеры решения задач на тему: План скоростей

Задача №1

Найти угловую скорость Плоское движение тела шатуна 2 и скорость точки Плоское движение тела ползуна 3 кривошипно-шатунного механизма (рис. 4.24), если : 

Плоское движение тела

Плоское движение тела

Решение.

1. Согласно исходным данным в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.25, а).

2. Учитывая, что кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки Плоское движение тела с угловой скоростью Плоское движение тела определяем скорость точки Плоское движение тела кривошипа 1 и шатуна 2:

Плоское движение тела

Направлена скорость Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела в сторону угловой скорости Плоское движение тела.

3. Следующей точкой шатуна, скорость которого можно определить, является точка Плоское движение тела, поскольку она, кроме шатуна, одновременно принадлежит и ползуну 3, что движется поступательно в горизонтальных направляющих. То есть направление этой скорости известно.

Для определения скорости точки Плоское движение тела запишем уравнение распределения скоростей при плоскопараллельном движении, принимая за полюс точку Плоское движение тела, скорость которой известна:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – относительная скорость точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 2 вокруг точки Плоское движение тела. Вектор Плоское движение тела направлен перпендикулярно ;

Плоское движение тела – абсолютная скорость точки Плоское движение тела, которая движется прямолинейно вместе с ползуном 3 в горизонтальных направляющих.

Плоское движение тела

4. Решим уравнение (1) графически (рис.4.25, б). Для этого с произвольной точки Плоское движение тела (полюса плана скоростей) отложим направленный отрезок Плоское движение тела, который в определенном масштабе будет изображать вектор скорости Плоское движение тела. Через точку Плоское движение тела этого отрезка проведем линию Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела, вдоль которой от точки Плоское движение тела будет направлен вектор скорости Плоское движение тела, длина и направление которого неизвестны.

Вектор который будет на плане скоростей изображать абсолютную скорость точки Плоское движение тела, выходит из полюса Плоское движение тела параллельно Плоское движение тела к пересечению с линией Плоское движение тела в точке Плоское движение тела.

Определим направление отрезка Плоское движение тела, который на плане скоростей изображает относительную скорость Плоское движение тела. Поскольку, согласно уравнению (1), вектор Плоское движение тела надо прибавить к вектору Плоское движение тела, который на плане скоростей изображается вектором Плоское движение тела, то вектор Плоское движение тела будет направлен от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела.

Полученный векторный треугольник Плоское движение тела представляет собой план скоростей для кривошипно-шатунного механизма в положении, что рассматривается. Стороны этого треугольника в определенном масштабе изображают: Плоское движение тела – абсолютную скорость точки Плоское движение тела; Плоское движение тела – относительную скорость точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном Плоское движение тела вокруг точки Плоское движение тела; Плоское движение тела – абсолютную скорость точки Плоское движение тела.

Перенесем из плана скоростей в точку Плоское движение тела на рис.4.25, а найденные направления скоростей Плоское движение тела и Плоское движение тела.

Поскольку скорость Плоское движение тела на плане изображается вектором Плоское движение тела, а Плоское движение тела – вектором Плоское движение тела, то угол при вершине Плоское движение тела равен углу между этими двумя векторами скоростей. Если на рис.4.25, а перенести Плоское движение тела и Плоское движение тела в точку Плоское движение тела, то угол между ними будет составлять Плоское движение тела, то есть Плоское движение тела

Аналогично, Плоское движение тела равен углу между векторами Плоское движение тела и Плоское движение тела. Учитывая, что Плоское движение тела, с рис.4.25, а получим:

Плоское движение тела

Таким образом, и угол при вершине Плоское движение тела тоже будет равняться Плоское движение тела, а треугольник Плоское движение тела будет равносторонним, то есть:

Плоское движение тела, или Плоское движение тела

5. Определяем мгновенную угловую скорость шатуна 2. Поскольку Плоское движение тела, то:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела, исходя из того, что треугольник Плоское движение тела (рис.4.25,а) равнобедренный.

Направление угловой скорости Плоское движение тела определяется вектором Плоское движение тела. В данном случае Плоское движение тела направлена против хода часовой стрелки.

Ответ: Плоское движение тела

Задача №2

Найти угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3 и абсолютные скорости точек Плоское движение тела и Плоское движение тела рычажного механизма (рис.4.26), если: Плоское движение тела Плоское движение тела Плоское движение тела

Угловая скорость кривошипа 1 – Плоское движение тела 

Плоское движение тела

Решение.

1. В соответствии с исходными данными в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.27, а).

2. Так как точка Плоское движение тела принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг шарнира Плоское движение тела с угловой скоростью Плоское движение тела, то:

Плоское движение тела

Вектор скорости Плоское движение тела направлен перпендикулярно Плоское движение тела в сторону вращения кривошипа (рис.4.27, а).

2. Шатун 2 механизма движется плоскопараллельно. Скорость точки Плоское движение тела шатуна 2 равна скорости точки Плоское движение тела кривошипа 1. Второй точкой шатуна, направление скорости которой известно, есть точка Плоское движение тела. Точка Плоское движение тела, кроме шатуна, принадлежит и коромыслу 3, которое вращается вокруг центра Плоское движение тела. Таким образом, скорость точки Плоское движение тела направлена перпендикулярно радиусу вращения Плоское движение тела.

3. Для определения скорости точки Плоское движение тела запишем формулу распределение скоростей:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – абсолютная скорость точки Плоское движение тела, которая направлена перпендикулярно Плоское движение тела;

Плоское движение тела – абсолютная скорость точки Плоское движение тела;

Плоское движение тела – относительная скорость точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 2 вокруг полюса Плоское движение тела. Направлен вектор Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела.

4. Решаем записанное уравнение графически. Для этого из произвольной точки Плоское движение тела (полюса плана скоростей) (рис.4.27,б) проводим вектор Плоское движение тела параллельно Плоское движение тела, который в определенном масштабе будет изображать скорость точки Плоское движение тела.

Плоское движение тела

Через конец вектора Плоское движение тела проводим линию Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела, вдоль которой от точки Плоское движение тела будет направлен вектор относительной скорости Плоское движение тела. Длина и направление этого вектора неизвестны.

Скорость точки Плоское движение тела направлена перпендикулярно Плоское движение тела и, по правилу, должна проходить через полюс плана скоростей. Исходя из этого, через точку Плоское движение тела проводим линию перпендикулярную коромыслу 3 к пересечению в точке Плоское движение тела с линией Плоское движение тела.

Полученный на рис. 4.27, б векторный треугольник Плоское движение тела являет собой план скоростей механизма в данном положении. В этом треугольнике вектор Плоское движение тела изображает абсолютную скорость точки Плоское движение тела, вектор Плоское движение тела направлен от полюса к точке Плоское движение тела – абсолютную скорость точки Плоское движение тела, а вектор Плоское движение тела направлен от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела – относительную скорость Плоское движение тела, поскольку, согласно уравнению (2), эта скорость прибавляется к Плоское движение тела.

Перенесем направления скоростей Плоское движение тела и Плоское движение тела в точку Плоское движение тела на рис. 4.27, а.

Поскольку Плоское движение тела, а Плоское движение тела, то угол при вершине Плоское движение тела равен углу при вершине Плоское движение тела треугольника Плоское движение тела на схеме механизма (рис. 4.28), который образован путем продолжения кривошипа Плоское движение тела и коромысла Плоское движение тела к пересечению.

Плоское движение тела

Таким образом

Плоское движение тела

Угол при вершине Плоское движение тела будет равняться углу Плоское движение тела между продолжением прямой Плоское движение тела (рис.4.28) и прямой Плоское движение тела, поскольку сторона Плоское движение тела, а прямая Плоское движение тела. Учитывая, что Плоское движение тела, то:

Плоское движение тела

Тогда угол при вершине Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Для определения сторон Плоское движение тела плана скоростей воспользуемся теоремой синусов:

Плоское движение тела

Из уравнения (1) получим:

Плоское движение тела

Плоское движение тела

Таким образом:

Плоское движение тела

5. Определим мгновенные угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3. Поскольку Плоское движение тела, то:

Плоское движение тела

Направление угловой скорости Плоское движение тела определяется направлением относительной скорости Плоское движение тела. С рис.4.27,а видно, что угловая скорость Плоское движение тела будет направлена против хода часовой стрелки.

Угловая скорость коромысла 3 равна:

Плоское движение тела

где

Плоское движение тела

Направление Плоское движение тела определяет скорость Плоское движение тела. Направлена угловая скорость коромысла 3 (рис.4.27,а) по ходу часовой стрелки.

6. Определить величины скоростей Плоское движение тела и Плоское движение тела можно непосредственно и путем измерения соответствующих отрезков на построенном плане скоростей.

Поскольку вектор Плоское движение тела на плане скоростей изображается отрезком Плоское движение тела, то масштабный коэффициент плана скоростей будет равен:

Плоское движение тела

Скорости Плоское движение тела на плане скоростей соответствует отрезок Плоское движение тела, а скорости Плоское движение телаПлоское движение тела.

Тогда:

Плоское движение тела

7. Для определения скорости точки Плоское движение тела воспользуемся теоремой подобия.

Поскольку фигура Плоское движение тела на схеме механизма и фигура Плоское движение тела на плане скоростей должны быть подобными, то можно составить пропорцию:

Плоское движение тела

В левой части пропорции (2) отношение отрезков на схеме механизма, а в правой – на плане скоростей.

Из уравнения (2) получим расстояние от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела на плане скоростей:

Плоское движение тела

Поскольку на схеме механизма отрезок Плоское движение тела перпендикулярен Плоское движение тела, то и на плане скоростей отрезок Плоское движение тела надо провести перпендикулярно Плоское движение тела, причем в ту сторону, чтобы обход точек Плоское движение тела, Плоское движение тела и Плоское движение тела на плане скоростей должен был быть против хода часовой стрелки, как и для точек Плоское движение тела, Плоское движение тела и Плоское движение тела на схеме механизма.

Вектор скорости Плоское движение тела точки Плоское движение тела на плане скоростей в масштабе будет изображаться вектором Плоское движение тела, а величина скорости точки Плоское движение тела равна:

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела Плоское движение тела Плоское движение тела Плоское движение тела

Задача №3

В состав рычажного механизма (рис.4.29) входят два кривошипа 1 и 4, и два шатуна 2 и 3. Кривошип 1 вращается с угловой скоростью Плоское движение тела, а кривошип 4 с угловой скоростью Плоское движение тела.

Плоское движение тела

Найти угловые скорости шатунов 2 и 3 и абсолютные скорости точек Плоское движение тела и Плоское движение тела, если: Плоское движение тела Плоское движение тела В данном положении механизма кривошип 1 расположен вертикально, а кривошип 2 – горизонтально.

Решение. Особенность этой задачи заключается в том, что определить сразу направление скорости точки Плоское движение тела невозможно. Но точка Плоское движение тела одновременно принадлежит к двум телам (шатуну Плоское движение тела и шатуну Плоское движение тела), и для нее можно записать два векторных уравнения распределения скоростей при плоском движении (относительно точек Плоское движение тела и Плоское движение тела), что позволяет решить задачу.

1. В соответствии с исходными данными в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.30, а).

2. Так как точка Плоское движение тела принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг шарнира Плоское движение тела с угловой скоростью Плоское движение тела, то:

Плоское движение тела

Вектор скорости Плоское движение тела направлен перпендикулярно Плоское движение тела в сторону вращения кривошипа 1 (рис.4.30, а).

Шатун 2 механизма движется плоскопараллельно. Скорость точки Плоское движение тела шатуна 2 равна скорости точки Плоское движение тела кривошипа 1.

Для определения скорости точки Плоское движение тела шатуна 2 запишем формулу распределения скоростей при плоском движении:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – абсолютная скорость точки Плоское движение тела, величина и направление которой является неизвестным;

Плоское движение тела – абсолютная скорость точки Плоское движение тела;

Плоское движение тела – относительная скорость точки Плоское движение тела при ее вращении вместе с шатуном 2 вокруг полюса Плоское движение тела. Направлен вектор Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела.

В уравнении (1) три неизвестных: величина и направление скорости точки Плоское движение тела; величина скорости Плоское движение тела. Поскольку векторное уравнение

Плоское движение тела

для плоскости позволяет определить только две неизвестных, то решить уравнение (1) невозможно.

3. Рассмотрим определение скорости точки Плоское движение тела шатуна 3 относительно точки Плоское движение тела.

Скорость точки Плоское движение тела кривошипа 4 равна:

Плоское движение тела

Вектор скорости Плоское движение тела направлен перпендикулярно Плоское движение тела в сторону вращения кривошипа 4 (рис.4.30, а).

Учитывая, что шатун 3 механизма движется плоскопараллельно, то для определения скорости точки Плоское движение тела шатуна 3 запишем формулу распределения скоростей при плоском движении:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – абсолютная скорость точки Плоское движение тела;

Плоское движение тела – относительная скорость точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вместе с шатуном 3 вокруг полюса Плоское движение тела. Направлен вектор Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела.

В записанной системе векторных уравнений (1,2) четыре неизвестных: величина и направление скорости точки Плоское движение тела; величина скорости Плоское движение тела; величина скорости Плоское движение тела. Поскольку из каждого уравнения можно определить две неизвестных, то записанная система является определенной и ее можно решить.

4. Решаем записанную систему векторных уравнений (1) и (2) графически. Для этого из произвольной точки Плоское движение тела построим сначала уравнение (1), а затем (2) (рис.4.30, б).

Согласно уравнению (1) из произвольной точки Плоское движение тела проводим вектор Плоское движение тела параллельно Плоское движение тела, который будет изображать скорость точки Плоское движение тела. Длину отрезка Плоское движение тела выберем Плоское движение тела.

Тогда масштабный коэффициент плана скоростей будет равен:

Плоское движение тела

Через конец вектора Плоское движение тела проводим линию Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела, вдоль которой от точки Плоское движение тела будет направлен вектор относительной скорости Плоское движение тела. Длина и направление этого вектора неизвестны.

Теперь построим из того же самого полюса Плоское движение тела уравнение (2). Сначала отложим вектор Плоское движение тела параллельно Плоское движение тела, который в масштабе Плоское движение тела будет изображать скорость точки Плоское движение тела. Длина этого вектора соответственно равна:

Плоское движение тела

Через конец вектора Плоское движение тела проводим линию Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела, вдоль которой от точки Плоское движение тела будет направлен вектор относительной скорости Плоское движение тела.

Точка пересечения Плоское движение тела прямых Плоское движение тела и Плоское движение тела, которая одновременно удовлетворяет векторным уравнением (1) и (2), и будет решением системы, а вектор который на плане скоростей изображает Плоское движение тела будет направлен от полюса Плоское движение тела к точке Плоское движение тела.

Полученный на рис. 4.30,б четырехугольник Плоское движение тела представляет собой план скоростей механизма в данном положении. В этом четырехугольнике: вектор Плоское движение тела определяет относительную скорость Плоское движение тела; вектор Плоское движение тела – относительную скорость Плоское движение тела; Плоское движение тела – абсолютную скорость точки Плоское движение тела.

Перенесем направления скоростей Плоское движение тела и Плоское движение тела на рис. 4.30,а и, померив длины соответствующих отрезков, определим величины этих скоростей:

Плоское движение тела

5. Определим мгновенные угловые скорости шатунов.

Поскольку Плоское движение тела, то:

Плоское движение тела

Направление угловой скорости Плоское движение тела определяется направлением относительной скорости Плоское движение тела. С рис.4.30, а видно, что Плоское движение тела будет направлена против хода часовой стрелки.

Аналогично, угловая скорость шатуна 3 равна:

Плоское движение тела

Направление Плоское движение тела определяется относительной скоростью Плоское движение тела. Направлена угловая скорость шатуна 3 по ходу часовой стрелки.

Для определения скорости точки Плоское движение тела воспользуемся теоремой подобия. Поскольку точка Плоское движение тела на схеме механизма лежит посередине шатуна Плоское движение тела, то и на плане скоростей она должна лежать посередине отрезка Плоское движение тела.

Вектор скорости Плоское движение тела точки Плоское движение тела на плане скоростей в масштабе будет изображаться вектором Плоское движение тела, а величина скорости точки Плоское движение тела равна:

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела Плоское движение тела

План ускорений

План ускорений – построенный в определенном масштабе векторный график, характеризующие ускорения всех точек и звеньев механизма. Произвольная точка ра, из которой производится построение плана ускорений, называется полюсом плана ускорений.

Рассмотрим графический способ определения ускорений точек плоской фигуры (тела) с помощью плана ускорений.

Планом ускорений плоской фигуры является геометрическое место концов векторов ускорений любых точек фигуры, что отложены из одной произвольной точки, которую называют полюсом плана ускорений.

Построение плана ускорений основано на представлении ускорения Плоское движение тела любой точки Плоское движение тела фигуры в виде суммы трех векторов:

Плоское движение тела

где  Плоское движение тела – ускорение точки фигуры, которую принято за полюс поступательного движения;

Плоское движение тела – относительное нормальное (центростремительное) ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела. Направлено это ускорение от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела и по модулю равно Плоское движение тела

Плоское движение тела – относительное тангенциальное (касательное) ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вместе с телом вокруг полюса Плоское движение тела. Направлено это ускорение перпендикулярно Плоское движение тела (отрезка Плоское движение тела ) в сторону углового ускорения Плоское движение тела тела и по модулю равно Плоское движение тела

Поскольку для определения величины Плоское движение тела надо знать угловую скорость Плоское движение тела плоской фигуры, то, если она не задана, предварительно надо построить план скоростей. Из плана скоростей определить относительную скорость вращения одной точки фигуры относительно второй и найти угловую скорость относительного вращательного движения (занятие 7).

Для того, чтобы уравнение (4.18) можно было решить, должно быть известно ускорение Плоское движение тела любой точки Плоское движение тела фигуры, которую выбирают за полюс поступательного движения.

Кроме того, должно быть известно:

Рассмотрим определение ускорений точек Плоское движение тела и Плоское движение тела треугольника Плоское движение тела (рис.4.31, а). Известными являются ускорение точки Плоское движение тела, направление ускорения точки Плоское движение тела и угловая скорость треугольника Плоское движение тела, то есть случай 1.

Для ускорения точки Плоское движение тела, если за полюс выбрать точку Плоское движение тела, будет справедливым векторное уравнение (4.18).

Решим уравнение (4.18) графически. Для этого (рис.4.31, б) из произвольной точки Плоское движение тела (полюса плана ускорений) построим вектор Плоское движение тела, который в масштабе будет изображать ускорение Плоское движение тела. С конца построенного вектора (точки Плоское движение тела ) построим вектор Плоское движение тела, который в том же масштабе будет изображать ускорение Плоское движение тела.

Величину ускорения Плоское движение тела определим из формулы:

Плоское движение тела

а направлен этот вектор вдоль Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела.

Плоское движение тела

К нормальному ускорению добавим, согласно уравнению (4.18), тангенциальное ускорение Плоское движение тела. Поскольку величина этого ускорения неизвестна, то через точку Плоское движение тела (конец вектора Плоское движение тела) проведем линию Плоское движение тела перпендикулярно Плоское движение тела, вдоль которой и будет направлен вектор Плоское движение тела.

Направление абсолютного ускорения Плоское движение тела точки Плоское движение тела известно из условия задачи. Поскольку все абсолютные ускорения точек на плане откладываются от полюса Плоское движение тела, то через полюс проведем прямую, параллельную направлению ускорения точки Плоское движение тела. Точка пересечения Плоское движение тела  линий Плоское движение тела и Плоское движение тела будет решением уравнения (4.18), а вектор Плоское движение тела будет в выбранном масштабе изображать ускорение Плоское движение тела точки Плоское движение тела.

Для определения ускорения точки Плоское движение тела воспользуемся тем, что известными уже являются ускорения двух точек фигуры Плоское движение тела и Плоское движение тела (случай 2).

Запишем векторные уравнения для ускорения точки Плоское движение тела относительно полюсов Плоское движение тела и Плоское движение тела:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела и Плоское движение тела – относительные нормальные ускорения точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении соответственно вокруг точек Плоское движение тела и Плоское движение тела;

Плоское движение тела и Плоское движение тела – относительные тангенциальные ускорения точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точек Плоское движение тела и Плоское движение тела, соответственно.

Первым решаем уравнение (4.19). Поскольку ускорение Плоское движение тела точки Плоское движение тела на плане (рис.4.31, б) уже построено, то с его конца (точки Плоское движение тела ) строим вектор Плоское движение тела, который направлен от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела и по модулю в масштабе равен Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Через конец вектора Плоское движение тела проводим прямую, перпендикулярную Плоское движение тела, вдоль которой будет направлено ускорение Плоское движение тела и на которой будет лежать точка конца вектора Плоское движение тела.

Следующим построим уравнение (4.20). Поскольку ускорение Плоское движение тела точки Плоское движение тела на плане уже построено, то с его конца, точки Плоское движение тела, строим вектор Плоское движение тела, который направлен от Плоское движение тела к Плоское движение тела и по модулю в масштабе равен Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Через конец вектора Плоское движение тела проводим прямую, перпендикулярную Плоское движение тела, вдоль которой будет направлено ускорение Плоское движение тела и на которой будет лежать точка конца вектора Плоское движение тела.

Таким образом, конец вектора Плоское движение тела будет лежать на пересечении линий, вдоль которых будут направлены тангенциальные ускорения Плоское движение тела и Плоское движение тела. Вектор Плоское движение тела на плане ускорений будет в масштабе изображать абсолютное ускорение точки Плоское движение тела.

Векторы Плоское движение телаПлоское движение тела и Плоское движение тела, выходящие из полюса плана ускорений, определяют абсолютные ускорения точек Плоское движение телаПлоское движение тела и Плоское движение тела. Отрезки же, соединяющие концы векторов абсолютных ускорений Плоское движение тела и Плоское движение тела определяют относительные ускорения одних точек при их вращении вокруг других Плоское движение тела

Кроме абсолютных и относительных ускорений точек фигуры Плоское движение тела, определяется величина ее углового ускорения Плоское движение тела:

Плоское движение тела или Плоское движение тела или Плоское движение тела

Для определения же направления углового ускорения Плоское движение тела надо перенести в точку Плоское движение тела вектор тангенциального ускорения Плоское движение тела и направление этого вектора укажет направление углового ускорения. В данном случае, угловое ускорение Плоское движение тела направлено по ходу часовой стрелки.

Треугольник Плоское движение тела, который образовался на плане ускорений будет подобно треугольнику Плоское движение тела.

Таким образом, для плана ускорений справедливо

правило подобия: фигура, которую образуют концы векторов абсолютных ускорений точек тела на плане ускорений подобная фигуре, которую одноименные точки образуют на теле.

Примеры решения задач на тему: План ускорений

Задача №1

Найти ускорение точки Плоское движение тела ползуна 3 и угловое ускорение Плоское движение тела шатуна 2 механизма, изображенном на рис.4.24. Выходные данные: Плоское движение телаПлоское движение тела,  кривошип 1 вращается равномерно Плоское движение тела

Решение. План скоростей для этого механизма был построен в задаче № 1 занятия № 7 (рис.4.25,б) и была определена угловая скорость шатуна 2 Плоское движение тела 

1.Построим схему механизма (рис. 4.32, а).

2. Сначала найдем ускорение точки Плоское движение тела механизме, поскольку она принадлежит кривошипу 1, который вращается вокруг точки Плоское движение тела с известной угловой скоростью.

Учитывая, что угловая скорость кривошипа постоянная Плоское движение тела то Плоское движение тела и полное ускорение Плоское движение тела будет равняться нормальному ускорению Плоское движение тела точки Плоское движение тела в ее вращательном движении вокруг Плоское движение тела:

Плоское движение тела

По модулю:

Плоское движение тела

Направлено ускорение Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела по линии Плоское движение тела.

3. Для определения ускорения точки Плоское движение тела запишем формулу распределения ускорений при плоском движении, приняв за полюс точку Плоское движение тела, ускорение которой уже известно:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – абсолютное ускорение точки Плоское движение тела, которое направлено по направлению движения ползуна 3 в горизонтальных направляющих;

Плоское движение тела – ускорение точки Плоское движение тела, известное по величине и по направлению;

Плоское движение тела – относительное нормальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено по шатуну Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела и по модулю равно:

Плоское движение тела

Плоское движение тела – тангенциальное ускорение точки Плоское движение тела при ее вращении вокруг точки Плоское движение тела, направлено перпендикулярно шатуну Плоское движение тела и по модулю равно:

Плоское движение тела

Поскольку направление ускорения точки Плоское движение тела известно, то уравнение (1) достаточно для определения Плоское движение тела.

4. Решим уравнение (1) графически путем построения плана ускорений.

Из произвольной точки Плоское движение тела полюса плана ускорений (рис.4.32,б) отложим вектор Плоское движение тела, который будет изображать ускорение Плоское движение тела, и который направлен параллельно линии Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела. От конца этого вектора отложим вектор Плоское движение тела, что будет изображать Плоское движение тела, и который направлен параллельно Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела. Через конец вектора Плоское движение тела, точку Плоское движение тела, проведем линию Плоское движение тела, перпендикулярную Плоское движение тела, вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение Плоское движение тела и на этой линии будет лежать точка Плоское движение тела – конец вектора абсолютного ускорения точки Плоское движение тела механизма.

Плоское движение тела

Поскольку ускорение Плоское движение тела направлено по оси Плоское движение тела движения ползуна 3, то с полюса Плоское движение тела проводим горизонтальную прямую. Точка пересечения Плоское движение тела этой прямой с линией Плоское движение тела, проведенная перпендикулярно Плоское движение тела, будет концом вектора ускорения точки Плоское движение тела, а вектор Плоское движение тела будет изображать на плане ускорений Плоское движение тела.

4. Из построенного плана ускорений определим абсолютные величины ускорений Плоское движение тела и Плоское движение тела. Для этого с полюса Плоское движение тела опустим перпендикуляр Плоское движение тела на продолжение линии Плоское движение тела. Угол Плоское движение тела равен углу Плоское движение тела и составляет Плоское движение тела.

Из векторного четырехугольника Плоское движение тела (рис. 4.32, б) вытекает:

Плоское движение тела

Спроектируем векторное уравнение (2) на прямую Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Учитывая, что Плоское движение тела изображает на плане ускорений Плоское движение тела, Плоское движение тела,  уравнение (3) можно переписать следующим образом:

Плоское движение тела

Откуда:

Плоское движение тела

Теперь спроектируем уравнение (2) на прямую Плоское движение тела:

Плоское движение тела

Учитывая, что Плоское движение тела на плане ускорений изображает Плоское движение тела, получим:

Плоское движение тела

Откуда:

Плоское движение тела

Поскольку Плоское движение тела, то:

Плоское движение тела

Из полученного результата следует, что в данный момент времени шатун механизма вращается равномерно Плоское движение тела и план ускорений будет иметь вид как на рис.4.33.

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела

Если построение плана ускорений выполнять с соблюдением масштаба, то ускорения характерных точек можно определить непосредственно измерением соответствующих отрезков на плане ускорений.

Задача №2

Найти абсолютное ускорение точек Плоское движение тела и Плоское движение тела на угловые ускорения шатуна 2 и коромысла 3 шарнирного механизма, схема которого изображена на рис.4.26, если: Плоское движение тела Плоское движение тела Плоское движение тела.  Кривошип 1 механизма вращается с постоянной угловой скоростью Плоское движение тела

Решение. План скоростей механизма для положения, что рассматривается, был построен в задаче № 2 занятие № 7 (рис.4.27, б) и определены мгновенные угловые скорости шатуна 2 и коромысла 3: Плоское движение тела

Решим задачу путем построения в масштабе плана ускорений.

1. Сначала в произвольном масштабе строим схему механизма (рис.4.34, а).

2.Определим ускорение точки Плоское движение тела кривошипа.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки Плоское движение тела с постоянной угловой скоростью Плоское движение тела (то есть Плоское движение тела и соответственно Плоское движение тела), то ускорение Плоское движение тела точки Плоское движение тела:

Плоское движение тела

По модулю Плоское движение тела равно:

Плоское движение тела

Направлено ускорение Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела.

3.Запишем векторные уравнения для определения ускорения точки Плоское движение тела.

Точка Плоское движение тела принадлежит одновременно шатуну 2 и коромыслу 3 (случай 3). У шатуна 2 известно уже определенное ускорение точки Плоское движение тела, а в коромысла 3 ускорение точки Плоское движение тела (точка Плоское движение тела неподвижная, то есть Плоское движение тела). Таким образом, можно записать формулы распределения ускорений для точки Плоское движение тела, взяв за полюс точку Плоское движение тела для шатуна 2 в первом уравнении и точку Плоское движение тела для коромысла 3 во втором уравнении:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – относительное нормальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено вдоль Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела и по модулю равно:

Плоское движение тела

Плоское движение тела – относительное тангенциальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено перпендикулярно Плоское движение тела и по модулю равно:

Плоское движение тела

Плоское движение тела – относительное нормальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено вдоль Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела и по модулю равно:

Плоское движение тела

Плоское движение тела – относительное тангенциальное ускорение точки Плоское движение тела в ее относительном вращательном движении вокруг точки Плоское движение тела, направлено перпендикулярно Плоское движение тела и по модулю равно:

Плоское движение тела

4.Решим графически систему векторных уравнений (1,2).

Сначала построим уравнение (1). Для этого из произвольной точки Плоское движение тела полюса плана ускорений (рис.4.34,б) отложим вектор Плоское движение тела, который будет изображать ускорение Плоское движение тела. Направлен вектор Плоское движение тела параллельно линии Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела. Длину этого вектора выберем Плоское движение тела. Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равняться:

Плоское движение тела

От конца вектора Плоское движение тела отложим вектор Плоское движение тела, который будет изображать Плоское движение тела. Направлен вектор Плоское движение тела параллельно Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела, а длина этого вектора равна:

Плоское движение тела

Через конец вектора Плоское движение тела проведем линию перпендикулярную Плоское движение тела, вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение Плоское движение тела и на этой линии будет лежать точка Плоское движение тела – конец вектора абсолютного ускорения точки Плоское движение тела механизма.

Следующим построим уравнение (2).

Поскольку Плоское движение тела, то точка Плоское движение тела будет лежать в полюсе Плоское движение тела плана ускорений.

От точки Плоское движение тела отложим вектор Плоское движение тела, который будет изображать Плоское движение тела. Направлен вектор Плоское движение тела параллельно Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела, а длина этого вектора соответственно равна:

Плоское движение тела

Плоское движение телаПлоское движение тела

Через конец вектора Плоское движение тела проведем линию перпендикулярную Плоское движение тела, вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение Плоское движение тела.

Решением системы (1,2) будет точка Плоское движение тела, в которой пересекаются линии, проведенные перпендикулярно Плоское движение тела и Плоское движение тела, вдоль которых направлены соответственно тангенциальные ускорения Плоское движение тела и Плоское движение тела.

Вектор абсолютного ускорения Плоское движение тела точки Плоское движение тела на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором Плоское движение тела, а величина ускорения точки Плоское движение тела равна:

Плоское движение тела

Величины тангенциальных ускорений Плоское движение тела и Плоское движение тела найдем путем измерения соответствующих отрезков на плане ускорений:

Плоское движение тела

Поскольку Плоское движение тела и Плоское движение тела, то мгновенные угловые ускорения Плоское движение тела шатуна 2 и Плоское движение тела коромысла 3 соответственно равны:

Плоское движение тела

где Плоское движение тела – длина коромысла 3, которая была определена в задаче №2 занятия №7. 

Для определения направления углового ускорения Плоское движение тела перенесем мысленно в точку Плоское движение тела относительное тангенциальное ускорение Плоское движение тела. Направление Плоское движение тела указывает на то, что Плоское движение тела будет направлено по ходу часовой стрелки.

Аналогично, для определения направления Плоское движение тела в точку Плоское движение тела перенесем Плоское движение тела. Угловое ускорение Плоское движение тела будет направлено против хода часовой стрелки.

5.Для определения ускорения точки Плоское движение тела воспользуемся теоремой подобия. Для этого сначала построим прямую Плоское движение тела на плане ускорений (рис.4.34, б). Поскольку фигура Плоское движение тела на схеме механизма и фигура Плоское движение телана плане ускорений должны быть подобными, то можно составить пропорцию:

Плоское движение тела

В левой части пропорции (3) отношение отрезков на схеме механизма, а в правой – на плане ускорений.

Из уравнения (3) получим расстояние от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела на плане ускорений:

Плоское движение тела

Поскольку на схеме механизма отрезок Плоское движение тела перпендикулярен Плоское движение тела, то и на плане ускорений отрезок Плоское движение тела надо провести перпендикулярно Плоское движение тела, причем в ту сторону, чтобы расположение точек Плоское движение тела, Плоское движение тела и Плоское движение тела на плане ускорений было против хода часовой стрелки, как и точки Плоское движение тела, Плоское движение тела и Плоское движение тела на схеме механизма.

Вектор абсолютного ускорения Плоское движение тела точки Плоское движение тела на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором Плоское движение тела, а величина ускорения точки Плоское движение тела равна:

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела Плоское движение тела

Задача №3

В состав рычажного механизма (рис.4.35) входят два кривошипа 1 и 4, и два шатуна 2 и 3. Кривошип 1 в настоящий момент времени вращается равномерно с угловой скоростью Плоское движение тела, а кривошип 4 – замедленно с угловой скоростью Плоское движение тела и угловым ускорением Плоское движение тела

Найти угловые ускорения шатунов 2 и 3 и абсолютные ускорения точек Плоское движение тела и Плоское движение тела, если: Плоское движение тела Плоское движение тела. В данном положении механизма кривошип 1 расположен вертикально, а кривошип 4 – горизонтально.

Решение. План скоростей механизма для положения, что рассматривается, был построен в задаче №3 занятия №7 (рис.4.30, б) и определены мгновенные угловые скорости шатуна 2 и шатуна 3: Плоское движение тела

1. В произвольном масштабе построим схему механизма (рис. 4.36, а).

2.Сначала определим абсолютные ускорения точек Плоское движение тела и Плоское движение тела, принадлежащие соответственно кривошипам 1 и 4, угловые скорости которых известны.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг неподвижной точки Плоское движение тела с постоянной угловой скоростью Плоское движение тела то есть Плоское движение тела, то:

Плоское движение тела

Направлено ускорение Плоское движение тела вдоль кривошипа Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела.

Кривошип 4 вращается вокруг неподвижной точки Плоское движение тела с угловой скоростью Плоское движение тела и угловым ускорением Плоское движение тела. Поскольку кривошип 4 вращается замедленно, то угловое ускорение направлено противоположно угловой скорости (рис.4.35.)

Абсолютное ускорение точки Плоское движение тела кривошипа 4 представляет собой векторную сумму нормальной и тангенциальной составляющих: 

Плоское движение тела

Нормальная составляющая ускорения точки Плоское движение тела направлена вдоль Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела и по модулю равна:

Плоское движение тела

а тангенциальная – перпендикулярно Плоское движение тела в сторону углового ускорения Плоское движение тела и по модулю равна:

Плоское движение тела

3. Запишем векторные уравнения для определения ускорения точки Плоское движение тела.

Точка Плоское движение тела принадлежит одновременно шатуну 2 и шатуну 3. У шатуна 2 известно ускорение точки Плоское движение тела, а у шатуна 3 – точки Плоское движение тела. Таким образом, можно записать формулы распределения ускорений для точки Плоское движение тела, взяв за полюс точку Плоское движение тела для шатуна 2 в первом уравнении и точку Плоское движение тела шатуна 3 во втором:

Плоское движение тела

В уравнении (2):

Плоское движение тела – направлено вдоль Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела и по модулю равно:

Плоское движение тела

Плоское движение тела – направлено перпендикулярно Плоское движение тела, величина и направление этого ускорения неизвестны.

В уравнении (3):

Плоское движение тела – направлено вдоль Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела и по модулю равно:

Плоское движение тела

Плоское движение тела – направлено перпендикулярно Плоское движение тела, величина и направление этого ускорения неизвестны.

4. Решим графически систему векторных уравнений (2,3).

Сначала построим уравнение (2). Для этого из произвольной точки Плоское движение тела полюса плана ускорений (рис.4.36,б) отложим вектор Плоское движение тела, который будет изображать ускорение Плоское движение тела. Направлен вектор Плоское движение тела параллельно линии Плоское движение тела от Плоское движение тела точки к точке Плоское движение тела. Длину этого вектора выберем Плоское движение тела. Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равняться:

Плоское движение тела

От конца вектора Плоское движение тела отложим вектор Плоское движение тела, который будет изображать Плоское движение тела. Направлен вектор Плоское движение тела параллельно Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела, а длина этого вектора равна:

Плоское движение тела

Через конец вектора Плоское движение тела проведем линию перпендикулярную Плоское движение тела, вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение Плоское движение тела и на этой линии будет лежать точка Плоское движение тела – конец вектора абсолютного ускорения точки Плоское движение тела механизма.

Следующим построим уравнение (3).

Для построения вектора Плоское движение тела от полюса Плоское движение тела согласно уравнению (1) отложим вектор Плоское движение тела, а с его конца Плоское движение тела. Эти векторы в масштабе Плоское движение тела будут изображать ускорения Плоское движение тела и Плоское движение тела и будут направлены им параллельно (рис. 4.36, а).

Длины векторов Плоское движение тела и Плоское движение тела соответственно равны:

Плоское движение тела

Абсолютное ускорение Плоское движение тела точки Плоское движение тела на плане ускорений будет изображаться вектором Плоское движение тела.

Плоское движение тела

От точки Плоское движение тела отложим вектор Плоское движение тела, который будет изображатьПлоское движение тела. Направлен вектор Плоское движение тела параллельно Плоское движение тела от точки Плоское движение тела к точке Плоское движение тела, а длина этого вектора равна:

Плоское движение тела

Через конец вектора Плоское движение тела проведем линию перпендикулярную Плоское движение тела, вдоль которой будет направлено тангенциальное ускорение Плоское движение тела.

Решением системы (2,3) будет точка Плоское движение тела, в которой пересекаются линии, проведенные перпендикулярно Плоское движение тела и Плоское движение тела, вдоль которых направлены соответственно тангенциальные ускорения Плоское движение тела и Плоское движение тела.

Вектор абсолютного ускорения Плоское движение тела точки Плоское движение тела на плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором Плоское движение тела, а величина ускорения точки Плоское движение тела равна:

Плоское движение тела

Величины тангенциальных ускорений Плоское движение тела и Плоское движение тела найдем путем измерения соответствующих отрезков на плане ускорений:

Плоское движение тела

Поскольку Плоское движение тела и Плоское движение тела, то мгновенные угловые ускорение Плоское движение тела шатуна 2 и Плоское движение тела шатуна 3 соответственно равны:

Плоское движение тела

Направления угловых ускорений Плоское движение тела и Плоское движение тела определяем путем перенесения мысленно в точку Плоское движение тела относительных тангенциальных ускорений Плоское движение тела и Плоское движение тела (аналогично задаче №2). Угловое ускорение Плоское движение тела направлено по ходу часовой стрелки, а Плоское движение тела – против хода часовой стрелки.

5. Для определения ускорения точки Плоское движение тела воспользуемся теоремой подобия. Поскольку точка Плоское движение тела на схеме механизма лежит посередине шатуна Плоское движение тела, то и на плане ускорений она должна лежать посередине отрезка Плоское движение тела. Вектор ускорения Плоское движение тела точки Плоское движение тела плане ускорений в масштабе будет изображаться вектором Плоское движение тела, а величина абсолютного ускорения точки Плоское движение тела равна:

Плоское движение тела

Ответ: Плоское движение тела Плоское движение тела

Услуги по теоретической механике:

  1. Заказать теоретическую механику
  2. Помощь по теоретической механике
  3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

  1. Статика
  2. Система сходящихся сил
  3. Момент силы
  4. Пара сил
  5. Произвольная система сил
  6. Плоская произвольная система сил
  7. Трение
  8. Расчет ферм
  9. Расчет усилий в стержнях фермы
  10. Пространственная система сил
  11. Произвольная пространственная система сил
  12. Плоская система сходящихся сил
  13. Пространственная система сходящихся сил
  14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
  15. Естественный способ задания движения точки
  16. Центр параллельных сил
  17. Параллельные силы
  18. Система произвольно расположенных сил
  19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
  20. Кинематика
  21. Кинематика твердого тела
  22. Движения твердого тела
  23. Динамика материальной точки
  24. Динамика механической системы
  25. Динамика плоского движения твердого тела
  26. Динамика относительного движения материальной точки
  27. Динамика твердого тела
  28. Кинематика простейших движений твердого тела
  29. Общее уравнение динамики
  30. Работа и мощность силы
  31. Обратная задача динамики
  32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
  33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
  34. Сферическое движение твёрдого тела
  35. Движение свободного твердого тела
  36. Сложное движение твердого тела
  37. Сложное движение точки
  38. Статика твердого тела
  39. Равновесие составной конструкции
  40. Равновесие с учетом сил трения
  41. Центр масс
  42. Колебания материальной точки
  43. Относительное движение материальной точки
  44. Статические инварианты
  45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
  46. Динамика системы материальных точек
  47. Общие теоремы динамики
  48. Теорема об изменении кинетической энергии
  49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
  50. Потенциальное силовое поле
  51. Метод кинетостатики
  52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Рассмотрим определение величины и направления скорости точки в плоскопараллельном движении фигуры:

Скорость точки в плоскопараллельном движении определяется как геометрическая сумма скорости полюса и скорости точки во вращательном движении фигуры вокруг полюса.

При движении фигуры в плоскости положение её точек можно определить соотношением (рисунок 2.14):

rM=rA+AM.

Скорости точек при плоскопараллельном движении

Рисунок 2.14

В данном случае точка A является полюсом. Скорость точки M

VM=drM/dt=(drA/dt)+dAM/dt;
VM=VA+VMA
    (2.13)

Производная от вектора, постоянного по величине и переменного по направлению, есть вращательная скорость

Вектор ω в данном случае перпендикулярен плоскости фигуры: VAM⊥ AM.

Численная величина скорости может быть найдена по теореме косинусов:

VM2=VA2+VMA2+2VA∙ VMA cosα

или проецированием векторного равенства на оси координат:

VMx=VAx+VMAx
VMy=VAy+VMAy


  • Примеры решения задач на расчет скорости
  • Теорема о скоростях точек в ППД

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату

Лекция 6

Краткое содержание: Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное и вращательное движения. Угловая скорость и угловое ускорение при плоском движении. Скорости точек тела при плоском движении. Мгновенный центр скоростей. Методы нахождения положения мгновенного центра скоростей.

Плоское движение твердого тела

Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.

Плоскости, в которых движутся отдельные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным.  Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем движения твердого тела.

При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.

Если в теле провести некоторую прямую О1О2, перпендикулярную плоскостям, в которых происходит движение точек, то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно, сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском,  движении твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.

Рекомендуемые материалы

Рис. 6-1

Сечение твердого тела будем называть плоской фигурой. Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой.

Уравнения плоского движения твердого тела

Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат  , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка АВ, скрепленного с фигурой.

Положение отрезка АВ, относительно системы координат  определяется заданием координат какой-нибудь точки этого отрезка и его направления.  Например,  координаты точки А () и направление, заданное углом .

Уравнения движения плоской фигуры относительно системы координат  имеют вид:            .

Твердое тело при плоском движении имеет три степени свободы. 

Функции

называются уравнениями плоского движения твердого тела.

Рис. 6-2

Перейдем к изучению движения отдельной точки твердого тела. Положение любой точки М плоской фигуры относительно подвижной системы отсчета , скрепленной с этой движущейся фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат  x  и  y  точки М (Рис.6-3).

Рис. 6-3

Между координатами точки М в различных системах отсчета существует связь:

,                      (6-1)

где  – длина отрезка ОМ,   – постоянный угол между ОМ и осью .  С учетом выражений                и       получаем

,               (6-2)

Формулы (6-2) являются уравнениями движения точки  М  плоской фигуры относительно координат   .  Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам этой точки относительно подвижной системы отсчета, скрепленной с движущейся фигурой.

Используя матрично-векторные обозначения уравнения (6-2) можно записать в такой форме:

,                                           (6-3)

где  А – матрица поворота на плоскости:

,          ,    ,     .

Разложение плоского движения на поступательное

и вращательное движения.

Теорема.  Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое – относительное. 

В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы , расположенной в той же плоскости, можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом.  Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат  , начало которой скреплено с точкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат  вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс.

Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким –либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса.

Рис. 6-4

Рассмотрим два любых положения плоской фигуры   1 и 2.  Выделим отрезок АB в рассматриваемой фигуре. Перевод фигуры из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1′ и вращательного из 1′ в 2 вокруг точки A’, называемой обычно полюсом (рис. 6-4а). Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую фигуре или даже лежащую в плоскости вне фигуры. На рис. 6-4б, к примеру, в качестве полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути при поступательном перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но угол поворота остался прежним!

Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении.

            Для характеристики вращательной части плоского движения твердого тела вокруг подвижной оси, проходящей через выбранный полюс, вводится понятие угловой скорости  и углового ускорения .

        и          ,  где    –  единичный вектор, направленный по оси вращения.

Если угол поворота вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, обозначить , то ,  а 

Векторы     и    можно изображать в любых точках подвижной оси вращения, т.е. они являются свободными векторами.

Скорости точек тела при плоском движении

Теорема. Скорость какой-либо точки  фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки от вращения фигуры вокруг полюса.

Рис. 6-5

Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки В фигуры, получаем  ,  где    – абсолютная скорость точки В плоской фигуры;   –  скорость  точки В  переносного поступательного движения плоской фигуры вместе, например, с точкой А этой фигуры;   – скорость  точки B в относительном движении, которым является вращение плоской фигуры вокруг точки А с угловой скоростью  w.

Так как за переносное движение выбрано поступательное движение вместе с точкой А, то у всех точек плоской фигуры одинаковые переносные скорости, совпадающие с абсолютной скоростью точки А,   т.е.     

Скорость относительного движения, в случае когда оно является вращательным движением,  равна                            

Скорость    расположена в плоскости движущейся фигуры и направлена перпендикулярно отрезку АВ,  соединяющему точку В с полюсом А.  Эту относительную скорость можно выразить в виде векторного произведения     ,  где угловая скорость   считается направленной по подвижной оси вращения, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости фигуры.  Относительную скорость    обозначим  .  Это обозначение показывает, что скорость относительного движения точки В получается от вращения плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через точку А, или просто вокруг точки А.

,         где  

Что и требовалось доказать.

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей  называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. 

Теорема.  В каждый момент времени при плоском движении фигуры в ее плоскости при    (непоступательное движение), имеется один единственный центр скоростей. 

Для доказательства достаточно указать способ нахождения мгновенного центра скоростей, если известны скорость какой-либо точки О плоской фигуры и ее угловая скорость в рассматриваемый момент времени.

Рис. 6-6

,   ,    ,   следовательно

.

Мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре к скорости  ,  проведенном из точки О, на расстоянии  .

Мгновенный центр скоростей это единственная точка плоской фигуры для данного момента времени. В другой момент времени мгновенным центром скоростей будет уже другая точка.

Возьмем точку Р за полюс  

Так как     ,  то   .  Аналогичный результат получается для любой другой точки плоской фигуры.

                      .

                      .

Скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей.

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

Методы нахождения положения МЦС

1). Известен вектор скорости  какой -либо точки A плоской фигуры и ее угловая скорость .

МЦС (точка P) находится на перпендикуляре к вектору , проведенном через точку A.  Расстояние  и откладывается в сторону, которую указывает вектор  после поворота на угол  в направлении дуговой стрелки . При этом получается, что скорость

      ()

2). Известны не параллельные друг другу скорости  и  двух точек плоской фигуры.

МЦС (точка P) находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через точки A и B к скоростям этих точек. Угловая скорость плоской фигуры равна .  Отметим, что для нахождения только положения МЦС достаточно знать лишь направления скоростей двух точек .

3). Известны параллельные друг другу скорости  и  точек A и B плоской фигуры, перпендикулярные отрезку AB, направленные в одну сторону и не равные по модулю  ().

МЦС (точка P) находится в точке пересечения продолжения отрезка AB и прямой, проведенной через концы векторов  и . При заданной длине отрезка AB расстояния от МЦС до точек A и B определяются из пропорции  .   Угловая скорость фигуры . Случай равенства ()  см. п. 6.

Методы нахождения положения МЦС

4). Известны параллельные друг другу скорости  и  точек A и B плоской фигуры, перпендикулярные отрезку AB, направленные в разные стороны.

МЦС (точка P) находится в точке пересечения отрезка AB и прямой, проведенной через концы векторов  и . При заданной длине отрезка AB расстояния от МЦС до точек A и B определяются из пропорции: . Угловая скорость фигуры .

5). Плоская фигура катится без скольжения по неподвижной кривой.

МЦС (точка P) находится в точке соприкосновения фигуры с кривой, так как скорости точек фигуры и неподвижной кривой, находящиеся в соприкосновении, равны между собой и, следовательно, равны нулю. Если известна скорость какой-либо точки A фигуры, то угловая скорость .

В лекции “Учет основных средств” также много полезной информации.

6). Известно, что скорости  и  двух точек плоской фигуры параллельны друг другу и не перпендикулярны отрезку AB.

МЦС в данный момент времени не существует или, другими словами, находится в бесконечности. Угловая скорость плоской фигуры в данный момент равна нулю. Движение фигуры называется мгновенно-поступательным. Скорости всех точек фигуры равны . Аналогичный результат показан в п. 4.

Добавить комментарий