Как найти скорость точки в начале координат

Определение скорости при координатном способе

задания
движения

Воспользуемся
уравнением (4)
и возьмем от него производную по времени

.
(8)

В
(8)
при единичных векторах стоят проекции
вектора скорости на координатные оси

.
(9)

Проекции
скорости на координатные оси определяются
как первые производные по времени от
соответствующих координат.

Зная
проекции, можно найти модуль вектора и
его направление

,
(10)

.
(11)

Определение
скорости при естественном способе

задания
движения

Пусть
дана траектория материальной точки и
закон изменения криволинейной координаты.
Предположим, при t₁
точка имела
координатуs₁,
а при t₂
– координату s₂.
За время
координата
получила приращение
,
тогда средняя скорость точки

.

Для
нахождения скорости в заданный момент
времени перейдем к пределу

,

.
(12)

Вектор
скорости точки при естественном способе
задания движения определяется как
первая производная по времени от
криволинейной координаты.

Ускорение точки

Под
ускорением материальной точки понимают
векторную величину, характеризующую
быстроту изменения вектора скорости
точки по величине и направлению с
течением времени.

Ускорение точки при векторном способе
задания движения

Рассмотрим
точку в два момента времени t₁
()
иt₂
(),
тогда– приращение времени,– приращение скорости.

Вектор
всегда
лежит в плоскости движения и направлен
в сторону вогнутости траектории.

Подсредним
ускорением точки
за время t
понимают
величину

.
(13)

Для
нахождения ускорения в заданный момент
времени перейдем к пределу

,

.
(14)

Ускорение
точки в данный момент времени определяется
как вторая производная по времени от
радиус-вектора точки или первая
производная от вектора скорости по
времени.

Вектор
ускорения расположен в соприкасающейся
плоскости и направлен в сторону вогнутости
траектории.

Ускорение точки при координатном способе задания движения

Воспользуемся
уравнением связи векторного и координатного
способов задания движения

.

И возьмем от него
вторую производную

,

.
(15)

В
уравнении (15)
при единичных векторах стоят проекции
вектора ускорения на координатные оси

.
(16)

Проекции
ускорения на координатные оси определяются
как первые производные по времени от
проекций скорости или как вторые
производные от соответствующих координат
по времени.

Модуль и направление
вектора ускорения можно найти по
следующим выражениям

,
(17)

,
,.
(18)

Ускорение точки при естественном способе задания движения

Пусть
точка движется по криволинейной
траектории. Рассмотрим два ее положения
в моменты времениt
(s,
M,
v)
и t₁
(s₁,
M₁,
v₁).

Ускорение
при этом определяется через его проекции
на оси естественной системы координат,
движущейся вместе с точкой M.
Оси при этом направлены следующим
образом:

M
– касательная, направлена вдоль касательной
к траектории, в сторону положительного
отсчета расстояния,

Mn
– главная нормаль, направлена по нормали,
лежащей в соприкасающейся плоскости,
и направлена в сторону вогнутости
траектории,

Mb
– бинормаль, перпендикулярна плоскости
Mn
и образует с первыми осями правую тройку.

Так
как вектор ускорения лежит в соприкасающейся
плоскости, то a_b=0.
Найдем проекции ускорения на другие
оси.

.
(19)

Спроектируем
(19)
на координатные оси

,

(20)

.
(21)

Проведем
через точку M₁
оси параллельные осям в точке M
и найдем проекции скорости:

M:

,

Mn:
,

(22)

где – так называемый угол смежности.

Подставляем
(22)
в (20)

.

При
t0
0,
cos1,
тогда

.
(23)

Касательное
ускорение точки определяется первой
производной по времени от скорости или
второй производной по времени от
криволинейной координаты.

Касательное
ускорение характеризует изменение
вектора скорости по величине.

Подставим
(22)
в (21)

.

Умножим
числитель и знаменатель на s
чтобы получить известные пределы

,
(24)

где(первый
замечательный предел),

,,

,
где 
– радиус кривизны траектории.

Подставляя
вычисленные пределы в (24),
получим

.

(25)

Нормальное
ускорение точки определяется отношением
квадрата скорости к радиусу кривизны
траектории в данной точке.

Нормальное
ускорение характеризует изменение
вектора скорости по направлению и всегда
направлено в сторону вогнутости
траектории.

Окончательно
получим проекции ускорения материальной
точки на оси естественной системы
координат и модуль вектора

,
(26)

.
(27)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #

  02.04.2015390.66 Кб2316.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Определение скорости
2. Определение ускорения
3. Пример с решением №1.
4. Пример с решением №2.
5. Определение траектории, скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения
6. Определение траектории, скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения
7. Пример с решением №3.
8. Пример с решением №4.
9. Пример с решением №4.
10. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения

Определение скорости

Вспомним основную формулу кинематики для определения скорости

Здесь – вектор перемещения точки, – время перемещения (рис. 86). Обозначим перемещение вдоль траектории за этот же промежуток времени и представим правую часть этого равенства в виде произведения двух пределов:

Первый из этих пределов равен производной и может быть вычислен, поскольку закон движения по траектории при естественном способе описания движения задается. Далее, простые рассуждения показывают, что второй предел равен по модулю единице (как предел отношения длины хорды к длине дуги) и направлен по касательной в сторону возрастания Следовательно, он определяет орт касательной для которого попутно получаем формулу

Таким образом, при естественном способе задания движения скорость точки определяется формулой

Формулу можно рассматривать как результат разложения вектора на составляющие по естественному координатному базису. Величина равна проекции скорости на направление касательной, а проекции скорости на главную нормаль и бинормаль равны нулю. В общем случае где – модуль скорости. Если точка движется в положительном направлении, то и можно записать

Определение ускорения

Будем исходить из общей формулы для ускорения

Пусть, для определенности, точка движется в положительную сторону отсчета дуг; тогда вектор скорости выражается формулой

где – модуль скорости, – орт касательной. В общем случае криволинейного движения переменны оба сомножителя в этой формуле; последний – вследствие изменения направления касательной. Поэтому орт имеет производную по времени, которая выражается формулой

где и – соответственно орт главной нормали и радиус кривизны траектории в рассматриваемом положении движущейся точки.*

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Дифференцируя по времени выражение для скорости, получим

Формула выражает ускорение точки в виде суммы составляющих по осям естественной системы координат. Из нее следует, что ускорение имеет на эти оси проекции

Первая из них есть проекция ускорения на касательную и называется касательным ускорением. Вектор касательного ускорения

направлен в сторону скорости, если движение ускоренное и против скорости, если движение замедленное

Проекция ускорения на главную нормаль называется нормальным ускорением. Модуль и вектор нормального ускорения выражаются формулами

Так как величина положительна, нормальное ускорение всегда направлено в сторону орта то есть по главной нормали в сторону вогнутости траектории.

Проекция ускорения на бинормаль (аь) равна нулю, что означает, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости. Таким образом, ускорение при естественном способе задания движения точки определяется как сумма касательного и нормального ускорений:

Это правило дополнительно проиллюстрировано на рис. 87, где случай а) соответствует ускоренному движению точки, а случай б) – замедленному движению. Модуль ускорения в обоих случаях определяется по теореме Пифагора:

Если точка движется прямолинейно, то нормальное ускорение не и ускорение состоит только из касательного:

При равномерном криволинейном движении наоборот, отсутствует касательное ускорение и полное ускорение точки равно ее нормальному ускорению:

Пример с решением №1.

Точка движется по окружности радиуса согласно закону Вычислить и построить скорость и ускорение точки в момент когда она пройдет половину окружности.

В момент дуговая координата точки равна половине длины окружности: откуда находим

Определяем скорость точки в момент ив расчетный момент

Определяем касательное ускорение

Видно, что оно не изменяется с течением времени – точка движется равноускоренно. Это же значение касательное ускорение имеет и в расчетный момент:

Определяем нормальное ускорение

Определяем полное ускорение в момент

На рис. 88 показаны положения точки в текущий и расчетный моменты времени, а также векторы скорости и ускорений точки в момент

В заключение заметим, что от одногоспособа задания движения можно перейти к другим способам. Например, при определении скорости в случае координатного способа описания движения был предварительно сделан переход к векторному способу в виде

• Чтобы перейти от координатного способа к естественному, прежде всего требуется найти уравнение траектории. Как было показано выше, это делается исключением из уравнений движения времени Закон движения по траектории можно получить на основе равенств

и

определяющих скорость точки при естественном и координатном способах задания движения. Приравняв правые части равенств, разрешая полученное соотношение относительно и интегрируя, находим

Это выражение определяет закон движения по траектории в общем

виде.

Если отсчет дуговой координаты вести от начального положения точки в сторону движения, то радикал положителен, и закон движения примет вид

Различают векторный, координатный и естественный (натуральный) способы задания движения.

Векторный способ задания движения состоит в следующем.

Пусть – движущаяся точка, – тело отсчета (рис. 72). Выберем в теле произвольную точку – точку отсчета, построим вектор Этот вектор, начало которого совпадает с точкой отсчета , а конец – с точкой называется радиусом-вектором точки При движении точки радиус-вектор непрерывно изменяется во времени, поэтому существует некоторая вектор-функция времени

Если эта функция известна, то для каждого момента времени может быть построен вектор и тем самым найдено положение движущейся точки в этот момент.

Функция (1) называется векторным законом (векторным уравнением) движения точки

При координатном способе задания движения с телом отсчета связывается какая-либо, например декартова прямоугольная, система координат (рис. 73). Движение точки будет задано, если ее координаты будут известны как функции времени

Зависимости (2), выражающие текущие координаты движущейся точки в виде функций времени, называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Если точка движется, оставаясь все время в одной плоскости, то оси можно расположить в той же плоскости и ограничиться двумя уравнениями движения

При движении в плоскости часто удобно пользоваться полярной системой координат, задавая положение точки ее полярным углом и полярным радиусом (рис. 74). В этом случае уравнения движения точки имеют вид

Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией точки. Естественный способ задания движения состоит в задании траектории точки и закона движения по траектории.

Пусть траектория точки суть заданная кривая, – положение точки на ней (рис. 75). Будем рассматривать траекторию как криволинейную координатную ось, для чего выберем на ней начало отсчета дуг (точку ) и направление отсчета дуг (на рис. 75 направление отсчета дуг выбрано вправо от точки ). Длина дуги взятая со знаком плюс или минус в зависимости от положения точки относительно начала отсчета дуг вполне определяет положение точки в пространстве и называется дуговой координатой точки. Движение точки будет задано, если ее дуговая координата будет выражена в виде функции времени

Зависимость (4) называется законом движения точки по траектории или, что то же самое, законом движения точки в естественной форме.

Пример с решением №2.

Написать уравнения движения точки, движущейся равномерно по окружности радиуса и делающей оборотов за одну минуту.

Начнем с естественного способа описания движения. Изображаем траекторию- окружность радиуса с центром в точке (рис. 76). Начало отсчета дуг совместим с положением точки в момент начала наблюдения, то есть при за положительное направление отсчета выберем направление в сторону движения точки.

Пусть – положение движущейся точки в текущий момент времени Для центрального угла который будем отсчитывать в сторону движения точки, согласно условию, можем написать

Здесь измеряется в радианах, – в секундах.

Длина дуги радиус окружности и центральный угол связаны геометрическим соотношением

Подставляя сюда найденное значение получаем

Это и есть естественной форме.

Для описания движения в координатной форме прежде всего следует выбрать подходящую систему координат, например, изображенную на рис. 77. Далее строят координатные отрезки и определяют соответствующие переменные расстояния. В нашем случае будем иметь:

Подставляя сюда угол как функцию времени, получаем уравнения движения в координатной форме

Пусть – координатные орты. Тогда для радиуса-вектора точки будем иметь:

Полученное равенство, выражающее радиус-вектор точки как функцию времени, служит векторным уравнением ее движения.

Определение траектории, скорости и ускорения точки при векторном способе задания движения

Пусть движение точки задано векторным способом, то есть задан радиус-вектор точки как функция времени

Линия, описываемая концом переменного вектора, начало которого находится в заданной неподвижной точке, называется годографом этого вектора. Отсюда и из определения траектории следует правило: траектория точки есть годограф ее радиуса-вектора.

Пусть в некоторый момент точка занимает положение и имеет радиус-вектор а в момент – положение и радиус-вектор (рис. 78).

Вектор соединяющий последовательные положения точки в указанные моменты, называется вектором перемещения точки за время Вектор перемещения следующим образом выражается через значения вектор-функции (5):

Если вектор перемещения поделить на величину промежутка получим вектор средней скорости точки за время

Будем теперь уменьшать промежуток устремляя его к нулю. Предел, к которому стремится вектор средней скорости при неограниченном уменьшении промежутка называется скоростью точки в момент или просто скоростью точки В соответствии со сказанным для скорости получаем:

Итак, вектор скорости точки равен производной по времени от ее радиуса-вектора:

Поскольку секущая в пределе (при ) переходит в касательную приходим к выводу, что вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

В общем случае скорость точки также переменна, и можно интересоваться быстротой изменения скорости. Скорость изменения скорости называется ускорением точки.

Для определения ускорения выберем какую-либо неподвижную точку и будем откладывать из нее вектор скорости в различные моменты времени. Линия, которую опишет конец вектора скорости, представляет собой годограф Годограф и скорости (рис. 79). Изменение вектора скорости выражается в том, что геометрическая точка движется по годографу скорости, а скорость этого движения служит, по определению, ускорением точки

Применив для переменного вектора все те рассуждения, которые были использованы выше для переменного вектора для ускорения получаем:

или, при обозначении производной по времени точкой:

Формулы (6) – (8) являются наиболее общими формулами кинематики для определения скорости и ускорения.

Определение траектории, скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Пусть движение точки задано уравнениями движения в декартовых координатах:

Для каждого момента времени по этим уравнениям можно определить координаты точки в этот момент и указать ее положение в пространстве. Придавая всевозможные значения, получим множество положений движущейся точки в пространстве – ее траекторию. Следовательно, уравнения движения одновременно являются уравнениями траектории точки в параметрической форме, причем параметром служит время . Чтобы получить уравнение траектории в виде зависимости между координатами точки, достаточно из уравнений движения исключить время.

Пример с решением №3.

Движение точки задано уравнениями ( – в сантиметрах, – в секундах). Найти уравнение траектории точки в координатной форме.

Для определения уравнения траектории из уравнений движения исключаем время Для этого из первого уравнения выражаем

и подставляем это значение во второе уравнение, преобразованное к функциям одинарного угла:

Опуская промежуточные выражения, получаем уравнение траектории

Уравнение определяет параболу, расположенную симметрично относительно оси у, с вершиной в точке Траекторией служит кусок этой параболы, заключенный между точками с координатами и (рис. 80).

Пример с решением №4.

Определить уравнение траектории, если точка движется согласно уравнениям (– в сантиметрах, – в секундах):

Для исключения времени из уравнений движения выразим из этих уравнений и

Возводя эти равенства в квадрат и почленно складывая, получаем уравнение траектории в координатной форме:

Это уравнение эллипса с центром в точке и с полуосями (рис. 81). Траекторией служит вся кривая эллипса.

Займемся теперь определением скорости и ускорения.

Зная уравнения движения точки, можно выразить в функции времени радиус-вектор точки (рис. 82):

Теперь находим скорость, дифференцируя радиус-вектор по времени:

При дифференцировании учитывается, что оси неподвижны, поэтому координатные орты являются постоянными векторами, и их производные равны нулю.

Полученная формула определяет скорость точки в виде разложения

по координатному базису Так как коэффициенты при ортах равны проекциям скорости на соответствующие координатные оси, отсюда следуют формулы

По известным проекциям находим модуль и направляющие косинусы скорости:

Аналогичным образом определяется и ускорение. Дифференцируя выражение для вектора скорости, получаем:

Откуда для проекций ускорения следуют формулы

Проекции ускорения можно выразить также через проекции скорости:

Модуль и направляющие косинусы ускорения выражаются равенствами

Пример с решением №4.

Точка движется в плоскости ху согласно уравнениям

где – заданы в сантиметрах, время – в секундах, а величины – заданные постоянные. Найти скорость и ускорение точки в момент, когда она впервые после начала движения пересекает ось

Скорость и ускорение находим, вычисляя их проекции на координатные оси. Сначала это сделаем для произвольного момента

Когда точка находится на оси , выполняется равенство Подставляя это значение во второе уравнение движения и решая полученное уравнение относительно находим

Момент соответствует началу движения, а первое после начала движения пересечение оси происходит при Подставляя это значение в предыдущие формулы, найдем

Таким образом, в расчетный момент времени скорость ускорение имеют модули

и направляющие косинусы

На рис. 83 показана геометрическая картина движения. Траекторией точки служит окружность радиуса с центром в точке Подставляя в уравнения движения находим, что в начальный момент точка находится в положении Придавая времени малое положительное значение и определяя знаки координат получаем из чего следует, что точка движется из положения против хода часовой стрелки. В расчетный момент она находится в начале координат, имея скорость и ускорение

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения

Естественные координатные оси и их орты

Пусть заданы траектория точки, начало и направление отсчета дуг. Выберем на траектории произвольным образом точку и проведем касательную . Плоскость, проходящая через точку перпендикулярно к касательной называется нормальной плоскостью траектории в точке (рис. 84).

Придадим дуговой координате приращение и отметим точку с координатой Пусть – касательная к траектории в точке В общем случае траектория точки – пространственная кривая, поэтому касательные и суть скрещивающиеся прямые.

Проведем прямую параллельную касательной Прямые и образуют плоскость Предельное положение плоскости когда точка ‘ неограниченно приближается к точке называется соприкасающейся плоскостью траектории в точке Соприкасающаяся плоскость представляет собой ту из бесконечного множества плоскостей, проходящих через касательную которая наиболее тесно примыкает к траектории в окрестности точки В случае плоской траектории соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью траектории.

Нормальная и соприкасающаяся плоскости взаимно перпендикулярны. Проведем через точку третью плоскость, перпендикулярную к обеим указанным плоскостям – так называемую спрямляющую плоскость. В итоге получаем прямой трехгранный угол с вершиной в точке называемый естественным трехгранником траектории в этой точке. Ребрами естественного трехгранника являются касательная главная нормаль – линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей и бинормаль (вторая нормаль) – линия пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей (рис. 85).

Касательная, главная нормаль и бинормаль взаимно перпендикулярны и после установления на них направлений образуют естественную систему координатных осей. Положительное направление касательной выбирается в сторону возрастания дуговой координаты и задается ортом касательной Положительное направление главной нормали задается ортом который направляют от точки в сторону вогнутости траектории. Орт бинормали выбирают согласно правилу чем обеспечивается правосторонность естественного координатного базиса (см. рис. 85).

Координатный способ задания движения точки

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
;
;
Модули скорости и ускорения:
;
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .

Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:
.
Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .

Нормальное ускорение:
.
Вектор нормального ускорения:
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории):
.
Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
, см;
, см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
; .
Применим формулу:
.
;
;
;
.

Итак, мы получили уравнение траектории:
.
Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку
, то
; или
.
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты :
;
;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
,
расположенная при
и .

Строим параболу по точкам.

0	6
± 3	5,625
± 6	4,5
± 9	2,625
± 12	0

Определяем положение точки в момент времени .
;
.

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости.
.
Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии:
. Тогда
;
.

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени :
;
.
Модуль скорости:
.

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки.
;
.

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени :
;
.
Модуль ускорения:
.

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости :
.
Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение:
.
Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

Траекторией движения точки является дуга параболы
; .
Скорость точки: .
Ускорение точки: ; ; .
Радиус кривизны траектории: .

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
; ;
вектор и модуль полного ускорения:
; ;
тангенциальное и нормальное ускорения:
; ;
радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального ускорения:

.
Вектор нормального ускорения:

.
Единичный вектор в направлении главной нормали:
.
Координаты центра кривизны траектории:

.

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе
; .
Единичный вектор в направлении бинормали:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-02-2016 Изменено: 29-01-2020

Как найти скорость из уравнения координаты

1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Типовая задача «Уравнение координаты (нахождение неизвестной величины)»

Задача № 1. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.

Типовая задача «Уравнение координаты. Движение двух тел»

Задача № 2. Движение двух тел задано уравнениями x₁ = 20 – 8t и х₂ = –16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.

Типовая задача «График координаты»

Задача № 3. Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите: а) начальную координату тела; б) проекцию скорости тела; в) направление движения тела (по оси х или против оси х); г) запишите уравнение координаты.

Типовая задача «График координаты. Движение нескольких тел»

Задача № 4. На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.

ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ

Задача № 5. На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 6. По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t) . Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с , скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 7. ОГЭ Расстояние ( S ) между городами М и К = 250 км . Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч , из города К — со скоростью ν₂ = 40 км/ч . Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.

Задача № 8. ЕГЭ Скорость течения реки v_p = 1 м/с , скорость лодки относительно воды v₀ = 2 м/с . Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м ?

Алгоритм решения ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение.

Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.

Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.

При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.

В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

Формула скорости

Определение и формула скорости

Мгновенной скоростью (или чаще просто скоростью) материальной точки называется физическая величина равная первой производной от радиус–вектора $bar$ точки по времени (t). Обозначают скорость обычно буквой v. Это векторная величина. Математически определение вектора мгновенной скорости записывается как:

Скорость имеет направление указывающее направление движения материальной точки и лежит на касательной к траектории ее движения. Модуль скорости можно определить как первую производную от длины пути (s) по времени:

Скорость характеризует быстроту перемещения в направлении движения точки по отношениюк рассматриваемой системе координат.

Скорость в разных системах координат

Проекции скорости на оси декартовой системы координат запишутся как:

Следовательно, вектор скоростив декартовых координатах можно представить:

где $bar, bar, bar$ единичные орты. При этом модуль вектора скорости находят при помощи формулы:

В цилиндрических координатах модуль скорости вычисляют при помощи формулы:

в сферической системе координат:

Частные случаи формул для вычисления скорости

Если модуль скорости не изменяется во времени, то такое движение называют равномерным (v=const). При равномерном движении скорость можно вычислить, применяя формулу:

где s– длина пути, t – время, за которое материальная точка преодолела путь s.

При ускоренном движении скорость можно найти как:

Если движение является равнопеременным, то применяется следующая формула для вычисления скорости:

где $bar_0$ – начальная скорость движения, $bar = const$ .

Единицы измерения скорости

Основной единицей измерения скорости в системе СИ является: [v]=м/с 2

Примеры решения задач

Задание. Движение материальной точки А задано уравнением: $x=2 t^<2>-4 t^<3>$ . Точка начала свое движение при t₀=0 c.Как будет двигаться рассматриваемая точка по отношению к оси X в момент времени t=0,5 с.

Решение. Найдем уравнение, которое будет задавать скорость рассматриваемой материальной точки, для этого от функции x=x(t), которая задана в условиях задачи, возьмем первую производную по времени, получим:

Для определения направления движения подставим в полученную нами функцию для скорости v=v(t) в (1.1) указанный в условии момент времении сравним результат с нулем:

Так как мы получили, что скорость в указанный момент времени отрицательна, следовательно, материальная точка движется против оси X.

Ответ. Против оси X.

Задание. Скорость материальной точки является функцией от времени вида:

где скорость в м/с, время в c. Какова координата точки в момент времени равный 10 с, в какой момент времени точка будет на расстоянии 10 м от начала координат? Считайте, что при t=0 c точка началадвижение из начала координат по оси X.

Решение. Точка движется по оси X, cвязь координаты x и скорости движения определена формулой:

Для ответа на первый вопрос задачи подставим в выражение (2.1) время t=10 c, имеем:

Для того чтобы определить в какой момент времени точка будет находиться на расстоянии 10 м от начала координат приравняем выражение (2.1) к 10 и решим, полученное квадратное уравнение:

$$ begin 10 t-t^<2>=10(2.2) \ t_<1>=5+sqrt <15>approx 8,8(c) ; t_<2>=5-sqrt <15>approx 1,13(c) end $$

Рассмотрим второй вариант нахождения точки на расстоянии 10 м от начала координат, когда x=-10. Решим квадратное уравнение:

При решении уравнения (2.3) нам подойдет корень равный:

Ответ. 1) $x=0 mathrm<

m>$ 2) $t_<1>=8,8 mathrm, t_<2>=1,13 c, t_<3>=11 c$

[spoiler title=”источники:”]

ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение

http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_21_33_skorost.php

[/spoiler]

Содержание:

Координатный способ определения движения точки:

При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:

Задание движения точки в прямоугольных координатах

Как известно из курса аналитической геометрии, положение точки M в пространстве может быть определено положением ее проекций P, Q и R на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 84), называемые осями координат.

Рис. 84

Положение точки P на оси Ox вполне определяют абсциссой х. Совершенно так же положение точек Q и R определяют ординатой у и аппликатой z.

Если точка M движется относительно осей xOyz, то проекции Р, Q и R перемещаются по осям и координаты точки M изменяются.

Для определения движения точки M нужно знать ее координаты для каждого мгновения, выразить их в функциях времени.

x = x(t),    (58′)
y = y(t),    (58″)
z = z(t), (58″‘)

Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежуточные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в пространстве в каждое мгновение только одно положение.

Соотношения (58) называют кинематическими уравнениями движения точки в прямоугольных координатах, а способ определения движения точки посредством соотношений (58) называют координатным способом определения движения точки. Это название неточно, потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, существует множество других координатных систем.

Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат xОy: x=x(t), y=y(t).

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на плоскости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением

x = x(t).

Если движение точки задано в координатной форме, то для определения ее траектории надо из уравнений движения исключить время

Уравнение траектории

Можно определить траекторию точки, если в уравнениях движения (58) давать аргументу t различные значения и, вычислив соответствующие значения функций, отмечать положения точки по ее координатам. Следовательно. кинематические уравнения движения точки (58) можно
рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время — как независимый переменный параметр.

Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в геометрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время t. Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58′) и (58″), мы получим соотношение, связывающее х и у:

f(x, у) = 0.    (59)

Это уравнение плоской кривой—траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, получим два уравнения между тремя координатами:
    (59^/)

выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59′) выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки подставить в известную из курса высшей математики формулу, выражающую абсолютную величину элемента дуги:

    (60)

Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.

Задача №1

По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:

1)    х = 5 cos 2t,       y = 3+5sin 2t;
2)    x=21,2 sin² t,    у = 21,2 cos 2t.

В обоих примерах за единицу длины принят сантиметр, за единицу времени — секунда.

Решение. Чтобы определить уравнение траектории по уравнениям движения, перенесем во втором из заданных уравнений 3 влево, возведем оба уравнения в квадрат и, сложив, получим

x² + (y-3)² = 25.

Это уравнение окружности с центром в точке: x = 0, y = +3.

Чтобы получить закон движения, продифференцируем заданные уравнения: dx=—10 sin 2t dt, dy = 10 cos 2t dt.

Возводя в квадрат, складывая, извлекая квадратный корень и интегрируя, находим закон движения по траектории:
s=10t + C, где C = s₀.

2) Исключим время из уравнений движения во втором примере:

x+y = 21,2.

Это уравнение первого порядка относительно х и у, следовательно, траектория-прямая линия. Прямая отсекает на положительных направлениях осей координат отрезки по 21,2 см. Однако не вся прямая служит траекторией точки: из заданных уравнений видно, что х и у должны быть всегда положительны и не могут быть больше 21,2 см каждый, поэтому траекторией точки является лишь отрезок прямой x+y = 21,2, лежащей в первом квадранте (рис. 85).

Рис. 85

На этом примере мы видим, что траекторией точки иногда является лишь часть линии, выражаемой уравнением траектории.

Продифференцируем уравнения движения:

dx = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt,
dy = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt.

Теперь no формуле (60) нетрудно найти элемент дуги траектории:

ля получения уравнения (51) движения точки по траектории остается лишь проинтегрировать найденное выражение. Интегрируем и подставляем начальные условия (при t= 0, s₀ = 0):

Ответ. Уравнения траекторий x²+(y-3)²= 25 и x+y=21,2; уравнения движения по траектории s=10t+s₀ и s = 30 sin ²t.

Задача №2

Движение точки задано уравнениями:
х = x’ cos φ (t)—y’ sin φ (t),
y = x’ sin φ (t) + y’ cos φ (t),

где х’ и у’ — некоторые постоянные величины, a φ(t)— любая функция времени. Определить траекторию точки.

Решение. Возведем каждое из уравнений в квадрат, а затем сложим их:

x² + y² = χ^‘2 + y^‘2.

По условию, х’ и у’ — постоянные. Обозначая сумму их квадратов через r², получим

x² + y² = r².

Ответ. Окружность с центром в начале координат радиуса .

Задача №3

Поезд длиной l м сначала идет по горизонтальному пути (рис. 86, а), а потом поднимается в гору под углом 2α к горизонту. Считая поезд однородной лентой, найти траекторию его центра тяжести.

Рис. 86

Решение. Для решения задачи нужно определить координаты центра тяжести поезда, найти уравнения движения центра тяжести и исключить из них время.

Направим оси координат по внутренней и внешней равиоделяшнм угла 2α (рис. 86, б). Траектория центра тяжести поезда не зависит от скорости поезда. Для простоты подсчетов предположим, что он идет равномерно со скоростью υ м/сек и в начальное мгновение t=0 подошел к горе.

Тогда за время t сек на гору поднимется υt м состава поезда и останется на горизонтальном пути l — υt м. Будем считать, что единица длины поезда весит γ. 

Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда:

Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, следовательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или υt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Ответ. Парабола.

Задача №4

Мостовой кран движется вдоль цеха согласно уравнению х = t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у = 1,5t (х и у—в м, t — в сек). Цепь укорачивается со скоростью t>=0,5. Определить траекторию центра тяжести груза (в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости хОу, ось Oz направлена вертикально вверх).

Решение. В условии задачи даны лишь два уравнения движения и вертикальная скорость груза:

откуда dz = 0,5dt, и легко получаем третье уравнение:

z = 0,5t

Определив t из первого уравнения, подставим во второе и в третье:

y= 1,5x, z = 0,5x

Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пересечения.
Ответ. Прямая.

Алгебраическая величина скорости проекции точки на координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени:

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось

Пусть движение точки M определяется тремя уравнениями:
x =x(t),    (58′)
y = y(t),   (58″)
z = z(t).    (58″‘)

По мере движения точки M в пространстве ее проекции P, Q и R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям координат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.

Так, координата (абсцисса) точки P всегда равна абсциссе точки М, а координаты точек QnR всегда равны ординате и аппликате точки М. Следовательно, при движении точки M в пространстве согласно уравнениям (58) точка P движется по оси Ox согласно уравнению (58′), а точки Q и R— соответственно по осям Oy и Oz согласно уравнениям (58″) и (58″‘).

Таким образом, движение точки M в пространстве можно разложить на три прямолинейных движения ее проекций P, Q и R.

Определим скорость υ_p точки P при движении этой точки по ее прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки M на ось Ох.

Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстояния точки P является дифференциал абсциссы х, а поэтому

    (61)

Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции P точки M на координатную ось равна первой производной от текущей координаты х по времени t. Она положительна, если точка P движется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка P движется в отрицательном направлении.
Аналогично получаем алгебраические скорости проекций Q и R на ось Oy и на ось Oz:

    (61″)

     (61″‘)   

Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить величины (61) на единичные векторы:
     (61)   

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на туже ось:

Скорость проекции и проекция скорости

Пусть точка М за бесконечно малый отрезок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолютную величину которого выразим формулой (60):

где dx, dy и dz — проекции элемента дуги на оси координат, или, Что то же, элементарные приращения координат точки М.

На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрезками. Как видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элементарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и z соответственно равны

     (62)   

Величина скорости точки M может быть определена по (53):

Чтобы определить проекцию скорости на какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между  направлением скорости и направлением этой оси. Таким образом, для проекций скорости точки M на оси координат имеем:

   (63′)

   (63″)

    (63″‘)

Рис. 87

Равенства (63) словами нужно читать так: проекция скорости точки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось.

Задача №5

Доказать, что проекция скорости точки M (х, у, z) иа плоскость хОу равняется скорости , с которой движется по плоскости проекция M₁ (х, у, О) точки M на ту же плоскость.

Решение. Скорость точки M составляет с осью Oz угол γ_υ, следовательно, угол, составляемый ею с плоскостью хОу, равен 90° — yυ п косинус этого угла равен sinγ_υ. Поэтому модуль проекции скорости точки M на плоскость хОу

Подводя под радикал и выражая cosγ_υ, по формуле (62), мы убедимся, что проекция скорости на плоскость равна по величине скорости проекции:

Направления векторов и тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.

Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:

Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:
   (63)

и сложим их:

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и

или

   (64)

Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак « + » или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.

Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:
 

Направляющие косинусы скорости

Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):

   (62′)

где , и — производные от х, у и z по t.

Если точка движется в плоскости хОу, то γ_υ = 90^o, cosγ_υ = 0 и cos α_υ = sin β_υ.

Задача №6

Уравнения движения суть

 

Определить траекторию и скорость.

Решение. Из уравнений движения следует, что х и у всегда больше нуля.
Для определения уравнения траектории возведем каждое из уравнений движения в квадрат и составим разность

x² – у² = a²

Для определения скорости найдем сначала ее проекции:

а затем уже и полную скорость.

Ответ. Траектория — ветвь гиперболы x² – у² = a² — расположена в области положительных значений х; скорость .

Задача №7

Движение точки задано уравнениями

причем ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена по вертикали вверх, υ₀, g и —величины постоянные. Найти траекторию точки, координаты наивысшего ее положения, проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.

Решение. Уравнения описывают движение тела, брошенного со скоростью υ₀ под углом α₀ к горизонту (к оси Ох).
Чтобы найти уравнение траектории, определим время из первого уравнения и подставим найденное значение во второе; получим

уравнение параболы, проходящей через начало координат (рис. 88).

Рис. 88

Чтобы определить координаты наивысшего положения, мы можем применить известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функции, т. е. взять производную , приравняв ее нулю, определить значение х и, подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная . Однако мы найдем координаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:

Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонтальную ось постоянна и равна проекции начальной скорости.

Исследование второго уравнения убеждает, что проекция скорости на вертикальную ось в начальное мгновение положительна и равна υ₀ sin α₀; затем, по мере увеличения t, проекция υ_y уменьшается, оставаясь положительной до мгновения , когда υ_y обращается в нуль, после чего υ_y становится отрицательной, возрастая по абсолютной величине с течением времени t.

Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь. Мгновение , при котором точка кончила подниматься, но еще не начала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и . Подставляя найденное значение t в уравнения движения, найдем координаты наивысшей точки траектории:

Определим проекции скорости в мгновение, когда точка находится на оси Ох. В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем пулю второе из уравнений движения:

Точка находится на оси Ox два раза: при t=0 при 

Первое значение t соответствует началу движения, второе —падению точки на ось Ох. Второе значение равно времени всего полета, и оно вдвое больше полученного нами ранее времени наивысшего подъема: время падения равно времени подъема.

Подставляя значение t=0 в уравнения, определяющие проекции скорости, найдем проекции скорости в начальное мгновение:

υ_x = + υ₀ cos α₀, υ_y = + υ₀ sin α₀.

Подставляя второе из найденных значений t, найдем скорости в момент падения:

υ_x = + υ₀ cos α₀, υ_y = – υ₀ sin α₀.

Ответ: 1) Парабола 

2) 

3) υ_x = υ₀ cos α₀, υ_y = υ₀ sin α₀.

причем верхний знак соответствует началу движения, а нижний—концу.

Задача №8

По осям координат (рис. 89) скользят две муфты A и B, соединенные стержнем AB длиной l. Скорость В равна υ_B.

При каком положении муфт скорость муфты А вдвое больше υ_B?

Рис. 89

Решение. Координата точки А связана с координатой точки В соотношением

Считая х и у функциями времени и продифференцировав это равенство по времени, найдем зависимость между скоростями обеих точек:

Но и по условию надо, чтобы величина  была равна 2υ_B, т. е.

откуда после алгебраических преобразований получаем ответ.

Ответ:  (см. задачи № 57 и 89, где даны другие решения).

Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости на ту же ось или второй производной от текущей координаты по времени:

Ускорение проекции и проекция ускорения

Ускорение характеризует изменение скорости точки в данное мгновение. Оно выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого промежутка времени к нулю.

Для того чтобы определить ускорение точки M при ее движении в пространстве, рассмотрим сначала движение по оси Ox точки Р, являющейся проекцией точки M на эту ось.

Пусть в некоторое мгновение t алгебраическая величина скорости точки P была υ_х, а в мгновение t_l = t + Δt стала υ_x+∆υ_x. Тогда ускорение точки P по величине и по знаку выразится пределом

Если знаки υ_x и a_p одинаковы, то движение точки P ускоренное, а если различны, то замедленное.

Аналогично выразятся ускорения проекций Q и R точки M на другие координатные оси:

Проекции υ_x, υ_y и υ_z сами являются производными по времени от координат точки, поэтому ускорения проекций можно выразить вторыми производными по времени от координат точки. Эти равенства характеризуют не только величины, но и знаки ускорений проекций. Иными словами, они выражают изменение алгебраических скоростей проекций P, Q и R в мгновение t.

Только что доказанная теорема о равенстве алгебраической скорости проекции точки на ось и проекции скорости той же точки на ту же ось справедлива для любого момента времени. Следовательно, эта теорема относится не только к скорости, но и к ее изменению в любое мгновение, т. е. к ускорению. Это значит, что написанные выше равенства выражают также проекции a_x, а_у и а_z ускорения а точки M на оси координат O_x, O_y и O_z:

   (65)

где cosα_a, cosβ_a и cosγ_a—направляющие косинусы ускорения.

Можно рассматривать эти величины (65) как векторы, направленные по осям координат:

   (65′)

Модуль ускорения точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций ускорения на оси координат:

Величина ускорения при координатном способе задания движения точки

Возведем в квадрат каждое из равенств:

и затем сложим их:

откуда 

   (66)

Перед радикалом взят знак плюс, так как модуль вектора—величина положительная. Ускорение точки в отличие от проекций ускорения на оси координат или на другие направления обычно называют полным ускорением. Поэтому равенство (66) можно прочитать так: величина полного ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Направление ускорения можно определить по направляющим косинусам ускорения:
, 

Направляющие косинусы ускорения

Направление ускорения определяют по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с вектором ускорения. Формулы направляющих косинусов получаем из уравнений (65):
   (67′)

   (67”)

   (67”’)

Для определения направления ускорения в каждом конкретном случае надо сначала найти ускорение проекций по (65), для чего необходимо дважды продифференцировать уравнения движения (58), затем найти величину ускорения по (66), а потом определить направляющие косинусы ускорения по (67).

Направление ускорения обычно не совпадает с направлением скорости, и направляющие косинусы (67) ускорения только при прямолинейном ускоренном движении точки постоянно равны направляющим косинусам (62) скорости.

Если точка движется в плоскости хОу, то γ_a = 90^o, cosγ_a = 0, cosα₀ = sin βa.

Задача №9

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям х= r cos πt, y=r sinπt, где х и у—в см, a t — в сек. Найти уравнение траектории точки М, ее скорость, направляющие косинусы скорости, ускорение, направляющие косинусы ускорения. Для значений времени t=0; 0,25; 0,5; 0,75, …. 2 сек дать чертежи положений точки M, вектора скорости и вектора ускорения.

Решение. Из уравнения движения видно, что координаты точки M являются проекциями на соответствующие оси радиуса-вектора r, составляющего с осью абсцисс угол πt:

Для определения траектории точки исключаем время из уравнений движения. Получаем уравнение окружности

x² + y² = r²

Найдем теперь проекции скорости на оси координат, для чего продифференцируем по времени уравнения движения:

откуда по (64) получаем модуль скорости

Величина скорости точки M постоянна.

Направляющие косинусы скорости определим по формуле (62′):

Эти соотношения показывают, что направление скорости непрерывно меняется и что скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из центра О в точку М.

Ускорение точки M найдем по его проекциям, для чего продифференцируем выражения, полученные для проекций скорости:

откуда по (66) получаем величину ускорения

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости не только по величине, но и по направлению, поэтому, несмотря на постоянство модуля скорости точки М, ускорение этой точки не равно нулю. Как видно из полученного

Рис. 90

равенства, величина полного ускорения постоянна. Направление ускорения определим по направляющим косинусам согласно (67):

Направление ускорения точки M противоположно направлению радиуса-вектора.
Положения точки M в различные мгновения показаны на рис. 90, а, векторы скорости — на рис. 90,6 и векторы ускорения — на рис. 90, в.

Ответ. Точка M движется по окружности радиуса r против часовой стрелки с постоянной по величине скоростью υ = rπ и с постоянным по величине ускорением a = rπ².

Задача №10

Снаряд выбрасывается из орудия с начальной скоростью υ=1600 м/сек под утлом α₀ = 55^o к горизонту. Определить теоретическую дальность и высоту обстрела, учитывая, что ускорение свободно падающих тел g = 9,81 м/сек².

Решение. Сначала составим уравнения движения снаряда в координатной форме, направив оси, как показано на чертеже (см. рис. 88), для этого определим проекции ускорения:

Разделив переменные, интегрируем:
υ_х= С₁, υ_y = – gt + С2

Подставляя вместо переменных величин их начальные значения, увидим, что C₁ и C₂ равны проекциям начальной скорости:

1600 cos 55^o = C_1, 1600 sin 55^o = – gt + C_2.

Подставим их в уравнения, полученные для проекций скорости:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

При t = 0 координаты снаряда были: х =0, у = 0. Подставляя эти данные, найдем, что C₃ = O и C₄ = O. Значения cos 55° и sin 55° найдем в тригонометрических таблицах. Уравнения движения снаряда примут вид:

Далее поступим, как при решении задачи № 42: приравняв вертикальную скорость нулю, найдем время подъема снаряда (t= 133,7 сек); подставляя это значение t в уравнение движения по оси Оу, найдем теоретическую высоту обстрела (h = 87 636 м); удваивая время /, найдем время полета снаряда (t = 267,4 сек); подставляя это значение- в уравнение движения по оси Ох, найдем теоретическую дальность обстрела (l = 245 393 м).
Ответ. l = 245 км; h = 87,5κм.

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.