Условие задачи:
Груз, подвешенный на нити длиной 98 см, равномерно вращается по окружности в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость вращения груза, если при его вращении нить отклонена от вертикали на угол 60°? ((g=9,8) м/с2)
Задача №2.4.19 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
(l=98) см, (alpha=60^circ), (g=9,8) м/с2, (omega-?)
Решение задачи:
На схеме покажем груз, действующие на него силы и геометрические параметры задачи. Груз покоится относительно оси (y), что дает нам право применить первый закон Ньютона в проекции на ось (y):
[T cdot cos alpha = mg;;;;(1)]
Так как груз в горизонтальной плоскости равномерно движется по окружности некоторого радиуса (R), то запишем второй закон Ньютона в проекции на ось (x):
[T cdot sin alpha = m{a_ц}]
Поскольку нам нужно найти угловую скорость вращения (omega), то запишем такую формулу определения ускорения (a_ц):
[{a_ц} = {omega ^2}R]
[T cdot sin alpha = m{omega ^2}R;;;;(2)]
Поделим полученное равенство (2) на равенство (1):
[tgalpha = frac{{{omega ^2}R}}{g}]
Из прямоугольного треугольника с катетом (R), гипотенузой (l) и углом (alpha) верно, что:
[R = l cdot sin alpha ]
Тогда:
[tgalpha = frac{{{omega ^2}l cdot sin alpha }}{g}]
[frac{1}{{cos alpha }} = frac{{{omega ^2}l}}{g}]
[omega = sqrt {frac{g}{{l cdot cos alpha }}} ]
Переведем длину нити в единицы системы СИ, далее посчитаем численный ответ задачи.
[98; см = frac{{98}}{{100}}; м = 0,98; м]
[omega = sqrt {frac{{9,8}}{{0,98 cdot cos 60^circ }}} = 4,5; рад/с]
Ответ: 4,5 рад/с.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
2.4.18 Груз, подвешенный на нити длиной 5 м, равномерно движется по окружности
2.4.20 Лыжник съезжает с вершины горы. На какой высоте от начала движения его давление
2.4.21 Люстра массой 10 кг висит на цепи, прочность которой 196 Н. На какой максимальный угол
Формулы математического маятника в физике
Формулы математического маятника
Определение и формулы математического маятника
Определение
Математический маятник – это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого
сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.
Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Уравнение движения математического маятника
Математический маятник – классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:
[ddot{varphi }+{omega }^2_0varphi =0 left(1right),]
где $varphi $ – угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.
Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$
[varphi (t)={varphi }_0{cos left({omega }_0t+alpha right)left(2right), }]
где $alpha $ – начальная фаза колебаний; ${varphi }_0$ – амплитуда колебаний; ${omega }_0$ – циклическая частота.
Колебания гармонического осциллятора – это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.
Циклическая частота и период колебаний математического маятника
Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:
[ {omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(3right).]
Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:
[T=frac{2pi }{{omega }_0}=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(4right).]
Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Уравнение энергии для математического маятника
При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:
[E=E_k+E_p=frac{mv^2}{2}+mgh=frac{mv^2}{2}+frac{mgx^2}{2l}=constleft(5right),]
где $E_k$ – кинетическая энергия маятника; $E_p$ – потенциальная энергия маятника; $v$ – скорость движения маятника; $x$ – линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол – смещение связан с $x$ как:
[varphi =frac{x}{l}left(6right).]
Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:
[E_{pmax}=mgh_m=frac{mg{x^2}_m}{2l}left(7right);;]
Максимальная величина кинетической энергии:
[E_{kmax}=frac{mv^2_m}{2}=frac{m{omega }^2_0{x^2}_m}{2l}=E_{pmax}left(8right),]
где $h_m$ – максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={omega }_0x_m$ – максимальная скорость.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?
Решение. Сделаем рисунок.
Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:
[frac{mv^2}{2}=mgh left(1.1right).]
Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:
[h=frac{v^2}{2g}.]
Ответ. $h=frac{v^2}{2g}$
Пример 2
Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми.textit{}
Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:
[T=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(2.1right).]
Выразим из нее ускорение:
[g=frac{4{pi }^2l}{T^2} .]
Проведем вычисления ускорения силы тяжести:
[g=frac{4{pi }^2cdot 1}{2^2}={pi }^2approx 9,87 left(frac{м}{с^2}right).]
Ответ. $g=9,87 frac{м}{с^2}$
Читать дальше: формулы пружинного маятника.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Уравнение гармонических колебаний
- Гармонические колебания как простейший периодический процесс
- Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении
- Примеры
п.1. Гармонические колебания как простейший периодический процесс
Процессы, в которых состояние системы полностью повторяется через определенные промежутки времени, называются периодическими.
Например:
1) Вращение Луны вокруг Земли, Земли и других планет вокруг Солнца, Солнечной системы в целом вокруг центра Галактики;
2) Колебания атомов в молекуле, колебания электромагнитного поля;
3) Сокращения сердечной мышцы, колебания маятника часов, движение поршня в двигателе внутреннего сгорания, смена дня и ночи, приливы и отливы.
Минимальное время T, в течение которого система возвращается в исходное состояние, называется периодом.
Например:
1) Период вращения минутной стрелки часов T=1 час
Период вращения Земли вокруг своей оси T=1 сут=24 ч
Период вращения Земли вокруг Солнца T=1 год=365 сут
2) Период колебаний атомов в двухатомных молекулах T=10-14 с
Период вращения Солнца вокруг центра Галактики T=240 млн.лет.≈7,6·1015 с
Если состояние системы характеризуется некоторой функцией от времени (s=x(t)), то для периодического процесса выполняется равенство: (x(t+T)=x(t)).
Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции (sint) и (cost) с периодом (T=2pi).
Простейшим периодическим процессом являются гармонические колебания, для которых состояние системы изменяется со временем по закону синуса или косинуса: $$ x(t)=Asin(omega t+varphi_0) text{или} x(t)=A cos(omega t+varphi_0) $$ где:
(x(t)) – отклонение характеристики системы от среднего за период значения;
(A) – амплитуда колебаний, максимальное отклонение от среднего за период значения;
(omega) – циклическая частота, изменение фазы колебаний за 1 с, рад/с;
(varphi_0) – начальная фаза колебаний, значение фазы при t=0, рад;
((omega t+varphi_0) )– полная фаза колебаний (просто «фаза»), рад;
Множитель (omega) перед аргументом (t) тригонометрической функции сокращает её период в (omega) раз (см. §8 данного справочника). Поэтому:
Период гармонических колебаний равен: $$ T=frac{2pi}{omega} $$
Число колебаний в единицу времени называют частотой. Частота является величиной, обратной периоду: $$ nu=frac1T $$ Связь циклической частоты и частоты: (omega=2pinu)
Например:
Запишем закон колебаний математического маятника – шарика на нити, если в начальный момент времени он был отклонен на 5 см, а затем отпущен. При подсчете за 10 с он совершил 20 колебаний.
Отклонение в начальный момент соответствует амплитудному значению A=5 см при (t_0=0), значит, будем описывать колебания по закону косинуса с начальной фазой (varphi_0=0). По условию за t=10 с зафиксировано N=20 колебаний, откуда частота: begin{gather*} nu=frac Nt, omega=2pinu=2pifrac Nt\ omega=2picdotfrac{20}{10}=4pi text{(рад/с)} end{gather*} Получаем закон колебаний: (x(t)=5cos(4pi t))
п.2. Перемещение, скорость и ускорение при гармоническом движении
Пусть (x(t)) – координата тела, участвующего в периодическом движении по закону: $$ x(t)=Acosomega t $$ Найдем скорость как первую производную от координаты: $$ v(t)=x'(t)=-Aomega sinomega t=Aomega cosleft(omega t+fracpi 2right) $$ Мы видим, что колебания скорости происходят с той же частотой, что и колебания координаты, но опережают их по фазе на (fracpi 2). Амплитудное значение скорости: $$ v_m=Aomega $$ Найдем ускорение как первую производную от скорости (и соответственно, вторую производную от координаты): $$ a(t)=v'(t)=x”(t)=-Aomega^2 cosomega t=Aomega^2 cos(omega t+pi) $$ Колебания ускорения также происходят с той же частотой, опережая колебания скорости на (fracpi 2) и колебания координаты на (pi). Амплитудное значение ускорения: $$ a_m=Aomega^2 $$ Например:
При A=2 и (omega=frac12) получаем такие синусоиды:
Из уравнения для ускорения получаем: $$ x”(t)=-Aomega^2cosomega t=-omega^2(Acosomega t)=-omega^2 x(t) $$ Откуда следует:
Уравнение гармонических колебаний: $$ x”(t)+omega^2x(t)=0 $$
Решением этого уравнения в общем виде будут: $$ x(t)=Asin(omega t+varphi_0) text{или} x(t)=A cos(omega t+varphi_0) $$ Для каждой из систем физический смысл (x(t)) и (omega) будет разным.
п.3. Примеры
Пример 1. Получите уравнение гармонических колебаний для горизонтального пружинного маятника с массой m и жесткостью пружины k. Чему равна циклическая частота этих колебаний?
 |
Горизонтальный пружинный маятник – это грузик массой m, прикрепленный к пружине жесткостью k. Грузик может перемещаться в горизонтальном направлении без трения. |
По вертикали на грузик действую сила тяжести и реакция опоры, равнодействующая которых равна нулю.
По горизонтали на грузик действует только сила упругости: (F=-kcdot x(t))
Самое время вспомнить о втором законе Ньютона. Сила, действующая на грузик, приводит его в движение с ускорением a: begin{gather*} F=ma=mcdot x”(t)\ mcdot x”(t)=-kcdot x(t) end{gather*} Уравнение движения грузика: $$ x”(t)+frac km x(t)=0 $$ что является уравнением гармонических колебаний с частотой: (omega=sqrt{frac km})
Общее решение уравнения: (x(t)=Acosleft(sqrt{frac km}+varphi_0right))
Амплитудные значения скорости и ускорения: $$ v_m=Asqrt{frac km}, a_m=Afrac km $$ Ответ: (omega=sqrt{frac km})
Пример 2. Получите уравнение гармонических колебаний для малых углов отклонений математического маятника на нити длиной l при ускорении свободного падения g. Чему равна циклическая частота этих колебаний?
 |
Математический маятник – это шарик, который можно считать материальной точкой, на длинной невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле тяготения с ускорением свободного падения g. |
В положении равновесия на шарик действуют и уравновешивают друг друга две силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити FH.
В положении максимального отклонения под углом α к вертикали равнодействующая уже не равна 0, и, как только мы отпустим шарик, он начинает перемещаться вниз. Уравнение движения: begin{gather*} moverrightarrow{a}=-overrightarrow{F_H}-moverrightarrow{g} end{gather*} (overrightarrow{F_H}perpoverrightarrow{F}) т.к. равнодействующая (overrightarrow{F}=moverrightarrow{a}) направлена по касательной. В проекции на направление (overrightarrow{F}) сила натяжения (overrightarrow{F_H}) даст 0, а сила тяжести (mgsinalpha). Получаем: begin{gather*} ma=0-mgsinalpha=-mgsinalpha\ a=-gsinalpha end{gather*} Для смещения x по дуге окружности радиусом угол (alpha=frac xl). Для небольших углов (до 20°) (sinfrac xlapproxfrac xl) (см. приближения функций при малых x в §52 данного справочника). Поэтому: $$ a=-gsinfrac xlapprox-frac gl x $$ И мы получаем уравнение гармонических колебаний: (x”(t)+frac gl x=0, omega=sqrt{frac gl})
Общее решение уравнения: (x(t)=Acosleft(frac gl t+varphi_0right))
Амплитудные значения скорости и ускорения: (v_m=Asqrt{frac gl}, a_m=Afrac gl)
Ответ: (omega=sqrt{frac gl})
Пример 3. Получите уравнение гармонических колебаний для L-контура.
Чему равна циклическая частота этих колебаний?
 |
LC-контур – это электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C. Модель является идеальной, т.к. предполагает, что в цепи полностью отсутствует активное сопротивление R, и колебания не затухают со временем. |
Напряжение на конденсаторе (U_C(t)=frac{Q(t)}{C}). Ток, протекающий через катушку, создает ЭДС (varepsilon_L(t)=-Lfrac{triangle I}{triangle t}). При переходе к пределу (triangle trightarrow 0) получаем производную (varepsilon_L(t)=-LI'(t)). По второму закону Кирхгофа для замкнутого контура: begin{gather*} U_c(t)=varepsilon_L(t)Rightarrow frac{Q(t)}{C}=-LI'(t)Rightarrow frac{Q(t)}{C}+LI'(t)=0 end{gather*} Вспомним, что (Q'(t)=I(t)) – ток равен производной от заряда по времени.
Тогда первая производная от тока равна второй производной от заряда (I'(t)=Q”(t)).
begin{gather*} frac{Q(t)}{C}+LQ”(t)=0 end{gather*} Получаем уравнение гармонических колебаний: $$ Q”(t)=frac{1}{LC}Q(t)=0, omega=frac{1}{sqrt{LC}} $$ Общее решение уравнения: (Q(t)=Q_m cosleft(frac{1}{sqrt{LC}}t+varphi_0right))
Напряжение на конденсаторе: $$ U_C(t)=frac{Q(t)}{C}=frac{Q_m}{C}cosleft(frac{1}{sqrt{Lc}}t+varphi_0right) $$ Амплитудное значение напряжения: (U_m=frac{Q_m}{C})
Ток как скорость изменения заряда: $$ I(t)=Q'(t)=-frac{Q_m}{sqrt{LC}}sinleft(frac{1}{sqrt{LC}}t+varphi_0right)=frac{Q_m}{sqrt{LC}}cosleft(frac{1}{sqrt{LC}}t+varphi_0+fracpi 2right) $$ Амплитудное значение тока: (I_m=frac{Q_m}{sqrt{LC}})
Ток опережает колебания заряда и напряжения на (fracpi 2)
Ответ: (omega=frac{1}{sqrt{LC}})
smooning
+30
Решено
7 лет назад
Физика
10 – 11 классы
Определить скорость точки M конического маятника, который при длине нити ОМ=1 м описывает конус с углом при вершине a(альфа)=45 градусов
Буду признателен за ответ или подсказку к решению
Смотреть ответ
Ответ проверен экспертом
4
(4 оценки)
5
fatt52
7 лет назад
Светило науки – 20957 ответов – 89530 раз оказано помощи
L=1 м α=45 v=?
m*g*tg α=m*v²/R R=L*sinα
v=√(g*tg α*L*sin α)=√(10*1*1*0.7)=2.66 м/с
==================
(4 оценки)
Остались вопросы?
Задай вопрос
Найди нужный
Новые вопросы по предмету Математика
1. Тиск тіла на опору тим більший, чим а) більша сила тиску і більша площа опори; б) більша сила тиску і менша площа опори, в) менша сила тиску …
визначте тиск,який діє в морі на людину що пірнула на глибину 18 метрів (густина морської води 1030 кг/м3) Срочнооооооо!!!!!!!!!!!!Дам 30 балі …
При решении задач часто приходится рассчитывать глиняная масса. Вычислите его, зная, что воздух плотный при нормальных условиях равно 1,29 кг/м …
Атмосфера Венеры состоит из углекислого газа, плотность которого 64,4 кг/м3, а давление 9120 кПа. Рассчитайте температуру поверхности Венеры
а где техподдержка? у меня не работают сообщения возле профиля
Скорость математического маятника
Сергей Феликсович Савельев
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Математическим маятником (осциллятором) называется раскачиваемая механическая система из нерастяжимой нити с пренебрежительно малой массой и подвешенного на ней тела с точечной массой. При описании свойств такого идеального маятника пренебрегают также силами трения и прочими потерями, возникающими при проведении аналогичных опытов в реальных условиях.
Колебания идеального маятника (зависимость угла отклонения от времени) описываются уравнением:
$phi(t) = phi_0 cdot cos(omega_0 cdot t + alpha)$,
где:
- $phi(t)$ – угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент $t$,
- $omega_0$ – циклическая частота,
- $alpha$ – исходный угол отклонения,
- $phi_0$ – амплитуда.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Свойства математического маятника
Эксперименты, проведенные над маятниками со свойствами, близкими к идеальным, показали их следующие свойства:
- период колебаний зависит не от массы подвешенного груза, а только от длины нити;
- при небольших углах отклонения частота колебаний не зависит и от амплитуды (это явление называется изохронизмом).
Период колебаний идеального маятника можно определить по формуле:
$T = 2pi cdot sqrt{frac{l}{g}}$,
где $l$ – длина нити математического маятника, $g$ – ускорение свободного падения.
Применение маятников на практике
Маятники применяют для создания хронометров. В таких часах период колебаний, отсчитывающих время, регулируют изменением расстояния между точкой крепления подвеса к неподвижной оси и центром тяжести подвешенного груза.
Замечание 1
Колебания маятника математически впервые описал в XVII в. Христиан Гюйгенс, который применил свои теоретические разработки для создания точных механических часов.
«Скорость математического маятника» 👇
В геодезии зависимость частоты колебаний маятников от изменения силы гравитации используется при определении географической широты.
Пример 1
Уточнить ускорение свободного падения для данной географической широты, если математический маятник длиной 1 м, совершает колебания с частотой 0,5 Гц (амплитуда колебаний достаточно мала).
Выразим ускорение из уравнения периода колебаний математического маятника:
$g = frac{4 cdot pi^2 cdot l}{T^2}$
Частота $omega$ – величина обратная периоду колебаний, значит
$T = frac{1}{omega}$
Подставив значения, получим
$T = frac{1}{0,5} = 2 с$
Таким образом,
$g = frac{4 cdot pi^2 cdot 1}{2^2} = frac{4 cdot pi^2 cdot 1}{2^2} = 3.14159265359^2 approx 9,8696$
Ответ: ускорение приблизительно равно $9,8696 м/с^2$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 03.04.2023
