Как найти скорости шаров после упругого удара

Удар(илисоударение)—это столкновение двух
или более тел, при котором взаимодействие
длится очень короткое время. Помимо
ударов в прямом смысле этого слова
(столкновения атомов или биллиардных
шаров) сюда можно отнести и такие, как
удар человека о землю при прыжке с
трамвая и т. д. Силы взаимодействия между
сталкивающимися телами(ударныеилимгновенные силы)столь велики,
что внешними силами, действующими на
них, можно пренебречь. Это позволяет
систему тел в процес­се их соударения
приближенно рассматривать как замкнутую
систему и применять к ней законы
сохранения.

Тела во время удара
претерпевают деформацию. Сущность удара
заключается в том, что кинетическая
энергия относительного движения
соударяющихся тел на короткое время
преобразуется в энергию упругой
деформации. Во время удара имеет место
перераспределение энергии между
соударяющимися телами. Наблюдения
пока­зывают, что относительная скорость
тел после удара не достигает своего
прежнего значения. Это объясняется тем,
что нет идеально упругих тел и идеально
гладких поверхностей.

Отношение нормальных
составляющих относительной скорости
тел после и да удара называется
коэффициентом
восстановления
:

Если для сталкивающихся
тел =0,
то такие тела называются абсолютно
неупругими,
если =1
— абсолютно
упругими. На
практике для всех тел 0 < 
< 1 (например, для стальных шаров 0,56,
для шаров из слоновой кости 0,89,
для свинца 0).
Однако в некоторых случаях тела
можно с большой степенью точности
рассматривать либо как абсолютно
упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая
через точку соприкосновения тел и
нормальная к поверхности их соприкосновения,
называется линией удара.Удар
называется центральным,если тела
до удара движутся вдоль прямой, проходящей
через их центры масс.

Линия удара – общая
нормаль, проведённая к поверхностям
двух соударяющихся тел в месте их
соприкосновения при ударе.

Ударназываетсяпрямым, если скорости центров инерции
сталкивающихся тел перед ударом
направлены параллельно линии удара.

В противном случае,
удар называется косым.

Для абсолютно
упругого удара выполняются закон
сохранения импульса и закон сохранения
кинетической энергии.

Обозначим скорости
шаров массами т₁
и m₂
до удара через v₁
и v₂,
после удара—через

и
(рис. 18). В случае прямого центрального
удара векторы скоростей шаров до и после
удара лежат на прямой линии, соединяющей
их центры. Проекции векторов скорости
на эту линию равны модулям скоростей.
Их направления учтем знаками: положительное
значение припишем движению вправо,
отрицатель-нос — движению влево.

При указанных
допущениях законы сохранения имеют вид

(15.1)

(15.2)

Произведя
соответствующие преобразования в
выражениях (15.1) и (15.2), получим

(15.3)

(15.4)

откуда

(15.5)

Решая уравнения
(15.3) и (15.5), находим

(15.6)

13. Центральный удар абсолютно неупругих шаров. Расчет скоростей шаров после соударения. Соударение 2х шаров с резко отличающимися массами.

Предположим, что
шары образуют замкнутую систему.
Рассмотрим теперь абсолютно неупругий
удар.

Удар двух тел
называется абсолютно неупругим,
если после удара оба тела движутся как
одно единое целое.

Абсолютно неупругий
удар характеризуется тем, что потенциальной
энергии деформации не возникает:
кинетическая энергия тел полностью или
частично превращается во внутреннюю
энергию. После такого удара столкнувшиеся
тела соединяются воедино и либо движутся
с одинаковой скоростью, либо покоятся.
При абсолютно неупругом ударе выполня­ется
лишь закон сохранения импульса, закон
же сохранения механиче­ской энергии
не соблюдается: имеет место закон
сохранения суммарной энергии
механической и внутренней.

Начальные скорости
шаров: v1 иv2
, а их массы:m₁иm₂; конечная скорость шаров v. При соударении выполняется
закон сохранения импульса:.

Откуда
.

Как и следовало
ожидать, соединившиеся шары после
соударения про­должают двигаться со
скоростью центра масс системы до
соударения. Энергия, перешедшая при
этом во внутреннюю энергию шаров, равна
разности кинетических энергий до и
после соударения:
.

Начальная кинетическая
энергия системы:
.Определим долю начальной кинетической
энергии ушедшей во внутреннюю энергию:

.

Если 2-ой шар до
соударения покоился, то.

Абсолютно неупругий
удар используют в технике либо для
изменения формы тела: ковка, штамповка,
клёпка и т.д., либо для перемещения тела
в среде с большим сопротивлением:
забивание гвоздей, свай и т.п. В 1-ом
случае, необходимо, чтобы большая часть
начальной кинетической энергии перешла
во внутреннюю энергию (деформацию),т.е.

,
что означает, что масса отковываемого
изделия и наковальни должны быть много
больше массы молота. Во 2-ом случае,
наоборот, необходимо, чтобы большая
часть начальной кинетической энергии
перешла в кинетическую энергию забиваемого
тела, т.е.

,
что означает, что масса молота должна
быть много больше массы забиваемого
тела.

Абсолютно неупругий
удар — пример того, как происходит
«потеря» механической энергии под
действием диссипативных сил.

 Выведем
уравнение динамики вращательного
движения тела. Из выражений (4.1), (4.2) и
(4.3) следует, что скорость изменения
момента импульса i-й
материальной точки определяется
следующим
образом:

                                          (4.6)

      Сложим
почленно уравнения (4.6), записанные для
каждой из материальных точек
тела:(4.7)

      Векторная
сумма моментов M_i всех
внешних сил, приложенных к телу,
называетсярезультирующим,
или главным,
моментом M внешних
сил относительно точки О:

      Векторная
сумма моментов импульса L_i всех
материальных точек тела называется моментом
импульса L тела относительно
точки О:

      Так
как производная от суммы равна сумме
производных от всех слагаемых, то

      Наконец,
векторная сумма моментов относительно
точки О всех внутренних сил F_ikвзаимодействия
между точками тела равна нулю, т.е.

так
как по третьему закону Ньютона
силы F_ik и F_ki численно
равны, имеют общую линию действия, но
направлены в противоположные стороны
(рис. 4.4). Поэтому их моменты M_ik =
[r_i,
F_ik]
и M_ki =
[r_k,
F_ki]
относительно точки О численно равны и
противоположны по направлению (на рис.
4.4 точки m_i, m_k и
О лежат в горизонтальной плоскости, а
векторы M_ik и M_kiперпендикулярны
этой плоскости). Действительно, r_k =
r_i +
r_ki,
где r_ki –
вектор, проведенный из точки m_i в
точку m_k.
Поэтому M_ki =
[r_k,
F_ki]
+ [r_ki,
F_ki]
= -[r_i,
F_ik]
= –M_ik,
так как векторное произведение
векторов r_ki и F_ki,
направленных вдоль одной прямой, равно
нулю.       На основании
изложенного уравнение (4.7) можно записать
в следующем
виде:

                                               (4.8)

      Таким
образом, скорость изменения момента
импульса тела, вращающегося вокруг
неподвижной точки, равна результирующему
моменту относительно этой точки всех
внешних сил, приложенных к
телу.
      Полученный
результат называется основным
законом динамики вращательного движения
тела, закрепленного в одной неподвижной
точке.
Момент импульса является основной
динамической характеристикой твердого
тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки.

Пусть твердое тело
вращается относительно оси под действием
нескольких сил с суммарным моментом М
относительно той же оси. Тогда работа
этих сил приводит к изменению кинетической
энергии этого тела.

,
,,

,
,

,,

,

,

,

–
основное уравнение динамики вращательного
движения.

Момент силы
относительно оси – проекция
на эту ось вектора момента силы
относительно любой точки, выбранной на
данной оси.

Элементарная
работа, совершаемая моментом силы, при
вращательном движении относительно
неподвижной оси вычисляется по формуле:

(*).

Полная работа

Если
,
то

При абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не работает.

Применим закон сохранения механической энергии для расчета скорости тел при абсолютно упругом ударе – ударе, при котором не происходит превращения механической энергии в другие виды энергии.

На рисунке 5.8 изображены два шара m₁ и m₂.

Обозначим и как скорость шаров после их столкновения.

В данном случае можно воспользоваться законом сохранения механической энергии и законом сохранения импульса (в проекциях на ось x):

Решив эту систему уравнений относительно и , получим

Таким образом, скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут быть одинаковыми по величине и по направлению.

Рассмотрим теперь абсолютно упругий удар шара о неподвижную массивную стенку. Стенку можно рассматривать как неподвижный шар с υ₂ = 0, массой .

Разделим числитель и знаменатель на m₂ и пренебрежем m₁/m₂ , тогда

,

.

Так, шар m₁ изменит направление скорости на противоположное.

§ 6.10. Столкновение упругих шаров

Под абсолютно упругим ударом понимают такой удар, при котором механическая энергия сохраняется(1). Если начальные скорости шаров направлены по линии, соединяющей их центры (рис. 6.22), то удар называют центральным.

Для абсолютно неупругого удара скорости шаров после удара можно найти с помощью закона сохранения импульса (см. гл. 5). При упругом ударе этого закона недостаточно, так как шары после удара будут иметь различные скорости. Значит, нужно еще одно уравнение, которое дает закон сохранения энергии.

Обозначим массы шаров через m₁ и m₂, их скорости до удара через ₁ и ₂, а после удара через ₁ и ₂. Закон сохранения импульса в проекциях на ось X будет иметь следующий вид:

Закон сохранения энергии запишется так:

Нами получена система двух уравнений с двумя неизвестными u_1х и u_2х. Для решения этой системы ее удобно переписать так:

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим:

Умножив обе части этого уравнения на m₂ и сложив полученный результат почленно с уравнением (6.10.3), приходим к выражению:

Применив аналогичный прием, получим выражение для проекции скорости ₂:

Применим эти формулы для двух частных случаев.

1. Второй шар до удара покоился (v_2x = 0), тогда

При m₁ > m₂ первый шар продолжает двигаться в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью. Если m₁

2. Оба шара имеют одинаковую массу, тогда

Шары при соударении обмениваются скоростями. Проверьте на опыте справедливость этих выводов.

Рассмотрено центральное столкновение абсолютно упругих шаров. Полученные формулы справедливы не только для столкновения макроскопических тел, но и в широких пределах для атомов и элементарных час тиц.

(1) Для этого необходимо, чтобы силы взаимодействия между телами зависели только от деформаций, но не от скоростей их движения друг относительно друга.

Упругие и неупругие соударения

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.

Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.

Удар или столкновение – это кратковременное взаимодействие тел с последующим изменением их скорости.

При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.

Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.

Абсолютно неупругий удар. Скорость

Абсолютно неупругий удар – это ударное взаимодействие с соединением (слипанием) движущихся тел.

Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.

Попадание пули в баллистический маятник – характерный пример действия энергии абсолютно неупругого удара, где
М – подвешенный ящик с песком, показанный на рисунке 1 . 21 . 1 , m – горизонтально летящая пуля с v → скоростью движения, застревающая в ящике. Определение скорости пули возможно по отклонению маятника.

Если скорость ящика с пулей обозначить как u → , тогда, используя формулу сохранения импульса, получаем:

m v = ( M + m ) u ; u = m M + m v .

Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:

∆ E = m v 2 2 – ( M + m ) u 2 2 = M M + m · m v 2 2 .

M ( M + m ) обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда

∆ E E 0 = M M + m = 1 1 + m M .

Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.

Когда m М ∆ E E 0 → 1 2 , тогда происходит переход кинетической энергии во внутреннюю. Когда m = M ∆ E E 0 → 0 , только половина кинетической переходит во внутреннюю. Если имеется неупругое соударение движущегося тела большей массой с неподвижным, имеющим ( m > > М ) , отношение принимает вид ∆ E E 0 → 0 .

Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем

( M + m ) u 2 2 = ( M + m ) g h ; u 2 = 2 g h .

В данном случае h является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что

v = M + m m 2 g h .

При известной высоте h возможно определение скорости пули v .

Рисунок 1 . 21 . 1 . Баллистический маятник.

Абсолютно упругий удар

Абсолютный упругий удар – это столкновение с сохранением механической энергии системы тел.

Большинство случаев столкновения атомов подчинено законам абсолютного упругого центрального удара. Закон сохранения импульса и механической энергии сохраняются при таком ударе. Для примера используется столкновение при помощи центрального удара бильярдных шаров. Один из них находится в состоянии покоя, как изображено подробно на рисунке 1 . 21 . 2 .

Центральный удар – это соударение, когда скорости шаров направлены по линии центра.

Рисунок 1 . 21 . 2 . Абсолютно упругий центральный удар шаров.

Встречаются случаи, когда массы m 1 и m 2 не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем

m 1 v 1 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 .

За v 1 принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а v 2 = 0 скорость второго шара, u 1 и u 2 – скорости после столкновения.

Запись закона сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, принимает вид:

m 1 v 1 = m 1 u 1 + m 2 u 2 .

Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости u 1 и u 2 шаров после столкновения.

u 1 = m 1 – m 2 v 1 m 1 + m 2 ; u 2 = 2 m 1 v 1 m 1 + m 2 .

Если массы равны, то есть, тогда происходит остановка первого шара ( u 1 = 0 ) , а второй продолжает движение u 2 = v 1 _. происходит обмен скоростями и импульсами.

При наличии нулевой скорости второго шара ( v 2 ≠ 0 ) , задача могла бы свестись к предыдущей с переходим в новую систему отсчета с равномерным и прямолинейным движением и скоростью v 2 относительно «неподвижной» системы. В такой системе второй шар покоится до удара, а первый имеет скорость v 1 ‘ = v 1 – v 2 _. После определения скорости шаров v 1 и v 2 производится переход к «неподвижной» системе.

С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.

Рисунок 1 . 21 . 3 . Модель упругие и неупругие соударения.

При столкновении атомов или молекул применяется понятие центрального или лобового удара, который редко применим на практике. Нецентральный упругий удар не направлен по одной прямой.

Частный случай нецентрального упругого удара – соударение бильярдных шаров с одинаковой массой при обездвиженном одним из них, а другим направленным не по линии центра. Данная ситуация приведена на рисунке 1 . 21 . 4 .

Рисунок 1 . 21 . 4 . Нецентральное упругое соударение шаров с одинаковой массой, где d является прицельным расстоянием.

Нецентральное ударение характеризуется тем, что разлетатание шаров происходит под углом относительно друг друга. Чтобы определить скорости v 1 и v 2 после соударения, необходимо знать нахождение положения линии центров в момент удара или предельное расстояние d , изображенное на рисунке 1 . 21 . 4 .

Предельное расстояние

Предельным расстоянием называют расстояние между двумя линиями, которые проведены через центры шаров параллельно относительно вектора скорости v 1 → летящего шара.

При одинаковых массах шаров векторы v 1 → и v 2 → имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если m 1 = m 2 = m , тогда определение примет вид

v 1 → = u 1 → + u 2 → ; v 1 2 = u 1 2 + u 2 2 .

Первое равенство значит, что векторы v 1 → , u 1 → , u 2 → образуют треугольник, называемый диаграммой импульсов, второе – для его разрешения применяют теорему Пифагора. Угол, располагаемый между u 1 → и u 2 → , равняется 90 градусов.

Рисунок 1 . 21 . 5 . Модель соударения упругих шаров

[spoiler title=”источники:”]

http://tepka.ru/fizika_10/92.html

http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/zakony-sohranenija-v-mehanike/uprugie-i-neuprugie-soudarenija/

[/spoiler]

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.

С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных частиц).

Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.

В механике часто используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рис. 1.21.1). Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью  попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через  Тогда по закону сохранения импульса

При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:

Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:

Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами.

При m << M

почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При m = M

во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m >> М) отношение

Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:

где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:

Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.

Рисунок 1.21.1. Баллистический маятник

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.21.2).

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров

В общем случае массы m₁ и m₂ соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

Здесь υ₁ – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ₂ = 0, u₁ и u₂ – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:

Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u₁ и u₂ шаров после столкновения:

В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m₁ = m₂), первый шар после соударения останавливается (u₁ = 0), а второй движется со скоростью u₂ = υ₁, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).

Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ₂ ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ₂ относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ₁‘ = υ₁ – υ₂. Определив по приведенным выше формулам скорости u₁ и u₂ шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.

Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.

Модель. Упругие и неупругие соударения.

Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударение двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 1.21.3).

Рисунок 1.21.3. Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние

После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу. Для определения скоростей  и  после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 1.21.3), т. е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости  налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей  и  шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m₁ = m₂ = m эти законы принимают вид:

Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей ,  и  образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол между катетами  и  равен 90°.

Модель. Соударения упругих шаров.

Два шара массами 0,2 кг и 0,8 кг, подвешенные на двух параллельных нитях длиной l = 2 м, касаются друг друга. Меньший шар отводится на α=90° от первоначального положения и отпускается. Найти скорости шаров после столкновения, считая удар абсолютно упругим. Какова скорость шаров после столкновения, если удар абсолютно неупругий? Какая часть энергии пойдет на нагревание шаров?

Решения задачи

Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Довольно часто на вступительных экзаменах абитуриентам предлагаются задачи, в которых рассматривается столкновение тел (иногда столкновение называют ударом, или соударением, или рассеиванием). Обычно речь идет о соударении двух тел; если же соударяющихся тел больше, их взаимодействие можно представить как совокупность попарных соударений.

Прежде чем решать любую задачу по физике, и в частности задачу на соударение, нужно понять, какие явления, рассматриваемые в задаче, играют главную роль, а какими явлениями можно пренебречь. В соответствии с этим нужно выбрать идеализированную картину и установить для нее применимость соответствующих физических законов.

Процесс столкновения тел можно разделить на три стадии: первая стадия — тела налетают друг на друга с постоянными скоростями и в какой-то момент соприкасаются друг с другом; вторая стадия (собственно соударение) — появляются силы взаимодействия между телами, которые действуют в течение некоторого промежутка времени; третья стадия — тела разлетаются с новыми неизменными во времени скоростями. Обычно формулировка задачи на соударение предполагает по заданным начальным скоростям тел определить их конечные скорости (или наоборот). При этом стадия собственно соударения фактически не рассматривается, а обсуждается лишь ее характер: удар упругий или неупругий, центральный или нецентральный и т. д.

В качестве примера рассмотрим упругий удар. Пусть небольшое тело произвольной формы налетает на другое тело. Придя в соприкосновение, тела начинают деформироваться. Возникающие упругие деформации передаются от одних частей тел к другим со скоростью распространения звука (то есть достаточно быстро), причем различные части тел получают различные скорости. Наконец, импульсы деформации достигают противоположных границ тел, отражаются от них, и тела отскакивают друг от друга подобно сжатым пружинам. Что же при этом происходит с первоначальным запасом механической энергии тел?

Из-за неодинаковости скоростей движения различных частей тел возникают колебания, они отбирают определенную энергию, которая при затухании колебаний превращается в тепло. Кроме того, всякое колеблющееся тело становится источником звуковых волн, которые тоже уносят часть энергии. Если удар нецентральный, то есть если относительная скорость соударяющихся тел не проходит по линии центров тел, тела начнут вращаться. Энергия, необходимая для этого, черпается тоже из кинетической энергии поступательного движения тел. Вращение могут вызвать также силы трения. Однако, если отношение потерь к первоначальному запасу механической энергии мало, всеми необратимыми превращениями механической энергии в другие виды энергии пренебрегают и удар считают абсолютно упругим. Идеализированная картина такого удара состоит в следующем: кинетическая энергия поступательного движения налетающих тел частично переходит в потенциальную энергию упругих деформаций; потенциальная энергия растет до тех пор, пока не сравняются скорости движения обоих тел, а затем она переходит в кинетическую энергию разлетающихся тел. Таким образом, при абсолютно упругом ударе общая механическая энергия тел сохраняется.

Заметим, что при неупругом ударе в телах возникают неупругие деформации, которые частично сохраняются и после соударения тел. При этом внутренняя энергия тел изменяется, а значит, их полная механическая энергия не сохраняется.

Теперь перейдем к рассмотрению конкретных задач. Решая их, мы не будем каждый раз детально обсуждать все происходящее. Надеемся, что читатель сумеет самостоятельно сделать подробный анализ и обосновать выбранную модель явления.

Задача 1. Два шара одинаковых радиусов движутся по гладкой, горизонтальной поверхности (рис. 1). Массы шаров m₁ и m₂, их скорости  и  направлены по линии центров шаров. Определите скорости шаров после их абсолютно упругого удара.

Рис. 1.

Поскольку удар абсолютно упругий и горизонтальная поверхность гладкая, импульс и кинетическая энергия системы сохраняются. До удара оба шара двигались по линии, соединяющей их центры; следовательно, удар центральный и после него шары тоже движутся вдоль линии центров. Направим ось координат по этой линии, спроектируем на нее все скорости и запишем законы сохранения импульса и кинетической энергии:

Здесь  и  проекции новых скоростей первого и второго шаров соответственно.

Для решения полученной системы в каждом уравнении в левой части, соберем слагаемые, содержащие m₁, а в правой — слагаемые, содержащие m₂:

Поделив почленно второе уравнение на первое, получим

Объединим это уравнение с первым уравнением предыдущей системы в новую систему:

Отсюда

Анализируя выражения для  и , можно сделать следующие выводы:

1) При столкновениях тел одинаковых масс (m₁ = m₂)

 и

— тела обмениваются скоростями.

2) При соударении легкого и тяжелого тел

 и

— тяжелое тело не изменяет своей скорости.

3) Если в исходной системе уравнений сделать замену  и , то новые скорости тел будут такими:  и . Физически это означает обратимость механического движения: если тела налетают друг на друга со скоростями, обратными тем, с которыми они двигались после удара в задаче 1, то разлетаться после удара тела будут, со скоростями, обратными тем, с которыми они двигались до удара в задаче 1.

4)  — при ударе модуль относительной скорости тел не изменяется, а направление этой скорости меняется на противоположное.

Задача 2. Небольшой шарик лежит на дне ящика, касаясь его правой стенки. В результате толчка извне ящик начинает двигаться вправо по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью . Через какое время τ шарик займет первоначальное относительно ящика положение, если его соударения с ящиком абсолютно упругие, дно ящика гладкое, а расстояние между его стенками равно L?

Шарик будет попадать в первоначальное относительно ящика положение перед каждым четным соударением с ящиком. Поскольку модуль скорости шарика относительно ящика при ударе не меняется и все время равен υ, время τ найдем по формуле

Задача 3. Гладкая вертикальная стенка движется в горизонтальном направлении со скоростью  (рис. 2). В стенку попадает шарик массой m, летящий со скоростью , которая составляет угол α с перпендикуляром к стенке. Считая удар абсолютно упругим, определите модуль υ‘ скорости шарика после удара и угол β, под которым шарик отлетит от стенки.

Рис. 2.

Введем систему координат XOY, как показано на рисунке 2. Обозначим через М массу стенки, через υ и и — модули скоростей шарика и стенки до соударения, через и’ — модуль скорости стенки после соударения, а через υ‘_x и υ‘_y — соответствующие проекции скорости шарика после удара. Запишем законы сохранения импульса и кинетической энергии:

Из этой системы найдем

Очевидно, что масса шарика мала по сравнению с массой стенки, то есть . С учетом этого получим

(сравните последние два выражения с выводом 2 из задачи 1). Отсюда

и

Задача 4. Пробирка массой M содержит моль идеального газа массой m при температуре m. Пробирку открывают, вынимая из нее пробку пренебрежимо малой массы. Оцените скорость пробирки после того, как весь газ выйдет из нее. Влияние окружающего воздуха можно не учитывать.

Направим ось X вдоль оси пробирки (рис. 3).

Рис. 3.

Половина общего числа молекул газа имеют проекцию скорости υ_x > 0. Эти молекулы уйдут из пробирки, не передав ей никакого импульса. Другая половина молекул передаст задней стенке пробирки свой двойной импульс, а затем также покинет пробирку. Следовательно, пробирка получит импульс (в проекции на ось X)

где V — проекция скорости пробирки, m₀ масса молекулы газа,  — средняя квадратическая проекция ее скорости и N_A — число Авогадро.

Учитывая, что , то есть средний квадрат проекции скорости равен 1/3 среднего квадрата самой скорости, и что  (k — постоянная Больцмана), получим

Отсюда

где R — универсальная газовая постоянная.

Задача 5. Гладкий неупругий шарик (из мягкого свинца) налетает на такой же шарик, находящийся в покое (рис. 4). Скорость первого шарика направлена под углом α к линии центров. Под каким углом β разлетаются шарики после удара?

Рис. 4.

В отличие от предыдущих задач, в этой задаче рассматривается неупругое соударение. Поскольку удар неупругий, кинетическая энергия системы не сохраняется (часть ее превращается во внутреннюю). Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса.

Вследствие гладкости шариков силы их взаимодействия направлены по линии центров (по оси X) и не имеют проекций на перпендикулярное направление, то есть на ось Y. Следовательно,

где m масса каждого шарика, υ — модуль скорости первого шарика до удара, а  — проекция на ось Y скорости этого шарика после удара .

Действие же сил взаимодействия между шариками при их неупругом соударении приводит к выравниванию проекций скоростей шариков на ось X. Тогда

где  — соответствующая проекция скоростей обоих шариков после соударения.

Из полученных уравнений можно найти  и , а значит и tg β:

Отсюда

Задача 6. Ядро массой m, летящее со скоростью , распадается на два одинаковых осколка. Внутренняя энергия ядра Е₁, внутренняя энергия каждого из осколков Е₂ (E₁ > 2E₂). Определите максимально возможный угол между векторами скоростей осколков.

Процесс распада ядра на два осколка представляет собой как бы обращенный во времени процесс неупругого столкновения. Сначала оба осколка летят вместе, образуя единую систему (первая стадия). В результате действия внутренних сил система распадается на две части (вторая стадия). Осколки, образованные в результате разрыва ядра, разлетаются в разные стороны с постоянными скоростями (третья стадия).

Обозначим через  и  скорости осколков ядра и запишем законы сохранения импульса и полной энергии системы:

Изобразим графически скорости ядра и его осколков (рис. 5).

Рис. 5.

В параллелограмме ACB’D  — вектор скорости первого осколка,  — вектор скорости второго осколка и  — вектор скорости ядра до разрыва . Введем дополнительные векторы  и   и обозначим . Закон сохранения полной энергии и теорема о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, приводят к соотношениям

и

откуда

Очевидно, возможны два случая: a) ; б) . Рассмотрим сначала случай а), которому как раз и соответствует рисунок 5, и найдем максимально возможный угол φ.

Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольников ACD, ABD и АСВ и получим

Отсюда

и

где . При этом .

Случай б) рассмотрите самостоятельно и убедитесь в том, что φ_max = π.

Упражнения

I. На пути тела массой m, скользящего по гладкому столу со скоростью , находится и неподвижная незакрепленная горка массой М и высотой H (профиль горки изображен на рисунке 6). Определите скорости тела и горки после того, как тело покинет горку. Тело движется, не отрываясь от горки, трение между телом и горкой отсутствует.

Рис. 6.

2. Под каким углом β разлетаются два одинаковых гладких шарика после абсолютно упругого удара? До удара один из шариков покоился, а другой двигался со скоростью , направленной под углом α к линии центров шариков.

3. По гладкой поверхности стола могут двигаться кольцо радиусом R и находящийся внутри кольца маленький шарик. В некоторый момент шарик упруго соударяется с кольцом. До удара кольцо покоится, а шарик движется со скоростью , которая составляет угол α с радиусом, проведенным в точку удара. Найдите время до следующего удара.

4. Два гладких одинаковых шара массой М каждый покоятся на гладкий горизонтальной поверхности, касаясь друг друга. Третий шар такого же радиуса, но массой m движется по поверхности со скоростью , проходящей через точку касания неподвижных шаров. Определите скорости шаров после абсолютно упругого удара.

Ответы

1. Возможны два случая: а) тело преодолеет горку; б) тело не преодолеет горку.  Из законов сохранения импульса и механической энергии следует, что тело сумеет переехать через горку, если модуль его начальной скорости . Тогда модули искомых скоростей тела и горки будут равны, соответственно.

и

Заметим, что оба ответа являются решениями одной и той же системы уравнений, описывающей абсолютно упругое центральное соударение. В статье (см. задачу 1) мы ничего не говорили о первом решении, поскольку там оно описывало тривиальную ситуацию — отсутствие соударения.

2.

3.

4. Первый шар будет двигаться в прежнем направлении, но модуль его скорости изменится и будет равен . Второй и третий шары разлетятся под одинаковыми углами  к направлению движения первого шара с одинаковыми по модулю скоростями .