Как найти скорости шаров при упругом ударе

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.

Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.

Удар или столкновение – это кратковременное взаимодействие тел с последующим изменением их скорости.

При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.

Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.

Абсолютно неупругий удар. Скорость

Абсолютно неупругий удар – это ударное взаимодействие с соединением (слипанием) движущихся тел.

Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.

Попадание пули в баллистический маятник – характерный пример действия энергии абсолютно неупругого удара, где
М – подвешенный ящик с песком, показанный на рисунке 1.21.1, m – горизонтально летящая пуля с v→ скоростью движения, застревающая в ящике. Определение скорости пули возможно по отклонению маятника.

Если скорость ящика с пулей обозначить как u→, тогда, используя формулу сохранения импульса, получаем:

mv=(M+m)u; u=mM+mv.

Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:

∆E=mv22-(M+m)u22=MM+m·mv22.

M (M + m) обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда

∆EE0=MM+m=11+mM.

Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.

Когда m << М ∆EE0→12, тогда происходит переход кинетической энергии во внутреннюю. Когда m = M ∆EE0→0, только половина кинетической переходит во внутреннюю. Если имеется неупругое соударение движущегося тела большей массой с неподвижным, имеющим (m>>М), отношение принимает вид ∆EE0→0.

Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем

(M+m)u22=(M+m)gh; u2=2gh.

В данном случае h является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что

v=M+mm2gh.

При известной высоте h возможно определение скорости пули v.

Рисунок 1.21.1. Баллистический маятник.

Абсолютно упругий удар

Абсолютный упругий удар – это столкновение с сохранением механической энергии системы тел.

Большинство случаев столкновения атомов подчинено законам абсолютного упругого центрального удара. Закон сохранения импульса и механической энергии сохраняются при таком ударе. Для примера используется столкновение при помощи центрального удара бильярдных шаров. Один из них находится в состоянии покоя, как изображено подробно на рисунке 1.21.2.

Центральный удар – это соударение, когда скорости шаров направлены по линии центра.

Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров.

Встречаются случаи, когда массы m1 и m2 не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем

m1v122=m1v122+m2v222.

За v1 принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а v2=0 скорость второго шара, u1 и u2 – скорости после столкновения.

Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости u1 и u2 шаров после столкновения.

u1=m1-m2v1m1+m2; u2=2m1v1m1+m2.

Если массы равны, то есть, тогда происходит остановка первого шара (u1=0), а второй продолжает движение u2=v1_. происходит обмен скоростями и импульсами.

При наличии нулевой скорости второго шара (v2≠0), задача могла бы свестись к предыдущей с переходим в новую систему отсчета с равномерным и прямолинейным движением и скоростью v2 относительно «неподвижной» системы. В такой системе второй шар покоится до удара, а первый имеет скорость v1’=v1–v2_. После определения скорости шаров v1 и v2 производится переход к «неподвижной» системе.

С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.

Рисунок 1.21.3. Модель упругие и неупругие соударения.

При столкновении атомов или молекул применяется понятие центрального или лобового удара, который редко применим на практике. Нецентральный упругий удар не направлен по одной прямой.

Частный случай нецентрального упругого удара – соударение бильярдных шаров с одинаковой массой при обездвиженном одним из них, а другим направленным не по линии центра. Данная ситуация приведена на рисунке 1.21.4.

Рисунок 1.21.4. Нецентральное упругое соударение шаров с одинаковой массой, где d является прицельным расстоянием.

Нецентральное ударение характеризуется тем, что разлетатание шаров происходит под углом относительно друг друга. Чтобы определить скорости v1 и v2 после соударения, необходимо знать нахождение положения линии центров в момент удара или предельное расстояние d, изображенное на рисунке 1.21.4.

Предельное расстояние

Предельным расстоянием называют расстояние между двумя линиями, которые проведены через центры шаров параллельно относительно вектора скорости v1→ летящего шара.

При одинаковых массах шаров векторы v1→ и v2→ имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если m1=m2=m, тогда определение примет вид

v1→=u1→+u2→; v12=u12+u22.

Первое равенство значит, что векторы v1→, u1→, u2→ образуют треугольник, называемый диаграммой импульсов, второе – для его разрешения применяют теорему Пифагора. Угол, располагаемый между u1→ и u2→, равняется 90 градусов.

Рисунок 1.21.5. Модель соударения упругих шаров

Удар(илисоударение)—это столкновение двух
или более тел, при котором взаимодействие
длится очень короткое время. Помимо
ударов в прямом смысле этого слова
(столкновения атомов или биллиардных
шаров) сюда можно отнести и такие, как
удар человека о землю при прыжке с
трамвая и т. д. Силы взаимодействия между
сталкивающимися телами(ударныеилимгновенные силы)столь велики,
что внешними силами, действующими на
них, можно пренебречь. Это позволяет
систему тел в процес­се их соударения
приближенно рассматривать как замкнутую
систему и применять к ней законы
сохранения.

Тела во время удара
претерпевают деформацию. Сущность удара
заключается в том, что кинетическая
энергия относительного движения
соударяющихся тел на короткое время
преобразуется в энергию упругой
деформации. Во время удара имеет место
перераспределение энергии между
соударяющимися телами. Наблюдения
пока­зывают, что относительная скорость
тел после удара не достигает своего
прежнего значения. Это объясняется тем,
что нет идеально упругих тел и идеально
гладких поверхностей.

Отношение нормальных
составляющих относительной скорости
тел после и да удара называется
коэффициентом
восстановления
:

Если для сталкивающихся
тел =0,
то такие тела называются абсолютно
неупругими,
если =1
— абсолютно
упругими. На
практике для всех тел 0 < 
< 1 (например, для стальных шаров 0,56,
для шаров из слоновой кости 0,89,
для свинца 0).
Однако в некоторых случаях тела
можно с большой степенью точности
рассматривать либо как абсолютно
упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая
через точку соприкосновения тел и
нормальная к поверхности их соприкосновения,
называется линией удара.Удар
называется центральным,если тела
до удара движутся вдоль прямой, проходящей
через их центры масс.

Линия удара – общая
нормаль, проведённая к поверхностям
двух соударяющихся тел в месте их
соприкосновения при ударе.

Ударназываетсяпрямым, если скорости центров инерции
сталкивающихся тел перед ударом
направлены параллельно линии удара.

В противном случае,
удар называется косым.

Для абсолютно
упругого удара выполняются закон
сохранения импульса и закон сохранения
кинетической энергии.

Обозначим скорости
шаров массами т₁
и m₂
до удара через v₁
и v₂,
после удара—через

и
(рис. 18). В случае прямого центрального
удара векторы скоростей шаров до и после
удара лежат на прямой линии, соединяющей
их центры. Проекции векторов скорости
на эту линию равны модулям скоростей.
Их направления учтем знаками: положительное
значение припишем движению вправо,
отрицатель-нос — движению влево.

При указанных
допущениях законы сохранения имеют вид

(15.1)

(15.2)

Произведя
соответствующие преобразования в
выражениях (15.1) и (15.2), получим

(15.3)

(15.4)

откуда

(15.5)

Решая уравнения
(15.3) и (15.5), находим

(15.6)

13. Центральный удар абсолютно неупругих шаров. Расчет скоростей шаров после соударения. Соударение 2х шаров с резко отличающимися массами.

Предположим, что
шары образуют замкнутую систему.
Рассмотрим теперь абсолютно неупругий
удар.

Удар двух тел
называется абсолютно неупругим,
если после удара оба тела движутся как
одно единое целое.

Абсолютно неупругий
удар характеризуется тем, что потенциальной
энергии деформации не возникает:
кинетическая энергия тел полностью или
частично превращается во внутреннюю
энергию. После такого удара столкнувшиеся
тела соединяются воедино и либо движутся
с одинаковой скоростью, либо покоятся.
При абсолютно неупругом ударе выполня­ется
лишь закон сохранения импульса, закон
же сохранения механиче­ской энергии
не соблюдается: имеет место закон
сохранения суммарной энергии
механической и внутренней.

Начальные скорости
шаров: v1 иv2
, а их массы:m₁иm₂; конечная скорость шаров v. При соударении выполняется
закон сохранения импульса:.

Откуда
.

Как и следовало
ожидать, соединившиеся шары после
соударения про­должают двигаться со
скоростью центра масс системы до
соударения. Энергия, перешедшая при
этом во внутреннюю энергию шаров, равна
разности кинетических энергий до и
после соударения:
.

Начальная кинетическая
энергия системы:
.Определим долю начальной кинетической
энергии ушедшей во внутреннюю энергию:

.

Если 2-ой шар до
соударения покоился, то.

Абсолютно неупругий
удар используют в технике либо для
изменения формы тела: ковка, штамповка,
клёпка и т.д., либо для перемещения тела
в среде с большим сопротивлением:
забивание гвоздей, свай и т.п. В 1-ом
случае, необходимо, чтобы большая часть
начальной кинетической энергии перешла
во внутреннюю энергию (деформацию),т.е.

,
что означает, что масса отковываемого
изделия и наковальни должны быть много
больше массы молота. Во 2-ом случае,
наоборот, необходимо, чтобы большая
часть начальной кинетической энергии
перешла в кинетическую энергию забиваемого
тела, т.е.

,
что означает, что масса молота должна
быть много больше массы забиваемого
тела.

Абсолютно неупругий
удар — пример того, как происходит
«потеря» механической энергии под
действием диссипативных сил.

 Выведем
уравнение динамики вращательного
движения тела. Из выражений (4.1), (4.2) и
(4.3) следует, что скорость изменения
момента импульса i-й
материальной точки определяется
следующим
образом:

                                          (4.6)

      Сложим
почленно уравнения (4.6), записанные для
каждой из материальных точек
тела:(4.7)

      Векторная
сумма моментов M_i всех
внешних сил, приложенных к телу,
называетсярезультирующим,
или главным,
моментом M внешних
сил относительно точки О:

      Векторная
сумма моментов импульса L_i всех
материальных точек тела называется моментом
импульса L тела относительно
точки О:

      Так
как производная от суммы равна сумме
производных от всех слагаемых, то

      Наконец,
векторная сумма моментов относительно
точки О всех внутренних сил F_ikвзаимодействия
между точками тела равна нулю, т.е.

так
как по третьему закону Ньютона
силы F_ik и F_ki численно
равны, имеют общую линию действия, но
направлены в противоположные стороны
(рис. 4.4). Поэтому их моменты M_ik =
[r_i,
F_ik]
и M_ki =
[r_k,
F_ki]
относительно точки О численно равны и
противоположны по направлению (на рис.
4.4 точки m_i, m_k и
О лежат в горизонтальной плоскости, а
векторы M_ik и M_kiперпендикулярны
этой плоскости). Действительно, r_k =
r_i +
r_ki,
где r_ki –
вектор, проведенный из точки m_i в
точку m_k.
Поэтому M_ki =
[r_k,
F_ki]
+ [r_ki,
F_ki]
= -[r_i,
F_ik]
= –M_ik,
так как векторное произведение
векторов r_ki и F_ki,
направленных вдоль одной прямой, равно
нулю.       На основании
изложенного уравнение (4.7) можно записать
в следующем
виде:

                                               (4.8)

      Таким
образом, скорость изменения момента
импульса тела, вращающегося вокруг
неподвижной точки, равна результирующему
моменту относительно этой точки всех
внешних сил, приложенных к
телу.
      Полученный
результат называется основным
законом динамики вращательного движения
тела, закрепленного в одной неподвижной
точке.
Момент импульса является основной
динамической характеристикой твердого
тела, вращающегося вокруг неподвижной
точки.

Пусть твердое тело
вращается относительно оси под действием
нескольких сил с суммарным моментом М
относительно той же оси. Тогда работа
этих сил приводит к изменению кинетической
энергии этого тела.

,
,,

,
,

,,

,

,

,

–
основное уравнение динамики вращательного
движения.

Момент силы
относительно оси – проекция
на эту ось вектора момента силы
относительно любой точки, выбранной на
данной оси.

Элементарная
работа, совершаемая моментом силы, при
вращательном движении относительно
неподвижной оси вычисляется по формуле:

(*).

Полная работа

Если
,
то

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.

С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных частиц).

Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.

В механике часто используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рис. 1.21.1). Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью  попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через  Тогда по закону сохранения импульса

При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:

Отношение M / (M + m) – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:

Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами.

При m << M

почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При m = M

во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы (m >> М) отношение

Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:

где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:

Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.

Рисунок 1.21.1. Баллистический маятник

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1.21.2).

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

Рисунок 1.21.2. Абсолютно упругий центральный удар шаров

В общем случае массы m₁ и m₂ соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

Здесь υ₁ – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ₂ = 0, u₁ и u₂ – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:

Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u₁ и u₂ шаров после столкновения:

В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m₁ = m₂), первый шар после соударения останавливается (u₁ = 0), а второй движется со скоростью u₂ = υ₁, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).

Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ₂ ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ₂ относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ₁‘ = υ₁ – υ₂. Определив по приведенным выше формулам скорости u₁ и u₂ шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.

Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.

Модель. Упругие и неупругие соударения.

Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударение двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 1.21.3).

Рисунок 1.21.3. Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние

После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу. Для определения скоростей  и  после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 1.21.3), т. е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости  налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей  и  шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m₁ = m₂ = m эти законы принимают вид:

Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей ,  и  образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол между катетами  и  равен 90°.

Модель. Соударения упругих шаров.

При абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не работает.

Применим закон сохранения механической энергии для расчета скорости тел при абсолютно упругом ударе – ударе, при котором не происходит превращения механической энергии в другие виды энергии.

На рисунке 5.8 изображены два шара m₁ и m₂.

Обозначим и как скорость шаров после их столкновения.

В данном случае можно воспользоваться законом сохранения механической энергии и законом сохранения импульса (в проекциях на ось x):

Решив эту систему уравнений относительно и , получим

Таким образом, скорости шаров после абсолютно упругого удара не могут быть одинаковыми по величине и по направлению.

Рассмотрим теперь абсолютно упругий удар шара о неподвижную массивную стенку. Стенку можно рассматривать как неподвижный шар с υ₂ = 0, массой .

Разделим числитель и знаменатель на m₂ и пренебрежем m₁/m₂ , тогда

,

.

Так, шар m₁ изменит направление скорости на противоположное.

§ 6.10. Столкновение упругих шаров

Под абсолютно упругим ударом понимают такой удар, при котором механическая энергия сохраняется(1). Если начальные скорости шаров направлены по линии, соединяющей их центры (рис. 6.22), то удар называют центральным.

Для абсолютно неупругого удара скорости шаров после удара можно найти с помощью закона сохранения импульса (см. гл. 5). При упругом ударе этого закона недостаточно, так как шары после удара будут иметь различные скорости. Значит, нужно еще одно уравнение, которое дает закон сохранения энергии.

Обозначим массы шаров через m₁ и m₂, их скорости до удара через ₁ и ₂, а после удара через ₁ и ₂. Закон сохранения импульса в проекциях на ось X будет иметь следующий вид:

Закон сохранения энергии запишется так:

Нами получена система двух уравнений с двумя неизвестными u_1х и u_2х. Для решения этой системы ее удобно переписать так:

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим:

Умножив обе части этого уравнения на m₂ и сложив полученный результат почленно с уравнением (6.10.3), приходим к выражению:

Применив аналогичный прием, получим выражение для проекции скорости ₂:

Применим эти формулы для двух частных случаев.

1. Второй шар до удара покоился (v_2x = 0), тогда

При m₁ > m₂ первый шар продолжает двигаться в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью. Если m₁

2. Оба шара имеют одинаковую массу, тогда

Шары при соударении обмениваются скоростями. Проверьте на опыте справедливость этих выводов.

Рассмотрено центральное столкновение абсолютно упругих шаров. Полученные формулы справедливы не только для столкновения макроскопических тел, но и в широких пределах для атомов и элементарных час тиц.

(1) Для этого необходимо, чтобы силы взаимодействия между телами зависели только от деформаций, но не от скоростей их движения друг относительно друга.

Упругие и неупругие соударения

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса при упругом ударе способствует нахождению решения механических задач с неизвестными действующими силами, то есть задания с ударным взаимодействием тел.

Применение такого вида задач используется в технике и физике элементарных частиц.

Удар или столкновение – это кратковременное взаимодействие тел с последующим изменением их скорости.

При столкновении действуют неизвестные кратковременные ударные силы. Закон Ньютона не разрешит ударное взаимодействие, а позволит только исключить сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновений без промежуточных значений.

Механика применяет такое определения абсолютно упругих и абсолютно неупругих ударов.

Абсолютно неупругий удар. Скорость

Абсолютно неупругий удар – это ударное взаимодействие с соединением (слипанием) движущихся тел.

Сохранение механической энергии отсутствует, так как переходит во внутреннюю, то есть нагревание.

Попадание пули в баллистический маятник – характерный пример действия энергии абсолютно неупругого удара, где
М – подвешенный ящик с песком, показанный на рисунке 1 . 21 . 1 , m – горизонтально летящая пуля с v → скоростью движения, застревающая в ящике. Определение скорости пули возможно по отклонению маятника.

Если скорость ящика с пулей обозначить как u → , тогда, используя формулу сохранения импульса, получаем:

m v = ( M + m ) u ; u = m M + m v .

Когда пуля застревает в песке, то механическая энергия теряется:

∆ E = m v 2 2 – ( M + m ) u 2 2 = M M + m · m v 2 2 .

M ( M + m ) обозначает долю кинетической энергии выпущенной пули и прошедшей во внутреннюю энергию системы. Тогда

∆ E E 0 = M M + m = 1 1 + m M .

Использование формулы подходит для задач с наличием баллистического маятника и другого неупругого соударения разномасных тел.

Когда m М ∆ E E 0 → 1 2 , тогда происходит переход кинетической энергии во внутреннюю. Когда m = M ∆ E E 0 → 0 , только половина кинетической переходит во внутреннюю. Если имеется неупругое соударение движущегося тела большей массой с неподвижным, имеющим ( m > > М ) , отношение принимает вид ∆ E E 0 → 0 .

Расчет движения маятника производится по закону сохранения механической энергии. Получаем

( M + m ) u 2 2 = ( M + m ) g h ; u 2 = 2 g h .

В данном случае h является максимальной высотой подъема маятника. Отсюда следует, что

v = M + m m 2 g h .

При известной высоте h возможно определение скорости пули v .

Рисунок 1 . 21 . 1 . Баллистический маятник.

Абсолютно упругий удар

Абсолютный упругий удар – это столкновение с сохранением механической энергии системы тел.

Большинство случаев столкновения атомов подчинено законам абсолютного упругого центрального удара. Закон сохранения импульса и механической энергии сохраняются при таком ударе. Для примера используется столкновение при помощи центрального удара бильярдных шаров. Один из них находится в состоянии покоя, как изображено подробно на рисунке 1 . 21 . 2 .

Центральный удар – это соударение, когда скорости шаров направлены по линии центра.

Рисунок 1 . 21 . 2 . Абсолютно упругий центральный удар шаров.

Встречаются случаи, когда массы m 1 и m 2 не равны. Тогда, используя закон сохранения механической энергии, получаем

m 1 v 1 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 .

За v 1 принимается скорость при абсолютном упругом ударе первого шара перед столкновением, а v 2 = 0 скорость второго шара, u 1 и u 2 – скорости после столкновения.

Запись закона сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, принимает вид:

m 1 v 1 = m 1 u 1 + m 2 u 2 .

Полученная система из двух уравнений позволяет найти неизвестные скорости u 1 и u 2 шаров после столкновения.

u 1 = m 1 – m 2 v 1 m 1 + m 2 ; u 2 = 2 m 1 v 1 m 1 + m 2 .

Если массы равны, то есть, тогда происходит остановка первого шара ( u 1 = 0 ) , а второй продолжает движение u 2 = v 1 _. происходит обмен скоростями и импульсами.

При наличии нулевой скорости второго шара ( v 2 ≠ 0 ) , задача могла бы свестись к предыдущей с переходим в новую систему отсчета с равномерным и прямолинейным движением и скоростью v 2 относительно «неподвижной» системы. В такой системе второй шар покоится до удара, а первый имеет скорость v 1 ‘ = v 1 – v 2 _. После определения скорости шаров v 1 и v 2 производится переход к «неподвижной» системе.

С помощью закона сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновений только с известными скоростями до соударения.

Рисунок 1 . 21 . 3 . Модель упругие и неупругие соударения.

При столкновении атомов или молекул применяется понятие центрального или лобового удара, который редко применим на практике. Нецентральный упругий удар не направлен по одной прямой.

Частный случай нецентрального упругого удара – соударение бильярдных шаров с одинаковой массой при обездвиженном одним из них, а другим направленным не по линии центра. Данная ситуация приведена на рисунке 1 . 21 . 4 .

Рисунок 1 . 21 . 4 . Нецентральное упругое соударение шаров с одинаковой массой, где d является прицельным расстоянием.

Нецентральное ударение характеризуется тем, что разлетатание шаров происходит под углом относительно друг друга. Чтобы определить скорости v 1 и v 2 после соударения, необходимо знать нахождение положения линии центров в момент удара или предельное расстояние d , изображенное на рисунке 1 . 21 . 4 .

Предельное расстояние

Предельным расстоянием называют расстояние между двумя линиями, которые проведены через центры шаров параллельно относительно вектора скорости v 1 → летящего шара.

При одинаковых массах шаров векторы v 1 → и v 2 → имеют перпендикулярное направление друг к другу. Это возможно показать с помощью применения законов сохранения импульса и энергии. Если m 1 = m 2 = m , тогда определение примет вид

v 1 → = u 1 → + u 2 → ; v 1 2 = u 1 2 + u 2 2 .

Первое равенство значит, что векторы v 1 → , u 1 → , u 2 → образуют треугольник, называемый диаграммой импульсов, второе – для его разрешения применяют теорему Пифагора. Угол, располагаемый между u 1 → и u 2 → , равняется 90 градусов.

Рисунок 1 . 21 . 5 . Модель соударения упругих шаров

[spoiler title=”источники:”]

http://tepka.ru/fizika_10/92.html

http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/zakony-sohranenija-v-mehanike/uprugie-i-neuprugie-soudarenija/

[/spoiler]

Заключение – дополнение к тексту

Мы применили закон сохранения импульса (одного из основных законов природы) к абсолютно неупругому и абсолютно упругому удару шаров.

При абсолютно неупругом ударе шары (тела) не сохраняют свою форму, то есть испытывают пластическую деформацию. К такому удару

можно отнести удар свинцовых шаров. При неупругом ударе не выполняется закон сохранения механической энергии, но выполняется закон сохранения полной энергии. При неупругом ударе механическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию тел (тела нагреваются). В случае нецентрального (косого) удара тел их общий импульс и общая скорость после абсолютно неупругого удара находятся путём векторного сложения импульсов отдельных тел.

При абсолютно упругом ударе (сюда можно грубо приближённо отнести удар стальных шаров) выполняется и закон сохранения импульса, и закон сохранения механической энергии. При упругом ударе механическая энергия шаров частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела принимают первоначальную форму, отталкивая друг друга. Потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию шаров. Шары приобретают скорости

направления и модули которых определяются законами сохранения полного импульса и полной энергии системы. Последний 3) частный случай говорит о том, что если лёгкий шарик испытает абсолютно упругий удар о неподвижную стенку, то он отскочит от неё без потери скорости. Пусть теперь шарик падает на неподвижную стенку под углом.

Тогда нормальная составляющая скорости шарика изменит своё направление на обратное, а по модулю останется прежней. Тангенциальная же составляющая скорости не изменится, поэтому угол падения будет равен углу отражения.

На рисунке вектора скорости падения и скорости отражения шарика перенесены в точку падения. Вектор изменения скорости направлен вверх перпендикулярно поверхности стенки. Такие же направления имеют импульсы шарика до удара и после удара о стенку, а вектор приращения импульса шарика

направлен по нормали от стенки.

В молекулярной физике происходит то же самое, когда молекулы газа ударяются о стенку сосуда. Проявляется это давлением газа на стенку сосуда.

Подумаем, что можно найти, если в условии задачи сказано, что шарик летит под прямым углом к движущейся навстречу стенке и между ними происходит упругий удар:

Сразу можно сказать, что скорость шарика относительно движущейся стенки равна

(см. занятие 12 на относительность движения). От стенки шарик отскочит со скоростью

относительно стенки, а относительно земли его скорость после удара

Далее можно найти импульс шара относительно земли до и после удара. Сможем найти изменение его импульса, его кинетическую энергию до и после удара.

Изменение кинетической энергии даст работу, совершённую силой упругости за время удара. Работу же можно выразить через произведение силы удара на перемещение стенки за время удара и найти силу удара.

Таким образом, через данные в условии задачи сможем охарактеризовать упругий удар между шаром и движущейся стенкой.

Абсолютно неупругий удар и абсолютно упругий удар – это предельные случаи кратковременного взаимодействия шаров (тел). При взаимодействии реальных тел имеют место и упругие, и неупругие деформации. Формула, связывающая скорости шаров до удара и после удара имеет вид:

коэффициент восстановления относительной скорости при ударе. В случае абсолютно неупругого удара он равен нулю; в случае абсолютно упругого удара он равен единице.

При ударе реальных тел этот коэффициент принимает промежуточные значения между нулём и единицей. Для стали этот коэффициент равен 0,56.

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.

Предыдущая запись: Занятие 23. Импульс системы тел. Центр масс системы

Следующая запись:Задачи 1 – 4 к занятиям 22 – 24

Первая запись на канале: Занятие 1. Физика. Механика. Кинематика