Как найти след секущей плоскости

Метод сечений многогранников в стереометрии
используется в задачах на построение. В его
основе лежит умение строить сечение
многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим
особенностями:

1. Метод сечений применяется только для
   многогранников, так как различные сложные
   (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в
   программу средней школы.
2. В задачах используются в основном простейшие
   многогранники.
3. Задачи представлены в основном без числовых
   данных, чтобы создать возможность их
   многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения
многогранника ученик должен знать:

• что значит построить сечение многогранника
  плоскостью;
• как могут располагаться относительно друг
  друга многогранник и плоскость;
• как задается плоскость;
• когда задача на построение сечения
  многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

• тремя точками;
• прямой и точкой;
• двумя параллельными прямыми;
• двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в
зависимости от задания этой плоскости. Поэтому
все способы построения сечений многогранников
можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения
сечений многогранников:

1. Метод следов.
2. Метод вспомогательных сечений.
3. Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического
метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы
построения сечений многогранников:

• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную точку параллельно
  заданной плоскости;
• построение сечения, проходящего через заданную
  прямую параллельно другой заданной прямой;
• построение сечения, проходящего через заданную
  точку параллельно двум заданным скрещивающимся
  прямым;
• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную прямую
  перпендикулярно заданной плоскости;
• построение сечения многогранника плоскостью,
  проходящей через заданную точку перпендикулярно
  заданной прямой.

В федеральный перечень учебников по геометрии
для 10-11 класов входят учебники авторов:

• Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др
  (Геометрия, 10-11);
• Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
• Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И.
  (Геометрия, 10-11);
• Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
• Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и
Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение
сечений многогранников” выделено два часа. В 10
классе в теме “Параллельность прямых и
плоскостей” после изучения тетраэдра и
параллелепипеда отводится один час на изложение
параграфа “Задачи на построение сечений”.
Рассматриваются сечения тетраэдра и
параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых
и плоскостей” завершается решением задач на
одном или двух часах (всего задач на построение
сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение
сечений отводится около трех часов в главе
“Многогранники”: один – на изучение темы
“Изображение призмы и построение ее сечений”,
второй – на изучение темы “Построение пирамиды
и ее плоских сечений” и третий – на решение
задач. В списке задач, приведенных после темы,
задач на сечение насчитывается всего около
десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме
“Построение сечений многогранников” для
учебника Погорелова А.В.

Материал предлагается расположить в той
последовательности, в какой он может применяться
для обучения учащихся. Из изложения темы
“Многогранники” предлагается исключить
следующие параграфы: “Построение сечений
призмы” и “Построение сечений пирамиды” с тем,
чтобы систематизировать данный материал в конце
этой темы “Многогранники”. Классифицировать
его по тематике задач с примерным соблюдением
принципа “от простого к сложному” можно весьма
условно следующим образом:

1. Определение сечения многогранников.
2. Построение сечений призмы, параллелепипеда,
   пирамиды методом следов. (Как правило в школьном
   курсе стереометрии используются задачи на
   построение сечений многогранников, решаемые
   основными методами. Остальные методы, в связи с
   их более высоким уровнем сложности, учитель
   может оставить для рассмотрения на
   факультативных занятиях или на самостоятельное
   изучение. В задачах на построение основными
   методами требуется построить плоскость сечения,
   проходящую через три точки).
3. Нахождение площади сечений в многогранниках
   (без использования теоремы о площади
   ортогональной проекции многоугольника).
4. Нахождение площади сечений в многогранниках (с
   применением теоремы о площади ортогональной
   проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных
занятий по теме “Построение сечений
многогранников”)

УРОК 1.

Тема урока: “Построение сечений
многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами
построений сечений многогранников.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.
2. Постановка задачи.
3. Изучение нового материала:

А) Определение сечения.

Б) Методы построений сечений:

а) метод следов;

б) метод вспомогательных сечений;

в) комбинированный метод.

1. Закрепление материала.

Примеры построений сечений методом следов.

1. Подведение итогов урока.

Тест.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним:
– пересечение прямой с плоскостью;
– пересечение плоскостей;
– свойства параллельных плоскостей.

2. Постановка задачи.

Вопросы к классу:
– Что значит построить сечение многогранника
плоскостью?
– Как могут располагаться относительно друг
друга многогранник и плоскость?
– Как задается плоскость?
– Когда задача на построение сечения
многогранника плоскостью считается решенной?

3. Изучение нового материала.

А) Итак, задача состоит в построении
пересечения двух фигур: многогранника и
плоскости ( рис.1). Это могут быть: пустая фигура
(а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если
пересечение многогранника и плоскости есть
многоугольник, то этот многоугольник называется сечением
многогранника плоскостью.

Рис. 1

Будем рассматривать только случай, когда
плоскость пересекает многогранник по его
внутренности. При этом пересечением данной
плоскости с каждой гранью многогранника будет
некоторый отрезок. Таким образом, задача
считается решенной, если найдены все отрезки, по
которым плоскость пересекает грани
многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на
следующие вопросы:

Рис. 2

– какие многоугольники получаются в сечении
куба плоскостью? (Важно число сторон
многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник,
четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

– может ли в сечении куба плоскостью получиться
семиугольник? А восьмиугольник и т.д.? Почему?

Давайте рассмотрим призму и ее возможные
сечения плоскостью ( на модели). Какие
многоугольники получаются?

Какой можно сделать вывод? Чему равно
наибольшее число сторон многоугольника,
полученного сечением многогранника с
плоскостью?

[ Наибольшее число сторон многоугольника,
полученного в сечении многогранника плоскостью,
равно числу граней многогранника.]

Б) а) Метод следов заключается в построении
следов секущей плоскости на плоскость каждой
грани многогранника. Построение сечения
многогранника методом следов обычно начинают с
построения так называемого основного следа
секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости
на плоскости основания многогранника.

б) Метод вспомогательных сечений
построения сечений многогранников является в
достаточной мере универсальным. В тех случаях,
когда нужный след (или следы) секущей плоскости
оказывается за пределами чертежа, этот метод
имеет даже определенные преимущества. Вместе с
тем следует иметь ввиду, что построения,
выполняемые при использовании этого метода,
зачастую получаются “скученными”. Тем не менее
в некоторых случаях метод вспомогательных
сечений оказывается наиболее рациональным.

Метод следов и метод вспомогательных сечений
являются разновидностями аксиоматического
метода построения сечений многогранников
плоскостью.

в) Суть комбинированного метода построения
сечений многогранников состоит в применении
теорем о параллельности прямых и плоскостей в
пространстве в сочетании с аксиоматическим
методом.

А теперь на примере решения задач рассмотрим метод
следов.

4. Закрепление материала.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁
плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки
указаны на чертеже (рис.3)).

Решение.

Рис. 3

1. Построим след секущей плоскости на плоскость
   нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В.
   В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем
   прямую PQ.
2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит
   сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим
   точку S₁, принадлежащую следу.
3. Аналогично получаем точку S₂ пересечением
   прямых QR и BC.
4. Прямая S₁S₂ – след секущей плоскости
   на плоскость нижнего основания призмы.
5. Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в
   точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U,
   так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D.
   Аналогично получаем TU и RT.
6. PQRTU – искомое сечение.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁
плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки
указаны на чертеже (рис.4)).

Решение.

Рис. 4

1. Точки N и P лежат в плоскости сечения и в
   плоскости нижнего основания параллелепипеда.
   Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта
   прямая является следом секущей плоскости на
   плоскость основания параллелепипеда.
2. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB
   параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в
   некоторой точке S. Эта точка принадлежит
   плоскости сечения.
3. Так как точка M также принадлежит плоскости
   сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой
   точке Х.
4. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D,
   соединим их и получим прямую XN.
5. Так как плоскости граней параллелепипеда
   параллельны, то через точку M можно провести
   прямую в грани A₁B₁C₁D₁,
   параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет
   сторону В₁С₁ в точке Y.
6. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно
   прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое
   сечение – MYZPNX.

Задача 3 ( для самостоятельного
решения).

Построить сечение тетраэдра DACB плоскостью,
проходящей через точки M, N, P (точки указаны на
чертеже (рис.5)).

Рис. 5

5. Подведение итогов урока.

Ответьте на вопрос: являются ли закрашенные
фигуры сечениями изображенных многогранников
плоскостью PQR? И выполните правильное построение
(рис. 6).

Вариант 1.

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 2.

УРОК 2.

Тема урока: НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ.

Цель урока: познакомить со способами
нахождения площади сечения многогранника.

Этапы урока:

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомнить теорему о площади ортогональной
проекции многоугольника.




2. Решение задач на нахождение площади сечения:

– без использования теоремы о площади
ортогональной проекции многоугольника;

– с использованием теоремы о площади
ортогональной проекции многоугольника.

3. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Актуализация опорных знаний.

Вспомним теорему о площади ортогональной
проекции многоугольника: площадь
ортогональной проекции многоугольника на
плоскость равна произведению его площади на
косинус угла между плоскостью многоугольника и
плоскостью проекции.

2. Решение задач.

Задача 1.

ABCD – правильная треугольная пирамида со
стороной основания AB равной а и высотой DH
равной h. Постройте сечение пирамиды
плоскостью, проходящей через точки D, C и М, где М –
середина стороны АВ, и найдите его площадь (рис.7).

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник MCD.
Найдем его площадь.

1. Так как основание пирамиды – равносторонний
   треугольник и точка М – середина стороны, то СМ
   является высотой и тогда, СМ = .




2. Площадь треугольника можно найти:

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · =

Рис.7

Задача 2.

Найти площадь сечения куба ABCDA₁B₁C₁D₁
с ребром а плоскостью, проходящей через
вершину D и точки Е и F на ребрах А₁D₁ и C₁D₁
соответственно, если A₁E = k · D₁E и C₁F
= k · D₁F.

Решение.

Построение сечения:

1. Поскольку точки Е и F принадлежат плоскости
   сечения и плоскости грани A₁B₁C₁D₁,
   а две плоскости пересекаются по прямой, то прямая
   EF будет являться следом секущей плоскости на
   плоскость грани A₁B₁C₁D₁
   (рис.8).
2. Аналогично получаются прямые ED и FD.
3. EDF – искомое сечение.

Рис.8.

Задача 3 (для самостоятельного решения).

Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁
со стороной а плоскостью, проходящей через
точки B, M и N, где Ь – середина ребра АА₁, а N –
середина ребра СС₁.

Решение.

Сечение строим методом следов.

Площадь сечения находим с помощью теоремы о
площади ортогональной проекции многоугольника.
Ответ: S = 1/2 · a².

На этой странице вы узнаете

• Как дракон с помощью сечений разрушал город?
• Чем вода похожа на сечение?
• Что общего у следа на снегу и следа в сечении?

Заглянем в кинотеатр имени Математики. Какой фильм сейчас будут показывать? Располагайтесь поудобнее, приятного просмотра… 

Сечения

Как дракон с помощью сечений разрушал город?

…В далеком будущем, на одной из недавно открытых планет, люди построили новую цивилизацию. Они возвели новые дома для комфортной жизни разных необычных форм. 

Но внезапно с другой, темной стороны планеты, появился дракон, коренной обитатель планеты. Ему не понравилось вторжение людей, и решил он стереть в пыль все строения. 

Он прилетал к домам, раскрывал свою пасть и стрелял страшным красным лучом. И каждая поверхность и каждый объем, которого касался этот луч, разрезался по прямой линии. 

Прилетел дракон к пирамиде и разрезал ее. Ахнули люди: верхушка пирамиды съехала, осталась лишь прямоугольная плоскость. 

Увидел дракон обычный дом — в форме параллелепипеда, — и снова луч разрезал здание. Осталась вместо крыши дыра в форме четырехугольника. 

Долетел змей до памятника того народа: “треугольной” башни. Разрушил и это здание. Раскололось здание на две половинки, а в месте их раскола остались треугольные дыры. 

Поняли люди: нет сил это терпеть! Собрали межгалактические войска и победили дракона. А после восстанавливали город и удивлялись: как интересно были разрезаны здания. 

Так что же делал дракон? Он разрезал геометрические тела, а на месте их разреза оставались сечения.

Сечение — это изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета секущей плоскостью. 

Разумеется, никакой дракон не прилетает и не рассекает наши рисунки в тетради. Все сечения чертятся отдельно, а представляются мысленно. 

Заметим, что в многогранниках сечение получается в форме многоугольника, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны на гранях. Обратим внимание, что две соседние вершины будут принадлежать одной и той же грани, то есть одной плоскости.

Рассмотрим сечение пирамиды АВС: вершины А, В и С лежат точно на ребрах. 

При этом пары вершин А и В, В и С, А и С лежат в одной грани и принадлежат одной плоскости. 

Сечение геометрических тел является очень интересным разделом стереометрии. Поскольку это раздел стереометрии, в нем действуют все ее законы, в том числе и аксиомы стереометрии. В этой статье мы не будем заострять на них внимание,  прочитать подробнее можно в статье «Аксиомы стереометрии. Расположение прямых и плоскостей в пространстве». 

Зачем может потребоваться сечение? 
Мы сталкиваемся с ними намного чаще, чем думаем. Они бывают не только в задачах, но и встречаются в жизни. 

Что мы делаем, когда нарезаем салат? Рассекаем овощи. Каждый разрез — это сечение.

А что делают архитекторы, когда чертят разрезы? Мысленно рассекают здание и показывают его “внутренности”. 

Сечения окружают нас, и в них совсем нет ничего сверхъестественного. А поэтому и разобраться в сечениях в стереометрии не составит для нас труда.

Методы построения сечений

Однако сечения нужно правильно построить. Для их построения существует несколько методов:

• Метод следов;
• Метод внутреннего проектирования;
• Комбинированный метод.

Разберем их по порядку.

Зимой очень интересно гулять по лесу и разглядывать следы животных: вот пробежал заяц, а это, кажется, была маленькая лисица. Здесь просто снег упал с веток дерева. 

Все эти тела оставляют след на снегу. 

Если мы возьмем карандаш и проведем прямую на листе, он оставит след. Также и плоскость сечения как бы проводит карандашом по граням фигур, оставляя после себя следы. 

След плоскости а в плоскости основания многогранника — прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания многогранника. 

Вспомним, что плоскость бесконечна, значит, и след можно продолжать в разные стороны бесконечно. 

Однако для построения сечений необходимости бесконечно его продолжать нет: достаточно до пересечения с ребром многогранника или продолжением ребра. 

Построим сечение куба, которое проходит через точки К, М и Т, чтобы  чуть подробнее разобраться в методе следов. 

При построении сечений существует очень важный лайфхак: если точки лежат в одной плоскости (то есть в одной грани), то их можно соединить. 

1. Заметим, что в нашем кубе это точки К и Т в плоскости (АВВ₁) и точки М и Т в плоскости (ВСС₁). Поэтому мы можем их соединить. 

2. КТ и МТ в нашем случае — это следы плоскости сечения. Продолжим их за точку К и за точку М. Аналогично продолжим стороны АВ и ВС до тех пор, пока их продолжения не пересекутся со следами. 

Пусть продолжения прямых АВ и ТК пересекутся в точке Н, а продолжения прямых ТМ и ВС пересекутся в точке F. 

3. Обратим внимание, что точки Н и F лежат на продолжении ребер основания, а значит, лежат в плоскости основания куба. Пользуясь лайфхаком, их можно соединить. Таким образом, получим треугольник, который как бы разрезает наш куб. 

4. Однако наше сечение не закончено. Вспомним, что все вершины многоугольника должны лежать на ребрах куба, то есть точки Н и F не подходят. Но на самом деле осталось совсем немного закончить построение.

5. Заметим, что прямая HF пересекает ребра AD, DC, назовем точки этих пересечений как N и L. 

А также соединим все точки, которые окажутся в одной плоскости. 

6. И вот мы получили сечение. Многоугольник TKNLM — сечение куба. 

Итак, основной способ построить сечение методом следов — продолжить след сечения до его пересечения с ребрами многогранника или продолжениями его ребер. 

А также пользоваться лайфхаком: точки в одной плоскости можно соединять. 

Рассмотрим метод внутреннего проектирования. 

Иногда метод следов может не помочь: след будет идти параллельно ребру или пересекаться с его продолжением далеко за пределами листа. 

В таких случаях часто используется следующее свойство: параллельные плоскости пересекаются другой плоскостью по параллельным прямым. Подробнее про это свойство можно прочесть в статье «Аксиомы стереометрии. Расположение прямых и плоскостей в пространстве». 

Польза этого свойства в том, что если сечение пройдет через параллельные плоскости, то оно пересечет их по параллельным линиям. А значит, зная сторону сечения в одной из этих плоскостей и точку в другой плоскости, мы можем просто параллельно перенести прямую и достроить сторону сечения во второй плоскости.

Но будем разбираться на практике. Построим сечение треугольной призмы, проходящее через точки К, М, Т. 

1. Первым делом соединим точки, лежащие в одной плоскости. Это точки К и Т в плоскости (АСС₁) и точки Т и М в плоскости (АВС). 

2. КТ проходит почти параллельно ребру АА₁, следовательно, использовать метод следов не рационально. 

3. Теперь посмотрим на плоскости (АВС) и (А₁В₁С₁) — они параллельные. А значит прямую сечения можно параллельно перенести в одну из них. 

В плоскости (АВС) лежит прямая ТМ, а в плоскости (А₁В₁С₁) лежит точка К, которая является вершиной сечения. Тогда из точки К в плоскости верхнего основания нам нужно провести прямую, параллельную ТМ до пересечения с ребром призмы. Назовем эту точку Е.

4. А теперь мы можем соединить Е и М, так как они лежат в одной плоскости. Четырехугольник КЕМТ — сечение призмы. 

Осталось разобраться, в чем заключается комбинированный метод? Он включает в себя и метод следов, и метод внутреннего проектирования, то есть приемы из каждого метода могут применяться вместе в одной и той же задаче.

Все зависит от удобства решения и его быстроты: там, где невозможно применить метод внутреннего проектирования, можно применить метод следов. А там, где применять метод следов неудобно (или невозможно), можно применить метод внутреннего проектирования. 

Примеры построения сечений

Рассмотрим несколько примеров построения сечений в различных фигурах. 

Пример 1. В правильном тетраэдре провели апофему АТ, на середине которой отметили точку К. АЕ:ЕС = 1:5. Р — точка на ребре CD. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки К, Е и Р. 

Решение. Подробнее про элементы пирамиды и тетраэдра можно прочесть в статье «Пирамида». Сейчас отметим, что апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная к основанию. 

1. Начнем решение с того, что соединим точки, лежащие в одной плоскости. Е и Р лежат в плоскости (ACD), значит их можно соединить. 

2. Рассмотрим плоскость (АСG). Проведем прямую CG. Точки К и Е лежат в одной плоскости, то есть их также можно соединить. 

3. Воспользуемся методом следов и продлим прямые ЕК и CG до их пересечения в точке Т. 

4. Теперь точки Т и Р будут лежать в одной плоскости основания, следовательно, их можно соединить. Пусть прямая ТР пересекает ребро BD в точке М. 

Тогда точки М и К лежат в одной плоскости (ABD) — их тоже можно соединить. 

5. Продлим прямую МК до пересечения с ребром АВ в точке О. Точки О и Е лежат в одной плоскости (АВС), соединим их. Сечением тетраэдра будет четырехугольник ОЕРМ. 

Пример 2. Дана треугольная призма. Постройте сечение призмы, проходящее через точки К, М, Т. 

Решение. 1. Соединим точки, лежащие в одной плоскости. Это точки К и Т в плоскости (АСС₁). 

Воспользуемся методом следов и продолжим прямую ТК до пересечения с продолжением стороны АС в точке Р.

2. Точки Р и М лежат в одной плоскости (АВС), то есть их можно соединить. Пусть прямая РМ пересечет ребро ВС в точке Е. 

Воспользуемся методом внутреннего проектирования и проведем из точки Т прямую, параллельную ЕМ. Пусть она пересечет ребро А₁В₁ в точке О. 

3. Осталось соединить точки, лежащие в одной плоскости. Это точки К и Е в плоскости (ВСС₁) и точки О и М в плоскости (АВВ₁). 

Тогда КТОМЕ — сечение призмы. 

Пример 3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. М — середина ребра АА₁. Постройте сечение куба, которое будет параллельно диагонали куба А₁С и будет проходить через точки М и В.

Решение. 1. Достроим прямую АС и рассмотрим плоскость (АА₁С). Проведем в ней прямую, параллельную А₁С из точки М. Пусть она пересечет АС в точке К. 

2. Тогда МК — средняя линия треугольник АА₁С, значит К — середина АС. 

Подробнее про среднюю линию треугольника можно прочесть в статье «Треугольники». 

3. Точка К будет принадлежать сечению. Точки В и К лежат в плоскости (АВС) —  их можно соединить. 

4. В основании куба находится квадрат, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. 

Подробнее про квадрат и его свойства можно прочитать в статье «Параллелограмм». 

Поскольку К — середина диагонали АС, эта же точка будет серединой диагонали BD. 

Следовательно, прямую ВК можно продлить до точки D. 

5. Осталось только соединить точки, которые лежат в одной плоскости. Это точки М и D в плоскости (ADD₁) и точки М и В в плоскости (ABB₁). 

Тогда сечением будет треугольник DMB. 

Мы рассмотрели сечения и основные способы их построения. В них нет ничего сложного и стоит помнить, что любое сечение можно представить в реальной жизни. Например, попробовать разрезать пластилиновые фигуры. 

Фактчек

• Сечение — это изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета секущей плоскостью. При этом в многогранниках сечения представлены в виде многоугольников, вершины которых лежат на ребрах фигуры.
• Существует несколько методов построения сечения в многогранниках: метод следов, метод внутреннего проектирования и комбинированный метод. 
• Метод следов заключается в том, что по следу сечения можно построить его полностью. След сечения — прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань многогранника. В методе следов часто нужно продлевать линии и ребра до их пересечения.
• Метод внутреннего проектирования позволяет параллельно переносить сторону сечения в параллельных плоскостях. Это может быть удобно в случаях, когда метод следов невозможно или трудно применить. 
• Комбинированный метод — метод, который сочетает в себе и метод следов, и метод внутреннего проектирования. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какая форма сечения будет, если треугольную пирамиду разрезать параллельно основанию?

1. Треугольник;
2. Четырехугольник;
3. Шестиугольник;
4. Произвольный многоугольник с любым количеством углов. 

Задание 2.
Где могут лежать вершины многоугольника, который образовывает сечение?

1. Только в вершинах многогранника;
2. На ребрах многогранника;
3. Только на гранях многогранника;
4. В любой точке на многограннике. 

Задание 3.
Что такое след сечения?

1. Продолжения сторон сечения;
2. Вершины многоугольника, который образовывает сечение;
3. Прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания многогранника;
4. Все вышеперечисленные варианты. 

Задание 4.
Что можно сделать с точками, которые лежат на одной грани?

1. Соединить;
2. Ни в коем случае нельзя их соединять;
3. Построить сечение, опираясь на две разные стороны, не соединяя стороны;
4. Ни один из перечисленных вариантов. 

Задание 5.
Как можно воспользоваться методом внутреннего проектирования?

1. Произвольно переносить линии сечения в любых гранях;
2. Произвольно переносить линии сечения в параллельных гранях;
3. Перпендикулярно переносить линии сечения в перпендикулярных гранях;
4. Параллельно переносить линии сечения в параллельных гранях. 

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 3 4. — 1 5. — 4

В этом методе мы
первым действием (после нахождения
вторичных проекций данных точек) строим
след секущей плоскости на плоскости
верхнего или нижнего основания призмы
или усечённой пирамиды или на основании
пирамиды

Зад
2. Дано
изображение треугольной призмы
ABCA₁B₁C₁
и трёх точек
M,
N,
P,
которые лежат
соответственно на ребре СС₁
и гранях
ABB₁A₁,
BCC₁B₁.
Построить
сечение призмы плоскостью,
проходящей
через M,
N,
P.

Решение.
Мы уже имеем одну точку на верхнем
основании призмы, поэтому и след мы
будем строить на верхнем основании.
Строим вторичные проекции точек N
и P
на верхнее
основание.Затем: 1.NPN₃P₃=X;
2.MX=p
–след; 3.pB₁C₁=D.

Дальнейшие действия
уже были показаны выше на чертеже.

Зад
3. Реш.
Мы будем
строить след секущей плоскости на нижнем
основании призмы.

Строим:1.
MNED=X,
MPEP₃=Y;

2. p=XY
– след;3.
pBC=G,
pDC=H.

Нам нужно найти
точку
на ребре
BB₁
или на ребре AA₁.

ВграниABB₁A₁
мы уже
имеем одну точку P.
Поэтому нижнее ребро этой грани, т.е.
AB,
мы продолжаем до пересечения со следом.

4. ABp=Z.

5. PZAA₁=F;
PZBB₁=K.Дальнейшие
действия уже показаны выше.

Если окажется, что
линия AB
не пересекается
со следом, то искомая FK
тоже будет
параллельна следу.
Зад4.
Реш. 1.
PNP_oN_o=X;

2. MNCN_o=Y;3.
p=XY
– след;

3.
CBp=Z;4.
ZMSB=E;

5. ENSA=G
6.

GEMF – иск
сечение.

17. Построение сечения цилиндра.

Если секущая
плоскость задана тремя точками, то мы
всегда можем найти её след на плоскости
основания цилиндра или конуса и точку
(P,
O)
на его оси. Поэтому считаем, что секущая
плоскость задана именно этими элементами.

Сначала
рас-им случай, когда плоскость пересекает
только боковую поверхность цилиндра.
Тогда сечением цилиндра будет эллипс
(;¯ и его изображение – тоже эллипс.
Мы знаем способ построения эллипса,
если известны два его сопряжённых
диаметра. Мы сейчас покажем, как можно
найти изображение главных диаметров
эллипса (;¯.

Пусть 
и ₁
– эллипсы,
изображающие нижнее и верхнее основания
цилиндра, O
и O₁
– их центры.
Проведём диаметр A₃B₃
нижнего основания, параллельный следу
и сопряжённый ему диаметр C₃D₃.
Для построения C₃D₃
мы используем
хорду K₃L₃,
один конец которой принадлежит контурной
образующей. Напомним, что
A₃B₃
и C₃D₃
изображают
перпендикулярные диаметры. Продолжим
C₃D₃
до пересечения
со следом. Получим точ X.
Прям.PX
наз-ём осью
сечения.

Поднимем точки
C₃
и D₃
до оси
сечения. Получим C
и D.
Отрезок CD
является изображением большогодиаметра
сечения. Поднимем отрезок
A₃B₃на
высоту OP.
Получим отрезок AB,
который является изображением малого
диаметра сечения. Отр-и AB
и CD
–сопряж-ые
диам. эллипса .

Найти
ещё точки, в которых эллипс переходит
с видимой стороны цилиндра на невидимую,
а значит, сплошная линия переходит в
пунктир. Это точки пересечения секущей
плоскости с контурными образующими.
ПустьY₃=K₃L₃C₃D₃.
Поднимем Y₃
до оси
сечения. Получим точку Y.
Поднимем хорду K₃L₃
на высоту
YY₃.
Получим отрезок KL.
Мы нашли требуемую точку K,
а попутно, ещё одну дополнительную точку
L.
Точка M,
изобр-щая пересечение секущей плоск-и
со второй контурной образующей симметрична
точкеK
относительно точкиP.Допол-но
построим точN,
симметричнуюL
относ-нточки
P

Покажем способ,
как можно найти любое кол-во точек на
сечении без испол-ия этих диаметров.

выбираем люб.
точкуV₃
на эллипсе .
Проводим диаметрV₃T₃
и продолжаем его до пересечения со
следом.Получим точкуU.
Поднимаем точки V₃
и T₃
до прямой
UP.
Получаем две точки V
и T
на сечении. Выбирая вместо V₃
другую
точку, получим др. 2 точки на сеч.Если
выбрать точку K₃,
лежащую на контурно образующей, мы
найдём точки K
и M,
в которых сплошная линия на сечении
должна перейти в пунктирную.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Скачать материал

без ожидания

Скачать материал

без ожидания

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Построение сечений:
  метод следов
  Астрахань – 2012 г.

• 

  2 слайд

  Существует три основных метода построения сечений многогранников:

  Метод следов.
  Метод вспомогательных сечений.
  Комбинированный метод.

• 

  3 слайд

  Метод следов заключается в построении следов секущей плоскости на плоскость каждой грани многогранника.
  Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения так называемого основного следа секущей плоскости, т.е. следа секущей плоскости на плоскости основания многогранника.

• 

  4 слайд

  Задача 1.
  Дана призма ABCDA1B1C1D1.
  Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P, Q, R.

  P
  Q
  R

• 

  5 слайд

  Задача 1.
  Рассмотрим грань АА1В1В.
  В этой грани лежат точки сечения P и Q.
  Проведем прямую PQ.

• 

  6 слайд

  Задача 1.
  Прямая PQ, которая принадлежит сечению, пересекается с прямой АВ в точке S1.

• 

  7 слайд

  Задача 1.
  Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC.

• 

  8 слайд

  Задача 1.
  Прямая S1S2 – след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

• 

  9 слайд

  Задача 1.
  Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т.
  Аналогично получаем TU и RT.
  Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости
  грани АА1D1D.

• 

  10 слайд

  Задача 1.
  PQRTU – искомое сечение.

• 

  11 слайд

  Задача 2.
  Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

• 

  12 слайд

  Задача 2.
  Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки.
  Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

• 

  13 слайд

  Задача 2.
  Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда.
  Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S.
  Эта точка принадлежит плоскости сечения.

• 

  14 слайд

  Задача 2.
  Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х.

• 

  15 слайд

  Задача 2.
  Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN.

• 

  16 слайд

  Задача 2.
  Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y.
  Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP.

• 

  17 слайд

  Задача 2.

  Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

• 

  18 слайд

  Задача 3.
  На ребрах АА’ и В’С’ призмы АВСА’В’С’ зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в грани ВСВ’С’.

• 

  19 слайд

  Задача 3.
  Так как точки Q и R лежат в плоскости (ВСС’), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскость(ВСС’).

• 

  20 слайд

  Задача 3.
  Находим точки В” и С” , в которых прямая QR пересекает соответственно прямые ВВ’ и СС’. Точки В” и С” – это следы плоскости (PQR) соответственно на прямых ВВ’ и СС’.

• 

  21 слайд

  Задача 3.
  Так как точки В” и Р лежат в плоскости (АВВ’), то прямая ”Рлежит в этой плоскости. Проведем ее. Отрезок ”Р– след плоскости (PQR) на грани АВВ’А’.

• 

  22 слайд

  Задача 3.
  Так как точки Р и С лежат в плоскости (АСС’), то прямая РС” лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС’).

• 

  23 слайд

  Задача 3.
  Находим точку V, в которой прямая РС” пересекает ребро А’С’. Это след плоскости (PQR) на ребре А’С’.

• 

  24 слайд

  Задача 3.
  Так как точки Q и V лежат в плоскости (А’В’С’), то прямая QV лежит в этой плоскости. Проведем прямую QV. Отрезок QV – след плоскости (PQR) на грани АВС.

  Итак, мы получили многоугольник QB”PV – искомое сечение.

• 

  25 слайд

  Задача 4.
  На ребрах АА’ и В’С’ призмы АВСА’В’С’ зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в грани А’В’С‘.

• 

  26 слайд

  Задача 4.
  Так как точки Q и R лежат в плоскости (А’В’С’), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (А’В’С’).

• 

  27 слайд

  Задача 4.
  Находим точки D’ и Е’, в которых прямая QR пересекает соответственно прямые А’В’ и А’С’. Так как точка D’ лежит на ребре А’В’, отрезок Е’D’ – след плоскости (PQR) на грани А’В’С’.

• 

  28 слайд

  Задача 4.
  Так как точки D’ и P лежат в плоскости (АВВ’), то прямая D’P лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АВВ’), а отрезок D’P – след плоскости (PQR) на грани АВВ’А’.

• 

  29 слайд

  Задача 4.
  Так как точки Р и Е’ лежат в плоскости (АСС’), то в этой плоскости лежит прямая РЕ’. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС’).

• 

  30 слайд

  Задача 4.
  Находим точку К. Так как точка К лежит на ребре СС’, то отрезок РК – это след плоскости (PQR) на грани АСС’А’.

• 

  31 слайд

  Задача 4.
  Так как точки Q и К лежат в плоскости (ВСС’), то прямая QК лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС’), а отрезок QК- след плоскости (PQR) на грани ВСС’В’. Итак, мы получили многоугольник QD’РК – это и есть искомое сечение.

• 

  32 слайд

  Спасибо за внимание!

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 257 865 материалов в базе

• Выберите категорию:

• Выберите учебник и тему

• Выберите класс:

• Тип материала:

  • Все материалы

  • Статьи

  • Научные работы

  • Видеоуроки

  • Презентации

  • Конспекты

  • Тесты

  • Рабочие программы

  • Другие методич. материалы

Найти материалы

Вам будут интересны эти курсы:

• Курс повышения квалификации «Подростковый возраст – важнейшая фаза становления личности»

• Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

• Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»

• Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

• Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

• Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

• Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»

• Курс профессиональной переподготовки «Риск-менеджмент организации: организация эффективной работы системы управления рисками»

• Курс профессиональной переподготовки «Организация системы менеджмента транспортных услуг в туризме»

• Курс повышения квалификации «Финансовые инструменты»

• Курс профессиональной переподготовки «Информационная поддержка бизнес-процессов в организации»

• Курс профессиональной переподготовки «Стратегическое управление деятельностью по дистанционному информационно-справочному обслуживанию»

1


Метод следов

2


След- линия пересечения секущей плоскости с каждой гранью многоугольника. След секущей плоскости будем находить на нижнем основании.

3


Алгоритм построения следа секущей плоскости 1. Находим проекции данных точек на плоскость нижнего основания. 2. Строим точку X. 3. Строим точку Y. 4. XY – это след секущей плоскости на плоскость нижнего основания.

4


Пример 1 На рёбрах ВВ1, СС1, DD1 призмы АВСDА1В1С1D1 заданы соответственно точки Р, Q и R. Построить основной след секущей плоскости PQR РЕШЕНИЕ. 1) Найдём проекции точек P, Q, R на плоскость нижнего основания. Получим P1, Q1, R1. 2) Прямая РР1 QQ1, поэтому P, Q, P1, Q1 лежат в одной плоскости. 3) Построим точку Х – точку пересечения прямых PQ, и P1Q1. 4) Построим точку Y – точку пересечения прямых QR и Q1R1. 5) XY – искомый след.

5


Пример 1 XY-искомый след

6


Пример 2 На ребре МС пирамиды МАВСD задана точка Р, в грани МАВ – точка Q, а внутри пирамиды в плоскости МВD – точка R. Построить основной след секущей плоскости PQR. РЕШЕНИЕ 1) Найдём проекции точек P, Q, R на плоскость АВС, приняв вершину М за центр проектирования, получим точки P1, Q1, R1. 2) Построим точку Х – точку пересечения PQ, и P1Q1. 3) Построим точку Y – точку пересечения прямых РR и Р1R1. 4) XY – искомый след.

7


Пример 2 XY-искомый след.

8


Пример 3 Построить сечение пирамиды DАВС плоскостью, проходящей через точки М, N, P. РЕШЕНИЕ. 1) Соединим точки М и N. 2) Соединим N и P. 3) Х – точка пересечения MN и АВ. 4) Через точки Х и P проведём прямую, которая пересечёт плоскость АВС в точке К. 5) Соединим точки М и К. 6) MNPK – искомое сечение.

9


Пример 3 MNPK- искомое сечение

10


Пример 4 Построить сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью, проходящей через точки М, К, N. РЕШЕНИЕ 1) Соединим точки M и N, N и K. 2) Найдём проекции точек M, N, K на плоскость АВСD, получим точки M1, N1, K1. 3) Х – точка пересечения MN и M1N1. 4) Y – точка пересечения ХК и ВY. 5) F – точка пересечения MY и ХY. MNKEF-искомое сечение.

11


Пример 4 MNKEF- искомое сечение

12


Пример 5 Построить сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через точки P, Q, R. PВВ1, R(ВВ1С1С), Q(АА1С1С). РЕШЕНИЕ 1) Построим проекции точек P, Q, R на плоскость нижнего основания. Получим P1, Q1, R1. 2) Х – точка пересечения РR и Р1R1. 3) Y – точка пересечения QR и Q1R1. 4) XY – след секущей плоскости. 5) Продолжим прямую АВ, получим точку, которую соединим с P и продолжим прямую. Она пересечёт А1В1 в точке М. 6) Соединим М и Е. 7) МЕQFRP – искомое сечение.

13


Пример 5 MEQFRP-искомое сечение