Как найти следы плоскости заданной параллельными прямыми

Построение следов плоскости

Построение следов плоскости бывает необходимо, когда плоскость задана прямыми, точкой и прямой и тремя точками.
Построение следов плоскости производят из условия: если прямая общего положения лежит в плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости.
Построение следов плоскости α, заданной двумя пересекающимися прямыми

выполняют исходя из того что следы плоскости – это пересекающиеся прямые. Для проведения каждого следа на эпюре необходимы две точки:
– для горизонтального следа αH найдены bH и dH, горизонтальные следы прямых b и d соответственно;
– для фронтального следа αV найдены dV и αx, фронтальный след прямой d и точка схода следов соответственно.

Построение следов плоскости α, заданной двумя параллельными прямыми

Для проведения каждого следа на эпюре необходимы две точки:
– для горизонтального следа αH найдены bH и dH, горизонтальные следы прямых b и d соответственно;
– для фронтального следа αV найдены bV и αx, фронтальный след прямой d и точка схода следов соответственно.

Построение следов плоскости α, заданной пересекающимися горизонталью и фронталью

Для проведения каждого следа на эпюре необходима одна точка:
– для горизонтального следа αH найдены fH ;
– для фронтального следа αV могут быть использованы hV или αx, фронтальный след прямой h или точка схода следов соответственно.

Если требуется выполнить построение следов плоскости, заданной тремя точками, тогда следует соединить одноименные проекции точек прямыми линиями, которые или пересекаются или параллельны между собой . Дальнейший ход решения показан в выше изложенных примерах.

Построение следов плоскости заданной одним из следов и точкой

Через точку A проводим горизонталь h плоскости и находим ее след hV.
Проводим фронтальный след плоскости α через след прямой hV и точку схода следов αx.

или

Построение следов плоскости бывает необходимо, из условия принадлежности точки или прямой плоскости.

Через точку B проводим произвольную прямую h – горизонталь плоскости и находим ее след hV.
Проводим фронтальный след αV через след hV произвольного направления. Проводим горизонтальный след αH через точку схода следов αx.

+

Построение следов плоскости

Построение следов плоскости бывает необходимо, когда плоскость задана прямыми, точкой и прямой и тремя точками. Построение следов плоскости производят из условия: если прямая общего положения лежит в плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости. Построение следов плоскости α, заданной двумя пересекающимися прямыми

выполняют исходя из того что следы плоскости – это пересекающиеся прямые. Для проведения каждого следа на эпюре необходимы две точки: – для горизонтального следа αH найдены bH и dH, горизонтальные следы прямых b и d соответственно; – для фронтального следа αV найдены dV и αx, фронтальный след прямой d и точка схода следов соответственно.

Построение следов плоскости α, заданной двумя параллельными прямыми

Для проведения каждого следа на эпюре необходимы две точки: – для горизонтального следа αH найдены bH и dH, горизонтальные следы прямых b и d соответственно; – для фронтального следа αV найдены bV и αx, фронтальный след прямой d и точка схода следов соответственно.

Построение следов плоскости α, заданной пересекающимися горизонталью и фронталью

Для проведения каждого следа на эпюре необходима одна точка: – для горизонтального следа αH найдены fH ; – для фронтального следа αV могут быть использованы hV или αx, фронтальный след прямой h или точка схода следов соответственно.

Если требуется выполнить построение следов плоскости, заданной тремя точками, тогда следует соединить одноименные проекции точек прямыми линиями, которые или пересекаются или параллельны между собой . Дальнейший ход решения показан в выше изложенных примерах.

Построение следов плоскости заданной одним из следов и точкой

Через точку A проводим горизонталь h плоскости и находим ее след hV. Проводим фронтальный след плоскости α через след прямой hV и точку схода следов αx.

Построение следов плоскости бывает необходимо, из условия принадлежности точки или прямой плоскости.

Через точку B проводим произвольную прямую h – горизонталь плоскости и находим ее след hV. Проводим фронтальный след αV через след hV произвольного направления. Проводим горизонтальный след αH через точку схода следов αx.

Следы плоскости

На рисунке показана плоскость общего положения α. Она пересекает плоскости проекций П₁, П₂, П₃ по прямым h_0α, f_0α и p_0α. Эти прямые называются горизонтальным, фронтальным и профильным следом плоскости α.

Оси координат пл. α пересекает в точках X_α, Y_α и Z_α. Они называются точками схода следов. При этом X_α = h_0α ∩ f_0α, Y_α = h_0α ∩ p_0α, Z_α = f_0α ∩ p_0α. Здесь знак ∩ означает пересечение.

На комплексном чертеже плоскость можно задать проекциями двух её следов. Это обеспечивает наглядность изображения и удобство при выполнении ряда построений. Стоит отметить, что угол, образованный следами плоскости на комплексном чертеже, не равен углу между ними в пространстве.

Алгоритм построения следов плоскости

На рисунке, который представлен ниже, некоторая плоскость α задана проекциями двух пересекающихся прямых a и b. Чтобы найти её следы, необходимо:

1. Построить точки H_a и H_b – горизонтальные следы прямых a и b. Провести через них h_0α – горизонтальный след пл. α до пересечения его с осью x.
2. Построить точки F_a и F_b – фронтальные следы прямых a и b. Провести через них f_0α – одноименный след плоскости α.
3. Если построения выполнены верно, то прямые h_0α и f_0α пересекутся между собой в точке X_α, расположенной на оси проекций.

Решение задачи можно сократить. Для этого, построив горизонтальный след плоскости, фронтальный нужно провести через X_α и одну из точек, F_a или F_b. Таким образом, вместо четырех следов прямых a и b будет достаточно найти три.

Задание 1. Построение следов плоскости и определение расстояния от точки до плоскости

1.1. Условие задания

Построить следы плоскости, заданной ∆BCD, и определить расстояние от точки А до заданной плоскости методом прямоугольного треугольника (координаты точек А, В, С и D см. в Таблице 1 раздела Задания);

1.2. Пример выполнения задания № 1

Первое задание представляет комплекс задач по темам:

1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость: по известным координатам трех точек B, C, D построить горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD;

2. Следы прямой, следы плоскости, свойства принадлежности прямой плоскости: построить следы плоскости, заданной ∆BCD;

3. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, перпендикулярность прямой и плоскости, пересечение плоскостей, метод прямоугольного треугольника: определить расстояние от точки А до плоскости ∆BCD.

1.2.1. По известным координатам трех точек B, C, D построим горизонтальную и фронтальную проекции плоскости, заданной ∆BCD (Рисунок 1.1), для чего необходимо построить горизонтальные и фронтальные проекции вершин ∆BCD, а затем одноименные проекции вершин соединить.

Известно, что следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций.

У плоскости общего положения 3 следа: горизонтальный, фронтальный и профильный.

Для того чтобы построить следы плоскости, достаточно построить следы (горизонтальный и фронтальный) любых двух прямых, лежащих в этой плоскости, и соединить их между собой. Таким образом, след плоскости (горизонтальный или фронтальный) будет однозначно определен, поскольку через две точки на плоскости (в данном случае этими точками будут следы прямых) можно провести прямую, и при том, только одну.

Основанием для такого построения служит свойство принадлежности прямой плоскости: если прямая принадлежит заданной плоскости, то ее следы лежат на одноименных следах этой плоскости.

Следом прямой называется точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций.

Горизонтальный след прямой лежит в горизонтальной плоскости проекций, фронтальный – во фронтальной плоскости проекций.

Рассмотрим построение горизонтального следа прямой DB, для чего необходимо:

1. Продолжить фронтальную проекцию прямой DB до пересечения с осью X, точка пересечения М₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа;

2. Из точки М₂ восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой DB или ее продолжением. Точка пересечения М₁ и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа (Рисунок 1.1), которая совпадает с самим следом М.

Аналогично выполняется построение горизонтального следа отрезка СВ прямой: точка М’.

Чтобы построить фронтальный след отрезка CB прямой, необходимо:

1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой CB до пересечения с осью X, точка пересечения N₁ является горизонтальной проекцией фронтального следа;

2. Из точки N₁ восстановить перпендикуляр (линию проекционной связи) до его пересечения с фронтальной проекцией прямой CB или ее продолжением. Точка пересечения N₂ и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

Соединив точки M′₁ и M₁ отрезком прямой, получим горизонтальный след плоскости απ₁. Точка α_x пересечения απ₁ с осью X называется точкой схода следов. Для построения фронтального следа плоскости απ₂ необходимо соединить фронтальный след N₂ с точкой схода следов α_x

Рисунок 1.1 — Построение следов плоскости

Алгоритм решения этой задачи может быть представлен следующим образом:

1.2.2. Для решения второй части первого задания необходимо знать, что:

• расстояние от точки А до плоскости ∆BCD определяется длиной перпендикуляра, восстановленного из этой точки на плоскость;
• любая прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости;
• на эпюре проекции прямой, перпендикулярной плоскости, перпендикулярны наклонным проекциям горизонтали и фронтали этой плоскости или одноименным следам плоскости (рис. 1.2) (см. в лекциях Теорему о перпендикуляре к плоскости).

Чтобы найти основание перпендикуляра, необходимо решить задачу на пересечение прямой (в данной задаче такой прямой является перпендикуляр к плоскости) с плоскостью:

1. Заключить перпендикуляр во вспомогательную плоскость, в качестве которой следует взять плоскость частного положения (горизонтально-проецирующую или фронтально-проецирующую, в примере в качестве вспомогательной плоскости взята горизонтально-проецирующая γ, то есть перпендикулярная к π₁, ее горизонтальный след γ₁ совпадает с горизонтальной проекцией перпендикуляра);

2. Найти линию пересечения заданной плоскости ∆BCD со вспомогательной γ (MN на рис. 1.2);

3. Найти точку пересечения линии пересечения плоскостей MN с перпендикуляром (точка К на рис. 1.2).

4. Для определения истинной величины расстояния от точки А до заданной плоскости ∆BCD следует воспользоваться методом прямоугольного треугольника: истинная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а другим – разность расстояний от его концов до плоскости проекций, в которой ведётся построение.

5. Определите видимость участков перпендикуляра методом конкурирующих точек. На примере — точки N и 3 для определения видимости на π₁, точки 4, 5 — для определения видимости на π₂.

Рисунок 1.2 — Построение перпендикуляра к плоскости

Рисунок 1.3 — Пример оформления контрольного задания №1

[spoiler title=”источники:”]

http://ngeometry.ru/sledy-ploskosti.html

[/spoiler]

           
Положение плоскости
в пространстве может быть определено
ее следами. Следами плоскости называются
прямые линии, по которым данная плоскость
пересекается с плоскостями проекций.

           
В общем случае
плоскость имеет три следа – горизонтальный,
фронтальный и профильный.

           
На рис. 3.1. и в таблице
3.1. п.6  они обозначены соответственно
P₁, P₂,
P₃ (буквой Р обозначена
заданная плоскость, а индексы 1, 2, 3
означают, с какой из плоскостей проекций
пересекается плоскость Р).

           
В точках P_x,
P_y,
P_z,
лежащих на осях координат, следы плоскости
пересекаются. Эти точки называются
точками схода следов плоскости.

           
Следы плоскости
всегда можно построить, если положение
плоскости в пространстве задано одним
из перечисленных выше способов.

           
Если прямая АВ
(рис.3.1. а и б) лежит в плоскости Р, то она
пересечет плоскость П₁ в точке М₁
расположенной на линии Р₁, т.е.
горизонтальный след прямой, лежащей в
плоскости, расположен на горизонтальном
следе плоскости.

Рис.
3.1.

           
Плоскость П₂
прямая АВ пересечет в точке  N,
расположенной на линии Р₂.

           
Иными словами, следы
прямой, лежащей в плоскости, расположены
на одноименных следах плоскости.

           
Отсюда следует, что
следы плоскости должны проходить
через одноименные следы прямых, лежащих
в плоскости.

           
Чтобы построить
след плоскости, необходимо определить
следы двух прямых, лежащих в плоскости.

           
На рис. 3.1. плоскость
задана двумя пересекающимися прямыми
АВ и СD. Чтобы построить
горизонтальный след плоскости необходимо
найти горизонтальный след прямой АВ –
точку М и прямой СD – точку
М¹. Горизонтальный след плоскости
будет проходить через точки М и М¹.

           
Фронтальный след
плоскости Р₂ строится аналогично.
Следует отметить, что для построения
следа Р₂ достаточно иметь фронтальный
след только одной прямой, так как второй
точкой, определяющей положение следа
Р₂ будет точка Р_х схода
следов (точка пересечения ранее
построенного следа Р₁ с осью х).

3.3 Принадлежность прямой и точки заданной плоскости

           
Прямая принадлежит
плоскости, если две её точки принадлежат
этой плоскости. Прямая MN
(рис.3.2,а) расположена в  плоскости Р,
заданной следами, поскольку две точки
прямой М и N(горизонтальный
и фронтальный её следы) принадлежат
плоскости, т.е. расположены на её следах.
Прямая 1-2 (рис.3.2, б) принадлежит плоскости,
заданной параллельными прямыми, поскольку
имеет с ней две общие точки.

Рис.
3.2

           
Точка принадлежит
плоскости, если она расположена на
прямой, принадлежащей данной плоскости.
Для того, чтобы построить в плоскости
точку (рис. 3.2), необходимо провести в
плоскости прямую, принадлежащую
плоскости, а затем задать на ней точку
Е, которая принадлежит прямой и,
следовательно, и плоскости.

3.4 Плоскости общего и частного положения

           
Различают частные
и общие случаи расположения плоскости
в пространстве относительно плоскостей
проекций.

Плоскость общего
положения. Плоскость, произвольно
расположенная по отношению к плоскостям
проекций, называется плоскостью общего
положения (рис. 3.1).

           
Проекции элементов,
которыми задана такая плоскость (точки,
прямые, следы плоскости, плоские фигуры),
составляют случайные углы с линиями
связи и осями проекций комплексного
чертежа, т.е. располагаются произвольно
и ни в одной проекции на вырождаются в
более простой геометрический образ.

           
Плоскости,
перпендикулярные одной или двум
плоскостям проекций называются
плоскостями частного положения.

           
Плоскость,
перпендикулярная к плоскости проекций
называется проецирующей плоскостью.
Проецирующая плоскость, перпендикулярная
к горизонтальной плоскости проекций
называется горизонтально-проецирующей,
к фронтальной – фронтально-проецирующей,
к профильной – профильно-проецирующей.

           
В прямоугольных
проекциях плоскость, перпендикулярная
к плоскости проекций, параллельна
направлению проецирования и поэтому
является проецирующей.  Её проекция
на этой плоскости вырождается в прямую;
проекция на другую плоскость является
неограниченным полем точек.

           
Горизонтально-проецирующая
плоскость. Фронтальной проекцией
плоскости РП₁
является неограниченное поле точек
(табл. 3.2, п.1), горизонтальной – прямая
Р₁. Горизонтальная проекция любой
линии (точки, фигуры), лежащей в
горизонтально-проецирующей плоскости,
располагается на выродившейся в прямую
горизонтальной проекции этой плоскости.

Фронтально-проецирующая
плоскость. Горизонтальная проекция
плоскости РП₂
представляет собой неограниченное поле
точек (табл. 3.2, п.2), фронтальная проекция
Р₂ вырождается в прямую. Фронтальная
проекция любой точки, линии или фигуры,
лежащих во фронтально-проецирующей
плоскости, располагаются на выродившейся
в прямую фронтальной проекции этой
плоскости.

           
Профильно-проецирующая
плоскость. Профильная проекция
плоскости РП₃,
вырождается в прямую (табл. 3.2., п.3).
Проекциями на плоскость П₁ и П₂
являются неограниченные поля точек.
Профильная проекция любой линии (точки,
фигуры), лежащей в профильно-проецирующей
плоскости, располагается на выродившейся
в прямую профильной проекции этой
плоскости. Из рисунков в таблице 3.2.
видно, что один след проецирующей
плоскости (так называемый след-проекция)
совпадает с выродившейся в прямую
проекцией плоскости, а другой-
перпендикулярен к оси проекций.

           
Задание на комплексном
чертеже проецирующих плоскостей следами
изображено в таблице 3.2. и не нуждается
в пояснениях (сопоставьте изображения
каждой проецирующей плоскости в таблице).

           
Заметим, что угол
между следом-проекцией и осью проекции
равен углу наклона проецирующей плоскости
к плоскости проекций.

           
На комплексном
чертеже проецирующие плоскости чаще
изображаются не следами, а своей
проекцией, выродившейся в прямую. Вторая
проекция, представляющая поле точек,
безгранична и обычно не изображается
и не обозначается.

Таблица
3.2  Положение плоскости относительно
плоскости проекций.

№	Положение плоскости в пространстве	Наглядное изображение	Эпюр	Положение следов плоскости
1	Перпендикулярна плоскости П1 – горизонтально-проецирующая плоскость		Р1 – произвольно Р2 – перпендикулярно к оси X Р3 – перпендикулярно к оси Y
2	Перпендикулярна к плоскости П2 – фронтально-проецирующая плоскость		Р1 – перпендикулярно к оси X Р2 – произвольно Р3 – перпендикулярно к оси Z
3	Перпендикулярна к плоскости П3 – профильно-проецирующая плоскость		Р1 и Р2 – параллельны к оси X Р3 – произвольно
4	Параллельна плоскости П1 – горизонтальная плоскость		Р1 – отсутствует Р2 – параллельно оси X Р3 – параллельно оси Y
5	Параллельна плоскости П2 – фронтальная плоскость		Р1 – параллельно оси X Р2 – отсутствует Р3 – параллельно оси Z
6	Параллельна плоскости П3 – профильная плоскость		Р1 и Р2 – перпендикулярно к оси X Р3 – отсутствует

           
Плоскость, параллельная
плоскости проекций называется плоскостью
уровня. Такая плоскость перпендикулярна
к двум другим плоскостям проекций и,
следовательно, по отношению к ним
является проецирующей и проецируется
на них в прямую линию. Плоскость,
параллельная горизонтальной плоскости
проекций называется горизонтальной,
параллельная фронтальной – фронтальной
и параллельная профильной – профильной
плоскостью уровня.

           
В таблице 3.2. п. 4, 5,
6 изображены плоскости параллельные
плоскостям проекций – плоскости уровня.
Здесь же даны изображения этих плоскостей
на комплексном чертеже.

           
Плоскости уровня
не имеют следа на параллельной себе
плоскости проекций и проецируются на
неё в неограниченные поля точек (эти
проекции на комплексном чертеже не
обозначаются и не ограничиваются).

           
Итак, положение
плоскостей уровня подчинено общему
правилу: если плоскость параллельна
плоскости проекций, то на эту плоскость
она проецируется в поле точек. Её проекция
на другой плоскости – прямая,
перпендикулярная к линии связи. 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Положение плоскости в пространстве однозначно определяется положением трех ее точек. Следовательно, на эпюре плоскость может быть задана следующими способами:

1. проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис.24);
2. проекциями прямой и точки вне этой прямой (рис.25);
3. проекциями двух параллельных прямых (рис.26);
4. проекциями двух пересекающихся прямых (рис.27).

Каждое из представленных на рис.24-27 заданий плоскости может быть преобразовано одно в другое. Например, проведя через точки

Помимо отмеченных случаев плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской фигуры (треугольника, квадрата, круга и т.д.). Однако наиболее наглядным является изображение плоскости при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций (рис.28).

Прямые, по которым плоскость пересекается с плоскостями проекций, называют следами плоскости. В общем случае у плоскости будет три следа: горизонтальный , фронтальный и профильный . Индекс «0» в обозначении плоскости означает, что этот след образован в пересечении с «нулевой» плоскостью, как раньше называли плоскости проекций.

Точки на осях координат, в которых пересекаются следы плоскости – , и , называют точками схода следов. Три точки схода следов плоскости однозначно определяют положение плоскости в пространстве. Зная координаты точек схода следов (или длину отрезков , и , которые иногда называют параметрами плоскости), можно однозначно задать положение плоскости.

Следы плоскости сливаются со своими проекции на этой плоскости: , и . Учитывая, что на эпюре мы изображаем только проекции геометрических элементов, следы плоскости мы задаем проекциями следов: , и (рис.28). Каждый след плоскости проходит через две точки схода следов. Следовательно, любые два следа плоскости однозначно определяют ее положение в пространстве (исключение составляет осевая плоскость).

Плоскость, пересекающая все три плоскости проекций, называют плоскостью общего положения. Если плоскость перпендикулярна одной или двум плоскостям проекций, то ее называют плоскостью частного положения.
 

Плоскости, перпендикулярные одной плоскости проекций

Горизонтально-проецирующей называют плоскость, перпендикулярную плоскости (рис.29). Фронтальный и профильный следы такой плоскости будут параллельны оси .

Фронтально-проецирующей называют плоскость, перпендикулярную плоскости  (рис.30). Горизонтальный и профильный следы фронтально-проецирующей плоскости будут параллельны оси .

Фронтальная проекция любой точки, лежащей в этой плоскости (например, точки ), всегда расположена на фронтальном следе плоскости.

Профильно-проецирующей называют плоскость, перпендикулярную плоскости (рис.31). У такой плоскости фронтальный и горизонтальный следы будут параллельны оси .

Профильная проекция любой точки, лежащей в этой плоскости (например, точки ), всегда расположена на профильном следе плоскости.

Осевой называют плоскость, проходящую через ось проекций. Осевая плоскость будет всегда перпендикулярна одной из плоскостей проекций, поэтому ее можно рассматривать как частный случай горизонтально-, фронтально- или профильно-проецирующей плоскости. У осевой плоскости два следа совпадают с одной из осей проекций (на рис.32 – с осью ).

Для однозначного определения положения осевой плоскости необходимо знать положение всех трех ее следов или двух сливающихся следов и еще хотя бы одной точки, лежащей в этой плоскости.

Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций

Если плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций, то она параллельна третьей плоскости проекций. Для таких плоскостей встречается общее название – плоскости уровня.

 Ряд авторов считает, что это название относится только к горизонтальной плоскости.

Плоскость, параллельная плоскости называется горизонтальной плоскостью (рис.33). На эпюре ее фронтальный и профильный следы сливаются в одну линию, перпендикулярную оси . Фронтальные и профильные проекции точек, лежащих в горизонтальной плоскости (например, точки ), располагаются соответственно на фронтальном и профильном следах плоскости. Любой геометрический объект, лежащий в горизонтальной плоскости, проецируется на плоскость  в натуральную величину.

Аналогичным образом можно построить фронтальную и профильную плоскости, т.е. плоскости, параллельные соответственно фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Отмеченные особенности проецирования плоскостей частного положения в дальнейшем изложении курса будут использованы для упрощения решения ряда метрических и позиционных задач.

Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая может занимать относительно плоскости следующие положения:

1. лежать в плоскости;
2. быть параллельной плоскости;
3. пересекать плоскость (частный случай пересечения – прямая может быть перпендикулярна плоскости).

Прямая лежит в плоскости, если проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости.

Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми и . Проводим в этой плоскости произвольную прямую . Для этого выбираем некоторую точку на прямой и точку на прямой и проводим прямую с проекциями и (рис.34). Эта прямая лежит в заданной плоскости, так как проходит через две точки (точки и ), лежащие в заданной плоскости.

Рассмотрим вариант, когда плоскость задана следами: прямая лежит в плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости (рис.35). Это же правило можно сформулировать и иначе: плоскость проходит через прямую, если ее следы проходят через одноименные следы прямой.

Если некоторая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, то для построения следов такой плоскости достаточно найти следы этих прямых и одноименные следы соединить прямыми линиями – эти прямые и будут искомыми следами плоскости. Аналогично могут быть построены следы плоскости, заданной двумя параллельными прямыми.

Поскольку случаи задания плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой, и прямой и точкой вне этой прямой всегда могут быть сведены к случаю задания плоскости двумя прямыми, то можно сказать, что для построения следов плоскости, заданной любым известным способом, необходимо построить следы двух любых прямых этой плоскости и через одноименные следы прямых провести искомые следы плоскости.

Пример 5. Построить три следа плоскости , заданной двумя пересекающимися прямыми  и (рис.36).

1. Строим проекции горизонтальных следов прямых и (рис.37): . Фронтальные проекции горизонтальных следов лежат на пересечении фронтальных проекций прямых с осью :

Горизонтальные проекции горизонтальных следов лежат на пересечении линий проекционной связи, проведенных из точек и , с соответствующей горизонтальной проекцией прямой:

2. Строим проекции фронтальных следов прямых и : . Горизонтальные проекции фронтальных следов лежат в точке пересечения горизонтальных проекций прямых с осью :

Фронтальные проекции фронтальных следов лежат на пересечении фронтальных проекций прямых с линиями проекционной связи, проведенными из точек  и :

3.    Через одноименные проекции следов проводим соответствующие следы плоскости (рис.38). Горизонтальный след плоскости проводим через горизонтальные проекции горизонтальных следов и . Фронтальный след  проводим через фронтальные проекции фронтальных следов и .

4.    В пересечении горизонтального  и фронтального следов  с осью отмечаем точку схода следов и проверяем правильность построений: .

5.    В пересечении горизонтального  и фронтального  следов с осями проекций и отмечаем точки схода следов соответственно и .

6.    Точку схода следов с оси переносим на соответствующее по знаку направление оси , где отмечаем точку . Через точки схода следов и строим профильный след .

• Заказать чертежи

Прямые частного положения в плоскости

В каждой плоскости можно провести бесчисленное множество прямых линий частного положения. Рассмотрим некоторые прямые, лежащие в плоскости и занимающие относительно плоскостей проекций частные положения.

Горизонталь плоскости — это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций . Она обладает всеми свойствами горизонтальной прямой: ее фронтальная проекция параллельна оси , а на горизонтальную плоскость проекций она проецируется в истинную величину.

Построим любую горизонталь плоскости, заданной треугольником (рис.39). Фронтальную проекцию горизонтали получаем, построив (расстояние от оси выберем произвольно). Строим горизонтальные проекции точек и  , и через и проводим горизонтальную проекцию горизонтали.

Если плоскость задана следами (рис.40), то горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Следует отметить одну интересную особенность горизонтальных проекций горизонталей плоскости: все они параллельны между собой и, поскольку они параллельны горизонтальному следу этой плоскости, положение любой из них определяет направление горизонтального следа плоскости.

Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси , а фронтальная проекция – ее истинная величина.

Пример построения фронтали плоскости, заданной треугольником , дан на рис.41 (построение выполнено аналогично построению горизонтали на рис.39).

В плоскости, заданной следами, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости (рис.42).

Линия наибольшего ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная горизонталям этой плоскости. На рис.43 построена прямая , являющаяся линией наибольшего ската плоскости . Прямой угол между линией наибольшего ската плоскости и любой горизонталью этой плоскости проецируется на плоскость без искажения (на основании правил проецирования плоских углов). Следовательно, горизонтальная проекция линии наибольшего ската перпендикулярна горизонтальной проекции любой горизонтали или горизонтальному следу плоскости.

Из всех прямых, принадлежащих плоскости, линия наибольшего ската имеет самый большой угол наклона к горизонтальной плоскости проекций, который называется углом падения данной плоскости. В горно-геологической практике угол падения -это одна из важнейших характеристик изображаемого объекта (земной поверхности, пласта полезного ископаемого и т.п.).

Пример 6. Через точку  построить линию наибольшего ската плоскости, заданной треугольником  (рис.44).

1.    Строим произвольную горизонталь плоскости треугольника .

2.    Прямая является линией наибольшего ската плоскости треугольника , так как .

Рассмотренные нами прямые частного положения, лежащие в плоскости, главным образом горизонтали и фронтали, весьма часто применяют в различных построениях в качестве вспомогательных прямых.

Прямая, параллельная плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Построим через точку прямую, параллельную плоскости треугольника (рис.45). Сразу отметим, что задача имеет бесчисленное множество решений, так как через данную точку можно провести неограниченное количество прямых, параллельных данной плоскости. Через точку проведена прямая, параллельная стороне треугольника . Горизонтальная проекция этой прямой параллельна , а фронтальная – . Эта прямая параллельна плоскости треугольника , так как она параллельна прямой, лежащей в плоскости треугольника .

Пример 7. Через точку провести прямую, параллельную плоскости (рис.46).

1.    Проведем в плоскости любую прямую, например прямую (рис.47). Затем через точку параллельно проведем прямую . Эта прямая будет параллельна плоскости , так как она параллельна прямой , лежащей в этой плоскости.

2.    Эту же задачу, можно решить другим способом, проведя через точку прямую частного положения, например, горизонтальную прямую (рис.48). Горизонтальная проекция горизонтальной прямой проходит через проекцию и параллельна следу , а ее фронтальная проекция проходит через параллельно оси .

Точка в плоскости

Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости. Для того, чтобы в некоторой плоскости построить произвольную точку, зачастую необходимо предварительно построить некоторую прямую, принадлежащую заданной плоскости, а на прямой – точку.

Пример 8. Построить недостающую проекцию точки , лежащей в заданной плоскости (плоскость задана двумя пересекающимися прямыми и , а точка – только ее фронтальной проекцией (рис.49).

1. Через точку проводим произвольную прямую , принадлежащую заданной плоскости: .
2. Строим горизонтальные проекции точек и : .
3. Через и проводим горизонтальную проекцию прямой .
4. В пересечении линии проекционной связи, проведенной из , и линии находим горизонтальную проекцию точки .

Если плоскость задана следами, то недостающая проекция точки, принадлежащей заданной плоскости, может быть найдена при помощи горизонтали (рис.50, а) или фронтали (рис.50, б) плоскости.

Пример 9. По заданной фронтальной проекции треугольника , принадлежащей плоскости , построить его горизонтальную проекцию (рис.51).

1. Через точки , и проводим в плоскости  прямые частного положения, например горизонтали плоскости (рис.52). Фронтальные проекции этих прямых проводим через точки , , параллельно оси . Отмечаем проекции фронтальных следов горизонталей (фронтальные проекции – точки , ,  – лежат на следе  , а горизонтальные проекции -точки , , – на оси ). Проводим горизонтальные проекции горизонталей параллельно следу через точки соответственно , , .
2. Находим горизонтальные проекции точек , , – точки , , – в пересечении линий проекционной связи, проведенных из , и , с соответствующей горизонтальной проекцией горизонтали плоскости. Соединив , , , получим горизонтальную проекцию треугольника .

52*. Построить следы плоскости, заданной параллельными прямыми АВ и CD (рис. 50, а).

Решение. Если прямая лежит в плоскости, то следы прямой лежат на одноименных с ними следах плоскости (рис. 50, б). Чтобы построить следы заданной плоскости, надо построить следы прямых АВ и CD. фронт. след Р_ϑ пройдет через фронт. следы прямых, т. е. через точки N₁ и N₂, а горизонтальный — через следы М₁ и М₂. Строим следы прямых АВ и CD, как это рассмотрено в § 4 (например, задача 12*). Через точки m₁ и m₂ проходит горизонт, след P_h, а через точки n’₁ и n’₂ — след P_ϑ (рис. 50, в). Если построение выполнено точно, то оба следа пересекаются в точке Р_x на оси х.

53. Построить следы плоскости, заданной двумя пересекающи-мися прямыми АВ и АС (рис. 51).

54*. Построить следы плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми АВ (АВ || пл. Н) и CD (рис. 52, а).

Решение. Так как следы плоскости должны проходить через одноименные с ними следы прямых, лежащих в этой плоскости (рис. 52, б), то надо построить фронт. следы обеих прямых — точки N₂ и N₁, и провести через них фронт. след плоскости (P_ϑ). Направление горизонт, следа плоскости известно: след должен быть параллелен горизонтали АВ (рис. 52, б). Поэтому след Р_h пройдет через точку пересечения следов (Р_x) параллельно горизонтали АВ. На рис. 52, в показано, что проекции ab и cd продолжены до пересечения их с осью х в точках n₂ и n₁ по ним построены точки n’₂ и n’₁ на проекциях a’b’ и c’d’. Через n’₂ и n’₁ проведен след P_ϑ до пересечения с осью х в точке Р_x. Через точку Р_x проведен след параллельно прямой ab.

55. Построить следы плоскости, заданной пересекающимися прямыми АВ и КС (рис. 53).

56*. Построить недостающую проекцию отрезка АВ прямой, лежащей в плоскости Р (рис. 54, а).

Решение. Чтобы построить горизонт. проекцию отрезка АВ, надо найти горизонт. проекции точек А и В (рис. 54, б). Проекцию b находим с помощью горизонтали, проведенной в плоскости. Сначала проводим проекцию b’n’ параллельно оси х, затем через точку n — горизонт. проекцию горизонтали параллельно P_h и на ней находим проекцию b. Горизонт, проекцию точки А находим при помощи фронтали, хотя, конечно, можно было бы и для этой точки применить горизонталь. Через a’ проводим фронт. проекцию фронтали (параллельно P_ϑ), находим точки m’ и m (проекции горизонт, следа фронтали). Горизонт, проекция фронтали проходит через точку m параллельно оси х; на этой проекции получаем точку а. Искомая проекция отрезка АВ определяется точками а н b.

57*. Заключить прямую АВ (рис. 55, а) в горизонтально-проецирующую плоскость, задав эту плоскость ее следами на пл. Н и V

Решение. Горизонтальные проекции всех элементов, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, находятся на P_h. Поэтому (рис. 55, 6) след Р_h совпадает с ab. Через точку Р_x, получаемую при пересечении P_h с осью х, проводим перпендикулярно к оси х фронт. след искомой плоскости (P_ϑ)

Угол между следом P_h и осью х равен углу β между пл. Р и пл. проекций V (рис. 55, в).

58. Заключить прямую АВ (рис. 56) во фронтальнй-проецирующую плоскость, выразив эту плоскость следами на пл. V и Н. Построить чертеж и наглядное изображение. Указать угол наклона пл. P к пл. Н.

59. Заключить прямую АВ (рис. 57) в профильно-проецирующую плоскость, выразив эту плоскость следами. Построить чертеж и дать наглядное изображение. Указать углы наклона пл. P к пл. V и И. Построение следов пл. P выполнить с помощью профильной проекции прямой и без нее.

60. Построить недостающую проекцию точки К (рис. 58), лежащей в пл. P (профильной плоскостью проекций не пользоваться).