Как найти сложение комплексных чисел

Найти сумму или разность двух комплексных чисел — такие задачи часто возникают при изучении высшей математики. В этой статье подробно рассматриваются операции сложения и вычитания комплексных чисел в алгебраической форме.

Если вам необходимо вспомнить, что же такое комплексные числа, то обратитесь к этой статье.

Сложение комплексных чисел

Чтобы сложить два комплексных числа, мы складываем каждую часть (действительную и мнимую) отдельно и получаем формулу сложения комплексных чисел:

( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i

Пример сложения комплексных чисел:

( 4 + 6 i ) + (8 — 3 i) = ( 4 + 8 ) + ( 6 — 3 ) i = 12 + 3 i

Вычитание комплексных чисел

Чтобы вычесть одно комплексное число из другого, для этого нужно также вычесть каждую часть отдельно:

( a + b i ) — ( c + d i ) = ( a — c ) + ( b — d ) i

Пример вычитания комплексных чисел:

( 2 + 11 i ) — ( 9 + 6 i ) = ( 2 — 9 ) + ( 11 — 6 ) i = -7 + 5 i

Еще примеры:

5 — ( 3 + 2 i) = ( 5 + 0 i ) — ( 3 + 2 i ) = ( 5 — 3 ) + ( 0 — 2 ) i = 2 — 2 i

( 7 — 8 i ) + 4 i = ( 7 — 8 i ) + ( 0 + 4 i ) = ( 7 + 0 ) + ( — 8 + 4 ) i = 7 — 4 i

Следующим этапом вы можете освоить операцию умножения комплексных чисел, перейдя по этой ссылке.

Сложение комплексных чисел

Пример
1

Сложить
два комплексных числа
,

Для
того чтобы сложить два комплексных
числа нужно сложить их действительные
и мнимые части:

Просто,
не правда ли? Действие настолько очевидно,
что не нуждается в дополнительных
комментариях.

Таким
нехитрым способом можно найти сумму
любого количества слагаемых: просуммировать
действительные части и просуммировать
мнимые части.

Для
комплексных чисел справедливо правило
первого класса:

–от
перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример
2

Найти
разности комплексных чисел
и,
если,

Действие
аналогично сложению, единственная
особенность состоит в том, что вычитаемое
нужно взять в скобки, а затем – стандартно
раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат
не должен смущать, у полученного числа
две, а не три части. Просто действительная
часть – составная:
.
Для наглядности ответ можно переписать
так:.

Рассчитаем
вторую разность:

Здесь
действительная часть тоже составная:

Чтобы
не было какой-то недосказанности, приведу
короткий пример с «нехорошей» мнимой
частью:
.
Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал
момент познакомить вас со знаменитым
равенством:

Пример
3

Найти
произведение комплексных чисел 
,

Очевидно,
что произведение следует записать так:

Что
напрашивается? Напрашивается раскрыть
скобки по правилу умножения многочленов.
Так и нужно сделать! Все алгебраические
действия вам знакомы, главное, помнить,
что
и
быть внимательным.

Повторим,
школьное правило умножения многочленов:
Чтобы умножить многочлен на многочлен
нужно каждый член одного многочлена
умножить на каждый член другого
многочлена.

Я
распишу подробно:

Надеюсь,
всем было понятно, что

Внимание,
и еще раз внимание, чаще всего ошибку
допускают в знаках.

Как
и сумма, произведение комплексных чисел
перестановочно, то есть справедливо
равенство:
.

В
учебной литературе и на просторах Сети
легко найти специальную формулу для
вычисления произведения комплексных
чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне
кажется, что подход с умножением
многочленов универсальнее и понятнее.
Формулу приводить не буду, считаю, что
в данном случае – это забивание головы
опилками.

Деление комплексных чисел

Пример
4

Даны
комплексные числа
,.
Найти частное.

Составим
частное:

Деление
чисел осуществляется методом
умножения знаменателя и числителя на
сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем
бородатую формулу
и
смотрим на нашзнаменатель:
.
В знаменателе уже есть,
поэтому сопряженным выражением в данном
случае является,
то есть

Согласно
правилу, знаменатель нужно умножить на
,
и, чтобы ничего не изменилось, домножить
числитель на то же самое число:

Далее
в числителе нужно раскрыть скобки
(перемножить два числа по правилу,
рассмотренному в предыдущем пункте). А
в знаменателе воспользоваться формулой
(помним,
чтои
не путаемся в знаках!!!).

Распишу
подробно:

В
ряде случаев перед делением дробь
целесообразно упростить, например,
рассмотрим частное чисел:
.
Перед делением
избавляемся от лишних минусов: в числителе
и в знаменателе выносим минусыза
скобки и сокращаем эти минусы:
.
Для любителей порешать приведу правильный
ответ:

Редко,
но встречается такое задание:

Пример
5

Приём
тот же самый – умножаем знаменатель и
числитель на сопряженное Дано комплексное
число
.
Записать данное число в алгебраической
форме (т.е. в форме).

знаменателю
выражение. Снова смотрим на формулу
.
В знаменателе уже есть,
поэтому знаменатель и числитель нужно
домножить на сопряженное выражение,
то есть на:

Пример
6

Даны
два комплексных числа
,.
Найти их сумму, разность, произведение
и частное.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #

  13.02.2018371 б3RecentPlaces.lnk

• #
• #
• #
• #

  13.02.201815.3 Кб5STT 3000 интеллектуальный датчик температуры. Каталог. ООО _НПО Валентина_

• #
• #
• #
• #

Содержание:

• Сложение комплексных чисел
• Вычитание комплексных чисел

Сложение комплексных чисел

То есть суммой двух комплексных чисел есть комплексное число,
действительная и мнимая части
которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

Вычитание комплексных чисел

Читать дальше: умножение комплексных чисел.

Комплексные числа

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ mathbb{C} $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = sqrt{-1} $, числа $ a,b in mathbb{R} $ вещественные. 

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ mathbb{R} subset mathbb{C} $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ overline{z} = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

1. Алгебраическая $ z = a+ib $
2. Показательная $ z = |z|e^{ivarphi} $
3. Тригонометрическая $ z = |z|cdot(cos(varphi)+isin(varphi)) $

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Видим, что $ a,b in mathbb{R} $ расположены на соответствующих осях плоскости. 

Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ overline{z} $.

Аргумент обозначается $ varphi $.

Модуль $ |z| $ равняется длине вектора  $ overline{z} $ и находится по формуле $ |z| = sqrt{a^2+b^2} $

Аргумент комплексного числа $ varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Если:

1. $ a>0 $, то $ varphi = arctgfrac{b}{a} $
2. $ a<0, b>0 $, то $ varphi = pi + arctgfrac{b}{a} $
3. $ a<0, b<0 $, то $ varphi = -pi + arctgfrac{b}{a} $

Операции

Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:

• Складывать и вычитать
• Умножать и делить
• Извлекать корни и возводить в степень
• Переводить из одной формы в другую 

Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:

$$ z_1 + z_2 = (a_1+ib_1) + (a_2+ib_2) = (a_1 + a_2)+i(b_1 + b_2) $$

$$ z_1 – z_2 = (a_1+ib_1) – (a_2+ib_2) = (a_1 – a_2)+i(b_1 – b_2) $$

Умножение в алгебраической форме:

$$ z_1 cdot z_2 = (a_1+ib_1) cdot (a_2+ib_2) = (a_1 a_2 – b_1 b_2)+i(a_1 b_2 + a_2 b_1) $$

Умножение в показательной форме:

$$ z_1 cdot z_2 = |z_1|e^{ivarphi_1} cdot |z_2|e^{ivarphi_2} = |z_1|cdot|z_2|cdot e^{i(varphi_1 + varphi_2)} $$

Деление в алгебраической форме:

$$ frac{z_1}{z_2} = frac{a_1+ib_1}{a_2+ib_2} = frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 }{a_2 ^2 + b_2 ^2} + i frac{a_2 b_1 – a_1 b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} $$

Деление в показательной форме:

$$ frac{z_1}{z_2} = frac{|z_1|e^{ivarphi_1}}{|z_2|e^{ivarphi_2}} = frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i(varphi_1 – varphi_2)} $$

Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:

$$ z^n = |z|^n(cos nvarphi+isin nvarphi) $$

Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:

$$ z^frac{1}{n} = |z|^frac{1}{n}bigg(cos frac{varphi + 2pi k}{n}+isin frac{varphi + 2pi k}{n}bigg), k=0,1,…,n-1 $$

Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если $ D<0 $, то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.

Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.

Примеры с решением

Пример 1

Перевести из алгебраической в тригонометрическую и показательную форму:$$ z = 4-4i $$

Решение

Для начала приступим к нахождению модуля комплексного числа: $$ |z| = sqrt{4^2 + (-4)^2} = sqrt{16 + 16} = sqrt{32} = 4sqrt{2} $$ Осталось найти аргумент: $$ varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{4} = arctg (-1) = -frac{pi}{4} $$ Теперь составляем тригонометрическую запись комплексного числа, указанного в условии примера: $$ z = 4sqrt{2}bigg(sin(-frac{pi}{4}) + isin(-frac{pi}{4}) bigg) $$ Тут же можно записать показательную форму: $$ z = 4sqrt{2} e^{-frac{pi}{4}i} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ z = 4sqrt{2}bigg(sin(-frac{pi}{4}) + isin(-frac{pi}{4}) bigg) $$ $$ z = 4sqrt{2} e^{-frac{pi}{4}i} $$

Пример 2

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел: $$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Решение

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел: $$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 – i $$ Аналогично выполним вычитание чисел: $$ z_1 – z_2 = (3+i) – (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$

Ответ

$$ z_1 + z_2 = 8 – i; z_1 – z_2 = -2 + 3i $$

Пример 3

Выполнить умножение и деление комплексных чисел: $$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Решение

$$ z_1 cdot z_2 = (3+i) cdot (5-2i) = $$ Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $: $$ = 15 – 6i + 5i -2i^2 = 15 – i – 2cdot(-1) = $$ $$ = 15 – i + 2 = 17 – i $$ Так, теперь разделим первое число на второе: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{3+i}{5-2i} = $$ Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки: $$ = frac{(3+i)(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)} = frac{15 + 6i + 5i + 2i^2}{25 + 10i – 10i -4i^2} = $$ $$ = frac{15 + 11i -2}{25 + 4} = frac{13 + 11i}{29} $$ Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы: $$ frac{z_1}{z_2} = frac{13}{29} + frac{11}{29}i $$

Ответ

$$ z_1 cdot z_2 = 17 – i; frac{z_1}{z_2} = frac{13}{29} + frac{11}{29}i $$

Пример 4

Возвести комплексное число $ z = 3+3i $ в степень: a) $ n=2 $ б) $ n=7 $

Решение

1) $ n = 2 $ Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя: $$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)cdot (3+3i) = $$ Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные: $$ =9 + 9i + 3icdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i – 9 = 18i $$ Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ 2) $ n = 7 $ В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую. Вычисляем значение модуля: $$ |z| = sqrt{3^2 + 3^2} = sqrt{9 + 9} = sqrt{18} = 3sqrt{2} $$ Найдем чем равен аргумент: $$ varphi = arctg frac{3}{3} = arctg(1) = frac{pi}{4} $$ Записываем в тригонометрическом виде: $$ z = 3sqrt{2}(cos frac{pi}{4} + isin frac{pi}{4}) $$ Возводим в степень $ n = 7 $: $$ z^7 = (3sqrt{2})^7 (cos frac{7pi}{4} + isin frac{7pi}{4}) = $$ Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности: $$ =(3sqrt{2})^7 (frac{1}{sqrt{2}}-ifrac{1}{sqrt{2}}) = $$ $$ = 3^7 sqrt{2}^7 (frac{1}{sqrt{2}}-ifrac{1}{sqrt{2}}) = $$ $$ = 3^7 sqrt{2}^6 (1-i) = 3^7 cdot 8(1-i) = $$ $$ = 2187 cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$

Ответ

$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$

Пример 5

Извлечь корень $ sqrt[3]{-1} $ над множеством $ mathbb{C} $

Решение

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент: $$ |z| = sqrt{(-1)^2 + 0^2} = sqrt{1+0} = sqrt{1}=1 $$ $$ varphi = arctg frac{0}{-1} +pi = arctg 0 + pi = pi $$ Получаем: $$ z = (cos pi + isin pi) $$ Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени: $$ z^frac{1}{n} = r^frac{1}{n}bigg(cos frac{varphi + 2pi k}{n}+isin frac{varphi + 2pi k}{n}bigg), k=0,1,…,n-1 $$ Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $: $$ z_0 = sqrt[3]{1} (cos frac{pi}{3}+isin frac{pi}{3}) = frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2} $$ $$ z_1 = sqrt[3]{1} (cos frac{3pi}{3}+isin frac{3pi}{3}) = -1 $$ $$ z_2 = sqrt[3]{1} (cos frac{5pi}{3}+isin frac{5pi}{3}) = frac{1}{2} – ifrac{sqrt{3}}{2} $$

Ответ

$$ z_0 = frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2} $$ $$ z_1 = -1 $$ $$ z_2 = frac{1}{2} – ifrac{sqrt{3}}{2} $$

Пример 6

Решить квадратное уравнение $ x^2 + 2x + 2 = 0 $ над $ mathbb{C} $

Решение

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 – 4ac = 2^2 – 4cdot 1 cdot 2 = 4-8 = -4 $$ Получили, что $ D=-4<0 $ и казалось бы, что решение можно заканчивать. Но нет! В нашем задании требуется решить уравнение над комплексным множеством, а то что дискриминант отрицательный означает только лишь отсутствие вещественных корней. А комплексные корни есть! Найдем их продолжив решение: $$ x_{1,2} = frac{-bpm sqrt{D}}{2a} = frac{-2pm sqrt{-4}}{2} = $$ Заметим, что $ sqrt{-4} = 2sqrt{-1} = 2i $ и продолжим вычисление: $$ = frac{-2 pm 2i}{2} = -1 pm i $$ Получили комплексно-сопряженные корни: $$ x_1 = -1 – i; x_2 = -1 – i $$ Как видите любой многочлен можно решить благодаря комплексным числам.

Ответ

$$ x_1 = -1 – i; x_2 = -1 – i $$

В статье “Комплексные числа: примеры с решением” было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.

Алгебраическая формула

Любые два вещественных числа можно сложить, и результатом сложения тоже является вещественное число. Это же верно и для комплексных чисел: любые два комплексных числа можно сложить, и их сумма (результат сложения) — это комплексное число. Причем сложение комплексных чисел сводится к сложению вещественных чисел. А именно: пусть даны два комплексных числа

z1=x1+iy1,z2=x2+iy2.z_1 =x_1 +iy_1, z_2 =x_2 +iy_2.

Их сумма — это комплексное число, определяемое формулой

z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2).z_1+z_2 = (x_1+x_2) +i(y_1+y_2).

Таким образом, вещественная часть суммы комплексных чисел — это сумма вещественных частей слагаемых, и мнимая часть суммы комплексных чисел — сумма мнимых частей слагаемых. Это тоже можно записать в виде формул:

Re(z1+z2)=Re z1+Re z2,mathrm{Re}left(z_1+z_2right) = mathrm{Re},z_1 + mathrm{Re},z_2, quad

Im(z1+z2)=Im z1+Im z2.mathrm{Im}left(z_1+z_2right) = mathrm{Im},z_1 + mathrm{Im},z_2.

Для комплексных чисел, как и для вещественных, определена операция вычитания. Найти разность z1−z2z_1-z_2 — это все равно что найти сумму z1+(−z2)z_1+(-z_2), где число −z2-z_2 получается из z2z_2 сменой знака вещественной и мнимой частей.

Геометрическая интерпретация сложения

Нам известно, что каждому комплексному числу x+yix+yi соответствует точка плоскости с координатами (x,y)(x,y). Вектор, проведенный от начала координат к точке (x,y)(x,y), называется радиус-вектором этой точки. Радиус-вектор точки (3,2)(3,2), соответствующей комплексному числу 3+2i3+2i, изображен на следующем рисунке:

При сложении комплексных чисел соответствующие им радиус-векторы тоже складываются. Изобразить это на рисунке можно с помощью известного правила параллелограмма. На следующем рисунке с помощью векторов проиллюстрировано сложение комплексных чисел (3−i)+2i=3+i(3-i) + 2i = 3+i:

Решение примеров на сложение комплексных чисел

Пример 1

Найти сумму комплексных чисел z1+z2z_1+z_2, где:

a) z1=3+2i,z2=5−i;a) z_1 = 3+2i, z_2 = 5-i;

b) z1=−i,z2=4+i;b) z_1 = -i, z_2 = 4+i;

c) z1=−3−4i,z2=3+5i.c) z_1 = -3-4i, z_2 = 3+5i.

Решение
a) z1+z2=(3+2i)+(5−i)=(3+5)+(2−1)i=8+i;a) z_1 + z_2 = (3+2i) + (5-i) = (3+5) + (2-1)i = 8+i;

b) z1+z2=(−i)+(4+i)=(0+4)+(−1+1)i=4+0⋅i=4;b) z_1 + z_2 = (-i) + (4+i) = (0+4) + (-1+1)i = 4 + 0 cdot i = 4;

c) z1+z2=(−3−4i)+(3+5i)=(−3+3)+(−4+5)i=0+i=i.c) z_1 + z_2 = (-3-4i) + (3+5i) = (-3+3) + (-4+5)i = 0+i =i.

Пример 2

Найти разность комплексных чисел z1−z2z_1-z_2, где:

a) z1=3+2i,z2=5−i;a) z_1 = 3+2i, z_2 = 5-i;

b) z1=−i,z2=−3−2i.b) z_1 = -i, z_2 = -3-2i.

Решение

a) z1−z2=(3+2i)−(5−i)=(3−5)+(2−(−1))i=−2+3i;a) z_1 – z_2 = (3+2i) – (5-i) = (3-5) + (2-(-1))i = -2+3i;

b) z1−z2=(−i)+(−3−2i)=(0−(−3))+(−1−(−2))i=3+i.b) z_1 – z_2 = (-i) + (-3-2i) = (0-(-3)) + (-1-(-2))i = 3 + i.