Как найти сложную эффективную ставку процента

Что такое эффективная процентная ставка

Рассказ об ЭПС стоит начать с типов процентов. Всего их – 2, простые и сложные. Простые проценты – это когда прибыль по вкладу считается линейно, то есть вам назначили 12% годовых по вкладу размером в 500 000 рублей – за год вы получите 60 000 рублей прибыли, 500 000 / 100 = 5 000, 5 000 * 12 = 60 000. Здесь рассматривать особо нечего, этот расчет применяется ко вкладам без капитализации, прибыль вам будут переводить на отдельный счет.

Куда сложнее дела обстоят со сложным процентом. Сложный процент активируется капитализацией – опцией, при которой ваш доход перечисляется не на отдельный счет, а на счет вклада. Берем те же 500 000 рублей под 12%, прибыль насчитывается ежемесячно и составляет 1% в месяц. В первый месяц вам на счет переведут 5 000 рублей, сумма на счете составит 505 000 рублей. Во второй месяц вам переведут уже 5 050 рублей, поскольку 1% будет высчитываться из новой суммы – на счету окажется 510 050 рублей. Третий месяц – прибыль составит 5 100.5 рублей, и так далее.

А как рассчитать общую прибыль? Да, технически можно «посчитать ручками», то есть пошагово, месяц за месяцем, выводить новую сумму вклада и считать прибыль. А если вам нужно посчитать вклад на 5 лет? А если вам нужно сравнить между собой 10 вкладов? К счастью, проблема решается формулой расчета эффективной ставки. Эффективная процентная ставка по вкладу – это ставка с учетом капитализации, пополнения и снятия. Сразу оговоримся, что с пополнением и снятием есть проблемы – рассчитать вклад с капитализацией, пополнением и снятием куда более сложно, чем рассчитать обычный вклад с капитализацией. Но ниже (в особенностях расчета) мы покажем, как это сделать.

Формула расчета эффективной ставки

Сама формула выглядит вот так:

ЭС – это то, что мы ищем, то есть эффективная ставка. С – это обычная ставка, которую нам назначает банк. П – сколько раз за год банк будет начислять нам проценты по вкладу, в большинстве случаев это значение равно 12, так как банки предлагают ежемесячную капитализацию. Наконец, Д – сколько лет будет длиться сам вклад. Если вклад длится 6 месяцев, Д = 0.5, если вклад длится 400 дней, Д будет равно 1.0958. Чтобы посчитать Д для какого-то периода (те же 400 дней), вам просто нужно с помощью калькулятора разделить число дней вклада на 365. Можно высчитывать и по месяцам – если открываете вклад на 17 месяцев, нужно разделить 17 (месяцев вклада) на 12 (месяцев в году).

Особенности расчета

Если вам вдруг показалось, что рассчитать эффективную ставку по формуле выше – очень просто, то у нас для вас есть плохие новости. Формула выше без проблем работает со вкладами без пополнения, снятия и изменяющегося в зависимости от срока процента – а таких вкладов очень и очень мало. Как минимум большинство банков сейчас предлагают схемы повышенного дохода – это когда в первые несколько месяцев вы получаете повышенный процент, а потом начинаете получать стандартный. Например, Смарт Вклад с повышенной ставкой от Тинькофф: в первые 3 месяца вы получаете 18%, с 4 по 6 месяц включительно – 15%, с 7 по 12 месяц включительно – 8%, с 13 по 17 месяц включительно – 7%, с 18 по 24 месяц включительно – 6.5%. И что делать?

Ответ: дробить вклад на маленькие вклады с одинаковой начальной суммой и процентной ставкой. Этот же прием используется и для пополнения/снятия. То есть если вы открываете вклад на 150 000 рублей под 8% на год с пополнением, и после 6-ти месяцев пополняете вклад на 50 000 рублей – вам нужно провести 2 расчета:

1. Эффективная ставка и доход по вкладу на 6 месяцев с суммой в 150 000 рублей под 8% с начислением ежемесячно.
2. Эффективная ставка и доход по вкладу на 6 месяцев с суммой в (150 000 рублей + [доход по вкладу из предыдущего пункта списка] + 50 000 рублей) под 8% с начислением ежемесячно.

То есть пополнением вы как-бы закрыли предыдущий вклад и тут же открыли новый, но уже с увеличенной суммой. С меняющимися процентами все работает аналогично: вы дробите вклад на периоды и вычисляете эффективную процентную ставку и прибыль для каждого периода отдельно.

Какой-то общей единой формулы для учета пополнения/изменения процента/снятия при подсчете эффективной процентной ставки, увы, нет. И здесь кроется огромная проблема, потому что если мы вернемся к вкладу от Тинькофф, то увидим, что для подсчета ЭПС нужно провести 5 расчетов. При этом по вкладу доступно пополнение и снятие, каждая операция увеличивает количество расчетов на 1. Если захотите самостоятельно посчитать ЭПС по этому вкладу – считать придется долго и кропотливо. Ниже мы покажем, как всю эту процедуру очень сильно упростить.

Расчет эффективной процентной ставки по вкладу

Теперь посмотрим, как посчитать эффективную ставку по вкладу на реальном примере. В качестве «подопытного» возьмем вклад «Управляемый» от банка Кубань Кредит. У банка есть и капитализация, и снятие процентов. Выбираете капитализацию – получаете сложный процент, выбираете снятие процентов – получаете простой процент. Предположим, что вы кладете 300 000 рублей на 1 100 дней (округлим до 3-х лет), при этом вы получаете ставку в 10%. Если вы выбираете снятие процентов, то прибыль считается очень просто: 10% от 300 000 рублей = 30 000 рублей; 30 000 рублей * 3 года = 90 000 рублей.

Теперь посмотрим, как этот же вклад будет выглядеть с капитализацией. Для начала высчитаем эффективную процентную ставку. Количество периодов – 12, количество лет – 3, ставка – 10%. ЭС = ((1 + С / (100 * П))^(П * Д) – 1) * (100 / Д):

1. Посчитаем степень. П * Д = 36. Подставляем: ЭС = ((1 + С / (100 * П))^36 – 1) * (100 / Д).
2. Высчитаем те скобки, в которых есть 100. 100 / П = 8.33, 100 / Д = 33.33. Подставляем: ЭС = ((1 + С / 8.33)^36 – 1) * 33.33.
3. Высчитаем самые глубокие скобки. С = 10% = 0.1. 1 + С / 8.33 = 1.012004. Поставляем: ЭС = (1.012004^36 – 1) * 33.33.
4. Возводим в степень, отнимаем единицу. 1.012004^36 – 1 = 0.5365. Подставляем: ЭС = 0.5365 * 33.33.
5. Вычисляем. ЭС = 17.88.

Это число – не точное, потому что мы округлили числа до сотых, так что настоящий ответ будет в районе 17.89-17.9.

Как мы уже говорили выше, для расчета плавающей ставки, как и для расчета ставки с пополнением и снятием, вам нужно разбить вклад на маленькие вклады и считать их последовательно, один за другим. Снова и снова. Каждый раз. Есть ли способ проще? Да, калькуляторы. На нашем сайте к каждому вкладу прикреплен калькулятор, который учитывает и капитализацию, и пополнение. Как пользоваться:

1. Перейдите на страницу со вкладами.
2. На карточке любого вклада нажмите на «Подробнее», затем – «Рассчитать вклад».
3. Вы попадете на «личную страницу» конкретного вклада, где и будет форма калькулятора.
4. Выберите валюту, укажите сумму и срок, поставьте флажок «Капитализация», укажите сумму и периодичность пополнения.
5. Все, вы получите и ЭС, и точную прибыль на момент окончания вклада.

Теперь просто повторите эту процедуру для другого интересующего вас вклада и сравните результаты.

Вычисления на
основе сложного (кумулятивного) процента
означают, что начисленные на первоначальную
сумму проценты к ней присоединяются, а
начисление процентов в последующих
периодах производится на уже наращенную
сумму. Сумма, полученная в результате
накопления процента, называется
наращенной, или будущей стоимостью
суммы вклада по истечении периода, за
который осуществляется расчет.
Первоначальная сумма вклада называется
текущей стоимостью.

Механизм наращения
первоначальной суммы (капитала) по
сложным процентам называют капитализацией.

Расчет наращенной
суммы по сложным процентам производиться
по формуле:

, (1.1)

где FV
– наращенная (будущая) сумма;

PV
– первоначальная (текущая) сумма, на
которую начисляется процент;

i
– ставка сложных процентов, выраженная
десятичной дробью;

n
– число лет, в течение которых начисляются
проценты.

ПРИМЕР 1.
Вкладчик внес в банк 500 руб. под 10% годовых.
Определить величину наращенной суммы
через 4 года.

Начисление процентов
может производиться чаще, чем один раз
в год – по полугодиям, кварталам,
помесячно и, наконец, ежедневно. В
подобных случаях для расчета наращенной
суммы можно использовать формулу
наращения (1.1), в которой величина n
будет означать общее число периодов
начисления процентов, а ставка i
– процентную ставку за соответствующий
период.

Однако в большинстве
случаев указывается не квартальная или
месячная ставка, а годовая, которая
называется номинальной. Кроме того,
указывается число периодов (m)
начисления процентов в году. Тогда для
расчета наращенной суммы используется
формула:

(1.2)

где j
– номинальная годовая процентная
ставка;

m
– число периодов начисления процентов
в году;

n
– число лет.

ПРИМЕР 2.
Депозит в размере 500 руб. внесен в банк
на 3 года под 10% годовых; начисление
процентов производится ежеквартально.
Определить наращенную сумму.

При увеличении
числа периодов m начислений процентов
возрастает темп процесса наращения.
Так, например, если исходя из условий
предыдущей задачи начисления процентов
производить ежемесячно, то наращенная
сумма:

Кроме номинальной
ставки существует понятие эффективной,
или действительной, процентной ставки.
Эффективная ставка измеряет тот
относительный доход, который получает
владелец капитала в целом за год. Другими
словами, отвечает на вопрос: какую
годовую ставку процентов необходимо
установить, чтобы получить такой же
финансовый результат, как и при m-разовом
(ежемесячном или ежеквартальном)
начислении процентов в году по ставке
j/m.
Эффективная ставка сложных процентов:

+

ПРИМЕР 3.
Необходимо определить эффективную
ставку сложных процентов с тем, чтобы
получить такую же наращенную сумму, как
и при использовании номинальной ставки
j=18%, при ежеквартальном
начислении процентов.

Начисление процентов
на проценты это эффективное средство
накопления денег. Это становится
очевидным, если рассчитать, как много
времени понадобится для того, чтобы
удвоить сумму инвестиций (табл. 2).

Таблица 2

Расчет времени
удвоения первоначальной суммы, вложенной
в банк

Процентная ставка (i)	Время удвоения первоначальной суммы, лет
0,02 0,05 0,10 0,15 0,20	35,0 14,2 7,3 5,0 3,8

Правило 72
(см. лекции, тема 3) используется для
примерного расчета количества лет,
необходимых для увеличения наличной
суммы в два раза при условии, что весь
процент остается на депозите.

Количество периодов,
необходимое для удвоения первоначальной
суммы вычисляется как

где i
– ставка сложных процентов

Данное правило
рекомендуется применять при ставке,
изменяющейся от 3 до 18%.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Банки и финансовые организации обычно котируют ставки своих продуктов как заявленные годовые процентные ставки (англ. ‘stated annual interest rate’). Эта ставка является суммой периодических ставок, по которым начисляются проценты в течение года.

Например, банк будет указывать своим клиентам проценты по вкладу с поквартальным начислением как 8% за год (т.е. 2% (times) 4), а не как периодическую ставку 2% за квартал.

Ставка процента, которую инвесторы получат фактически, называется эффективной годовой процентной ставкой (EAR, от англ. ‘effective annual rate’).

EAR представляет собой годовую норму прибыли, фактически полученную после начисления всех процентов в промежуточные периоды.

Формулу EAR может представить следующим образом:

Очевидно, что EAR для заявленной ставки в 8% при годовом начислении не совпадает с EAR для ставки 8% при полугодовом или ежеквартальном начислении.

Действительно, при использовании сложных процентов, заявленная годовая ставка и фактическая (эффективная) годовая процентная ставка равны только тогда, когда проценты начисляются ежегодно.

В противном случае, чем больше частота или периодичность начисления процентов (англ. ‘compounding frequency’), тем сумма процентов по EAR будет больше суммы процентов по заявленной процентной ставке.

Расчет ставки EAR необходим при сравнении инвестиций с разными периодами начисления процентов.

Образно говоря, EAR позволяет сравнивать яблоки с грушами.

Пример расчета ставки EAR.

Необходимо вычислить EAR, если заявленная годовая ставка составляет 12%, с ежеквартальным начислением процентов.

Решение.

Здесь (m) = 4, поэтому периодическая ставка составляет 12/4 = 3%.

Таким образом,

(EAR = (1 + 0.03)^4 – 1 = 1.1255 – 1 = 0.1255 = 12.55% )

Для расчета этого выражения на финансовом калькуляторе используйте клавишу [y^x].

Порядок нажатия клавиш на калькуляторе TI для вышеупомянутого вычисления будет: 1,03 [y^x] 4 [=].

Пример вычисления ставки EAR с разной периодичностью начисления процентов.

Используя заявленную ставку 6%, вычислите EAR при полугодовом, ежеквартальном, ежемесячном и ежедневном начислении процентов.

Решение.

Обратите внимание на то, что EAR увеличивается с увеличением периодичности начисления.

Примеры использования эффективной ставки процента в финансовых вычислениях с промежуточными периодами.

Когда промежуточные периоды отличаются от годовых, мы должны учитывать этот факт в наших расчетах. Рассмотрим следующие два примера.

Пример роста инвестиций с ежеквартальным начислением процентов.

Джон планирует инвестировать $2,500 на счет, который будет приносить 8% годовых с ежеквартальным начислением.

Сколько денег будет на счете через два года?

Решение.

В данном примере имеется 8 квартальных периодов начисления за 2 года, а эффективная ежеквартальная ставка EAR составляет:

8% / 4 = 2%

Рост суммы инвестиций составит:

$2,500 (1.02)⁸ = $2,929.15.

Можно сделать альтернативный расчет, рассчитав сначала годовую ставку EAR:

Годовая ставка EAR составляет:

1,02⁴ – 1 = 0,082432

Теперь мы можем вычислить рост $2,500 по годовой эффективной ставке 8.2432% за два года:

2,500 (1.082432)² = $2,929.15

что является тем же результатом.

Пример определения текущей стоимости инвестиций с ежемесячным начислением процентов.

Алиса хотела бы, чтобы ее банковский вклад на счете вырос до $5,000 за 3 года. Если заявленная доходность вклада составляет 9% годовых с ежемесячным начислением процентов, то какой должна быть сумма первоначального вклада, чтобы Алиса достигла своей финансовой цели через 3 года?

Решение.

Эффективная месячная ставка составляет:

9% / 12 = 0,75%

Первоначальная сумма вклада, обеспечивающая рост до $5,000 через 3 года (36 месяцев) составляет:

$5,000 / (1.0075)³⁶ = $3,820.74

В качестве альтернативы можно сначала рассчитать годовую ставку EAR:

1.0075¹² – 1 = 0,093807

Теперь можно рассчитать первоначальную (т.е. текущую или приведенную) стоимость, дисконтируя $5,000 по годовой ставке EAR:

$5,000 / (1.093807)³ = $3,820.74

что дает тот же результат.

Многие активы не учитывают в своей потенциальной доходности такой важный элемент, как сложный процент. Используя механизм капитализации, можно даже маленький капитал превратить в колоссальную сумму. Расскажем в статье, как работает сложный процент в инвестициях и в чем состоит его феномен.

Сложный процент — что это такое

Простыми словами, сложный процент – это процент, который начисляется на начальную сумму вложений и на проценты, накопленные за предыдущие периоды.

Основное преимущество инвестиций со сложным процентом состоит в том, что регулярное реинвестирование прибыли увеличивает доходность финансового актива и позволяет заработать еще больше в будущем.

Как работает и где используется

Механизм сложного процента действует по подобию снежного кома: инвестиции приносят доход, который в свою очередь также вкладывается и создает уже новый дополнительный доход. Чтобы получать эффект сложного процента от своих инвестиций, дополнительных стратегий или особых экономических знаний не требуется. Достаточно реинвестировать доходы, а не тратить их.

Сегодня капитализация процентов активно используется в банковской сфере и на рынке ценных бумаг (акции, облигации, ПИФы, ETF и т. д.). Также сложный процент можно применять и в недвижимости, когда доход от аренды направляется на покупку и сдачу в аренду новых недвижимых объектов.

Формула сложного процента

В интернете есть большое количество ресурсов, которые предлагают клиенту автоматически рассчитать капитализацию. Такие калькуляторы сложных процентов сильно экономят время. Однако если вы хотите досконально разобраться в работе капитализации процентов, лучше рассчитать ваши доходы от инвестиций вручную.

Итак, как капитализация процентов определяется по формуле?

Самая простая формула для расчета сложных процентов выглядит следующим образом:

FV = PV х (1+r/100)ⁿ , где

• FV – будущая сумма;
• PV – начальная сумма вложений;
• r – процентная ставка;
• n – количество лет (дней, месяцев и т. д.).

Главное качество, которое должны развить в себе все инвесторы, желающие применять силу сложных процентов, – это терпеливость. В первые годы реинвестирования капитала прибыль будет незначительной по сравнению с простым процентом, но на длительном промежутке времени доходность будет расти в геометрической прогрессии. Эффект сложных процентов позволяет доходу, который вы реинвестируете, приносить вам в будущем «проценты на проценты». Наиболее очевидный пример сложного процента – описание схемы работы банковского депозита.

Пример расчета

Допустим, клиент открыл банковский вклад на 100 000 рублей под 10% годовых.

Срок вложения – 5 лет. По договору также есть право каждый год снимать проценты со вклада. Сколько в итоге можно заработать?

Есть два подхода к формированию прибыли:

1. Простая ставка процента. Каждый год инвестор будет снимать со счета все начисленные проценты и тратить их на свои нужды.
2. Сложная ставка процента. Инвестор не снимает проценты. Начисленный доход реинвестируется и приносит еще больше прибыли.

Годовая доходность инвестора по вкладу в первый год составляет 10 000 рублей. Если регулярно снимать проценты, то за 5 лет клиент заработает 50 000 рублей чистой прибыли. Можно ли заработать больше? Можно. Если не снимать проценты, то доходность вклада с каждым годом будет увеличиваться, так как начисленные проценты будут реинвестироваться и генерировать новый доход. В таком случае через 5 лет инвестор заработает уже 61 051 рубль. Более наглядно математическую «магию» можно проследить в таблице ниже.

Через 5 лет разница в реальном выражении составит 11 051 рублей. Благодаря капитализации процентов инвестор сможет заработать не 50 000 рублей, а 61 051 рубль чистой прибыли. Данный пример показывает, что на длительной дистанции эффект сложного процента очевиден. Чем дольше реинвестировать, тем больше можно заработать.

Более упрощенно наши расчеты доходности можно было бы записать через ранее рассмотренную формулу сложного процента с капитализацией: FV = PV х (1+r/100)ⁿ

Нам известны следующие данные:

• PV = 100 000 рублей;
• r = 10%;
• n = 5 лет.

Подставим все значения в формулу расчета сложных процентов:

FV = 100 000 х (1+10/100)⁵  = 161 051 рубль

Как видно, результат тот же. Через 5 лет банковский вклад с капитализацией превратит 100 000 рублей клиента в 161 051 рубль.

Важно отметить, что многие банки практикуют политику ежемесячной капитализации, а не годовой. Это значит, что даже при номинальной годовой ставке в 10% (как в нашем примере) вкладчик, который не снимал деньги со счета все 12 месяцев, в конце первого финансового года получит уже не 10 000 рублей, а 10 446 рублей.

Примечание. Ежемесячная ставка составляет 1,0083%. (10% / 12 месяцев). В таком случае по формуле сложных процентов среднегодовая ставка с учетом капитализации составит уже 10,46%.

Сложный процент в инвестировании

Помимо банковской сферы, капитализация процентов активно используется и на фондовом рынке. Ведь реинвестирование прибыли – эффективный инструмент, который позволяет многим профессиональным участникам рынка добиваться значительных результатов даже без сложных финансовых стратегий и умных алгоритмов торговли. Рассмотрим, как работает сложный процент в разных инвестиционных активах.

Реинвестиции дивидендов по акциям

Заработать на акциях можно не только путем купли-продажи по более высокой цене, но и за счет получения дивидендов. При этом многие инвесторы придерживаются более долгосрочных взглядов и реинвестируют дивиденды, покупая новые акции. Как и при банковском вкладе, инвестор имеет возможность получить гораздо большую прибыль в будущем при условии, что курсовая стоимость новых акций будет расти, а не падать.

Среди российских компаний инвесторы чаще всего получают дивиденды от Газпрома, МТС и Лукойла.

Реинвестирование облигаций

Все владельцы облигаций (кроме дисконтных бумаг) получают от эмитента купонный доход. Он может выплачиваться компанией или государством один раз в месяц, квартал или даже год. Если инвестор не планирует тратить купонный доход, его также можно реинвестировать.

При этом важно понимать, что номинальная стоимость облигации обычно составляет 1000 рублей. Поэтому, если инвестор покупает долговую ценную бумагу, например, за 1100 рублей (рыночная цена), то выплата процентов и погашение основной суммы долга будет осуществляться из расчета именно в 1000 рублей. И в таком случае вкладчик будет нести убытки.

Чтобы реинвестирование купонных доходов приносило инвестору ощутимую прибыль, необходимо покупать бумаги по цене ниже номинальной стоимости, а не наоборот.

Вложения в ETF или ПИФ

Как правило, владельцы акций ETF или паев ПИФа не получают никаких дивидендов. Инвесторы зарабатывают только на купле-продаже ценных бумаг. Однако это не значит, что механизм реинвестирования в этих финансовых инструментах не работает. Дело в том, что структура активов ETF и ПИФов также состоит из акций и облигаций, по которым выплачивается периодический доход. Но чаще всего управляющие фондов сами автоматически реинвестируют дивиденды и купонные доходы без участия акционеров и пайщиков.

Таким образом, реинвестирование в ETF и ПИФах есть, но напрямую инвесторы на этот процесс повлиять практически не могут.

Банковский вклад с капитализацией

Банковские вклады с капитализацией – самый прибыльный вид депозитов. Каждое последующее начисление процентов всегда больше предыдущего, в результате чего общая доходность вклада также возрастает.

Чаще всего многие банки при рекламе вкладов с капитализацией пишут только номинальную ставку. Однако если вклад учитывает сложные проценты, то средняя процентная ставка будет немного выше.

Например, номинальная ставка при 5-летнем вкладе составляет 10%. А средний процентный доход с капитализацией уже будет исчисляться по ставке 12,21%. Это не означает, что каждый год клиент банка будет получать на 2,21% больше, чем написано в договоре. Просто реинвестирование процентов позволит в конце 5-летнего срока вклада заработать на 11,05% больше обычного (2,21% х 5 лет).

Благодаря сложным процентам прирост прибыли по вкладу со временем будет ускоряться, поскольку каждый раз банк начисляет проценты на всё более крупную сумму, а не на первоначальные вложения.

Делаем выводы

Главная цель всех инвесторов – получать максимальный доход от своих инвестиций. Добиться этого можно по-разному. Но самый простой способ – реинвестировать свои доходы. Механизм сложного процента позволяет инвестору зарабатывать на дистанции гораздо больше при прочих равных условиях. Повторно вкладывать капитал можно во что угодно. Например, покупать новые акции, облигации, паи ПИФов, акции ETF или даже просто открывать банковский вклад. Такой подход позволит увеличить капитал в долгосрочной перспективе и быстрее достичь финансовых целей.

Процесс реинвестирования не всегда приносит только прибыль. Чтобы не получать убытки от своих вложений, важно ответственно подходить к выбору активов и соотносить уровень риска с потенциальной доходностью.

Только при разумном инвестировании доход, полученный от первоначального капитала, способен генерировать новые денежные потоки и увеличивать совокупную доходность инвестиционного портфеля. В противном случае инвестора будет ожидать не рост капитала, а его падение.

Популярные вопросы