Как найти сложную процентную ставку эквивалентную простой

Часто при расчетах,
проводимых по различным финансовым
операциям, возникает необходимость в
определении эквивалент­ных процентных
ставок.

Эквивалентные
процентные ставки — это такие процентные
ставки разного вида, применение которых
при одинаковых на­чальных условиях
дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные
процентные ставки необходимо знать в
случа­ях, когда существует возможность
выбора условий финансовой оперции и
требуется инструмент для корректного
сравнения раз­личных процентных
ставок.

Для нахождения
эквивалентных процентных ставок
используют уравнения эквивалентности,
принцип составления которых заклю­чается
в следующем. Выбирается величина, которую
можно рас-

103

считать при
использовании различных процентных
ставок (обыч­но это наращенная сумма
S). На основе
равенства двух выраже­ний для данной
величины и составляется уравнение
эквивалент­ности, из которого путем
соответствующих преобразований
полу­чается соотношение, выражающее
зависимость между процент­ными
ставками различного вида.

Вспомним обозначения,
использованные ранее:

i — простая годовая
ставка ссудного процента;

d —
простая годовая учетная ставка;

iс — сложная годовая
ставка ссудного процента;

dc —
сложная годовая учетная ставка;

j —
номинальная ставка ссудного процента;

f — номинальная
учетная ставка.

Повторим формулы
для определения наращенной суммы при
различных способах начисления процентов,
полученные в преды­дущих параграфах
этой главы:

S=P(1+ni);
(1.7)

S=P/(1-nd); (2.5)

S=P(1+i_c)ⁿ
(3.1)

Smn=P(1+j/m)^mn
(3.6)

S=P
/(1-d_c)ⁿ;
(4.1)

S= P/(
1-f/m)^mn
(4.5)

Приравнивая эти
формулы попарно, можно получить
соотно­шения, выражающие зависимость
между любыми двумя различ­ными
процентными ставками.

Рассмотрим несколько
случаев.

Приравнивая
соотношения (1.7) и (2.5), получим

откуда

(5.1)

(5.2)

Из формул (1.7) и
(3.1) имеем

1+ni=(1
+i_c)ⁿ;

i= [(1+i_c)ⁿ-1]/n;
(5.3)

104

(5.4)

Приравнивание
формул (1.7) и (3.6) дает

1
+ni=(l +j/m)^mn

(5.5)

(5.6)

Для различных
случаев сложных процентов получаем
уравне­ние эквивалентности, приравнивая
формулы (3.1) и (3.6):

(5.7)

(5.8)

Полученная по
формуле (5.7) годовая ставка сложных
процен­тов, эквивалентная номинальной
процентной ставке, называется Эффективной
ставкой сложных процентов.

Эффективную ставку
сложных процентов полезно знать, чтобы
оценить реальную доходность финансовой
операции, или срав­нить процентные
ставки в случае, когда используются
различные интервалы начисления. Очевидно,
что значение эффективной Процентной
ставки больше значения номинальной, а
совпадают они при т = 1.

Далее из формул
(3.1) и (4.1) имеем

(5.9)

(5.10)

Аналогичным образом
получаем зависимости между любыми
Другими эквивалентными процентными
ставками.

Проанализировав
полученные формулы, можно сделать два
замечания.

1.
Эквивалентность различных процентных
ставок никог­да не зависит от величины
первоначальной суммы р (для данного
рассматриваемого случая, когда
первоначальная сумма р предполагается
одинаковой).

2.
Эквивалентность процентных ставок
всегда зависит от продолжительности
периода начисления за исключением

105

случая
эквивалентности между собой сложных
процентных ставок разного вида (если
период начисления один и тот же).

Используя для
вычислений формулы (3.1) и (4.1), можно
по­строить таблицу, отражающую
зависимость между эквивалентны­ми
сложными учетными ставками и ставками
ссудных процентов (табл. 2). Видно, что
небольшие учетные ставки имеют
эквива­лентные ставки ссудного
процента, сопоставимые по величине, но
с ростом учетных ставок разница
увеличивается очень быстро.

Таблица 2. Зависимость
между эквивалентными сложными учетными
ставками </с(%) и ставками ссудных
процентов
i_c(%)

dс(%)	ic%)	dс(%)	ic%)
5%	5,26%	50%	100%
6%	6,4%	60%	150%
8%	8,7%	70%	233%
10%	11%	80%	400%
20%	25%	85%	567%
30%	43%	90%	900%
40%	66,7%	95%	1900%
45%	82%	99%	9900%

Можно определить
также процентную ставку, эквивалентную
данной, когда начальные условия полностью
или частично не со­впадают. Данная
ситуация может возникнуть, например,
если есть возможность выбора между
различными коммерческими предло­жениями.

Рассмотрим следующую
задачу:

Какова должна быть
сложная учетная ставка d_c,
чтобы сумма Р1, вложенная под эту ставку
на п1 лет, достигла той же величины, что
и сумма Р₂,
вложенная под сложную ставку ссудного
процента i_c
на n₂
лет?

Поскольку финансовые
результаты обеих операций должны быть
равны, составляем следующее уравнение
эквивалентности:

Отсюда

(5.11)

Можно решить
уравнение относительно /, тогда

(5.12)

106

Аналогичные
зависимости можно получать для любых
видов процентных ставок.

Принцип эквивалентности
также используется при решении вопросов
финансовой эквивалентности платежей.

Как определить,
что выгоднее, заплатить сумму
S₁
через n₁
лет или сумму
S₂
через n₂
лет? Будем считать, что
S₁
< S₂
и n₁<
n₂
(иначе задача имеет тривиальное решение).

В зависимости от
размера процентной ставки (возьмем для
при­мера сложную ставку ссудного
процента), под которую могут быть вложены
деньги, суммы ^ и
S^ имеют
различные современные величины P₁и
Р₂.

P₁=S₁/(1+i_c)ⁿ¹,
P₂=S₂/(1+i_c)ⁿ²

Очевидно, что для
i_c=
0
S₁=
P₁
и
S₂=P₂

В этом случае
выгоднее выплачивать меньшую сумму
S1. По­скольку
n1< n2, для достаточно больших i_с
будет выполняться Р1>Р2(см. рис. 4). Тогда
найдется iо, уравнивающая ставка, при
которой современные величины обеих
сумм совпадут.

А

Т.е. откуда

(5.13)

Для всех i_c
< i_о
предпочтительнее вариант с меньшей
суммой и меньшим сроком. Для
i_c>
i_o
— с большими. При i_c=
i_о
финансо­вые результаты обеих операций
эквивалентны.

Аналогичные формулы
могут быть получены для всех видов
процентных ставок.

107

Пример 17

Срок уплаты по
долговому обязательству — полгода,
учетная ставка равна 18%. Какова доходность
данной операции, измерен­ная в виде
простой ставки ссудного процента?

Решение

Используем формулу
(5.1):

i = 0,18/(1 – 0,5 • 0.18) =
0,198 = 19,8%.

Пример 18

Рассчитать
эффективную ставку сложных процентов,
если но­минальная ставка равна 24% и
начисление процентов происходит
ежемесячно.

Решение

Вычисление проводим
по формуле (5.7):

i_с
= (1 + 0,24/12)12 – 1 = 0,268 = 26,8%.

Пример 19

Определить, под
какую ставку процентов выгоднее поместить
капитал в 10 000 000 руб. на пять лет:

а) под простую
ставку процентов 30% годовых;

б) под сложную
ставку в 25% при ежеквартальном начислении?

Решение

В данном случае
не обязательно считать величину
наращенной суммы, получаемой при
различных процентных ставках. Поэтому
не важна величина первоначального
капитала. Достаточно найти, например,
простую процентную ставку, эквивалентную
данной сложной ставке, воспользовавшись
формулой (5.5):

i = [(1 + 0,25/4)20 – 1] /5 =
0,472 =47,2%.

Так как простая
процентная ставка (47,2%), которая дала бы
одинаковый с данной сложной процентной
ставкой результат, значительно превышает
предложенную (30%), ясно, что гораздо
выгоднее использовать сложную процентную
ставку. Посчитаем теперь наращенные
суммы, получаемые в обоих случаях, чтобы
выяснить, насколько более выгодна
сложная ставка. Используем для этого
формулы (1.7) и (З.б):

a) S
= 10 000 000 (1 + 5 • 0,3) = 25 000 000 (руб.).

6)
S = 10 000 000
(1 + 0,25/4)²⁰
= 33 618 521 (руб.).

Ощутимая
разница в результатах подтверждает
сделанный ранее вывод. Можно заметить,
что ре­шение примера с использованием
эквивалентных процент­ных ставок
требует в два раза меньше вычислений.

108

Определить
номинальную ставку процентов, которая
обеспечи­вала бы годовую доходность
в 26%, если начисление процентов происходит
ежемесячно.

Решение

По формуле (5.8)
получаем

Пример 21

Капитал, взятый в
кредит, вложен под сложную ставку
ссудного процента 22% годовых. Для расчета
с кредиторами необходимо выплатить 30
000 000 через два года или 36 000 000 через три
года. Какой вариант предпочтительнее?

Решение

По формуле (5.13)
найдем уравнивающую процентную ставку
i₀

.

Данная нам ставка
22% больше найденной, следовательно,
со­временная величина второй (большей)
суммы оказывается мень­ше, предпочтительнее
отдать ее через три года.

Эквивалентность процентных ставок

Краткая теория

---

Для процедур наращения и дисконтирования могут применяться
различные виды процентных ставок. Одну процентную ставку можно эквивалентным
образом выразить через другую ставку процентов. При этом замена одного вида
ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет отношения
сторон в рамках одной операции. Для участвующих в сделке сторон безразлично,
какой вид ставки фигурирует в контракте.

Формулы эквивалентности
ставок во всех случаях получим, исходя из равества взятых попарно множителей
наращения. Приведем лишь пример. Определим соотношение
эквивалентности между

простой ставкой наращения
и

сложной ставкой наращения. 
Для этого приравняем друг к другу
соответствующие множители наращения:

 – ставка простых процентов

 – ставка
сложных процентов

Приведенное равенство
предполагает, что начальные и наращенные суммы при применении двух видов ставок
идентичны. Решение дает следующие отношения эквивалентности ставок:

Аналогичным образом определяются и другие соотношения
эквивалентности ставок. Например соотношение между годовой номинальной учетной ставкой и номинальной ставкой процента,
между

номинальной и эффективной ставкой процента

Примеры решения задач

---

Задача 1

На какую

годовую ставку простых процентов
можно заменить годовую

номинальную ставку процентов, равную 17%,
если начисление по ней производилось ежеквартально в течение четырех лет?

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Годовую ставку можно найти из
равенства:

 -номинальная
годовая ставка

 -число лет

 -число
начислений процентов в году (ежеквартальное)

 -искомая
годовая ставка простых процентов

Получаем:

Ответ: i=48.66%.

---

Задача 2

Предприятию
выдан кредит финансовой организацией на 2 года под 11,5% процентов годовых.

Определить
эквивалентную

простую учетную ставку, если кредит был выдан по ставке простых процентов.

Решение

Ответ

Кредит,
выданный под 11.5% простых процентов, эквивалентен кредиту под 9,3% по простой
учетной ставке на срок 2 года.

Подборка по базе: Задания для практического занятия . Тема 3.docx, Философия тема 10.docx, Щёголев. 1 темаdocx.docx, Финансирование здравоохранения. Системы ОМС. Модуль 1 тема 2.doc, задачи тема 7.docx, 2 тема Особенности врачебного наблюдения за недоношенными детьми, ИСТОРИЯ ТЕМА 5.docx, Лекция. Тема 1. Система координат.pdf, Задания Тема 9.docx, Примерная тематика курсовых работ.docx

Тема № 3.1. Эквивалентность процентных ставок. Финансовая эквивалентность обязательств

Понятие эквивалентности процентных ставок.

Вывод формул эквивалентности ставок на основе равенства множителей наращения.

Принцип финансовой эквивалентности обязательств.

Достаточно часто в практике возникает ситуация, когда необходимо произвести между собой сравнение по выгодности условий различных финансовых операций и коммерческих сделок. Условия финансово-коммерческих операций могут быть весьма разнообразными и напрямую несопоставимыми. Для сопоставления альтернативных вариантов ставки, используемые в условиях контрактов, приводят к единообразному показателю.

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату.

1. Понятие эквивалентности процентных ставок. Вывод формул эквивалентности ставок на основе равенства множителей наращения.

Эквивалентные процентные ставки – такие ставки, значения, которых в конкретных условиях приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансовых отношений сторон в рамках одной операции.

Классическим примером эквивалентности являются номинальная и эффективная ставка процентов:

i = (1 + j / m) – 1. номинальная

j = m[(1 + i) – 1]. эффективная

Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который может быть получен в целом за год, т.е. совершенно безразлично – применять ли ставку j при начислении процентов m раз в год или годовую ставку i, – и та, и другая ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Поэтому совершенно не имеет значения, какую из приведенных ставок указывать в финансовых условиях, поскольку использование их дает одну и ту же наращенную сумму. В США в практических расчетах применяют номинальную ставку, а в европейских странах предпочитают эффективную ставку процентов.

Если две номинальные ставки определяют одну и ту же эффективную ставку процентов, то они называются эквивалентными.

Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20% годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26% годовых. Найти оптимальный вариант.

Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

i = [(1 + j / m) – 1] / n = [(1 + 0,2 / 2) – 1] / 4 = 0,2859.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке по первому варианту простая процентная ставка составляет 28,59% годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26% годовых по второму варианту, следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20% годовых с полугодовым начислением процентов.

1. Принцип финансовой эквивалентности обязательств.

В практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. В таких ситуациях неизбежно возникает вопрос о принципе, на котором должно базироваться изменение контракта. Таким общепринятым принципом является финансовая эквивалентность обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.
Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи “приведены” к одному моменту времени (focal date), оказываются равными.
Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему).
Если при изменении условий принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить. По существу, принцип эквивалентности следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р и S.
Сумма Р эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления.
Две суммы денег S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы.

Замена S1 на S2в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.

Имеются два обязательства. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через четыре месяца; условия второго: выплатить 450 тыс. руб. через восемь месяцев. Можно ли считать их равноценными? Так как платежи краткосрочные, то при дисконтировании на начало срока применим простую ставку, равную, допустим, 20%, и получим:

= 375,00

= = 397,06 тыс. руб.

Как видим, сравниваемые обязательства не являются эквивалентными при заданной ставке и в силу этого не могут адекватно заменять друг друга.

1. Уравнение эквивалентности

В практической деятельности довольно часто возникают ситуации, когда один поток платежей заменяется другим потоком или одним платежом. При этом соблюдается неизменность финансовых отношений сторон до и после заключения контракта или, другими словами, сохраняется финансовая эквивалентность обязательств. Расчет платежей в этом случае базируется на уравнении финансовой эквивалентности.

Уравнением финансовой эквивалентности является равенство сумм заменяемых и заменяющих платежей, приведенных к одному моменту времени.

Принцип финансовой эквивалентности обязательств позволяет, в частности, сравнивать два отдельных платежа, выплачиваемые в различные моменты времени.

Пусть имеются два платежа Sx и S2 со сроками соответственно пх и п2. При оценке этих платежей сравниваются их современные стоимости, и тот платеж считается большим, у которого больше современная стоимость. Иногда возникает необходимость в определении критической ставки /кр, при которой два рассматриваемых платежа оказываются равными. Рассмотрим два варианта.

1. Для простых процентов критическая ставка находится из уравнения эквивалентности, получаемого путем приравнивания современных стоимостей первого и второго платежей:

Первый платеж, равный 900 руб., должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 920 руб., — через 270 дней. Определить критическую ставку при базе сравнения К = 360. Решение. Критическая ставка, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле

1. Для сложных процентов уравнение эквивалентности имеет вид:

Пример.
Первый платеж, равный 9000 руб., должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12 000 руб., — через 5 лет. Определить критическую ставку.
Решение.
Критическая ставка, при которой платежи эквивалентны, определяется по формуле (3.18):

Финансовая эквивалентность платежей.

3.1 Эквивалентность процентных ставок.

Эквивалентные ставки –это ставки разного вида, которые в однотипных операциях приводят к одинаковым результатам.

Например, простая ставка 22% годовых будет эквивалентна сложной ставке 20% годовых для кредита 10 000 рублей сроком 2 года, т.к. в каждом случае сумма погашения кредита будет одинакова:

Замена в договоре одной ставки на эквивалентную ей ставку другого вида не меняет результатов операции.

В качестве результата операции удобно брать наращенную сумму, множитель наращения или проценты.

Формулы для эквивалентных ставок получают из уравнения эквивалентности, в котором приравниваются результаты операций:

1) эквивалентность простых и сложных ставок:

2) эквивалентность сложной и номинальной ставок:

3) эквивалентность по простой и учетной ставке:

Эквивалентные ставки простых и сложных процентов называют – доходностью операции.

3.2 Доходность нескольких однотипных операций.

Доходность нескольких однотипных операций находят с помощью средней ставки.

Средняя ставка– это эквивалентная ставка простых процентов, которая приводит к тому же результату, что и фактические ставки операций.

В качестве результата рассматривают сумму простых процентов:

, где iпр – средняя ставка

Получили формулу средней арифметической взвешенной , поэтому эквивалентную простую ставку называют средней ставкой:

3.3 Финансовая эквивалентность платежей.

Эквивалентные платежи –это платежи, которые будут равны, если их привести к одному и тому же сроку по одной и той же процентной ставке.

Чтобы привести платеж к более позднему сроку, необходимо начислить проценты на платеж: , где R – исходный платеж,

S – приведенный платеж,

n – срок до приведения.

Чтобы привести платеж к более раннему сроку необходимо дисконтировать платеж (т.е. удержать проценты):

Приведение платежей используется в ситуациях, когда необходимо:

– изменить сроки платежей;

– поменять количество платежей;

– объединить несколько платежей в один – консолидация платежей.

В этих случаях, чтобы ни одна из сторон не понесла убытки, руководствуются принципом финансовой эквивалентности платежей, когда все платежи приводятся к одному сроку и приравниваются результаты по старым и новым условиям:

где S – размер приведенного платежа по старым условиям,

S*- размер приведенного платежа по новым условиям,

К – количество старых платежей,

N – количество новых платежей.

В случае объединения платежей, все платежи приводят к сроку нового консолидированного платежа, и поэтому, принципы финансовой эквивалентности преобразовывается к виду: , где -консолидированный платеж.

Дата добавления: 2015-11-26 ; просмотров: 4616 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

[spoiler title=”источники:”]

http://topuch.ru/tema–ekvivalentnoste-procentnih-stavok-finansovaya-ekvivalent/index.html

http://helpiks.org/6-1425.html

[/spoiler]