Как найти смешанное произведение abc

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления смешанного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти смешанное произведение
$(bar{a}$, $bar{b}$, $bar{c})$ трех векторов, заданных своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right), b=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ и $bar{c}=left(c_{x}, c_{y}, c_{z}right)$ необходимо
вычислить следующий определитель, где по
строкам записаны координаты заданных векторов, то есть

Примеры вычисления смешанного произведения векторов

Читать дальше: как найти вектор коллинеарный вектору.

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

Свойства[править | править код]

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

В частности,

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение[править | править код]

В -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также[править | править код]

• Двойное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение
• Псевдоскалярное произведение

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач

Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку “Вычислить.”

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c, то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab] скалярно умножается на вектор c.

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2′ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab],c) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab],c) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Для доказательства следствия заметим, что из переместительного свойства скалярного произведения имеем:

Следовательно нам достаточно доказать, что

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc, не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Тогда смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab] и c. Векторное произведение векторов [ab] в декартовых координатах вычисляется формулой (подробнее смотрите на странице векторное произведение векторов онлайн):

Тогда скалярное произведение векторов [ab] и c можно записать так:

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

Формулы (6) и (4) эквивалентны, так как (6) является разложением определителя (4) по третьей строке.

Теорема доказана.

Следствие 3. Для компланарности трех векторов

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Решение.

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

Пример 2. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Начальная точка вектора a:

Конечная точка вектора a:

Вектор b:

Начальная точка вектора c:

Конечная точка вектора c:

Решение.

Переместим вектор a на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки B координаты начальной точки A:

Переместим вектор c на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки F координаты начальной точки E:

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку “Вычислить.”

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c, то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab] скалярно умножается на вектор c.

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2′ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab],c) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab],c) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Для доказательства следствия заметим, что из переместительного свойства скалярного произведения имеем:

Следовательно нам достаточно доказать, что

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc, не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a=<x₁, y₁, z₁>, b=<x₂, y₂, z₂>, c=<x₃, y₃, z₃>.

Тогда смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

.

(4)

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab] и c. Векторное произведение векторов [ab] в декартовых координатах вычисляется формулой (подробнее смотрите на странице векторное произведение векторов онлайн):

[ab]=<y₁z₂–y₂z₁, z₁x₂−z₂x₁, x₁y₂−x₂y₁>.

Тогда скалярное произведение векторов [ab] и c можно записать так:

abc=([ab],c)=x3(y1z2–y2z1)+ y3(z1x2−z2x1)+ z3(x1y2−x2y1).

(5)

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

Формулы (6) и (4) эквивалентны, так как (6) является разложением определителя (4) по третьей строке.

Следствие 3. Для компланарности трех векторов

a=<x₁, y₁, z₁>, b=<x₂, y₂, z₂>, c=<x₃, y₃, z₃>.

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

.

(7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:

.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

Пример 2. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Начальная точка вектора a:

.

Конечная точка вектора a:

.

.

Начальная точка вектора c:

.

Конечная точка вектора c:

.

Переместим вектор a на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки B координаты начальной точки A:

.

Переместим вектор c на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки F координаты начальной точки E:

.

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:

.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

Смешанное произведение векторов.

Формулы вычисления смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = < a_x ; a_y ; a_z >, b = < b_x ; b_y ; b_z > и c = < c_x ; c_y ; c_z > в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [ b × c ] =	ax	ay	az
bx	by	bz
cx	cy	cz

Свойства смешанного произведения векторов

Vпир =	1	| a · [ b × c ]|
6

Примеры задач на вычисления смешанного произведения векторов

a · [ b × с ] =	1	2	3	=
1	1	1
1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 – 1·1·3 – 1·1·2 – 1·1·2 = 1 + 2 + 6 – 3 – 2 – 2 = 2

Решение: Найдем смешанное произведение этих векторов:

a · [ b × с ] =	1	2	3	=
1	-1	1
2	0	-1

= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 – 3·(-1)·2 – 2·1·(-1) – 1·1·0 =

= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 – 0 = 13

Найдем объем пирамиды воспользовавшись свойствами:

Vпир =	1	| a · [ b × c ]| =	13	= 2	1
6	6	6

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Как найти смешанное произведение векторов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Предварительные сведения

Для того чтобы мы могли ввести понятие смешанного произведения векторов, нужно сначала вспомнить понятия скалярного и векторного произведений этих векторов.

Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.

Скалярное произведение двух данных векторов $overline<α>$ и $overline<β>$ равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Математически выглядит следующим образом

$overline<α>overline<β>=α_1 α_2+β_1 β_2$

Обозначение: $overline<α>cdot overline<β>$.

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|overline<α>хoverline<β>|=|overline<α>||overline<β>|sin⁡∠(overline<α>,overline<β>)$
2. $overline<α>хoverline<β>⊥overline<α>$, $overline<α>хoverline<β>⊥overline<β>$
3. $(overline<α>хoverline<β>,overline<α>,overline<β>)$ и $(overline,overline,overline)$ одинаково ориентированы (рис. 1)

Готовые работы на аналогичную тему

Понятие смешанного произведения векторов

Смешанным произведением векторов $overline<α>$, $overline<β>$ и $overline<γ>$ будем называть такой скаляр (или число), которое будет равняться скалярному произведению первого вектора $overline<α>$ на вектор векторного произведения $overline<β>хoverline<γ>$ двух других векторов.

Математически это выглядит следующим образом:

Очевидно, что смешанное произведение будет равняться нулю в двух случаях:

1. Если длина одного или нескольких векторов равняется нулю.
2. Если эти векторы будут являться компланарными.

Найти значение смешанного произведения векторов $overline<α>$, $overline<β>$ и $overline<γ>$, которые имеют координаты $(0,0,5)$, $(0,4,0)$ и $(3,0,0)$, соответственно.

Из определений 1, и 3 будем получать

Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 2):

Найдем вначале длину вектора векторного произведения векторов $overline<β>$ и $overline<γ>$

Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^0$. Найдем длины этих векторов:

Тогда, по определению 2, получим

$|overline<β>хoverline<γ>|=|overline<α>||overline<β>|sin90^circ=4cdot 3cdot 1=12$

Из 3 части определения 2 очевидно, что вектор $overline<β>хoverline<γ>$ принадлежит оси $Oz$ и направлен в туже сторону, что и сама ось, следовательно, угол между векторами $overline<α>$ и $overline<β>хoverline<γ>$ равняется $0^circ$.

Длина вектора $overline<α>$

Вычисление смешанного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения смешанного произведения для трех данных векторов. Но существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $overline<α>$, $overline<β>$ и $overline<γ>$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$, $(β_1,β_2,β_3)$ и $(γ_1,γ_2,γ_3)$, соответственно. Тогда значение смешанного произведения можно найти по следующей формуле:

$overline<α>хoverline<β>=α_1 β_2 γ_3+α_3 β_1 γ_2+α_2 β_3 γ_1-α_3 β_2 γ_1-α_2 β_1 γ_3-α_1 β_3 γ_2$

Найти значение смешанного произведения векторов $overline<α>$, $overline<β>$ и $overline<γ>$ с координатами $(1,1,0)$, $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

Свойства смешанного произведения векторов

Для произвольных четырех векторов $overline<α>, $overline<β>$, $overline<γ>$ и $overline<δ>$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства: справедливы следующие свойства:

1) При перестановке местами знаков произведений в смешанном произведении можно менять между собой

$(overline<α>,overline<δ>,overline<γ>)=overline<α>cdot (overline<δ>хoverline<γ>)=(overline<α>хoverline<δ>)cdot overline<γ>$

2) Векторы в смешанном произведении можно менять только циклически

3) Перемещение только одного вектора на другое место меняет знак

4) Из формулы выше, очевидны следующие равенства:

5) Справедливы равенства:

6) Геометрический смысл – площадь параллелепипеда (рис. 3):

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 07 2022

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply2/

http://spravochnick.ru/geometriya/vektory/kak_nayti_smeshannoe_proizvedenie_vektorov/

[/spoiler]