Марина Николаевна Ковальчук
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Предварительные сведения
Для того чтобы мы могли ввести понятие смешанного произведения векторов, нужно сначала вспомнить понятия скалярного и векторного произведений этих векторов.
Определение 1
Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.
Математически это может выглядеть следующим образом:
$overline{α}overline{β}=|overline{α}||overline{β}|cos∠(overline{α},overline{β})$
Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.
Теорема 1
Скалярное произведение двух данных векторов $overline{α}$ и $overline{β}$ равняется сумме произведений их соответствующих координат.
Математически выглядит следующим образом
$overline{α}overline{β}=α_1 α_2+β_1 β_2$
Обозначение: $overline{α}cdot overline{β}$.
Определение 2
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
Обозначение: $overline{α}хoverline{β}$.
Математически это выглядит следующим образом:
- $|overline{α}хoverline{β}|=|overline{α}||overline{β}|sin∠(overline{α},overline{β})$
- $overline{α}хoverline{β}⊥overline{α}$, $overline{α}хoverline{β}⊥overline{β}$
- $(overline{α}хoverline{β},overline{α},overline{β})$ и $(overline{i},overline{j},overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 1)
«Как найти смешанное произведение векторов» 👇
Понятие смешанного произведения векторов
Определение 3
Смешанным произведением векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$ будем называть такой скаляр (или число), которое будет равняться скалярному произведению первого вектора $overline{α}$ на вектор векторного произведения $overline{β}хoverline{γ}$ двух других векторов.
Обозначение: $(overline{α},overline{β},overline{γ})$.
Математически это выглядит следующим образом:
$(overline{α},overline{β},overline{γ})=overline{α}cdot (overline{β}хoverline{γ})$
Очевидно, что смешанное произведение будет равняться нулю в двух случаях:
- Если длина одного или нескольких векторов равняется нулю.
- Если эти векторы будут являться компланарными.
Пример 1
Найти значение смешанного произведения векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$, которые имеют координаты $(0,0,5)$, $(0,4,0)$ и $(3,0,0)$, соответственно.
Решение.
Из определений 1, и 3 будем получать
$(overline{α},overline{β},overline{γ})=overline{α}cdot (overline{β}хoverline{γ})=|overline{a}||overline{β}хoverline{γ}|cos∠(overline{α},overline{β}хoverline{γ})$
Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 2):
Найдем вначале длину вектора векторного произведения векторов $overline{β}$ и $overline{γ}$
Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^0$. Найдем длины этих векторов:
$|overline{β}|=sqrt{0+16+0}=4$
$|overline{γ}|=sqrt{9+0+0}=3$
Тогда, по определению 2, получим
$|overline{β}хoverline{γ}|=|overline{α}||overline{β}|sin90^circ=4cdot 3cdot 1=12$
Из 3 части определения 2 очевидно, что вектор $overline{β}хoverline{γ}$ принадлежит оси $Oz$ и направлен в туже сторону, что и сама ось, следовательно, угол между векторами $overline{α}$ и $overline{β}хoverline{γ}$ равняется $0^circ$.
Длина вектора $overline{α}$
$|overline{α}|=sqrt{0+0+25}=5$
Получим
$(overline{α},overline{β},overline{γ})=|overline{a}||overline{β}хoverline{γ}|cos∠(overline{α},overline{β}хoverline{γ})=5cdot 12cdot cos0^circ=60$
Ответ: $60$.
Вычисление смешанного произведения по координатам векторов
Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения смешанного произведения для трех данных векторов. Но существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.
Пусть нам даны векторы $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$, $(β_1,β_2,β_3)$ и $(γ_1,γ_2,γ_3)$, соответственно. Тогда значение смешанного произведения можно найти по следующей формуле:
$(overline{α},overline{β},overline{γ})=begin{vmatrix}α_1&α_2&α_3\β_1&β_2&β_3\γ_1&γ_2&γ_3end{vmatrix}$
Иначе, получим
$overline{α}хoverline{β}=α_1 β_2 γ_3+α_3 β_1 γ_2+α_2 β_3 γ_1-α_3 β_2 γ_1-α_2 β_1 γ_3-α_1 β_3 γ_2$
Пример 2
Найти значение смешанного произведения векторов $overline{α}$, $overline{β}$ и $overline{γ}$ с координатами $(1,1,0)$, $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.
Решение.
Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим
$(overline{α},overline{β},overline{γ})=begin{vmatrix}1&1&0\0&3&3\-1&2&6end{vmatrix}=18+(-3)+0-0-6-0=18-9=9$
Ответ: $9$.
Свойства смешанного произведения векторов
Для произвольных четырех векторов $overline{α}, $overline{β}$, $overline{γ}$ и $overline{δ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства: справедливы следующие свойства:
1) При перестановке местами знаков произведений в смешанном произведении можно менять между собой
$(overline{α},overline{δ},overline{γ})=overline{α}cdot (overline{δ}хoverline{γ})=(overline{α}хoverline{δ})cdot overline{γ}$
2) Векторы в смешанном произведении можно менять только циклически
$(overline{α},overline{δ},overline{γ})=(overline{δ},overline{γ},overline{α})=(overline{γ},overline{α},overline{δ})$
3) Перемещение только одного вектора на другое место меняет знак
$(overline{α},overline{δ},overline{γ})=-(overline{β},overline{α},overline{γ})=-(overline{γ},overline{δ},overline{α})=-(overline{α},overline{γ},overline{δ})$
4) Из формулы выше, очевидны следующие равенства:
$(roverline{α},overline{δ},overline{γ})=r(overline{α},overline{δ},overline{γ})$
$(overline{α},roverline{δ},overline{γ})=r(overline{α},overline{δ},overline{γ})$
$(overlie{α},overline{δ},roverline{γ})=r(overline{α},overline{δ},overline{γ})$
5) Справедливы равенства:
$(overline{α}+overline{β},overline{δ},overline{γ})=(overline{α},overline{δ},overline{γ})+(overline{β},overline{δ},overline{γ})$
$(overline{α},overline{δ}+overline{β},overline{γ})=(overline{α},overline{δ},overline{γ})+(overline{α},overline{β},overline{γ})$
$(overline{α},overline{δ},overline{γ}+overline{β})=(overline{α},overline{δ},overline{γ})+(overline{α},overline{δ},overline{β})$
6) Геометрический смысл – площадь параллелепипеда (рис. 3):
$S=|(overline{α},overline{β},overline{c})|$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления смешанного произведения векторов
Формула
Для того чтобы найти смешанное произведение
$(bar{a}$, $bar{b}$, $bar{c})$ трех векторов, заданных своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right), b=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ и $bar{c}=left(c_{x}, c_{y}, c_{z}right)$ необходимо
вычислить следующий определитель, где по
строкам записаны координаты заданных векторов, то есть
$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z} \ c_{x} & c_{y} & c_{z}end{array}right|$$
Примеры вычисления смешанного произведения векторов
Пример
Задание. Вычислить смешанное произведение векторов
$bar{a}=(1 ; 3 ; 1)$, $bar{b}=(2 ; 1 ; 3)$, и $bar{c}=(3 ; 1 ; 2)$
Решение. Для нахождения смешанного произведения заданных векторов воспользуемся формулой
$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z} \ c_{x} & c_{y} & c_{z}end{array}right|$$
Подставляя координаты заданных векторов, получим:
$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 2end{array}right|$$
Определитель вычисляем по правилу треугольника:
$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \ 2 & 1 & 3 \ 3 & 1 & 2end{array}right|=1 cdot 1 cdot 2+3 cdot 3 cdot 3+2 cdot 1 cdot 1-$$
$$-1 cdot 1 cdot 3-3 cdot 2 cdot 2-3 cdot 1 cdot 1=2+27+2-3-12-3=13$$
Ответ. $(bar{a}, bar{b}, bar{c})=13$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Даны три вектора $bar{a}=(1 ;-2 ; 3), bar{b}=(3 ;-5 ; 6)$ и $bar{c}=(5 ;-4 ; 1)$. Проверить, являются ли они компланарными, если нет,
определить левую или правую тройку они образуют.
Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов. Для этого воспользуемся формулой
$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \ b_{x} & b_{y} & b_{z} \ c_{x} & c_{y} & c_{z}end{array}right|$$
Подставляя координаты заданных векторов, получим
$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \ 3 & -5 & 6 \ 5 & -4 & 1end{array}right|$$
Определитель вычисляем по правилу треугольника:
$$(bar{a}, bar{b}, bar{c})=left|begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \ 3 & -5 & 6 \ 5 & -4 & 1end{array}right|=1 cdot(-5) cdot 1+(-2) cdot 5 cdot 6+$$
$$+3 cdot 3 cdot(-4)-3 cdot(-5) cdot 5-3 cdot(-2) cdot 1-1 cdot 6 cdot(-4)=$$
$$-5-60-36+75+6+24=4 neq 0$$
Смешанное произведение заданных векторов не равно нулю, следовательно, векторы некомпланарные. Так как смешанное
произведение положительно, то делаем вывод, что заданные векторы образуют правую тройку.
Ответ. Векторы некомпланарны и образуют правую тройку.
Читать дальше: как найти вектор коллинеарный вектору.
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти смешанное произведение трех векторов через вычисление определителя соответствующей матрицы, перечислим свойства этой операции, а также разберем пример решения задачи.
- Нахождение смешанного произведения векторов
- Свойства смешанного произведения векторов
- Пример задачи
Нахождение смешанного произведения векторов
Смешанное произведение векторов равняется определителю матрицы, которая составлена из координат этих векторов.
Алгоритм действий следующей:
Допустим, у нас есть три вектора: a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и с = {сx; сy; сz}. Чтобы найти их смешанное произведение (в декартовой системе) мы составляем матрицу с элементами, как показано ниже, и затем просто вычисляем ее определитель.
Свойства смешанного произведения векторов
1. Модуль смешанного произведения трех векторов равняется объему параллелепипеда, который образован этими векторами.
Vпаралл. = |a · [b × c]|
2. Объем пирамиды, которая образована тремя векторами, равняется 1/6 от модуля смешанного произведения данных векторов.
Vпаралл. = 1/6 · |a · [b × c]|
3. Смешанное произведение трех ненулевых компланарных векторов равняется нулю.
4. a · [b × c] = b · (a · c) – c · (a · b)
5. a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = –a · [c ×b] = –b · [a ×c] = –c · [b ×a]
6. a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 (тождество Якоби)
Пример задачи
Найдем смешанное произведение векторов a = {3; 8; 4}, b = {1; -10; 12} и с = {11; 5; 9}.
Решение:
a · [b × c] = 3 · (-10) · 9 + 11 · 8 · 12 + 1 · 5 · 4 – 11 · (-10) · 4 – 3 · 5 · 12 – 1 · 8 · 9 = -270 + 1056 + 20 + 440 – 180 – 72 = 994
Смешанное произведение векторов.
Определение. Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.
Формулы вычисления смешанного произведения векторов
Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.
Смешанное произведение векторов a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:
a · [b × c] = | ax | ay | az |
bx | by | bz | |
cx | cy | cz |
Свойства смешанного произведения векторов
-
Геометрический смысл смешанного произведения.
Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:
Vпарал = |a · [b × c]|
-
Геометрический смысл смешанного произведения.
Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов:
-
Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.
-
a · [b × c] =
b · (a · c) –
c · (a · b) -
a · [b × c] =
b · [c × a] =
c · [a × b] =
–a · [c × b] =
–b · [a × c] =
–c · [b × a] -
a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 – тождество Якоби.
Примеры задач на вычисления смешанного произведения векторов
Пример 1. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
Решение:
a · [b × с] = | 1 | 2 | 3 | = |
1 | 1 | 1 | ||
1 | 2 | 1 |
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 – 1·1·3 – 1·1·2 – 1·1·2 = 1 + 2 + 6 – 3 – 2 – 2 = 2
Пример 2.
Найти объем пирамиды построенной на векторах a = {1; 2; 3}, b = {1; -1; 1}, c = {2; 0; -1}.
Решение: Найдем смешанное произведение этих векторов:
a · [b × с] = | 1 | 2 | 3 | = |
1 | -1 | 1 | ||
2 | 0 | -1 |
= 1·(-1)·(-1) + 2·1·2 + 3·1·0 – 3·(-1)·2 – 2·1·(-1) – 1·1·0 =
= 1 + 4 + 0 + 6 + 2 – 0 = 13
Найдем объем пирамиды воспользовавшись свойствами:
Vпир = | 1 | |a · [b × c]| = | 13 | = 2 | 1 |
6 | 6 | 6 |
Определение смешанного произведения.
Смешанное
произведение определяется для трех
векторов, заданных в трехмерном
пространстве.
Определение.
Смешанным
произведением трех векторов и называется
действительное число, равное скалярному
произведению векторов и ,
где –
векторное произведение векторов и .
Из
определения понятно, почему смешанное
произведение часто называют
векторно-скалярным произведением.
Смешанное
произведение векторов и обычно
обозначают .
В таких обозначениях по определению
смешанного произведения .
Смешанное произведение в координатной форме.
Покажем,
как находится смешанное произведение,
если известны координаты умножаемых
векторов в прямоугольной
системе координат. Пусть –
координатные векторы.
Векторное
произведение в координатах имеет
вид
а скалярное
произведение векторов в прямоугольной
системе координат равно
сумме произведений соответствующих
координат, поэтому,
Таким
образом, смешанное произведение векторов
равно определителю матрицы третьего
порядка, строками которой являются
координаты умножаемых векторов, то
есть,
.
Свойства смешанного произведения.
Из свойств
векторного произведения и свойств
скалярного произведения следуют
следующиесвойства
смешанного произведения:
-
;
-
;
Очевидно,
что если хотя бы один из умножаемых
векторов нулевой, то смешанное произведение
равно нулю.
Смешанное
произведение также равно нулю, если
хотя бы два умножаемых вектора равны.
Действительно,
если ,
то по определению векторного произведения ,
следовательно, смешанное произведение
равно нулю, так как .
Если же или ,
то угол между векторами и равен ,
следовательно, по определению скалярного
произведения векторов .
Свойства
смешанного произведения обычно
применяются при доказательстве тождеств
или неравенств.
Рассмотрим
несколько характерных задач.
Пример.
Докажите
равенство ,
где –
некоторое действительное число.
Решение.
Преобразуем
левую часть равенства, обратившись к
третьему свойству смешанного
произведения:
Выше
мы показали, что ,
следовательно,
По
первому свойству смешанного произведения ,
а .
Таким образом, .
Поэтому,
Что
и требовалось доказать.
Пример.
Докажите,
что модуль смешанного произведения
трех векторов не превосходит произведения
длин этих векторов.
Решение.
Иными
словами, нам требуется доказать
неравенство .
По
определению скалярного и векторного
произведения векторов, мы можем записать
Из свойств
основных элементарных функций мы
знаем, что .
Следовательно,
что
и требовалось доказать.
К
началу страницы
Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.
Проще
всего смешанное произведение находится,
когда известны координаты векторов.
Для вычисления используется формула .
Пример.
Даны
координаты трех векторов в прямоугольной
системе координат .
Найдите смешанное произведение .
Решение.
Мы
выяснили, что смешанное произведение
векторов может быть вычислено через
определитель матрицы третьего порядка,
строками которой являются координаты
векторов, то есть,
Ответ:
.
Пример.
Найдите
векторно-скалярное произведение
векторов ,
где –
орты прямоугольной декартовой системы
координат.
Решение.
Данные
векторы имеют следующие координаты
(при необходимости смотрите статьюкоординаты
вектора в прямоугольной системе
координат)
Осталось
воспользоваться формулой для вычисления
смешанного произведения через координаты
векторов
Ответ:
.
Смешанное
произведение векторов также может быть
вычислено, если известны длины векторов
и углы между ними. Рассмотрим решение
характерного примера.
Пример.
В
правой прямоугольной декартовой системе
координат заданы три взаимно
перпендикулярных вектора и ,
образующих правую тройку, их длины равны
соответственно 4, 2 и 3.
Найдите их смешанное произведение .
Решение.
Обозначим .
Нам
известно, что скалярное произведение
векторов равно произведению их длин на
косинус угла между ними, поэтому .
Сразу
подставим значение длины вектора ,
известное из условия: .
У
нас остались неизвестные и .
Найдем их.
По
условию ,
тогда по определению векторного
произведения находим длину вектора :
Из
определения векторного произведения
мы можем заключить, что вектор перпендикулярен
вектору и
вектору ,
причем тройка векторов будет
правой, так как векторы и заданы
в правой прямоугольной декартовой
системе координат. Следовательно,
векторы и будут
сонаправленными, то есть, .
Подставляем
полученные результаты и получаем искомое
смешанное произведение: .
Ответ:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #