Как найти смещение луча в плоскопараллельной пластине

Принцип Гюйгенса:

Каждая точка, до которой доходит световое возбуждение, является, в свою очередь, центром вторичных волн; поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, указывает положение к этому моменту  фронта действительно распространяющейся волны.

Закон отражения:

• отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и перпендикуляром, проведенным к границе раздела двух сред в точке падения;
• угол падения  α  равен углу отражения  γ:   

α = γ

Вывод на основе принципа Гюйгенса: 

Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ), распространяющаяся в вакууме вдоль направления I со скоростью с, падает на границу раздела двух сред. Когда фронт волны АВ достигнет отражающей поверхности в точке А, эта точка начнет излучать вторичную волну.

Для прохождения волной расстояния ВС требуется время Δt = BC/υ. За это же время фронт вторичной волны достигнет точек полусферы, радиус AD которой равен:  υΔt = ВС. Положение фронта отраженной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление распространения этой волны – лучом II. Из равенства треугольников ABC и ADC вытекает закон отражения: угол падения  α  равен углу отражения  γ.

Закон преломления (закон Снелиуса):

• луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости;
• отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных сред.

Вывод закона преломления. Предположим, что плоская волна (фронт волны АВ), распространяющаяся в вакууме вдоль направления I со скоростью  с, падает на границу раздела со средой, в которой скорость ее распространения равна v.

      Пусть время, затрачиваемое волной для прохождения пути ВС, равно Δt. Тогда ВС = сΔt. За это же время фронт волны, возбуждаемой точкой А в среде со скоростью u, достигнет точек полусферы, радиус которой AD = vΔt. Положение фронта преломленной волны в этот момент времени в соответствии с принципом Гюйгенса задается плоскостью DC, а направление ее распространения – лучом III. Из рис. видно, что

        ,       т.е.        .

      Отсюда следует закон Снелиуса:

Принцип Ферма: свет распространяется между двумя точками по пути, для прохождения которого необходимо наименьшее время.

Покажем применение этого принципа к решению той же задачи о преломлении света.

Луч от источника света S, расположенного в вакууме идет до точки В, расположенной в некоторой среде за границей раздела

 В каждой среде кратчайшим путем будут прямые SA и AB. Точку A охарактеризуем расстоянием x от перпендикуляра, опущенного из источника на границу раздела. Определим время, затраченное на прохождение пути SAB:

 .

      Для нахождения минимума найдем первую производную от τ по х и приравняем ее к нулю:

 ,

      отсюда приходим к тому же выражению, что получено исходя из принципа Гюйгенса:    .

 Следствия из принципа Ферма:

1. Обратимость световых лучей: если обратить луч III, заставив его падать на границу раздела под углом β, то преломленный луч в первой среде будет распространяться под углом α, т. е. пойдет в обратном направлении вдоль луча I.

2. Если свет распространяется из среды с большим показателем преломления n₁  (оптически более плотной) в среду с меньшим показателем преломления n₂  (оптически менее плотной) ( n₁  > n₂ ), например из стекла в воздух, то, согласно закону преломления, преломленный луч удаляется от нормали и угол преломления β больше, чем угол падения α:

3. С увеличением угла падения увеличивается угол преломления, до тех пор, пока при некотором угле падения (α = α_пр) угол преломления не окажется равным  π/2.

Полное отражение

Угол α_пр  называется предельным углом полного отражения. При углах падения α > α_пр  весь падающий свет полностью отражается.

По мере приближения угла падения к предельному, интенсивность преломленного луча уменьшается, а отраженного – растет.

Если α = α_пр , то интенсивность преломленного луча обращается в нуль, а интенсивность отраженного равна интенсивности падающего.

Таким образом, при углах падения в пределах от α_пр  до π/2, луч не преломляется, а полностью отражается в первую среду, причем интенсивности отраженного и падающего лучей одинаковы.  Это явление называется полным отражением.

В случае, если вторая среда – воздух

Преломление света в плоскопараллельной пластине

Плоскопараллельная пластина — это оптический прибор, представляющий собой ограниченный параллельными поверхностями слой однородной среды, прозрачной в некотором интервале длин волн λ оптического излучения.

Основным оптическим свойством пластины является то, что луч, падающий на пластину, в результате двукратного преломления на поверхностях пластины параллельно смещается на некоторую величинуδL относительно исходного луча

Величина смещения в плоскопараллельной пластине

Величина сдвига луча света δL зависит:

• от угла падения света α,
• от толщины пластины d,
• от показателя преломления вещества, из которого изготовлена плоскопараллельная пластина n.

C увеличением любого из этих параметров смещение луча света увеличивается.

Смещение луча можно выразить через угол падения

Из этого выражения видно, что величина смещения луча в пластине зависит от угла падения, толщины пластины и показателя преломления. Из формулы видно, что отклонения луча не происходит, если:

1. угол падения равен нулю: α = 0,
2. относительный показатель преломления равен единице (преломления не происходит): n = 1 ,
3. толщина пластины равна нулю: d = 0 

Ход луча через треугольную призму

В курсе школьной физики изучаются две преломляющие системы:

• плоскопараллельная пластинка
• призма

Плоскопараллельной пластинкой называется оптически прозрачная система (параллелепипед с двумя параллельными гранями). Расстояние между этими двумя плоскостями достаточно мало (рис. 1).

Пусть дана плоскопараллельная пластинка шириной  и точечный источник , из материала с показателем преломления . Данная плоскопараллельная пластинка помещена в среду с показателем преломления . От источника под углом  к вертикали падает луч света (на границу раздела сред 1/2). В точке А происходит преломление луча. Далее луч, распространяющийся внутри пластины, падает на вторую границу раздела (в данном случае, 2/1). В точке В также происходит преломление, и луч выходит из системы. Проанализируем ход луча:

• преломление в точке А можно описать законом Снеллиуса:

(1)

• за счёт параллельных граней пластинки, в точку В луч падает под тем же углом  (накрест лежащие углы)
• преломление в точке В также можно описать законом Снеллиуса:

(2)

Т.е. анализ прохождения луча основывается на законах преломления. Избавимся в соотношениях (1) и (2) от параметров второй среды (пластинки), тогда:

(3)

Или, сократив:

(4)

Из соотношения (4) можно сделать вывод, что , что говорит о том, что луч, проходя плоскопараллельную пластинку, выходит из неё под тем же углом (угол падения на пластинку равен углу выхода из пластинки). Таким образом, плоскопараллельная пластинка не меняет направления распространения луча, а смещает его. Для характеристики смещения луча относительно первоначального направления —  (рис. 2).

Призмой называется оптически прозрачная система в форме геометрического тела — призмы, которая имеет плоские полированные грани, через которые входит и выходит свет.

Одним из параметров призмы являются преломляющий угол призмы () — угол между гранями на призмы, на одну из которых луч света падает, с другой грани уходит. В основном, задачи на призму касаются угла отклонения луча (), т.е. угла между падающим лучом (его продолжением) и лучом, выходящим из призмы (его продолжением). Тогда для призмы выведено соотношение:

(5)

Вывод: для оптических систем достаточно прорисовать ход лучей через систему (исходя из законов преломления). А далее, с помощью рисунка, найти необходимые в задаче элементы чаще всего с помощью закона Снеллиуса и геометрических соотношений.

2017-04-30   

Определить смещение луча после прохождения через плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной $d = 6 см$, имеющую показатель преломления $n = 1,6$. Угол падения луча на пластинку $alpha = 60^{ circ}$.

Решение:

АВ – падающий на пластинку луч, ВN – перпендикуляр в точке падения, $alpha$ – угол падения, ВС – преломленный луч, $beta$ – угол преломления. СМ – перпендикуляр в точке падения луча на нижнюю грань пластинки. Так как $CM parallel BN$, то луч падает на нижнюю грань пластинки под углом $beta$. На основании обратимости хода световых лучей можно утверждать, что он выходит из пластинки под углом $alpha$. Итак, $AB parallel CD$, однако происходит смещение луча на расстояние $CF ( CF perp AB)$. Запишем закон преломления в точке В:

$frac{ sin alpha}{ sin beta} = n Rightarrow sin beta = frac{ sin alpha }{n} Rightarrow sin beta = 0,54 Rightarrow beta = 32,8^{ circ}$.

$angle KBF = angle ABN = alpha$ (вертикальные углы), поэтому $angle CBF = alpha – beta$. Из $Delta CBK: BC = frac{BK}{ cos beta} = frac{d}{ cos beta}$. Из $Delta CBF$ смещение луча $CF = BC sin angle CBF = frac{d sin ( alpha – beta)}{ cos beta} = 3,3 см$.

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Содержание:

Прохождение света через плоскопараллельные пластинки и призмы:

Законы отражения и преломления света широко используются для управления ходом световых пучков. Для отражения света в приборах применяются зеркала и призмы, для преломления — призмы, плоскопараллельные пластинки, линзы.

Зеркала, призмы, пластинки и линзы являются элементами, комбинируя которые, создают различные оптические приборы. Рассмотрим отдельные элементы оптических приборов.

Плоскопараллельная пластинка

Рассмотрим ход луча в плоскопараллельной пластинке. На рисунке 77 показан ход светового луча в плоскопараллельной пластинке толщиной 

Согласно закону преломления на первой и второй границах раздела для луча, падающего под углом  на первую границу, имеем:

Здесь  — угол преломления на первой границе,  — угол падения луча на вторую границу,  — угол преломления на второй границе,  — абсолютный показатель преломления вещества пластинки.

Накрест лежащие углы  при параллельных прямых  (перпендикулярах к первой и второй параллельным границам) равны, т. е.  Следовательно,  Откуда следует, что

Таким образом, луч света, проходя через плоскопараллельную пластинку, с обеих сторон которой находится одна и та же среда, смещается параллельно своему начальному направлению на некоторое расстояние 

Соответственно, все предметы, если смотреть на них сквозь прозрачную плоскопараллельную пластинку под углом, не равным нулю, будут также казаться смещенными.

Найдем, от каких параметров пластинки зависит смещение  луча. Из  следует, что

Из  имеем:

Отсюда:

С учетом закона преломления  и тригонометрического тождества  находим:

Расстояние  между направлениями входящего и выходящего лучей можно определить из соотношения

Как видно из соотношения (2), смещение  луча при данном угле падения  зависит от толщины  пластинки и ее показателя преломления 

Трехгранная призма

Рассмотрим ход луча в трехгранной призме. Пусть световой луч  падает под углом  на боковую грань трехгранной призмы  сечение которой показано на рисунке 78. Призма, изготовленная из вещества с абсолютным показателем преломления  находится в среде с абсолютным показателем преломления  Угол  при вершине  называется преломляющим углом призмы. Грани призмы, образующие преломляющий угол  называются преломляющими. Грань, лежащая напротив преломляющего угла, называется основанием призмы.

Пусть луч  лежат в одной плоскости — плоскости листа книги. Из закона преломления света находим угол преломления 

Если показатель призмы  то преломленный луч  падает на вторую боковую грань призмы под углом  Полного отражения на второй преломляющей грани не происходит при условии  и луч выходит из призмы под углом  Его находим из закона преломления:

Отклонение от начального направления луча  вследствие преломлений на гранях призмы определяется углом  (см. рис. 78). Угол  между направлениями входящего и выходящего лучей называется углом отклонения.

Рассмотрим  С учетом того, что  по теореме о внешнем угле треугольника находим:

Применим эту же теорему к 

Из формул (5) и (6) определим связь угла падения  угла преломления  с преломляющим углом  призмы и углом отклонения  выходящего луча от начального направления:

В результате получим систему уравнений (3), (4), (5), (7):

Система уравнений (8) позволяет решить задачу на прохождение луча света через трехгранную призму без полного отражения на ее гранях.

• Заказать решение задач по физике

Если угол падения  на грань призмы и преломляющий угол призмы  малы, то малыми будут и углы  Поэтому в законах преломления (3) и (4) отношение синусов можно заменить отношением углов, выраженных в радианах, т. е.:

Подставляя полученные выражения для  в соотношение (7), находим:

Из соотношения (9) следует, что, во-первых: чем больше преломляющий угол  тем больше угол отклонения  лучей призмой; во-вторых, угол отклонения  лучей увеличивается с ростом абсолютного показателя преломления  вещества призмы. Как видно из рисунка 78, луч света, проходя через трехгранную призму, отклоняется к ее утолщенной части, если абсолютный показатель преломления вещества призмы больше абсолютного показателя преломления окружающей среды 

Пример решения задачи

Определите наименьший преломляющий угол  стеклянной призмы, находящейся в воздухе, при котором луч, падающий нормально на грань призмы, не выйдет через ее вторую боковую грань (рис. 79). Показатель преломления стекла призмы 

Дано: 

Решение:

Запишем условие полного отражения на боковой грани 

Вследствие того, что  как углы с взаимно перпендикулярными сторонами:

Ответ: