Как найти смежные углы в окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

• Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

• Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

• Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

• Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

• Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

• Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

[spoiler title=”источники:”]

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/cangle.htm

http://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly

[/spoiler]

Смежные углы в геометрии

15 июня 2022

Два угла называются смежными, если у них общая вершина, общая сторона, а две других стороны образуют прямую.

В этом уроке:

1. Что такое смежные углы
2. Основное свойство смежных углов
3. Биссектрисы смежных углов
4. Тренировочные задачи

Это довольно простая, но очень важная тема.

1. Что такое смежные углы

Возьмём прямую $AB$ и отметим на ней точку $M$. Получим развёрнутый угол $AMB:$

Проведём из точки $M$ луч $MN$, не совпадающий с лучами $MA$ и $MB$.

Получим два новых угла: $angle AMN$ и $angle BMN$. Эти углы и называются смежными.

Определение. Два угла называются смежными, если у них одна общая сторона, а две других образуют прямую (или, что то же самое, являются дополнительными лучами).

Обратите внимание: чтобы углы стали смежными, им недостаточно просто иметь общую сторону. Вот эти углы — не смежные, хотя они и имеют общую сторону:

А вот дальше — смежные, хотя и расположены немного непривычно:

Часто смежные углы возникают в точке пересечения прямых. Например, при пересечении двух прямых

образуется четыре пары смежных углов: $angle ASM$ и $angle ASN$; $angle BSM$ и $angle MSN$; $angle ASN$ и $angle BSN$; наконец, $angle ASM$ и $angle BSM$.

2. Основное свойство внешних углов

У смежных углов есть замечательное свойство, которое будет преследовать нас на протяжении всей геометрии, до конца 11 класса.

Теорема. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$ с общей стороной $MN$:

Поскольку луч $MN$ делит угол $AMB$ на смежные углы $AMN$ и $BMN$, по основному свойству углов

[angle AMB=angle AMN+angle BMN]

Но угол $AMB$ — развёрнутый, поэтому

[angle AMN+angle BMN={180}^circ ]

Другими словами, если один угол равен $alpha $, то смежный с ним равен ${180}^circ -alpha $. Или если известно, что углы $alpha $ и $beta $ — смежные, то $alpha +beta ={180}^circ $.

Казалось бы, элементарные рассуждения, но их вполне достаточно, чтобы решать большой класс задач.

Задача 1. Найдите угол, смежный с углом $ABC$, если:

1. $angle ABC={36}^circ $.
2. $angle ABC={121}^circ $.

Решение

1) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет тупым:

Тогда $x=180-36=144$.

2) Обозначим смежный угол $DBC=x$. Он будет острым:

Тогда $x=180-121=59$.

Немного усложним задачу.

Задача 2. Найдите смежные углы, если:

1. один из них на 68° больше другого.
2. один из них в 5 раз больше другого.
3. их градусные меры относятся как 5 : 4.

Решение.

1) Пусть один из углов равен $x$. Тогда другой (очевидно, больший) будет равен $x+68$.

Поскольку углы смежные, их сумма равна 180 градусов:

[begin{align}2x+68&=180 \ 2x&=112 \ x&=56 end{align}]

Итак, один угол равен 56 градусов. Тогда другой равен $x+68=124$ градуса.

2) Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним равен $5x$.

Сумма смежных углов равна 180 градусов, поэтому

[begin{align}5x+x&=180 \ 6x&=180 \ x&=30 end{align}]

Мы нашли меньший угол — он равен 30 градусов. Тогда второй угол равен $5x=150$ градусов.

3) В задачах с отношениями величинам удобно обозначать их кратными некоторой переменной. Например, если углы относятся как 5 к 4, то пусть величина одного угла будет $5x$, а другого — $4x$.

Сумма смежных углов вновь равна 180 градусов:

[begin{align}5x+4x&=180 \ 9x&=180 \ x&=20 end{align}]

Поэтому сами углы равны $4x=80$ и $5x=100$ градусов.

3. Биссектрисы смежных углов

Вновь рассмотрим смежные углы $AMN$ и $BMN$:

Построим биссектрису $MC$ угла $AMN$ и биссектрису $MD$ угла $BMN$:

Если $angle AMC=x$ и $angle BMD=y$, то $angle AMN=2x$ и $angle BMN=2y$. Это смежные углы, поэтому

[begin{align}2x+2y&={180}^circ \ x+y&={90}^circ end{align}]

Получается, что биссектрисы смежных углов всегда пересекаются под углом 90°. Этот факт известен далеко не всем ученикам. Хотя он вполне может встретиться, например, на ЕГЭ.

Задача 3. Углы $ABC$ и $MBC$ смежные, $angle ABC={70}^circ $. Луч $BD$ принадлежит углу $ABC$, причём $angle ABD={40}^circ $. Найдите угол между биссектрисами углов $CBD$ и $MBC$.

Решение. Изобразим все углы на рисунке:

Видим, что углы $ABD$ и $MBD$ — смежные. Следовательно

[begin{align}angle MBD&={180}^circ -angle ABD= \ &={180}^circ -{40}^circ ={140}^circ end{align}]

Синим цветом отмечены биссектрисы углов $CBD$ и $MBC$. Обозначим величину углов переменными: $angle CBD=2x$, $angle MBD=2y$. Но $angle MBD=angle MBC+angle CBD$, поэтому

[begin{align}2x+2y&=140 \ x+y&=70 end{align}]

Это и есть искомый угол между биссектрисами. Он равен 70 градусов.

Задача 4. Дан треугольник $ABC$. Лучи $AM$ и $CN$ лежат на одной прямой со стороной $AB$ (см. рисунок). Известно, что $angle MAC+angle ABC={180}^circ $. Докажите, что $angle MAC=angle NBC$.

Пусть $angle ABC=x$. Тогда из условия следует, что $angle MAC={180}^circ -x$.

С другой стороны, углы $ABC$ и $NBC$ смежные, поэтому $angle NBC={180}^circ -x$.

Получается, что углы $MAC$ и $NBC$ равны одному и тому же выражению. Следовательно, $angle MAC=angle NBC$, что и требовалось доказать.

Смотрите также:

1. Что такое вертикальные углы
2. Перпендикулярные прямые — определение и свойства
3. Правила комбинаторики в задаче B6
4. Метод координат в пространстве
5. Четырехугольная пирамида: как найти координаты вершин
6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение

План урока:

Центральный угол и градусная мера дуги

Вписанный угол

Углы между хордами и секущими

Теорема о произведении отрезков хорд

Задачи на квадратной решетке

Центральный угол и градусная мера дуги

Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:

Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.

Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.

Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.

Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:

Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:

Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.

Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:

Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:

Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.

Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:

Задание. Точки А, В, С и D лежат на одной окруж-ти. Известно, что ⋃АСВ составляет 107°. Какова величина ⋃ADB?

Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:

Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:

Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:

Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:

В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда 

∠COD = ∠AOB

Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.

Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.

Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.

Решение.

Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:

⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°

∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.

Ответ: 120°.

Вписанный угол

В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.

Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.

Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:

∠OCA = ∠OAC = α

∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать

∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α

Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:

⋃BC = 2α

Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.

Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:

В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:

Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:

Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:

Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.

Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:

Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.

Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:

Задание. Найдите дугу ⋃SM на рисунке:

Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:

⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°

Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:

⋃MS = ⋃SN – ⋃MN = 180° – 70° = 110°

Ответ: 110°.

Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.

Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:

Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:

∠ACD = ∠ABD = 63°

Ответ: 63°.

Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.

Решение.

Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:

∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.

Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:

Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?

Решение.

Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:

Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ∠ADC.

Решение.

Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:

Углы между хордами и секущими

До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.

Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?

Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:

Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:

α/2 + β/2 = (α + β)/2

Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.

Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:

Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:

∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°

Ответ: 40°.

В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:

Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:

Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:

В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.

Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:

Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:

∠K = (130° – 42°):2 = 88°/2 = 44°

Ответ: 44°.

Теорема о произведении отрезков хорд

Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:

На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).

Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:

Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:

AK*KD = CK*BK

В результате нам удалось доказать следующее утверждение:

Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?

Решение.

Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:

AM*MB = CM*MD

Подставим в это равенство известные величины

Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:

Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:

Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:

Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:

В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.

Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.

Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:

Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:

Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:

Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:

Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:

Ответ: 3,8.

Задачи на квадратной решетке

Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.

Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:

Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.

Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда

∠ABC = 90°:2 = 45°

Ответ: 45°.

Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:

Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.

Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:

Задание. Вычислите ∠AВС:

Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):

Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.

Ответ: 135°.

Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?

Решение.

Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.

∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке углы a и b являются смежными, смежные и углы b и c, и углы c и d, и углы a и d.

Сумма смежных углов равна 180˚. Исходя из этого, можно говорить о свойствах смежных углов:

1. если два угла равны, то смежные с ними углы равны;
2. угол, смежный с прямым углом, является прямым углом;
3. угол, смежный с тупым, является острым, а смежный с ним острый – тупым.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми (лучами) сторон другого.

На рисунке углы α и d являются вертикальными. Вертикальными также являются и углы с и d.

Вертикальные углы равны. Исходя из этого, можно говорить о свойствах вертикальных углов:

Две пересекающиеся прямые образуют и смежные, и вертикальные углы. Смежные углы дополняют друг друга до 180˚. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.

Вспомним, что биссектриса угла – это луч. Который делит угол на два равные угла. У вертикальных углов биссектрисы лежат на одной прямой. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Биссектриса угла обладает свойством: каждая её точка находится на одинаковом расстоянии сторон угла.

Понятия центрального и вписанного угла связаны с понятием окружность.

Окружность – это геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Центральный угол в окружности – это плоский угол с вершиной в её центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Содержание:

Центральным углом называют угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 79

Если центральный угол больше развернутого, то соответствующая ему дуга больше полуокружности. Развернутому углу соответствует дуга, являющаяся полуокружностью. Дугу обозначают символом который записывают перед названием дуги или над ним. Чтобы уточнить, о какой именно из двух дуг, на которые центральный угол разделил окружность, идет речь, на каждой из них отмечают произвольную точку, отличную от концов дуги. Например, и (рис. 79). Тогда эти дуги можно записать так: (или ) и (или ). Если понятно, о какой именно дуге идет речь, то для ее обозначения достаточно указать лишь концы дуги, например (или ).

Дугу окружности можно измерять в градусах.

Градусной мерой дуги окружности называют градусную меру соответствующего ей центрального угла.

Например, если  то  (рис. 79).

Очевидно, что градусная мера дуги, являющаяся полуокружностью, равна 180°, а дуги, являющейся окружностью, – 360°. На рисунке 79:

Что такое вписанный угол

Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке 80 стороны вписанного угла  пересекают окружность в точках и  Говорят, что этот угол опирается на дугу

Очевидно, что точки пересечения сторон вписанного угла с окружностью делят ее на две дуги. Той, на которую опирается вписанный угол, будет дуга, не содержащая его вершину. Например, на рисунке 80 стороны вписанного угла делят окружность на две дуги: и Так как  не содержит вершины угла (точки ), то является дугой, на которую опирается вписанный угол  Эта дуга выделена цветом.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Пусть является вписанным в окружность с центром и опирается на дугу (рис. 80).

Докажем, что  Рассмотрим три возможных положения центра окружности относительно вписанного угла.

1) Пусть центр окружности – точка – принадлежит одной из сторон угла, например (рис. 81). Центральный угол является внешним углом треугольника  Тогда, по свойству внешнего угла, Но – равнобедренный ( как радиусы), поэтому

Следовательно,  то есть

Но  Таким образом,

2) Пусть центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 82). Проведем луч пересекающий окружность в точке

Тогда

3) Пусть центр окружности лежит вне вписанного угла

(рис. 83). Тогда

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 84).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 85).

Пример:

Докажите, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг окружности, одна из которых лежит между сторонами угла, а вторая – между их продолжениями.

Доказательство:

Рассмотрим  с вершиной внутри круга (рис. 86). Докажем, что

– внешний угол треугольника поэтому:

Пример:

Докажите, что угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг окружности, лежащих между его сторонами.

Доказательство:

Рассмотрим  вершина которого лежит вне круга, a и – секущие (рис. 87). Докажем, что 

– внешний угол треугольника  поэтому:

 то есть

Поэтому

А еще раньше…

Доказательство теоремы о вписанном угле встречается в «Началах» Евклида. Но еще раньше этот факт, как предположение, впервые высказал Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.).

О том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, было известно вавилонянам 4000 лет тому назад, а первое доказательство этого факта приписывают Фалесу Милетскому.

Смежные и вертикальные углы

Два угла называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополняющими лучами. На рисунке 262 углы и – смежные.

Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называют вертикальными, если стороны одного из них являются дополняющими лучами сторон другого.

На рисунке 263 и  – вертикальные, углы  и также вертикальные.

Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

1. Соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.
2. Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.
3. Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 180°.