Как найти собственную частоту колебаний математического маятника

Как найти собственную частоту колебаний математического маятника

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 9 февраля 2023 года; проверки требует 1 правка.

Математический маятник. Чёрный пунктир — положение равновесия, theta  — угол отклонения от вертикали в некоторый момент

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины L, подвешенного в поле тяжести, равен

{displaystyle T_{0}=2pi {sqrt {L over g}}}

и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь g — ускорение свободного падения.

Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Характер движения маятника[править | править код]

Математический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам).

При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса L, а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса[1]. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее.

Уравнение колебаний маятника[править | править код]

Маятник (схема с обозначениями)

Если в записи второго закона Ньютона {displaystyle m{vec {a}}={vec {F}}} для математического маятника выделить тангенциальную составляющую ({displaystyle ma_{tau }=F_{tau })}, получится выражение

{displaystyle mL{ddot {theta }}=-mgsin theta },

так как {displaystyle a_{tau }={dot {v}}=d/dt(Ldtheta /dt)}, а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту {displaystyle F_{tau }} даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида

{displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}sin theta =0},

где неизвестная функция theta (t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов {displaystyle sin theta approx theta } это уравнение превращается в

{displaystyle {ddot {theta }}+{frac {g}{L}}theta =0}.

Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол theta и его производную {displaystyle {dot {theta }}} при t=0.

Решения уравнения движения[править | править код]

Возможные типы решений[править | править код]

В общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости {displaystyle {dot {theta }}} от угла theta . По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.

  • Маятник висит

    Маятник висит

  • Малые колебания (размах 45°)

    Малые колебания (размах 45°)

  • Колебания с размахом 90°

    Колебания с размахом 90°

  • Колебания с размахом 135°

    Колебания с размахом 135°

  • Колебания с размахом 170°

    Колебания с размахом 170°

  • Фиксация в верхнем положении

    Фиксация в верхнем положении

  • Движение близкое к сепаратрисе

    Движение близкое к сепаратрисе

  • Вращение маятника

    Вращение маятника

Гармонические колебания[править | править код]

Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена {displaystyle sin theta approx theta }, называется гармоническим уравнением:

{displaystyle {ddot {theta }}+omega _{0}^{2}theta =0},

где {displaystyle omega _{0}={sqrt {g/L}}} ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» {displaystyle x=Lsin theta approx Ltheta } (ось x лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):

{displaystyle {ddot {x}}+omega _{0}^{2}x=0}.

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону[2]:

{displaystyle x=Asin(omega _{0}t+alpha )},

где A — амплитуда колебаний маятника, alpha  — начальная фаза колебаний.

Если пользоваться переменной x, то при t=0 необходимо задать координату x_{0} и скорость {displaystyle v_{x0}}, что позволит найти две независимые константы A, alpha из соотношений {displaystyle x_{0}=Asin alpha } и {displaystyle v_{x0}=Aomega _{0}cos alpha }.

Случай нелинейных колебаний[править | править код]

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

{displaystyle sin {frac {theta }{2}}=varkappa cdot operatorname {sn} (omega _{0}t;varkappa ),}

где operatorname {sn} — это синус Якоби. Для varkappa <1 он является периодической функцией, при малых varkappa совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр varkappa определяется выражением

{displaystyle varkappa ={frac {varepsilon +omega _{0}^{2}}{2omega _{0}^{2}}},quad varepsilon ={frac {E}{mL^{2}}}}.

Период колебаний нелинейного маятника составляет

{displaystyle T={frac {2pi }{Omega }},quad Omega ={frac {pi }{2}}{frac {omega _{0}}{K(varkappa )}}},

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

{displaystyle T=T_{0}left{1+left({frac {1}{2}}right)^{2}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right)^{2}sin ^{4}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots +left[{frac {left(2n-1right)!!}{left(2nright)!!}}right]^{2}sin ^{2n}left({frac {theta _{0}}{2}}right)+dots right}}

где T_{0}=2pi {sqrt {frac {L}{g}}} — период малых колебаний, theta _{0} — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

{displaystyle T=T_{0}left(1+{frac {1}{4}}sin ^{2}left({frac {theta _{0}}{2}}right)right)}.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года[3]:

{displaystyle T={frac {2pi }{M{big (}cos(theta _{0}/2){big )}}}{sqrt {frac {L}{g}}}},

где {displaystyle M(s)} — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и s.

Движение по сепаратрисе[править | править код]

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.

Факты[править | править код]

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

  • Если амплитуда колебания маятника близка к pi , то есть движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения[4].
  • Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.
  • В условиях вращения Земли при достаточно длинной нити подвеса плоскость, в которой маятник совершает колебания, будет медленно поворачиваться относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли (маятник Фуко).

См. также[править | править код]

  • Физический маятник
  • Маятник Фуко
  • Маятник Дубошинского

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Главный редактор А. М. Прохоров. Маятник // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. — 1983. — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
  2. ↑ Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.
  3. ↑ Adlaj S. An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse (англ.) // Notices of the AMS. — 2012. — Vol. 59, no. 8. — P. 1096—1097. — ISSN 1088-9477.
  4. ↑ В. В. Вечеславов. Хаотический слой маятника при низких и средних частотах возмущений // Журнал технической физики. — 2004. — Т. 74, № 5. — С. 1—5. Архивировано 14 февраля 2017 года.

Ссылки[править | править код]

  • Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
  • Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.
  • Учебный фильм «Математический и физический маятник», производство СССР
Источник

Формулы математического маятника в физике

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Определение

Математический маятник – это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого
сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Формулы математического маятника, рисунок 1

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник – классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

[ddot{varphi }+{omega }^2_0varphi =0 left(1right),]

где $varphi $ – угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$

[varphi (t)={varphi }_0{cos left({omega }_0t+alpha right)left(2right), }]

где $alpha $ – начальная фаза колебаний; ${varphi }_0$ – амплитуда колебаний; ${omega }_0$ – циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора – это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

[ {omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(3right).]

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

[T=frac{2pi }{{omega }_0}=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(4right).]

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

[E=E_k+E_p=frac{mv^2}{2}+mgh=frac{mv^2}{2}+frac{mgx^2}{2l}=constleft(5right),]

где $E_k$ – кинетическая энергия маятника; $E_p$ – потенциальная энергия маятника; $v$ – скорость движения маятника; $x$ – линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол – смещение связан с $x$ как:

[varphi =frac{x}{l}left(6right).]

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

[E_{pmax}=mgh_m=frac{mg{x^2}_m}{2l}left(7right);;]

Максимальная величина кинетической энергии:

[E_{kmax}=frac{mv^2_m}{2}=frac{m{omega }^2_0{x^2}_m}{2l}=E_{pmax}left(8right),]

где $h_m$ – максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={omega }_0x_m$ – максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Формулы математического маятника, пример 1

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

[frac{mv^2}{2}=mgh left(1.1right).]

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

[h=frac{v^2}{2g}.]

Ответ. $h=frac{v^2}{2g}$

Пример 2

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми.textit{}

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

[T=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(2.1right).]

Выразим из нее ускорение:

[g=frac{4{pi }^2l}{T^2} .]

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

[g=frac{4{pi }^2cdot 1}{2^2}={pi }^2approx 9,87 left(frac{м}{с^2}right).]

Ответ. $g=9,87 frac{м}{с^2}$

Читать дальше: формулы пружинного маятника.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

Частота математического маятника

Автор статьи

Виктор Матвеевич Скоков

Эксперт по предмету «Физика»

Задать вопрос автору статьи

Замечание 1

Колебаниям математический маятника – тела с точечной массой, подвешенного на упругой нити – свойственен изохронизм. Это значит, что их частота не зависит от амплитуды и массы подвешенного тела. Такая система обладает свойствами гармонического осциллятора – устройства, график движения тела, в котором представляет собой синусоиду.

Функция, описывающая гармонические колебания:

$varphi (t) = varphi_0 cdot cos(omega_0 + alpha)$, где:

  • $ alpha$- начальная фаза колебаний,
  • $varphi_0$ – их амплитуда,
  • $omega_0$ – циклическая частота.

Циклическая частота связана с длиной подвеса математического маятника зависимостью:

$omega_0 = sqrt{frac{g}{l}}$,

где $g$ – ускорение свободного падения, $l$ – длина нити.

Логотип iqutor

Сделаем домашку
с вашим ребенком за 380 ₽

Уделите время себе, а мы сделаем всю домашку с вашим ребенком в режиме online

Бесплатное пробное занятие

*количество мест ограничено

Эта зависимость получается исходя из того, что при малых отклонениях от вертикали касательную (тангенциальную) составляющую силы, тянущей маятник по дуге, можно найти как сумму векторов силы упругости нити (направлена от тела к центру вращения вдоль нити) и силы тяжести (направлена вертикально вниз). Ускорение, создаваемое касательной силой, относится к ускорению свободного падения в следующем соотношении:

$a = g cdot frac{x}{l}$,

где $l$ – длина нити, $x$ – модуль касательной силы.

Поскольку же уравнение колебательного движения выглядит как

$a = – omega_0^2 cdot x$,

где $omega_0$ – частота циклических колебаний, можно подставить в формулу для нахождения периода колебаний полученное соотношение:

$T = frac{2pi}{omega_0}; omega_0 = sqrt{frac{g}{l}} implies T = 2pi cdot sqrt{frac{l}{g}}$

Частоту можно найти как величину, обратную периоду.

$f = frac{1}{T}$

Пример 1

Найти частоту колебаний маятника с длиной подвеса 1 м.

$T = 2 cdot 3,14 cdot sqrt{frac{1}{9,8}} approx 2 с$.

$f = frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: 0,5 колебаний в секунду.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 22.04.2023

Похожие материалы по теме

Автор(ы):
Алексей Алексеевич Ивахно

Автор(ы):
Алексей . Малеев

Автор(ы):
Андрей Геннадьевич Блохин

Автор(ы):
Сергей Феликсович Савельев

Автор(ы):
Наталья Николаевна Пушкина

Источник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести  уравновешивается силой натяжения нити  При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести Fτ = –mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Рисунок 2.3.1.

Математический маятник. φ – угловое отклонение маятника от положения равновесия, x = lφ – смещение маятника по дуге

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, то его угловое смещение будет равно φ = x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x, а

Только в случае малых колебаний, когда приближенно  можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20°; при этом величина    отличается от  не более чем на 2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение aτ маятника пропорционально его смещению x, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.

Следовательно,

Модель. Математический маятник.

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C.

Рисунок 2.3.2.

Физический маятник

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален . Это означает, что только при малых углах, когда, физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

и второй закон Ньютона для физического маятника принимает вид

где ε – угловое ускорение маятника, I – момент инерции маятника относительно оси вращения O. Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением равен квадрату круговой частоты:

Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника.

Следовательно,

Более строгий вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Это уравнение свободных гармонических колебаний.

Коэффициент  в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции I можно выразить через момент инерции IC относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:

Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

Источник

Добавить комментарий