Как найти собственные вектора матриц

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Матрица называется характеристической для , а ее определитель характеристическим многочленом матрицы

Характеристическая матрица — это λ-матрица. Ее можно представить в виде регулярного многочлена первой степени с матричными коэффициентами. Нетрудно заметить, что степень характеристического многочлена равна порядку характеристической матрицы.

Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Ненулевой столбец , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором матрицы . Число в равенстве (7.13) называется собственным значением матрицы . Говорят, что собственный вектор соответствует {принадлежит) собственному значению .

Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Определение (7.13) можно записать в виде , где — единичная матрица n-го порядка. Таким образом, условие (7.13) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными

Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения однородной системы, то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:

В противном случае по теореме 5.1 система имеет единственное тривиальное решение. Таким образом, задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравнения (7.15), т.е. к отысканию корней характеристического многочлена матрицы . Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы . Так как характеристический многочлен имеет n-ю степень, то характеристическое уравнение — это алгебраическое уравнение n-го порядка. Согласно следствию 1 основной теоремы алгебры, характеристический многочлен можно представить в виде

где — корни многочлена кратности соответственно, причем . Другими словами, характеристический многочлен имеет п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема 7.4 о собственных значениях матрицы. Все корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (7-15)) и только они являются собственными значениями матрицы.

Действительно, если число — собственное значение матрицы , которому соответствует собственный вектор , то однородная система (7.14) имеет нетривиальное решение, следовательно, матрица системы вырожденная, т.е. число удовлетворяет характеристическому уравнению (7.15). Наоборот, если — корень характеристического многочлена, то определитель (7.15) матрицы однородной системы (7.14) равен нулю, т.е. .В этом случае система имеет бесконечное множество решений, включая ненулевые решения. Поэтому найдется столбец , удовлетворяющий условию (7.14). Значит, — собственное значение матрицы .

Свойства собственных векторов

Пусть — квадратная матрица n-го порядка.

1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

В самом деле, пусть и — собственные векторы, соответствующие собственным значениям и , причем . Составим произвольную линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому столбцу:

Надо показать, что это равенство возможно только в тривиальном случае, когда . Действительно, умножая обе части на матрицу и подставляя и имеем

Прибавляя к последнему равенству равенство (7.16), умноженное на , получаем

Так как и , делаем вывод, что . Тогда из (7.16) следует, что и (поскольку ). Таким образом, собственные векторы и линейно независимы. Доказательство для любого конечного числа собственных векторов проводится по индукции.

2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному собственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению.

Действительно, если собственному значению соответствуют собственные векторы , то из равенств , следует, что вектор также собственный, поскольку:

3. Пусть — присоединенная матрица для характеристической матрицы . Если — собственное значение матрицы , то любой ненулевой столбец матрицы является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

В самом деле, применяя формулу (7.7) имеем . Подставляя корень , получаем . Если — ненулевой столбец матрицы , то . Значит, — собственный вектор матрицы .

Замечания 7.5

1. По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет п в общем случае комплексных корней (с учетом их кратностей). Поэтому собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратной матрицы. Причем собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности), а собственные векторы — неоднозначно.

2. Чтобы из множества собственных векторов выделить максимальную линейно независимую систему собственных векторов, нужно для всех раз личных собственных значений записать одну за другой системы линейно независимых собственных векторов, в частности, одну за другой фундаментальные системы решений однородных систем

Полученная система собственных векторов будет линейно независимой в силу свойства 1 собственных векторов.

3. Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ее спектром.

4. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).

5. Для простого корня характеристического уравнения соответствующий собственный вектор можно найти, раскладывая определитель матрицы по одной из строк. Тогда ненулевой вектор, компоненты которого равны алгебраическим дополнениям элементов одной из строк матрицы , является собственным вектором.

Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы

Для нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы n-го порядка надо выполнить следующие действия.

1. Составить характеристический многочлен матрицы .

2. Найти все различные корни характеристического уравнения (кратности корней определять не нужно).

3. Для корня найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

, где

Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы (см. пункт 3 замечаний 5.3, пункт 1 замечаний 5.5).

4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы , отвечающие собственному значению

где — отличные от нуля произвольные постоянные. Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые столбцы вида . Здесь и далее собственные векторы матрицы будем обозначать буквой .

Повторить пункты 3,4 для остальных собственных значений .

Пример 7.8. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

Решение. Матрица . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

2. Решаем характеристическое уравнение: .

3(1). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов второй строки матрицы , то есть . Умножив этот столбец на (-1), получим .

3(2). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , т.е. . Поделив его на (- 3), получим .

Матрица . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

2. Решаем характеристическое уравнение: .

3(1). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , то есть . Умножив этот столбец на (-1), получим .

3(2). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , т.е. . Умножив его на (-1), получим .

Матрица 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

2. Решаем характеристическое уравнение: .

3(1). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду (ведущие элементы выделены полужирным курсивом):

Ранг матрицы системы равен 2 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисные переменные через свободную и, полагая , получаем решение .

4(1). Все собственные векторы, соответствующие собственному значению , вычисляются по формуле , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , то есть , так как

Разделив его на 3, получим .

3(2). Для собственного значения имеем однородную систему . Решаем ее методом Гаусса:

Ранг матрицы системы равен единице , следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений . Базисную переменную , выражаем через свободные: . Задавая стандартные наборы свободных переменных и , получаем два решения

4(2). Записываем множество собственных векторов, соответствующих собственному значению , где — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно. В частности, при получаем ; при . Присоединяя к этим собственным векторам собственный вектор , соответствующий собственному значению (см. пункт 4(1) при ), находим три линейно независимых собственных вектора матрицы

Заметим, что для корня собственный вектор нельзя найти, применяя пункт 5 замечаний 7.5, так как алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы равно нулю.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Алгоритм вычисления собственных значений — алгоритм, позволяющий определить собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Создание эффективных и устойчивых алгоритмов для этой задачи является одной из ключевых задач вычислительной математики.

Собственные значения и собственные векторы[править | править код]

Если задана n × n квадратная матрица A над вещественными или комплексными числами, то собственное значение λ и соответствующий ему корневой вектор v — это пара, удовлетворяющая равенству^[1]

где v ненулевой n × 1 вектор-столбец, E является n × n единичной матрицей, k — положительным целым, а λ и v могут быть комплексными, даже если A вещественна. Если k = 1, вектор просто называется собственным вектором. В этом случае Av = λv. Любое собственное значение λ матрицы A имеет простой^{[note 1]} собственный вектор, соответствующий ему так, что если k — наименьшее целое, при котором (A – λE)^k v = 0 для корневого вектора v, то (A – λE)^k-1 v будет простым собственным вектором. Значение k всегда можно взять меньше либо равным n. В частности, (A – λE)ⁿ v = 0 для всех корневых векторов v, соответствующих λ.

Для любого собственного значения λ матрицы A ядро ker(A – λE) состоит из всех собственных векторов, соответствующих λ, (вместе с 0) и называется собственным подпространством числа λ, а векторное подпространство ker((A – λE)ⁿ) состоит из всех корневых векторов (дополненное нулевым вектором) и называется корневым подпространством. Геометрическая кратность значения λ является размерностью его собственного подпространства. Алгебраическая кратность значения λ является размерностью его корневого подпространства. Дальнейшие термины связаны с равенством

Здесь det — определитель, λ_i — все различные собственные значения матрицы A, а α_i — соответствующие алгебраические кратности. Функция p_A(z) — это характеристический многочлен матрицы A. Таким образом, алгебраическая кратность является кратностью собственных значений как корней характеристического многочлена. Поскольку любой собственный вектор является корневым вектором, геометрическая кратность меньше либо равна алгебраической кратности. Сумма алгебраических кратностей равна n степени характеристического многочлена. Уравнение p_A(z) = 0 называется характеристическим уравнением, поскольку его корни являются в точности собственными значениями матрицы A. По теореме Гамильтона — Кэли сама матрица A удовлетворяет тому же самому уравнению: p_A(A) = 0^{[note 2]}. Как следствие, столбцы матрицы должны быть либо 0, либо корневыми векторами, соответствующими собственному значению λ_j, поскольку они уничтожаются матрицей

Любой набор корневых векторов различных собственных значений линейно независим, так что базис для всего C ⁿ можно выбрать из набора корневых векторов. Точнее этот базис {v_i}n
i=1 можно выбрать и выстроить так, что

• если v_i и v_j имеют одно и то же собственное значение, то тоже будет верно для любого v_k при k между i и j;
• если v_i не является простым собственным вектором и если λ_i его собственное значение, то (A – λ_iE )v_i = v_i-1 (в частности v₁ должен быть простым собственным вектором).

Если эти базисные вектора расположить как столбцы матрицы V = [ v₁ v₂ … v_n ], то V можно использовать для преобразования матрицы A в её нормальную жорданову форму:

где λ_i — собственные значения, β_i = 1 если (A – λ_i+1)v_i+1 = v_i и β_i = 0 в других случаях.

Если W является обратимой матрицей и λ — собственное значение матрицы A с соответствующим корневым вектором v, то (W ^-1AW – λE )^k W ^–kv = 0. Таким образом, λ является собственным значением матрицы W ^-1AW с соответствующим корневым вектором W ^–kv. Таким образом, подобные матрицы имеют те же самые собственные значения.

Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы[править | править код]

Эрмитово-сопряжённая матрица M^* к комплексной матрице M — это траспонированная матрица с заменой всех элементов на сопряжённые значения: M ^* = M ^T. Квадратная матрица A называется нормальной, если она коммутирует с эрмитово-сопряжённой: A^*A = AA^*. Матрица называется эрмитовой, если она равна своей сопряжённой: A^* = A. Все эрмитовы матрицы нормальны. Если A имеет только вещественные элементы, то сопряжённая к ней — это просто транспонированная матрица, и она будет эрмитовой в том и только в том случае, когда она симметрична. Если применить это к столбцам, сопряжённость можно использовать для определения канонического скалярного произведения в C ⁿ: w • v = w^* v^{[note 3]}. Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы имеют ряд полезных свойств:

• Каждый корневой собственный вектор нормальной матрицы является простым собственным вектором.
• Любая нормальная матрица подобна диагональной, поскольку её нормальная жорданова форма является диагональной матрицей.
• Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям нормальной матрицы, ортогональны.
• Для любой нормальной матрицы A C ⁿ имеет ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов матрицы A. Соответствующая матрица собственных векторов является унитарной.
• Собственные значения эрмитовой матрицы являются вещественными числами, поскольку (λ – λ)v = (A^* – A)v = (A – A)v = 0 для ненулевого собственного вектора v.
• Если матрица A вещественна, существует ортонормальный базис для R ⁿ, состоящий из собственных векторов матрицы A, в том и только в том случае, когда A симметрична.

Возможно как для вещественных, так и для комплексных матриц иметь все собственные значения вещественными, не будучи при этом эрмитовой матрицей. Например, вещественная треугольная матрица имеет все свои собственные значения на диагонали, но, в общем случае, не симметрична.

Число обусловленности[править | править код]

Любую задачу вычислительной математики можно рассматривать как вычисление некоторой функции ƒ от некоторого аргумента x. Число обусловленности κ(ƒ, x) задачи — это отношение относительной ошибки результата вычисления к относительной ошибке параметра функции и зависит как от функции, так и от параметра. Число обусловленности описывает насколько возрастает ошибка во время вычислений. Десятичный логарифм этого числа говорит о количестве знаков, которые мы теряем по отношению к исходным данным. Число обусловленности относится к наилучшему сценарию, отражая нестабильность самой задачи, независимо от способа решения. Никакой алгоритм не может дать результат лучше, чем определённый числом обусловленности, разве что случайно. Однако плохо разработанный алгоритм может дать существенно более плохие результаты. Например, как будет упомянуто ниже, задача нахождения собственных значений нормальной матрицы всегда хорошо обусловлена, однако задача нахождения корней многочлена может быть очень плохо обусловлена^[en]. Такие алгоритмы вычисления собственных значений, которые работают путём нахождения корней характеристического многочлена, могут оказаться плохо обусловленными, даже если сама задача хорошо обусловлена.

Для задачи решения системы линейных уравнений Av = b, где A является обратимой, число обусловленности κ(A^-1, b) определяется выражением ||A||_op||A^-1||_op, где || ||_op — операторная норма, подчинённая обычной евклидовой норме на C ⁿ. Поскольку это число не зависит от b и является тем же самым как для A, так и для A^-1, оно обычно называется числом обусловленности κ(A) матрицы A. Это значение κ(A) является также абсолютным значением отношения наибольшего собственного значения матрицы A к её наименьшему собственному значению. Если A является унитарной, то ||A||_op = ||A^-1||_op = 1, так что κ(A) = 1. В общем случае для матриц часто сложно вычислить операторную норму. По этой причине обычно используют другие нормы матрицы для оценки числа обусловленности.

Для задачи вычисления собственных значений Бауэр и Файк доказали^[en], что если λ является собственным значением диагонализируемой n × n матрицы A с матрицей собственных векторов V, то абсолютная ошибка вычисления λ ограничена произведением κ(V) и абсолютной ошибкой в A:

^[2]. Как следствие, число обусловленности для вычисления λ равно
κ(λ, A) = κ(V) = ||V ||_op ||V ^-1||_op. Если матрица A нормальна, то V является унитарной и κ(λ, A) = 1. Таким образом, задача вычисления собственных значений нормальных матриц хорошо обусловлена.

Было показано, что число обусловленности задачи вычисления собственного подпространства нормальной матрицы A, соответствующего собственному значению λ, обратно пропорционально минимальному расстоянию между λ и другими, отличными от λ, собственными значениями матрицы A^[3]. В частности, задача определения собственного подпространства для нормальных матриц хорошо обусловлена для изолированных собственных значений. Если собственные значения не изолированы, лучшее, на что мы можем рассчитывать, это определение подпространства всех собственных векторов близлежащих собственных значений.

Алгоритмы[править | править код]

Любой нормированный многочлен является характеристическим многочленом сопровождающей матрицы, поэтому алгоритм для вычисления собственных значений можно использовать для нахождения корней многочленов. Теорема Абеля — Руффини показывает, что любой такой алгоритм для размерности большей 4 должен либо быть бесконечным, либо вовлекать функции более сложные, чем элементарные арифметические операции или дробные степени. По этой причине алгоритмы, вычисляющие точно собственные значения за конечное число шагов, существуют только для специальных классов матриц. В общем случае алгоритмы являются итеративными, дающими на каждой итерации очередное приближение к решению.

Некоторые алгоритмы дают все собственные значения, другие дают несколько значений или даже всего одно, однако и эти алгоритмы можно использовать для вычисления всех собственных значений. Как только собственное значение λ матрицы A определено, его можно использовать либо для приведения алгоритма к получению другого собственного значения, либо для сведения задачи к такой, которая не имеет λ в качестве решения.

Приведение обычно осуществляется сдвигом: A заменяется на A – μE для некоторой константы μ. Собственное значение, найденное для A – μE, должно быть добавлено к μ, чтобы получить собственное значение матрицы A. Например, в степенном методе μ = λ. Итерация степенного метода находит самое большое по абсолютной величине значение, так что даже если λ является приближением к собственному значению, итерация степенного метода вряд ли найдёт его во второй раз. И наоборот, методы, основанные на обратных итерациях находят наименьшее собственное значение, так что μ выбирается подальше от λ в надежде оказаться ближе к какому-нибудь другому собственному значению.

Приведение можно совершить путём сужения матрицы A к пространству столбцов матрицы A – λE. Поскольку A – λE вырождена, пространство столбцов имеет меньшую размерность. Алгоритм вычисления собственных значений можно тогда применить к этой суженой матрице. Процесс можно продолжать, пока не будут найдены все собственные значения.

Если алгоритм не даёт к собственные значения, общей практикой является применение алгоритма, основанного на обратной итерации, с приравниванием μ к ближайшей аппроксимации собственного значения. Это быстро приводит к собственному вектору ближайшего к μ собственного значения. Для небольших матриц альтернативой служит использование столбцового подпространства произведения A – λ́E для каждого из остальных собственных значений λ́.

Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы[править | править код]

Поскольку собственными значениями треугольной матрицы являются диагональные элементы, в общем случае не существует конечного метода, подобного исключениям Гаусса, для приведения матрицы к треугольной форме, сохраняя при этом собственные значения, однако можно получить нечто близкое к треугольной матрице. Верхняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все элементы ниже первой поддиагонали равны нулю. Нижняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все члены выше первой наддиагонали равны нулю. Матрицы, которые являются как нижними, так и верхними матрицами Хессенберга — это трёхдиагональные матрицы. Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы являются исходными точками многих алгоритмов вычисления собственных значений, поскольку нулевые значения уменьшают сложность задачи. Существует несколько методов сведения матриц к матрицам Хессенберга с теми же собственными значениями. Если исходная матрица симметрична или эрмитова, то результирующая матрица будет трёхдиагональной.

Если нужны только собственные значения, нет необходимости вычислять матрицу подобия, поскольку преобразованная матрица имеет те же собственные значения. Если также нужны и собственные векторы, матрица подобия необходима для преобразования собственных векторов матрицы Хессенберга к собственным векторам исходной матрицы.

Итеративные алгоритмы[править | править код]

Итеративные алгоритмы решают задачу вычисления собственных значений путём построения последовательностей, сходящихся к собственным значениям. Некоторые алгоритмы дают также последовательности векторов, сходящихся к собственным векторам. Чаще всего последовательности собственных значений выражаются через последовательности подобных матриц, которые сходятся к треугольной или диагональной форме, что позволяет затем просто получить собственные значения. Последовательности собственных векторов выражаются через соответствующие матрицы подобия.

Прямое вычисление[править | править код]

Не существует простых алгоритмов прямого вычисления собственных значений для матриц в общем случае, но для многих специальных классов матриц собственные значения можно вычислить прямо. Это:

Треугольные матрицы[править | править код]

Поскольку определитель треугольной матрицы является произведением её диагональных элементов, то для треугольной матрицы T . Таким образом, собственные значения T ― это её диагональные элементы.

Разложимые полиномиальные уравнения[править | править код]

Если p ― любой многочлен и p(A) = 0, то собственные значения матрицы A удовлетворяют тому же уравнению. Если удаётся разложить многочлен p на множители, то собственные значения A находятся среди его корней.

Например, проектор ― это квадратная матрица P, удовлетворяющая уравнению P² = P. Корнями соответствующего скалярного полиномиального уравнения λ² = λ будут 0 и 1. Таким образом, проектор имеет 0 и 1 в качестве собственных значений. Кратность собственного значения 0 ― это дефект P, в то время как кратность 1 ― это ранг P.

Другой пример ― матрица A, удовлетворяющая уравнению A² = α²E для некоторого скаляра α. Собственные значения должны быть равны ±α. Операторы проектирования

удовлетворяют равенствам

и

Пространства столбцов матриц P₊ и P_– являются подпространствами собственных векторов матрицы A, соответствующими +α и -α, соответственно.

Матрицы 2×2[править | править код]

Для размерностей от 2 до 4 существуют использующие радикалы формулы, которые можно использовать для вычисления собственных значений. Для матриц 2×2 и 3×3 это обычная практика, но для матриц 4×4 растущая сложность формул корней^[en] делает этот подход менее привлекательным.

Для матриц 2×2

характеристический многочлен равен

Собственные значения можно найти как корни квадратного уравнения:

Если определить как расстояние между двумя собственными значениями, легко вычислить

с подобными формулами для c и d. Отсюда следует, что вычисление хорошо обусловлено, если собственные значения изолированы.

Собственные векторы можно получить, используя теорему Гамильтона — Кэли. Если λ₁, λ₂ — собственные значения, то (A – λ₁E )(A – λ₂E ) = (A – λ₂E )(A – λ₁E ) = 0, так что столбцы (A – λ₂E ) обнуляются матрицей (A – λ₁E ) и наоборот. Предполагая, что ни одна из матриц не равна нулю, столбцы каждой матрицы должны содержать собственные векторы для другого собственного значения (если же матрица нулевая, то A является произведением единичной матрицы на константу и любой ненулевой вектор является собственным).

Например, пусть

тогда tr(A) = 4 – 3 = 1 и det(A) = 4(-3) – 3(-2) = -6, так что характеристическое уравнение равно

а собственные значения равны 3 и −2. Теперь

,

В обеих матрицах столбцы отличаются скалярными коэффициентами, так что можно выбирать любой столбец. Так, (1, -2) можно использовать в качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению −2, а (3, -1) в качестве собственного вектора для собственного числа 3, что легко можно проверить умножением на матрицу A.

Матрицы 3×3[править | править код]

Если A является матрицей 3×3, то характеристическим уравнением будет:

Это уравнение можно решить с помощью методов Кардано или Лагранжа, но аффинное преобразование матрицы A существенно упрощает выражение и ведёт прямо к тригонометрическому решению. Если A = pB + qE, то A и B имеют одни и те же собственные векторы и β является собственным значением матрицы B тогда и только тогда, когда α = pβ + q является собственным значением матрицы A. Если положить и , получим

Подстановка β = 2cos θ и некоторое упрощение с использованием тождества cos 3θ = 4cos³ θ – 3cos θ сводит уравнение к cos 3θ = det(B) / 2. Таким образом,

Если det(B) является комплексным числом или больше 2 по абсолютной величине, арккосинус для всех трёх величин k следует брать из одной и той же ветви. Проблема не возникает, если A вещественна и симметрична, приводя к простому алгоритму:^[12]

% Given a real symmetric 3x3 matrix A, compute the eigenvalues

p1 = A(1,2)^2 + A(1,3)^2 + A(2,3)^2
if (p1 == 0) 
   % A is diagonal.
   eig1 = A(1,1)
   eig2 = A(2,2)
   eig3 = A(3,3)
else
   q = trace(A)/3
   p2 = (A(1,1) - q)^2 + (A(2,2) - q)^2 + (A(3,3) - q)^2 + 2 * p1
   p = sqrt(p2 / 6)
   B = (1 / p) * (A - q * E)       % E is the identity matrix
   r = det(B) / 2

   % In exact arithmetic for a symmetric matrix  -1 <= r <= 1
   % but computation error can leave it slightly outside this range.
   if (r <= -1) 
      phi = pi / 3
   elseif (r >= 1)
      phi = 0
   else
      phi = acos(r) / 3
   end

   % the eigenvalues satisfy eig3 <= eig2 <= eig1
   eig1 = q + 2 * p * cos(phi)
   eig3 = q + 2 * p * cos(phi + (2*pi/3))
   eig2 = 3 * q - eig1 - eig3     % since trace(A) = eig1 + eig2 + eig3
end

Снова, собственные векторы A можно получить путём использования теоремы Гамильтона — Кэли. Если α₁, α₂, α₃ — различные собственные значения матрицы A, то (A – α₁E)(A – α₂E)(A – α₃E) = 0. Тогда столбцы произведения любых двух из этих матриц содержат собственные векторы третьего собственного значения. Однако если a₃ = a₁, то (A – α₁E)²(A – α₂E) = 0 и (A – α₂E)(A – α₁E)² = 0. Таким образом, корневое собственное подпространство α₁ натянуто на столбцы A – α₂E, в то время как обычное собственное подпространство натянуто на столбцы (A – α₁E)(A – α₂E). Обычное собственное подпространство α₂ натянуто на столбцы (A – α₁E)².

Например, пусть

Характеристическое уравнение равно

с собственными значениями 1 (кратности 2) и −1. Вычисляем

,

а затем

.

Тогда (-4, -4, 4) является собственным вектором для −1, а (4, 2, -2) является собственным вектором для 1. Векторы (2, 3, -1) и (6, 5, -3) являются корневыми векторами, соответствующими значению 1, любой из которых можно скомбинировать с (-4, -4, 4) и (4, 2, -2), образуя базис корневых векторов матрицы A.

См. также[править | править код]

• Список алгоритмов вычисления собственных значений^[en]

Комментарии[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. — Москва: «Мир», 1999. — ISBN 5-03-002406-9.
• Б. Парлетт. Симметричная проблема собственных значений. — Москва: «Мир», 1983.
• Дж. Х. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1970.

Дополнительная литература[править | править код]

• Adam W. Bojanczyk, Adam Lutoborski. Computation of the Euler angles of a symmetric 3X3 matrix // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — Jan 1991. — Т. 12, вып. 1. — С. 41—48. — doi:10.1137/0612005.

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Определение 9.3. Вектор х
называется собственным вектором
матрицы А, если найдется такое число
λ, что выполняется равенство: Ах
= λх, то есть результатом
применения к х линейного
преобразования, задаваемого матрицей
А, является умножение этого вектора
на число λ. Само число λ называется
собственным числом матрицы А.

Подставив в формулы (9.3) x`_j
= λx_j,
получим систему уравнений для определения
координат собственного вектора:

.

Отсюда

.
(9.5)

Эта линейная однородная система будет
иметь нетривиальное решение только в
случае, если ее главный определитель
равен 0 (правило Крамера). Записав это
условие в виде:

получим уравнение для определения
собственных чисел λ, называемое
характеристическим уравнением.
Кратко его можно представить так:

| A
– λE
| = 0,
(9.6)

поскольку в его левой части стоит
определитель матрицы А-λЕ. Многочлен
относительно λ | A
– λE| называется
характеристическим многочленом
матрицы А.

Свойства характеристического
многочлена:

1. Характеристический многочлен линейного
   преобразования не зависит от выбора
   базиса.
   Доказательство.
   (см.
   (9.4)), но
   следовательно,
   .
   Таким образом,
   
   не зависит от выбора базиса. Значит, и
   |A-λE|
   не изменяется при переходе к новому
   базису.

2. Если матрица А линейного преобразования
   является симметрической (т.е.
   а_ij=a_ji),
   то все корни характеристического
   уравнения (9.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и
собственных векторов:

1. Если выбрать базис из собственных
   векторов х₁,
   х₂, х₃,
   соответствующих собственным значениям
   λ₁, λ₂, λ₃
   матрицы А, то в этом базисе линейное
   преобразование А имеет матрицу
   диагонального вида:

(9.7)
Доказательство
этого свойства следует из определения
собственных векторов.

1. Если собственные значения преобразования
   А различны, то соответствующие им
   собственные векторы линейно независимы.

2. Если характеристический многочлен
   матрицы А имеет три различных корня,
   то в некотором базисе матрица А
   имеет диагональный вид.

Пример.

Найдем собственные числа и собственные
векторы матрицы

Составим характеристическое уравнение:

(1- λ)(5 –
λ)(1 – λ) + 6 – 9(5 – λ) – (1 – λ) –
(1 – λ) = 0, λ³ – 7λ² + 36 = 0, λ₁
= -2, λ₂ = 3, λ₃ = 6.

Найдем координаты собственных векторов,
соответствующих каждому найденному
значению λ. Из (9.5) следует, что если
х₍₁₎={x₁,x₂,x₃}
– собственный вектор, соответствующий
λ₁=-2, то

– совместная, но неопределенная система.
Ее решение можно записать в виде
х₍₁₎={a,0,-a},
где а – любое число. В частности, если
потребовать, чтобы |x₍₁₎|=1,
х₍₁₎=

Подставив в систему (9.5) λ₂=3,
получим систему для определения координат
второго собственного вектора –
x₍₂₎={y₁,y₂,y₃}:

,
откуда х₍₂₎={b,-b,b}
или, при условии |x₍₂₎|=1,
x₍₂₎=

Для λ₃ = 6 найдем собственный
вектор x₍₃₎={z₁,
z₂, z₃}:

,
x₍₃₎={c,2c,c}
или в нормированном варианте

х₍₃₎ =
Можно
заметить, что х₍₁₎х₍₂₎
= ab – ab
= 0, x₍₁₎x₍₃₎
= ac – ac
= 0, x₍₂₎x₍₃₎
= bc – 2bc
+ bc = 0. Таким
образом, собственные векторы этой
матрицы попарно ортогональны.

Лекция 10.

Квадратичные формы и их связь с
симметричными матрицами. Свойства
собственных векторов и собственных
чисел симметричной матрицы. Приведение
квадратичной формы к каноническому
виду.

Определение 10.1. Квадратичной
формой действительных переменных
х₁, х₂,…,х_n
называется многочлен второй степени
относительно этих переменных, не
содержащий свободного члена и членов
первой степени.

Примеры квадратичных форм:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Напомним данное в прошлой лекции
определение симметрической матрицы:

Определение 10.2. Квадратная матрица
называется симметрической, если
,
то есть если равны элементы матрицы,
симметричные относительно главной
диагонали.

Свойства собственных чисел и
собственных векторов симметрической
матрицы:

1. Все собственные числа симметрической
   матрицы действительные.

Доказательство (для n
= 2).

Пусть матрица А имеет вид:
.
Составим характеристическое уравнение:

(10.2) Найдем дискриминант:

следовательно, уравнение имеет только
действительные корни.

1. Собственные векторы симметрической
   матрицы ортогональны.

Доказательство (для n
= 2).

Координаты собственных векторов

и

должны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, их можно задать так:

.
Скалярное произведение этих векторов
имеет вид:

По теореме Виета из уравнения (10.2)
получим, что

Подставим эти соотношения в предыдущее
равенство:

Значит,
.

Замечание. В примере, рассмотренном в
лекции 9, были найдены собственные
векторы симметрической матрицы и
обращено внимание на то, что они оказались
попарно ортогональными.

Определение 10.3. Матрицей квадратичной
формы (10.1) называется симметрическая
матрица
.
(10.3)

Таким образом, все собственные числа
матрицы квадратичной формы действительны,
а все собственные векторы ортогональны.
Если все собственные числа различны,
то из трех нормированных собственных
векторов матрицы (10.3) можно построить
базис в трехмерном пространстве. В этом
базисе квадратичная форма будет иметь
особый вид, не содержащий произведений
переменных.

Соседние файлы в папке лекции, 1 сем.

• #
• #