Как найти собственный вектор системы

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Матрица называется характеристической для , а ее определитель характеристическим многочленом матрицы

Характеристическая матрица — это λ-матрица. Ее можно представить в виде регулярного многочлена первой степени с матричными коэффициентами. Нетрудно заметить, что степень характеристического многочлена равна порядку характеристической матрицы.

Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Ненулевой столбец , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором матрицы . Число в равенстве (7.13) называется собственным значением матрицы . Говорят, что собственный вектор соответствует {принадлежит) собственному значению .

Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Определение (7.13) можно записать в виде , где — единичная матрица n-го порядка. Таким образом, условие (7.13) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными

Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения однородной системы, то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:

В противном случае по теореме 5.1 система имеет единственное тривиальное решение. Таким образом, задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравнения (7.15), т.е. к отысканию корней характеристического многочлена матрицы . Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы . Так как характеристический многочлен имеет n-ю степень, то характеристическое уравнение — это алгебраическое уравнение n-го порядка. Согласно следствию 1 основной теоремы алгебры, характеристический многочлен можно представить в виде

где — корни многочлена кратности соответственно, причем . Другими словами, характеристический многочлен имеет п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема 7.4 о собственных значениях матрицы. Все корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (7-15)) и только они являются собственными значениями матрицы.

Действительно, если число — собственное значение матрицы , которому соответствует собственный вектор , то однородная система (7.14) имеет нетривиальное решение, следовательно, матрица системы вырожденная, т.е. число удовлетворяет характеристическому уравнению (7.15). Наоборот, если — корень характеристического многочлена, то определитель (7.15) матрицы однородной системы (7.14) равен нулю, т.е. .В этом случае система имеет бесконечное множество решений, включая ненулевые решения. Поэтому найдется столбец , удовлетворяющий условию (7.14). Значит, — собственное значение матрицы .

Свойства собственных векторов

Пусть — квадратная матрица n-го порядка.

1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

В самом деле, пусть и — собственные векторы, соответствующие собственным значениям и , причем . Составим произвольную линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому столбцу:

Надо показать, что это равенство возможно только в тривиальном случае, когда . Действительно, умножая обе части на матрицу и подставляя и имеем

Прибавляя к последнему равенству равенство (7.16), умноженное на , получаем

Так как и , делаем вывод, что . Тогда из (7.16) следует, что и (поскольку ). Таким образом, собственные векторы и линейно независимы. Доказательство для любого конечного числа собственных векторов проводится по индукции.

2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному собственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению.

Действительно, если собственному значению соответствуют собственные векторы , то из равенств , следует, что вектор также собственный, поскольку:

3. Пусть — присоединенная матрица для характеристической матрицы . Если — собственное значение матрицы , то любой ненулевой столбец матрицы является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

В самом деле, применяя формулу (7.7) имеем . Подставляя корень , получаем . Если — ненулевой столбец матрицы , то . Значит, — собственный вектор матрицы .

Замечания 7.5

1. По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет п в общем случае комплексных корней (с учетом их кратностей). Поэтому собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратной матрицы. Причем собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности), а собственные векторы — неоднозначно.

2. Чтобы из множества собственных векторов выделить максимальную линейно независимую систему собственных векторов, нужно для всех раз личных собственных значений записать одну за другой системы линейно независимых собственных векторов, в частности, одну за другой фундаментальные системы решений однородных систем

Полученная система собственных векторов будет линейно независимой в силу свойства 1 собственных векторов.

3. Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ее спектром.

4. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).

5. Для простого корня характеристического уравнения соответствующий собственный вектор можно найти, раскладывая определитель матрицы по одной из строк. Тогда ненулевой вектор, компоненты которого равны алгебраическим дополнениям элементов одной из строк матрицы , является собственным вектором.

Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы

Для нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы n-го порядка надо выполнить следующие действия.

1. Составить характеристический многочлен матрицы .

2. Найти все различные корни характеристического уравнения (кратности корней определять не нужно).

3. Для корня найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

, где

Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы (см. пункт 3 замечаний 5.3, пункт 1 замечаний 5.5).

4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы , отвечающие собственному значению

где — отличные от нуля произвольные постоянные. Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые столбцы вида . Здесь и далее собственные векторы матрицы будем обозначать буквой .

Повторить пункты 3,4 для остальных собственных значений .

Пример 7.8. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

Решение. Матрица . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

2. Решаем характеристическое уравнение: .

3(1). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов второй строки матрицы , то есть . Умножив этот столбец на (-1), получим .

3(2). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , т.е. . Поделив его на (- 3), получим .

Матрица . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

2. Решаем характеристическое уравнение: .

3(1). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , то есть . Умножив этот столбец на (-1), получим .

3(2). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , т.е. . Умножив его на (-1), получим .

Матрица 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

2. Решаем характеристическое уравнение: .

3(1). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду (ведущие элементы выделены полужирным курсивом):

Ранг матрицы системы равен 2 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисные переменные через свободную и, полагая , получаем решение .

4(1). Все собственные векторы, соответствующие собственному значению , вычисляются по формуле , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , то есть , так как

Разделив его на 3, получим .

3(2). Для собственного значения имеем однородную систему . Решаем ее методом Гаусса:

Ранг матрицы системы равен единице , следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений . Базисную переменную , выражаем через свободные: . Задавая стандартные наборы свободных переменных и , получаем два решения

4(2). Записываем множество собственных векторов, соответствующих собственному значению , где — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно. В частности, при получаем ; при . Присоединяя к этим собственным векторам собственный вектор , соответствующий собственному значению (см. пункт 4(1) при ), находим три линейно независимых собственных вектора матрицы

Заметим, что для корня собственный вектор нельзя найти, применяя пункт 5 замечаний 7.5, так как алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы равно нулю.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Алгоритм вычисления собственных значений — алгоритм, позволяющий определить собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Создание эффективных и устойчивых алгоритмов для этой задачи является одной из ключевых задач вычислительной математики.

Собственные значения и собственные векторы[править | править код]

Если задана n × n квадратная матрица A над вещественными или комплексными числами, то собственное значение λ и соответствующий ему корневой вектор v — это пара, удовлетворяющая равенству^[1]

где v ненулевой n × 1 вектор-столбец, E является n × n единичной матрицей, k — положительным целым, а λ и v могут быть комплексными, даже если A вещественна. Если k = 1, вектор просто называется собственным вектором. В этом случае Av = λv. Любое собственное значение λ матрицы A имеет простой^{[note 1]} собственный вектор, соответствующий ему так, что если k — наименьшее целое, при котором (A – λE)^k v = 0 для корневого вектора v, то (A – λE)^k-1 v будет простым собственным вектором. Значение k всегда можно взять меньше либо равным n. В частности, (A – λE)ⁿ v = 0 для всех корневых векторов v, соответствующих λ.

Для любого собственного значения λ матрицы A ядро ker(A – λE) состоит из всех собственных векторов, соответствующих λ, (вместе с 0) и называется собственным подпространством числа λ, а векторное подпространство ker((A – λE)ⁿ) состоит из всех корневых векторов (дополненное нулевым вектором) и называется корневым подпространством. Геометрическая кратность значения λ является размерностью его собственного подпространства. Алгебраическая кратность значения λ является размерностью его корневого подпространства. Дальнейшие термины связаны с равенством

Здесь det — определитель, λ_i — все различные собственные значения матрицы A, а α_i — соответствующие алгебраические кратности. Функция p_A(z) — это характеристический многочлен матрицы A. Таким образом, алгебраическая кратность является кратностью собственных значений как корней характеристического многочлена. Поскольку любой собственный вектор является корневым вектором, геометрическая кратность меньше либо равна алгебраической кратности. Сумма алгебраических кратностей равна n степени характеристического многочлена. Уравнение p_A(z) = 0 называется характеристическим уравнением, поскольку его корни являются в точности собственными значениями матрицы A. По теореме Гамильтона — Кэли сама матрица A удовлетворяет тому же самому уравнению: p_A(A) = 0^{[note 2]}. Как следствие, столбцы матрицы должны быть либо 0, либо корневыми векторами, соответствующими собственному значению λ_j, поскольку они уничтожаются матрицей

Любой набор корневых векторов различных собственных значений линейно независим, так что базис для всего C ⁿ можно выбрать из набора корневых векторов. Точнее этот базис {v_i}n
i=1 можно выбрать и выстроить так, что

• если v_i и v_j имеют одно и то же собственное значение, то тоже будет верно для любого v_k при k между i и j;
• если v_i не является простым собственным вектором и если λ_i его собственное значение, то (A – λ_iE )v_i = v_i-1 (в частности v₁ должен быть простым собственным вектором).

Если эти базисные вектора расположить как столбцы матрицы V = [ v₁ v₂ … v_n ], то V можно использовать для преобразования матрицы A в её нормальную жорданову форму:

где λ_i — собственные значения, β_i = 1 если (A – λ_i+1)v_i+1 = v_i и β_i = 0 в других случаях.

Если W является обратимой матрицей и λ — собственное значение матрицы A с соответствующим корневым вектором v, то (W ^-1AW – λE )^k W ^–kv = 0. Таким образом, λ является собственным значением матрицы W ^-1AW с соответствующим корневым вектором W ^–kv. Таким образом, подобные матрицы имеют те же самые собственные значения.

Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы[править | править код]

Эрмитово-сопряжённая матрица M^* к комплексной матрице M — это траспонированная матрица с заменой всех элементов на сопряжённые значения: M ^* = M ^T. Квадратная матрица A называется нормальной, если она коммутирует с эрмитово-сопряжённой: A^*A = AA^*. Матрица называется эрмитовой, если она равна своей сопряжённой: A^* = A. Все эрмитовы матрицы нормальны. Если A имеет только вещественные элементы, то сопряжённая к ней — это просто транспонированная матрица, и она будет эрмитовой в том и только в том случае, когда она симметрична. Если применить это к столбцам, сопряжённость можно использовать для определения канонического скалярного произведения в C ⁿ: w • v = w^* v^{[note 3]}. Нормальные, эрмитовы и вещественные симметричные матрицы имеют ряд полезных свойств:

• Каждый корневой собственный вектор нормальной матрицы является простым собственным вектором.
• Любая нормальная матрица подобна диагональной, поскольку её нормальная жорданова форма является диагональной матрицей.
• Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям нормальной матрицы, ортогональны.
• Для любой нормальной матрицы A C ⁿ имеет ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов матрицы A. Соответствующая матрица собственных векторов является унитарной.
• Собственные значения эрмитовой матрицы являются вещественными числами, поскольку (λ – λ)v = (A^* – A)v = (A – A)v = 0 для ненулевого собственного вектора v.
• Если матрица A вещественна, существует ортонормальный базис для R ⁿ, состоящий из собственных векторов матрицы A, в том и только в том случае, когда A симметрична.

Возможно как для вещественных, так и для комплексных матриц иметь все собственные значения вещественными, не будучи при этом эрмитовой матрицей. Например, вещественная треугольная матрица имеет все свои собственные значения на диагонали, но, в общем случае, не симметрична.

Число обусловленности[править | править код]

Любую задачу вычислительной математики можно рассматривать как вычисление некоторой функции ƒ от некоторого аргумента x. Число обусловленности κ(ƒ, x) задачи — это отношение относительной ошибки результата вычисления к относительной ошибке параметра функции и зависит как от функции, так и от параметра. Число обусловленности описывает насколько возрастает ошибка во время вычислений. Десятичный логарифм этого числа говорит о количестве знаков, которые мы теряем по отношению к исходным данным. Число обусловленности относится к наилучшему сценарию, отражая нестабильность самой задачи, независимо от способа решения. Никакой алгоритм не может дать результат лучше, чем определённый числом обусловленности, разве что случайно. Однако плохо разработанный алгоритм может дать существенно более плохие результаты. Например, как будет упомянуто ниже, задача нахождения собственных значений нормальной матрицы всегда хорошо обусловлена, однако задача нахождения корней многочлена может быть очень плохо обусловлена^[en]. Такие алгоритмы вычисления собственных значений, которые работают путём нахождения корней характеристического многочлена, могут оказаться плохо обусловленными, даже если сама задача хорошо обусловлена.

Для задачи решения системы линейных уравнений Av = b, где A является обратимой, число обусловленности κ(A^-1, b) определяется выражением ||A||_op||A^-1||_op, где || ||_op — операторная норма, подчинённая обычной евклидовой норме на C ⁿ. Поскольку это число не зависит от b и является тем же самым как для A, так и для A^-1, оно обычно называется числом обусловленности κ(A) матрицы A. Это значение κ(A) является также абсолютным значением отношения наибольшего собственного значения матрицы A к её наименьшему собственному значению. Если A является унитарной, то ||A||_op = ||A^-1||_op = 1, так что κ(A) = 1. В общем случае для матриц часто сложно вычислить операторную норму. По этой причине обычно используют другие нормы матрицы для оценки числа обусловленности.

Для задачи вычисления собственных значений Бауэр и Файк доказали^[en], что если λ является собственным значением диагонализируемой n × n матрицы A с матрицей собственных векторов V, то абсолютная ошибка вычисления λ ограничена произведением κ(V) и абсолютной ошибкой в A:

^[2]. Как следствие, число обусловленности для вычисления λ равно
κ(λ, A) = κ(V) = ||V ||_op ||V ^-1||_op. Если матрица A нормальна, то V является унитарной и κ(λ, A) = 1. Таким образом, задача вычисления собственных значений нормальных матриц хорошо обусловлена.

Было показано, что число обусловленности задачи вычисления собственного подпространства нормальной матрицы A, соответствующего собственному значению λ, обратно пропорционально минимальному расстоянию между λ и другими, отличными от λ, собственными значениями матрицы A^[3]. В частности, задача определения собственного подпространства для нормальных матриц хорошо обусловлена для изолированных собственных значений. Если собственные значения не изолированы, лучшее, на что мы можем рассчитывать, это определение подпространства всех собственных векторов близлежащих собственных значений.

Алгоритмы[править | править код]

Любой нормированный многочлен является характеристическим многочленом сопровождающей матрицы, поэтому алгоритм для вычисления собственных значений можно использовать для нахождения корней многочленов. Теорема Абеля — Руффини показывает, что любой такой алгоритм для размерности большей 4 должен либо быть бесконечным, либо вовлекать функции более сложные, чем элементарные арифметические операции или дробные степени. По этой причине алгоритмы, вычисляющие точно собственные значения за конечное число шагов, существуют только для специальных классов матриц. В общем случае алгоритмы являются итеративными, дающими на каждой итерации очередное приближение к решению.

Некоторые алгоритмы дают все собственные значения, другие дают несколько значений или даже всего одно, однако и эти алгоритмы можно использовать для вычисления всех собственных значений. Как только собственное значение λ матрицы A определено, его можно использовать либо для приведения алгоритма к получению другого собственного значения, либо для сведения задачи к такой, которая не имеет λ в качестве решения.

Приведение обычно осуществляется сдвигом: A заменяется на A – μE для некоторой константы μ. Собственное значение, найденное для A – μE, должно быть добавлено к μ, чтобы получить собственное значение матрицы A. Например, в степенном методе μ = λ. Итерация степенного метода находит самое большое по абсолютной величине значение, так что даже если λ является приближением к собственному значению, итерация степенного метода вряд ли найдёт его во второй раз. И наоборот, методы, основанные на обратных итерациях находят наименьшее собственное значение, так что μ выбирается подальше от λ в надежде оказаться ближе к какому-нибудь другому собственному значению.

Приведение можно совершить путём сужения матрицы A к пространству столбцов матрицы A – λE. Поскольку A – λE вырождена, пространство столбцов имеет меньшую размерность. Алгоритм вычисления собственных значений можно тогда применить к этой суженой матрице. Процесс можно продолжать, пока не будут найдены все собственные значения.

Если алгоритм не даёт к собственные значения, общей практикой является применение алгоритма, основанного на обратной итерации, с приравниванием μ к ближайшей аппроксимации собственного значения. Это быстро приводит к собственному вектору ближайшего к μ собственного значения. Для небольших матриц альтернативой служит использование столбцового подпространства произведения A – λ́E для каждого из остальных собственных значений λ́.

Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы[править | править код]

Поскольку собственными значениями треугольной матрицы являются диагональные элементы, в общем случае не существует конечного метода, подобного исключениям Гаусса, для приведения матрицы к треугольной форме, сохраняя при этом собственные значения, однако можно получить нечто близкое к треугольной матрице. Верхняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все элементы ниже первой поддиагонали равны нулю. Нижняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица, у которой все члены выше первой наддиагонали равны нулю. Матрицы, которые являются как нижними, так и верхними матрицами Хессенберга — это трёхдиагональные матрицы. Матрицы Хессенберга и трёхдиагональные матрицы являются исходными точками многих алгоритмов вычисления собственных значений, поскольку нулевые значения уменьшают сложность задачи. Существует несколько методов сведения матриц к матрицам Хессенберга с теми же собственными значениями. Если исходная матрица симметрична или эрмитова, то результирующая матрица будет трёхдиагональной.

Если нужны только собственные значения, нет необходимости вычислять матрицу подобия, поскольку преобразованная матрица имеет те же собственные значения. Если также нужны и собственные векторы, матрица подобия необходима для преобразования собственных векторов матрицы Хессенберга к собственным векторам исходной матрицы.

Итеративные алгоритмы[править | править код]

Итеративные алгоритмы решают задачу вычисления собственных значений путём построения последовательностей, сходящихся к собственным значениям. Некоторые алгоритмы дают также последовательности векторов, сходящихся к собственным векторам. Чаще всего последовательности собственных значений выражаются через последовательности подобных матриц, которые сходятся к треугольной или диагональной форме, что позволяет затем просто получить собственные значения. Последовательности собственных векторов выражаются через соответствующие матрицы подобия.

Прямое вычисление[править | править код]

Не существует простых алгоритмов прямого вычисления собственных значений для матриц в общем случае, но для многих специальных классов матриц собственные значения можно вычислить прямо. Это:

Треугольные матрицы[править | править код]

Поскольку определитель треугольной матрицы является произведением её диагональных элементов, то для треугольной матрицы T . Таким образом, собственные значения T ― это её диагональные элементы.

Разложимые полиномиальные уравнения[править | править код]

Если p ― любой многочлен и p(A) = 0, то собственные значения матрицы A удовлетворяют тому же уравнению. Если удаётся разложить многочлен p на множители, то собственные значения A находятся среди его корней.

Например, проектор ― это квадратная матрица P, удовлетворяющая уравнению P² = P. Корнями соответствующего скалярного полиномиального уравнения λ² = λ будут 0 и 1. Таким образом, проектор имеет 0 и 1 в качестве собственных значений. Кратность собственного значения 0 ― это дефект P, в то время как кратность 1 ― это ранг P.

Другой пример ― матрица A, удовлетворяющая уравнению A² = α²E для некоторого скаляра α. Собственные значения должны быть равны ±α. Операторы проектирования

удовлетворяют равенствам

и

Пространства столбцов матриц P₊ и P_– являются подпространствами собственных векторов матрицы A, соответствующими +α и -α, соответственно.

Матрицы 2×2[править | править код]

Для размерностей от 2 до 4 существуют использующие радикалы формулы, которые можно использовать для вычисления собственных значений. Для матриц 2×2 и 3×3 это обычная практика, но для матриц 4×4 растущая сложность формул корней^[en] делает этот подход менее привлекательным.

Для матриц 2×2

характеристический многочлен равен

Собственные значения можно найти как корни квадратного уравнения:

Если определить как расстояние между двумя собственными значениями, легко вычислить

с подобными формулами для c и d. Отсюда следует, что вычисление хорошо обусловлено, если собственные значения изолированы.

Собственные векторы можно получить, используя теорему Гамильтона — Кэли. Если λ₁, λ₂ — собственные значения, то (A – λ₁E )(A – λ₂E ) = (A – λ₂E )(A – λ₁E ) = 0, так что столбцы (A – λ₂E ) обнуляются матрицей (A – λ₁E ) и наоборот. Предполагая, что ни одна из матриц не равна нулю, столбцы каждой матрицы должны содержать собственные векторы для другого собственного значения (если же матрица нулевая, то A является произведением единичной матрицы на константу и любой ненулевой вектор является собственным).

Например, пусть

тогда tr(A) = 4 – 3 = 1 и det(A) = 4(-3) – 3(-2) = -6, так что характеристическое уравнение равно

а собственные значения равны 3 и −2. Теперь

,

В обеих матрицах столбцы отличаются скалярными коэффициентами, так что можно выбирать любой столбец. Так, (1, -2) можно использовать в качестве собственного вектора, соответствующего собственному значению −2, а (3, -1) в качестве собственного вектора для собственного числа 3, что легко можно проверить умножением на матрицу A.

Матрицы 3×3[править | править код]

Если A является матрицей 3×3, то характеристическим уравнением будет:

Это уравнение можно решить с помощью методов Кардано или Лагранжа, но аффинное преобразование матрицы A существенно упрощает выражение и ведёт прямо к тригонометрическому решению. Если A = pB + qE, то A и B имеют одни и те же собственные векторы и β является собственным значением матрицы B тогда и только тогда, когда α = pβ + q является собственным значением матрицы A. Если положить и , получим

Подстановка β = 2cos θ и некоторое упрощение с использованием тождества cos 3θ = 4cos³ θ – 3cos θ сводит уравнение к cos 3θ = det(B) / 2. Таким образом,

Если det(B) является комплексным числом или больше 2 по абсолютной величине, арккосинус для всех трёх величин k следует брать из одной и той же ветви. Проблема не возникает, если A вещественна и симметрична, приводя к простому алгоритму:^[12]

% Given a real symmetric 3x3 matrix A, compute the eigenvalues

p1 = A(1,2)^2 + A(1,3)^2 + A(2,3)^2
if (p1 == 0) 
   % A is diagonal.
   eig1 = A(1,1)
   eig2 = A(2,2)
   eig3 = A(3,3)
else
   q = trace(A)/3
   p2 = (A(1,1) - q)^2 + (A(2,2) - q)^2 + (A(3,3) - q)^2 + 2 * p1
   p = sqrt(p2 / 6)
   B = (1 / p) * (A - q * E)       % E is the identity matrix
   r = det(B) / 2

   % In exact arithmetic for a symmetric matrix  -1 <= r <= 1
   % but computation error can leave it slightly outside this range.
   if (r <= -1) 
      phi = pi / 3
   elseif (r >= 1)
      phi = 0
   else
      phi = acos(r) / 3
   end

   % the eigenvalues satisfy eig3 <= eig2 <= eig1
   eig1 = q + 2 * p * cos(phi)
   eig3 = q + 2 * p * cos(phi + (2*pi/3))
   eig2 = 3 * q - eig1 - eig3     % since trace(A) = eig1 + eig2 + eig3
end

Снова, собственные векторы A можно получить путём использования теоремы Гамильтона — Кэли. Если α₁, α₂, α₃ — различные собственные значения матрицы A, то (A – α₁E)(A – α₂E)(A – α₃E) = 0. Тогда столбцы произведения любых двух из этих матриц содержат собственные векторы третьего собственного значения. Однако если a₃ = a₁, то (A – α₁E)²(A – α₂E) = 0 и (A – α₂E)(A – α₁E)² = 0. Таким образом, корневое собственное подпространство α₁ натянуто на столбцы A – α₂E, в то время как обычное собственное подпространство натянуто на столбцы (A – α₁E)(A – α₂E). Обычное собственное подпространство α₂ натянуто на столбцы (A – α₁E)².

Например, пусть

Характеристическое уравнение равно

с собственными значениями 1 (кратности 2) и −1. Вычисляем

,

а затем

.

Тогда (-4, -4, 4) является собственным вектором для −1, а (4, 2, -2) является собственным вектором для 1. Векторы (2, 3, -1) и (6, 5, -3) являются корневыми векторами, соответствующими значению 1, любой из которых можно скомбинировать с (-4, -4, 4) и (4, 2, -2), образуя базис корневых векторов матрицы A.

См. также[править | править код]

• Список алгоритмов вычисления собственных значений^[en]

Комментарии[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. — Москва: «Мир», 1999. — ISBN 5-03-002406-9.
• Б. Парлетт. Симметричная проблема собственных значений. — Москва: «Мир», 1983.
• Дж. Х. Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. — Москва: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1970.

Дополнительная литература[править | править код]

• Adam W. Bojanczyk, Adam Lutoborski. Computation of the Euler angles of a symmetric 3X3 matrix // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. — Jan 1991. — Т. 12, вып. 1. — С. 41—48. — doi:10.1137/0612005.

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Определение 9.3. Вектор х
называется собственным вектором
матрицы А, если найдется такое число
λ, что выполняется равенство: Ах
= λх, то есть результатом
применения к х линейного
преобразования, задаваемого матрицей
А, является умножение этого вектора
на число λ. Само число λ называется
собственным числом матрицы А.

Подставив в формулы (9.3) x`_j
= λx_j,
получим систему уравнений для определения
координат собственного вектора:

.

Отсюда

.
(9.5)

Эта линейная однородная система будет
иметь нетривиальное решение только в
случае, если ее главный определитель
равен 0 (правило Крамера). Записав это
условие в виде:

получим уравнение для определения
собственных чисел λ, называемое
характеристическим уравнением.
Кратко его можно представить так:

| A
– λE
| = 0,
(9.6)

поскольку в его левой части стоит
определитель матрицы А-λЕ. Многочлен
относительно λ | A
– λE| называется
характеристическим многочленом
матрицы А.

Свойства характеристического
многочлена:

1. Характеристический многочлен линейного
   преобразования не зависит от выбора
   базиса.
   Доказательство.
   (см.
   (9.4)), но
   следовательно,
   .
   Таким образом,
   
   не зависит от выбора базиса. Значит, и
   |A-λE|
   не изменяется при переходе к новому
   базису.

2. Если матрица А линейного преобразования
   является симметрической (т.е.
   а_ij=a_ji),
   то все корни характеристического
   уравнения (9.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и
собственных векторов:

1. Если выбрать базис из собственных
   векторов х₁,
   х₂, х₃,
   соответствующих собственным значениям
   λ₁, λ₂, λ₃
   матрицы А, то в этом базисе линейное
   преобразование А имеет матрицу
   диагонального вида:

(9.7)
Доказательство
этого свойства следует из определения
собственных векторов.

1. Если собственные значения преобразования
   А различны, то соответствующие им
   собственные векторы линейно независимы.

2. Если характеристический многочлен
   матрицы А имеет три различных корня,
   то в некотором базисе матрица А
   имеет диагональный вид.

Пример.

Найдем собственные числа и собственные
векторы матрицы

Составим характеристическое уравнение:

(1- λ)(5 –
λ)(1 – λ) + 6 – 9(5 – λ) – (1 – λ) –
(1 – λ) = 0, λ³ – 7λ² + 36 = 0, λ₁
= -2, λ₂ = 3, λ₃ = 6.

Найдем координаты собственных векторов,
соответствующих каждому найденному
значению λ. Из (9.5) следует, что если
х₍₁₎={x₁,x₂,x₃}
– собственный вектор, соответствующий
λ₁=-2, то

– совместная, но неопределенная система.
Ее решение можно записать в виде
х₍₁₎={a,0,-a},
где а – любое число. В частности, если
потребовать, чтобы |x₍₁₎|=1,
х₍₁₎=

Подставив в систему (9.5) λ₂=3,
получим систему для определения координат
второго собственного вектора –
x₍₂₎={y₁,y₂,y₃}:

,
откуда х₍₂₎={b,-b,b}
или, при условии |x₍₂₎|=1,
x₍₂₎=

Для λ₃ = 6 найдем собственный
вектор x₍₃₎={z₁,
z₂, z₃}:

,
x₍₃₎={c,2c,c}
или в нормированном варианте

х₍₃₎ =
Можно
заметить, что х₍₁₎х₍₂₎
= ab – ab
= 0, x₍₁₎x₍₃₎
= ac – ac
= 0, x₍₂₎x₍₃₎
= bc – 2bc
+ bc = 0. Таким
образом, собственные векторы этой
матрицы попарно ортогональны.

Лекция 10.

Квадратичные формы и их связь с
симметричными матрицами. Свойства
собственных векторов и собственных
чисел симметричной матрицы. Приведение
квадратичной формы к каноническому
виду.

Определение 10.1. Квадратичной
формой действительных переменных
х₁, х₂,…,х_n
называется многочлен второй степени
относительно этих переменных, не
содержащий свободного члена и членов
первой степени.

Примеры квадратичных форм:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Напомним данное в прошлой лекции
определение симметрической матрицы:

Определение 10.2. Квадратная матрица
называется симметрической, если
,
то есть если равны элементы матрицы,
симметричные относительно главной
диагонали.

Свойства собственных чисел и
собственных векторов симметрической
матрицы:

1. Все собственные числа симметрической
   матрицы действительные.

Доказательство (для n
= 2).

Пусть матрица А имеет вид:
.
Составим характеристическое уравнение:

(10.2) Найдем дискриминант:

следовательно, уравнение имеет только
действительные корни.

1. Собственные векторы симметрической
   матрицы ортогональны.

Доказательство (для n
= 2).

Координаты собственных векторов

и

должны удовлетворять уравнениям:

Следовательно, их можно задать так:

.
Скалярное произведение этих векторов
имеет вид:

По теореме Виета из уравнения (10.2)
получим, что

Подставим эти соотношения в предыдущее
равенство:

Значит,
.

Замечание. В примере, рассмотренном в
лекции 9, были найдены собственные
векторы симметрической матрицы и
обращено внимание на то, что они оказались
попарно ортогональными.

Определение 10.3. Матрицей квадратичной
формы (10.1) называется симметрическая
матрица
.
(10.3)

Таким образом, все собственные числа
матрицы квадратичной формы действительны,
а все собственные векторы ортогональны.
Если все собственные числа различны,
то из трех нормированных собственных
векторов матрицы (10.3) можно построить
базис в трехмерном пространстве. В этом
базисе квадратичная форма будет иметь
особый вид, не содержащий произведений
переменных.

Соседние файлы в папке лекции, 1 сем.

• #
• #

In linear algebra, an eigenvector () or characteristic vector of a linear transformation is a nonzero vector that changes at most by a scalar factor when that linear transformation is applied to it. The corresponding eigenvalue, often denoted by , is the factor by which the eigenvector is scaled.

Geometrically, an eigenvector, corresponding to a real nonzero eigenvalue, points in a direction in which it is stretched by the transformation and the eigenvalue is the factor by which it is stretched. If the eigenvalue is negative, the direction is reversed.^[1] Loosely speaking, in a multidimensional vector space, the eigenvector is not rotated.

Formal definition[edit]

If T is a linear transformation from a vector space V over a field F into itself and v is a nonzero vector in V, then v is an eigenvector of T if T(v) is a scalar multiple of v.^[2] This can be written as

where λ is a scalar in F, known as the eigenvalue, characteristic value, or characteristic root associated with v.

There is a direct correspondence between n-by-n square matrices and linear transformations from an n-dimensional vector space into itself, given any basis of the vector space. Hence, in a finite-dimensional vector space, it is equivalent to define eigenvalues and eigenvectors using either the language of matrices, or the language of linear transformations.^[3][4]

If V is finite-dimensional, the above equation is equivalent to^[5]

where A is the matrix representation of T and u is the coordinate vector of v.

Overview[edit]

Eigenvalues and eigenvectors feature prominently in the analysis of linear transformations. The prefix eigen- is adopted from the German word eigen (cognate with the English word own) for ‘proper’, ‘characteristic’, ‘own’.^[6][7] Originally used to study principal axes of the rotational motion of rigid bodies, eigenvalues and eigenvectors have a wide range of applications, for example in stability analysis, vibration analysis, atomic orbitals, facial recognition, and matrix diagonalization.

In essence, an eigenvector v of a linear transformation T is a nonzero vector that, when T is applied to it, does not change direction. Applying T to the eigenvector only scales the eigenvector by the scalar value λ, called an eigenvalue. This condition can be written as the equation

referred to as the eigenvalue equation or eigenequation. In general, λ may be any scalar. For example, λ may be negative, in which case the eigenvector reverses direction as part of the scaling, or it may be zero or complex.

The Mona Lisa example pictured here provides a simple illustration. Each point on the painting can be represented as a vector pointing from the center of the painting to that point. The linear transformation in this example is called a shear mapping. Points in the top half are moved to the right, and points in the bottom half are moved to the left, proportional to how far they are from the horizontal axis that goes through the middle of the painting. The vectors pointing to each point in the original image are therefore tilted right or left, and made longer or shorter by the transformation. Points along the horizontal axis do not move at all when this transformation is applied. Therefore, any vector that points directly to the right or left with no vertical component is an eigenvector of this transformation, because the mapping does not change its direction. Moreover, these eigenvectors all have an eigenvalue equal to one, because the mapping does not change their length either.

Linear transformations can take many different forms, mapping vectors in a variety of vector spaces, so the eigenvectors can also take many forms. For example, the linear transformation could be a differential operator like , in which case the eigenvectors are functions called eigenfunctions that are scaled by that differential operator, such as

Alternatively, the linear transformation could take the form of an n by n matrix, in which case the eigenvectors are n by 1 matrices. If the linear transformation is expressed in the form of an n by n matrix A, then the eigenvalue equation for a linear transformation above can be rewritten as the matrix multiplication

where the eigenvector v is an n by 1 matrix. For a matrix, eigenvalues and eigenvectors can be used to decompose the matrix—for example by diagonalizing it.

Eigenvalues and eigenvectors give rise to many closely related mathematical concepts, and the prefix eigen- is applied liberally when naming them:

• The set of all eigenvectors of a linear transformation, each paired with its corresponding eigenvalue, is called the eigensystem of that transformation.^[8][9]
• The set of all eigenvectors of T corresponding to the same eigenvalue, together with the zero vector, is called an eigenspace, or the characteristic space of T associated with that eigenvalue.^[10]
• If a set of eigenvectors of T forms a basis of the domain of T, then this basis is called an eigenbasis.

History[edit]

Eigenvalues are often introduced in the context of linear algebra or matrix theory. Historically, however, they arose in the study of quadratic forms and differential equations.

In the 18th century, Leonhard Euler studied the rotational motion of a rigid body, and discovered the importance of the principal axes.^[a] Joseph-Louis Lagrange realized that the principal axes are the eigenvectors of the inertia matrix.^[11]

In the early 19th century, Augustin-Louis Cauchy saw how their work could be used to classify the quadric surfaces, and generalized it to arbitrary dimensions.^[12] Cauchy also coined the term racine caractéristique (characteristic root), for what is now called eigenvalue; his term survives in characteristic equation.^[b]

Later, Joseph Fourier used the work of Lagrange and Pierre-Simon Laplace to solve the heat equation by separation of variables in his famous 1822 book Théorie analytique de la chaleur.^[13] Charles-François Sturm developed Fourier’s ideas further, and brought them to the attention of Cauchy, who combined them with his own ideas and arrived at the fact that real symmetric matrices have real eigenvalues.^[12] This was extended by Charles Hermite in 1855 to what are now called Hermitian matrices.^[14]

Around the same time, Francesco Brioschi proved that the eigenvalues of orthogonal matrices lie on the unit circle,^[12] and Alfred Clebsch found the corresponding result for skew-symmetric matrices.^[14] Finally, Karl Weierstrass clarified an important aspect in the stability theory started by Laplace, by realizing that defective matrices can cause instability.^[12]

In the meantime, Joseph Liouville studied eigenvalue problems similar to those of Sturm; the discipline that grew out of their work is now called Sturm–Liouville theory.^[15] Schwarz studied the first eigenvalue of Laplace’s equation on general domains towards the end of the 19th century, while Poincaré studied Poisson’s equation a few years later.^[16]

At the start of the 20th century, David Hilbert studied the eigenvalues of integral operators by viewing the operators as infinite matrices.^[17] He was the first to use the German word eigen, which means “own”,^[7] to denote eigenvalues and eigenvectors in 1904,^[c] though he may have been following a related usage by Hermann von Helmholtz. For some time, the standard term in English was “proper value”, but the more distinctive term “eigenvalue” is the standard today.^[18]

The first numerical algorithm for computing eigenvalues and eigenvectors appeared in 1929, when Richard von Mises published the power method. One of the most popular methods today, the QR algorithm, was proposed independently by John G. F. Francis^[19] and Vera Kublanovskaya^[20] in 1961.^[21][22]

Eigenvalues and eigenvectors of matrices[edit]

Eigenvalues and eigenvectors are often introduced to students in the context of linear algebra courses focused on matrices.^[23][24]
Furthermore, linear transformations over a finite-dimensional vector space can be represented using matrices,^[3][4] which is especially common in numerical and computational applications.^[25]

Consider n-dimensional vectors that are formed as a list of n scalars, such as the three-dimensional vectors

These vectors are said to be scalar multiples of each other, or parallel or collinear, if there is a scalar λ such that

In this case .

Now consider the linear transformation of n-dimensional vectors defined by an n by n matrix A,

or

where, for each row,

If it occurs that v and w are scalar multiples, that is if

(1)

then v is an eigenvector of the linear transformation A and the scale factor λ is the eigenvalue corresponding to that eigenvector. Equation (1) is the eigenvalue equation for the matrix A.

Equation (1) can be stated equivalently as

(2)

where I is the n by n identity matrix and 0 is the zero vector.

Eigenvalues and the characteristic polynomial[edit]

Equation (2) has a nonzero solution v if and only if the determinant of the matrix (A − λI) is zero. Therefore, the eigenvalues of A are values of λ that satisfy the equation

(3)

Using the Leibniz formula for determinants, the left-hand side of Equation (3) is a polynomial function of the variable λ and the degree of this polynomial is n, the order of the matrix A. Its coefficients depend on the entries of A, except that its term of degree n is always (−1)ⁿλⁿ. This polynomial is called the characteristic polynomial of A. Equation (3) is called the characteristic equation or the secular equation of A.

The fundamental theorem of algebra implies that the characteristic polynomial of an n-by-n matrix A, being a polynomial of degree n, can be factored into the product of n linear terms,

(4)

where each λ_i may be real but in general is a complex number. The numbers λ₁, λ₂, …, λ_n, which may not all have distinct values, are roots of the polynomial and are the eigenvalues of A.

As a brief example, which is described in more detail in the examples section later, consider the matrix

Taking the determinant of (A − λI), the characteristic polynomial of A is

Setting the characteristic polynomial equal to zero, it has roots at λ=1 and λ=3, which are the two eigenvalues of A. The eigenvectors corresponding to each eigenvalue can be found by solving for the components of v in the equation . In this example, the eigenvectors are any nonzero scalar multiples of

If the entries of the matrix A are all real numbers, then the coefficients of the characteristic polynomial will also be real numbers, but the eigenvalues may still have nonzero imaginary parts. The entries of the corresponding eigenvectors therefore may also have nonzero imaginary parts. Similarly, the eigenvalues may be irrational numbers even if all the entries of A are rational numbers or even if they are all integers. However, if the entries of A are all algebraic numbers, which include the rationals, the eigenvalues must also be algebraic numbers (that is, they cannot magically become transcendental numbers).

The non-real roots of a real polynomial with real coefficients can be grouped into pairs of complex conjugates, namely with the two members of each pair having imaginary parts that differ only in sign and the same real part. If the degree is odd, then by the intermediate value theorem at least one of the roots is real. Therefore, any real matrix with odd order has at least one real eigenvalue, whereas a real matrix with even order may not have any real eigenvalues. The eigenvectors associated with these complex eigenvalues are also complex and also appear in complex conjugate pairs.

Algebraic multiplicity[edit]

Let λ_i be an eigenvalue of an n by n matrix A. The algebraic multiplicity μ_A(λ_i) of the eigenvalue is its multiplicity as a root of the characteristic polynomial, that is, the largest integer k such that (λ − λ_i)^k divides evenly that polynomial.^[10][26][27]

Suppose a matrix A has dimension n and d ≤ n distinct eigenvalues. Whereas Equation (4) factors the characteristic polynomial of A into the product of n linear terms with some terms potentially repeating, the characteristic polynomial can instead be written as the product of d terms each corresponding to a distinct eigenvalue and raised to the power of the algebraic multiplicity,

If d = n then the right-hand side is the product of n linear terms and this is the same as Equation (4). The size of each eigenvalue’s algebraic multiplicity is related to the dimension n as

If μ_A(λ_i) = 1, then λ_i is said to be a simple eigenvalue.^[27] If μ_A(λ_i) equals the geometric multiplicity of λ_i, γ_A(λ_i), defined in the next section, then λ_i is said to be a semisimple eigenvalue.

Eigenspaces, geometric multiplicity, and the eigenbasis for matrices[edit]

Given a particular eigenvalue λ of the n by n matrix A, define the set E to be all vectors v that satisfy Equation (2),

On one hand, this set is precisely the kernel or nullspace of the matrix (A − λI). On the other hand, by definition, any nonzero vector that satisfies this condition is an eigenvector of A associated with λ. So, the set E is the union of the zero vector with the set of all eigenvectors of A associated with λ, and E equals the nullspace of (A − λI). E is called the eigenspace or characteristic space of A associated with λ.^[28][10] In general λ is a complex number and the eigenvectors are complex n by 1 matrices. A property of the nullspace is that it is a linear subspace, so E is a linear subspace of .

Because the eigenspace E is a linear subspace, it is closed under addition. That is, if two vectors u and v belong to the set E, written u, v ∈ E, then (u + v) ∈ E or equivalently A(u + v) = λ(u + v). This can be checked using the distributive property of matrix multiplication. Similarly, because E is a linear subspace, it is closed under scalar multiplication. That is, if v ∈ E and α is a complex number, (αv) ∈ E or equivalently A(αv) = λ(αv). This can be checked by noting that multiplication of complex matrices by complex numbers is commutative. As long as u + v and αv are not zero, they are also eigenvectors of A associated with λ.

The dimension of the eigenspace E associated with λ, or equivalently the maximum number of linearly independent eigenvectors associated with λ, is referred to as the eigenvalue’s geometric multiplicity γ_A(λ). Because E is also the nullspace of (A − λI), the geometric multiplicity of λ is the dimension of the nullspace of (A − λI), also called the nullity of (A − λI), which relates to the dimension and rank of (A − λI) as

Because of the definition of eigenvalues and eigenvectors, an eigenvalue’s geometric multiplicity must be at least one, that is, each eigenvalue has at least one associated eigenvector. Furthermore, an eigenvalue’s geometric multiplicity cannot exceed its algebraic multiplicity. Additionally, recall that an eigenvalue’s algebraic multiplicity cannot exceed n.

To prove the inequality , consider how the definition of geometric multiplicity implies the existence of orthonormal eigenvectors , such that . We can therefore find a (unitary) matrix whose first columns are these eigenvectors, and whose remaining columns can be any orthonormal set of vectors orthogonal to these eigenvectors of . Then has full rank and is therefore invertible, and with a matrix whose top left block is the diagonal matrix . This implies that . In other words, is similar to , which implies that . But from the definition of we know that contains a factor , which means that the algebraic multiplicity of must satisfy .

Suppose has distinct eigenvalues , where the geometric multiplicity of is . The total geometric multiplicity of ,

is the dimension of the sum of all the eigenspaces of ‘s eigenvalues, or equivalently the maximum number of linearly independent eigenvectors of . If , then

Additional properties of eigenvalues[edit]

Let be an arbitrary matrix of complex numbers with eigenvalues . Each eigenvalue appears times in this list, where is the eigenvalue’s algebraic multiplicity. The following are properties of this matrix and its eigenvalues:

• The trace of , defined as the sum of its diagonal elements, is also the sum of all eigenvalues,^[29][30][31]

  

• The determinant of is the product of all its eigenvalues,^[29][32][33]

  

• The eigenvalues of the ^th power of ; i.e., the eigenvalues of , for any positive integer , are .
• The matrix is invertible if and only if every eigenvalue is nonzero.
• If is invertible, then the eigenvalues of are and each eigenvalue’s geometric multiplicity coincides. Moreover, since the characteristic polynomial of the inverse is the reciprocal polynomial of the original, the eigenvalues share the same algebraic multiplicity.
• If is equal to its conjugate transpose , or equivalently if is Hermitian, then every eigenvalue is real. The same is true of any symmetric real matrix.
• If is not only Hermitian but also positive-definite, positive-semidefinite, negative-definite, or negative-semidefinite, then every eigenvalue is positive, non-negative, negative, or non-positive, respectively.
• If is unitary, every eigenvalue has absolute value .
• if is a matrix and are its eigenvalues, then the eigenvalues of matrix (where is the identity matrix) are . Moreover, if , the eigenvalues of are . More generally, for a polynomial the eigenvalues of matrix are .

Left and right eigenvectors[edit]

Many disciplines traditionally represent vectors as matrices with a single column rather than as matrices with a single row. For that reason, the word “eigenvector” in the context of matrices almost always refers to a right eigenvector, namely a column vector that right multiplies the matrix in the defining equation, Equation (1),

The eigenvalue and eigenvector problem can also be defined for row vectors that left multiply matrix . In this formulation, the defining equation is

where is a scalar and is a matrix. Any row vector satisfying this equation is called a left eigenvector of and is its associated eigenvalue. Taking the transpose of this equation,

Comparing this equation to Equation (1), it follows immediately that a left eigenvector of is the same as the transpose of a right eigenvector of , with the same eigenvalue. Furthermore, since the characteristic polynomial of is the same as the characteristic polynomial of , the eigenvalues of the left eigenvectors of are the same as the eigenvalues of the right eigenvectors of .

Diagonalization and the eigendecomposition[edit]

Suppose the eigenvectors of A form a basis, or equivalently A has n linearly independent eigenvectors v₁, v₂, …, v_n with associated eigenvalues λ₁, λ₂, …, λ_n. The eigenvalues need not be distinct. Define a square matrix Q whose columns are the n linearly independent eigenvectors of A,

Since each column of Q is an eigenvector of A, right multiplying A by Q scales each column of Q by its associated eigenvalue,

With this in mind, define a diagonal matrix Λ where each diagonal element Λ_ii is the eigenvalue associated with the ith column of Q. Then

Because the columns of Q are linearly independent, Q is invertible. Right multiplying both sides of the equation by Q⁻¹,

or by instead left multiplying both sides by Q⁻¹,

A can therefore be decomposed into a matrix composed of its eigenvectors, a diagonal matrix with its eigenvalues along the diagonal, and the inverse of the matrix of eigenvectors. This is called the eigendecomposition and it is a similarity transformation. Such a matrix A is said to be similar to the diagonal matrix Λ or diagonalizable. The matrix Q is the change of basis matrix of the similarity transformation. Essentially, the matrices A and Λ represent the same linear transformation expressed in two different bases. The eigenvectors are used as the basis when representing the linear transformation as Λ.

Conversely, suppose a matrix A is diagonalizable. Let P be a non-singular square matrix such that P⁻¹AP is some diagonal matrix D. Left multiplying both by P, AP = PD. Each column of P must therefore be an eigenvector of A whose eigenvalue is the corresponding diagonal element of D. Since the columns of P must be linearly independent for P to be invertible, there exist n linearly independent eigenvectors of A. It then follows that the eigenvectors of A form a basis if and only if A is diagonalizable.

A matrix that is not diagonalizable is said to be defective. For defective matrices, the notion of eigenvectors generalizes to generalized eigenvectors and the diagonal matrix of eigenvalues generalizes to the Jordan normal form. Over an algebraically closed field, any matrix A has a Jordan normal form and therefore admits a basis of generalized eigenvectors and a decomposition into generalized eigenspaces.

Variational characterization[edit]

In the Hermitian case, eigenvalues can be given a variational characterization. The largest eigenvalue of is the maximum value of the quadratic form . A value of that realizes that maximum, is an eigenvector.

Matrix examples[edit]

Two-dimensional matrix example[edit]

Consider the matrix

The figure on the right shows the effect of this transformation on point coordinates in the plane. The eigenvectors v of this transformation satisfy Equation (1), and the values of λ for which the determinant of the matrix (A − λI) equals zero are the eigenvalues.

Taking the determinant to find characteristic polynomial of A,

Setting the characteristic polynomial equal to zero, it has roots at λ=1 and λ=3, which are the two eigenvalues of A.

For λ=1, Equation (2) becomes,

Any nonzero vector with v₁ = −v₂ solves this equation. Therefore,

is an eigenvector of A corresponding to λ = 1, as is any scalar multiple of this vector.

For λ=3, Equation (2) becomes

Any nonzero vector with v₁ = v₂ solves this equation. Therefore,

is an eigenvector of A corresponding to λ = 3, as is any scalar multiple of this vector.

Thus, the vectors v_λ=1 and v_λ=3 are eigenvectors of A associated with the eigenvalues λ=1 and λ=3, respectively.

Three-dimensional matrix example[edit]

Consider the matrix

The characteristic polynomial of A is

The roots of the characteristic polynomial are 2, 1, and 11, which are the only three eigenvalues of A. These eigenvalues correspond to the eigenvectors , , and , or any nonzero multiple thereof.

Three-dimensional matrix example with complex eigenvalues[edit]

Consider the cyclic permutation matrix

This matrix shifts the coordinates of the vector up by one position and moves the first coordinate to the bottom. Its characteristic polynomial is 1 − λ³, whose roots are

where is an imaginary unit with .

For the real eigenvalue λ₁ = 1, any vector with three equal nonzero entries is an eigenvector. For example,

For the complex conjugate pair of imaginary eigenvalues,

Then

and

Therefore, the other two eigenvectors of A are complex and are and with eigenvalues λ₂ and λ₃, respectively. The two complex eigenvectors also appear in a complex conjugate pair,

Diagonal matrix example[edit]

Matrices with entries only along the main diagonal are called diagonal matrices. The eigenvalues of a diagonal matrix are the diagonal elements themselves. Consider the matrix

The characteristic polynomial of A is

which has the roots λ₁ = 1, λ₂ = 2, and λ₃ = 3. These roots are the diagonal elements as well as the eigenvalues of A.

Each diagonal element corresponds to an eigenvector whose only nonzero component is in the same row as that diagonal element. In the example, the eigenvalues correspond to the eigenvectors,

respectively, as well as scalar multiples of these vectors.

Triangular matrix example[edit]

A matrix whose elements above the main diagonal are all zero is called a lower triangular matrix, while a matrix whose elements below the main diagonal are all zero is called an upper triangular matrix. As with diagonal matrices, the eigenvalues of triangular matrices are the elements of the main diagonal.

Consider the lower triangular matrix,

The characteristic polynomial of A is

which has the roots λ₁ = 1, λ₂ = 2, and λ₃ = 3. These roots are the diagonal elements as well as the eigenvalues of A.

These eigenvalues correspond to the eigenvectors,

respectively, as well as scalar multiples of these vectors.

Matrix with repeated eigenvalues example[edit]

As in the previous example, the lower triangular matrix

has a characteristic polynomial that is the product of its diagonal elements,

The roots of this polynomial, and hence the eigenvalues, are 2 and 3. The algebraic multiplicity of each eigenvalue is 2; in other words they are both double roots. The sum of the algebraic multiplicities of all distinct eigenvalues is μ_A = 4 = n, the order of the characteristic polynomial and the dimension of A.

On the other hand, the geometric multiplicity of the eigenvalue 2 is only 1, because its eigenspace is spanned by just one vector and is therefore 1-dimensional. Similarly, the geometric multiplicity of the eigenvalue 3 is 1 because its eigenspace is spanned by just one vector . The total geometric multiplicity γ_A is 2, which is the smallest it could be for a matrix with two distinct eigenvalues. Geometric multiplicities are defined in a later section.

Eigenvector-eigenvalue identity[edit]

For a Hermitian matrix, the norm squared of the jth component of a normalized eigenvector can be calculated using only the matrix eigenvalues and the eigenvalues of the corresponding minor matrix,

where is the submatrix formed by removing the jth row and column from the original matrix.^[34][35][36] This identity also extends to diagonalizable matrices, and has been rediscovered many times in the literature.^[35]

Eigenvalues and eigenfunctions of differential operators[edit]

The definitions of eigenvalue and eigenvectors of a linear transformation T remains valid even if the underlying vector space is an infinite-dimensional Hilbert or Banach space. A widely used class of linear transformations acting on infinite-dimensional spaces are the differential operators on function spaces. Let D be a linear differential operator on the space C^∞ of infinitely differentiable real functions of a real argument t. The eigenvalue equation for D is the differential equation

The functions that satisfy this equation are eigenvectors of D and are commonly called eigenfunctions.

Derivative operator example[edit]

Consider the derivative operator with eigenvalue equation

This differential equation can be solved by multiplying both sides by dt/f(t) and integrating. Its solution, the exponential function

is the eigenfunction of the derivative operator. In this case the eigenfunction is itself a function of its associated eigenvalue. In particular, for λ = 0 the eigenfunction f(t) is a constant.

The main eigenfunction article gives other examples.

General definition[edit]

The concept of eigenvalues and eigenvectors extends naturally to arbitrary linear transformations on arbitrary vector spaces. Let V be any vector space over some field K of scalars, and let T be a linear transformation mapping V into V,

We say that a nonzero vector v ∈ V is an eigenvector of T if and only if there exists a scalar λ ∈ K such that

(5)

This equation is called the eigenvalue equation for T, and the scalar λ is the eigenvalue of T corresponding to the eigenvector v. T(v) is the result of applying the transformation T to the vector v, while λv is the product of the scalar λ with v.^[37][38]

Eigenspaces, geometric multiplicity, and the eigenbasis[edit]

Given an eigenvalue λ, consider the set

which is the union of the zero vector with the set of all eigenvectors associated with λ. E is called the eigenspace or characteristic space of T associated with λ.^[39]

By definition of a linear transformation,

for x, y ∈ V and α ∈ K. Therefore, if u and v are eigenvectors of T associated with eigenvalue λ, namely u, v ∈ E, then

So, both u + v and αv are either zero or eigenvectors of T associated with λ, namely u + v, αv ∈ E, and E is closed under addition and scalar multiplication. The eigenspace E associated with λ is therefore a linear subspace of V.^[40]
If that subspace has dimension 1, it is sometimes called an eigenline.^[41]

The geometric multiplicity γ_T(λ) of an eigenvalue λ is the dimension of the eigenspace associated with λ, i.e., the maximum number of linearly independent eigenvectors associated with that eigenvalue.^[10][27][42] By the definition of eigenvalues and eigenvectors, γ_T(λ) ≥ 1 because every eigenvalue has at least one eigenvector.

The eigenspaces of T always form a direct sum. As a consequence, eigenvectors of different eigenvalues are always linearly independent. Therefore, the sum of the dimensions of the eigenspaces cannot exceed the dimension n of the vector space on which T operates, and there cannot be more than n distinct eigenvalues.^[d]

Any subspace spanned by eigenvectors of T is an invariant subspace of T, and the restriction of T to such a subspace is diagonalizable. Moreover, if the entire vector space V can be spanned by the eigenvectors of T, or equivalently if the direct sum of the eigenspaces associated with all the eigenvalues of T is the entire vector space V, then a basis of V called an eigenbasis can be formed from linearly independent eigenvectors of T. When T admits an eigenbasis, T is diagonalizable.

Spectral theory[edit]

If λ is an eigenvalue of T, then the operator (T − λI) is not one-to-one, and therefore its inverse (T − λI)⁻¹ does not exist. The converse is true for finite-dimensional vector spaces, but not for infinite-dimensional vector spaces. In general, the operator (T − λI) may not have an inverse even if λ is not an eigenvalue.

For this reason, in functional analysis eigenvalues can be generalized to the spectrum of a linear operator T as the set of all scalars λ for which the operator (T − λI) has no bounded inverse. The spectrum of an operator always contains all its eigenvalues but is not limited to them.

Associative algebras and representation theory[edit]

One can generalize the algebraic object that is acting on the vector space, replacing a single operator acting on a vector space with an algebra representation – an associative algebra acting on a module. The study of such actions is the field of representation theory.

The representation-theoretical concept of weight is an analog of eigenvalues, while weight vectors and weight spaces are the analogs of eigenvectors and eigenspaces, respectively.

Dynamic equations[edit]

The simplest difference equations have the form

The solution of this equation for x in terms of t is found by using its characteristic equation

which can be found by stacking into matrix form a set of equations consisting of the above difference equation and the k – 1 equations giving a k-dimensional system of the first order in the stacked variable vector in terms of its once-lagged value, and taking the characteristic equation of this system’s matrix. This equation gives k characteristic roots for use in the solution equation

A similar procedure is used for solving a differential equation of the form

Calculation[edit]

The calculation of eigenvalues and eigenvectors is a topic where theory, as presented in elementary linear algebra textbooks, is often very far from practice.

Classical method[edit]

The classical method is to first find the eigenvalues, and then calculate the eigenvectors for each eigenvalue. It is in several ways poorly suited for non-exact arithmetics such as floating-point.

Eigenvalues[edit]

The eigenvalues of a matrix can be determined by finding the roots of the characteristic polynomial. This is easy for matrices, but the difficulty increases rapidly with the size of the matrix.

In theory, the coefficients of the characteristic polynomial can be computed exactly, since they are sums of products of matrix elements; and there are algorithms that can find all the roots of a polynomial of arbitrary degree to any required accuracy.^[43] However, this approach is not viable in practice because the coefficients would be contaminated by unavoidable round-off errors, and the roots of a polynomial can be an extremely sensitive function of the coefficients (as exemplified by Wilkinson’s polynomial).^[43] Even for matrices whose elements are integers the calculation becomes nontrivial, because the sums are very long; the constant term is the determinant, which for an matrix is a sum of different products.^[e]

Explicit algebraic formulas for the roots of a polynomial exist only if the degree is 4 or less. According to the Abel–Ruffini theorem there is no general, explicit and exact algebraic formula for the roots of a polynomial with degree 5 or more. (Generality matters because any polynomial with degree is the characteristic polynomial of some companion matrix of order .) Therefore, for matrices of order 5 or more, the eigenvalues and eigenvectors cannot be obtained by an explicit algebraic formula, and must therefore be computed by approximate numerical methods. Even the exact formula for the roots of a degree 3 polynomial is numerically impractical.

Eigenvectors[edit]

Once the (exact) value of an eigenvalue is known, the corresponding eigenvectors can be found by finding nonzero solutions of the eigenvalue equation, that becomes a system of linear equations with known coefficients. For example, once it is known that 6 is an eigenvalue of the matrix

we can find its eigenvectors by solving the equation , that is

This matrix equation is equivalent to two linear equations

     that is     

Both equations reduce to the single linear equation . Therefore, any vector of the form , for any nonzero real number , is an eigenvector of with eigenvalue .

The matrix above has another eigenvalue . A similar calculation shows that the corresponding eigenvectors are the nonzero solutions of , that is, any vector of the form , for any nonzero real number .

Simple iterative methods[edit]

The converse approach, of first seeking the eigenvectors and then determining each eigenvalue from its eigenvector, turns out to be far more tractable for computers. The easiest algorithm here consists of picking an arbitrary starting vector and then repeatedly multiplying it with the matrix (optionally normalizing the vector to keep its elements of reasonable size); this makes the vector converge towards an eigenvector. A variation is to instead multiply the vector by ; this causes it to converge to an eigenvector of the eigenvalue closest to .

If is (a good approximation of) an eigenvector of , then the corresponding eigenvalue can be computed as

where denotes the conjugate transpose of .

Modern methods[edit]

Efficient, accurate methods to compute eigenvalues and eigenvectors of arbitrary matrices were not known until the QR algorithm was designed in 1961.^[43] Combining the Householder transformation with the LU decomposition results in an algorithm with better convergence than the QR algorithm.^{[citation needed]} For large Hermitian sparse matrices, the Lanczos algorithm is one example of an efficient iterative method to compute eigenvalues and eigenvectors, among several other possibilities.^[43]

Most numeric methods that compute the eigenvalues of a matrix also determine a set of corresponding eigenvectors as a by-product of the computation, although sometimes implementors choose to discard the eigenvector information as soon as it is no longer needed.

Applications[edit]

Eigenvalues of geometric transformations[edit]

The following table presents some example transformations in the plane along with their 2×2 matrices, eigenvalues, and eigenvectors.

	Scaling	Unequal scaling	Rotation	Horizontal shear	Hyperbolic rotation
Illustration
Matrix
Characteristic polynomial
Eigenvalues,
Algebraic mult.,
Geometric mult.,
Eigenvectors	All nonzero vectors

The characteristic equation for a rotation is a quadratic equation with discriminant , which is a negative number whenever θ is not an integer multiple of 180°. Therefore, except for these special cases, the two eigenvalues are complex numbers, ; and all eigenvectors have non-real entries. Indeed, except for those special cases, a rotation changes the direction of every nonzero vector in the plane.

A linear transformation that takes a square to a rectangle of the same area (a squeeze mapping) has reciprocal eigenvalues.

Schrödinger equation[edit]

An example of an eigenvalue equation where the transformation is represented in terms of a differential operator is the time-independent Schrödinger equation in quantum mechanics:

where , the Hamiltonian, is a second-order differential operator and , the wavefunction, is one of its eigenfunctions corresponding to the eigenvalue , interpreted as its energy.

However, in the case where one is interested only in the bound state solutions of the Schrödinger equation, one looks for within the space of square integrable functions. Since this space is a Hilbert space with a well-defined scalar product, one can introduce a basis set in which and can be represented as a one-dimensional array (i.e., a vector) and a matrix respectively. This allows one to represent the Schrödinger equation in a matrix form.

The bra–ket notation is often used in this context. A vector, which represents a state of the system, in the Hilbert space of square integrable functions is represented by . In this notation, the Schrödinger equation is:

where is an eigenstate of and represents the eigenvalue. is an observable self-adjoint operator, the infinite-dimensional analog of Hermitian matrices. As in the matrix case, in the equation above is understood to be the vector obtained by application of the transformation to .

Wave transport[edit]

Light, acoustic waves, and microwaves are randomly scattered numerous times when traversing a static disordered system. Even though multiple scattering repeatedly randomizes the waves, ultimately coherent wave transport through the system is a deterministic process which can be described by a field transmission matrix .^[44][45] The eigenvectors of the transmission operator form a set of disorder-specific input wavefronts which enable waves to couple into the disordered system’s eigenchannels: the independent pathways waves can travel through the system. The eigenvalues, , of correspond to the intensity transmittance associated with each eigenchannel. One of the remarkable properties of the transmission operator of diffusive systems is their bimodal eigenvalue distribution with and .^[45] Furthermore, one of the striking properties of open eigenchannels, beyond the perfect transmittance, is the statistically robust spatial profile of the eigenchannels.^[46]

Molecular orbitals[edit]

In quantum mechanics, and in particular in atomic and molecular physics, within the Hartree–Fock theory, the atomic and molecular orbitals can be defined by the eigenvectors of the Fock operator. The corresponding eigenvalues are interpreted as ionization potentials via Koopmans’ theorem. In this case, the term eigenvector is used in a somewhat more general meaning, since the Fock operator is explicitly dependent on the orbitals and their eigenvalues. Thus, if one wants to underline this aspect, one speaks of nonlinear eigenvalue problems. Such equations are usually solved by an iteration procedure, called in this case self-consistent field method. In quantum chemistry, one often represents the Hartree–Fock equation in a non-orthogonal basis set. This particular representation is a generalized eigenvalue problem called Roothaan equations.

Geology and glaciology[edit]

In geology, especially in the study of glacial till, eigenvectors and eigenvalues are used as a method by which a mass of information of a clast fabric’s constituents’ orientation and dip can be summarized in a 3-D space by six numbers. In the field, a geologist may collect such data for hundreds or thousands of clasts in a soil sample, which can only be compared graphically such as in a Tri-Plot (Sneed and Folk) diagram,^[47][48] or as a Stereonet on a Wulff Net.^[49]

The output for the orientation tensor is in the three orthogonal (perpendicular) axes of space. The three eigenvectors are ordered by their eigenvalues ;^[50]
then is the primary orientation/dip of clast, is the secondary and is the tertiary, in terms of strength. The clast orientation is defined as the direction of the eigenvector, on a compass rose of 360°. Dip is measured as the eigenvalue, the modulus of the tensor: this is valued from 0° (no dip) to 90° (vertical). The relative values of , , and are dictated by the nature of the sediment’s fabric. If , the fabric is said to be isotropic. If , the fabric is said to be planar. If , the fabric is said to be linear.^[51]

Principal component analysis[edit]

The eigendecomposition of a symmetric positive semidefinite (PSD) matrix yields an orthogonal basis of eigenvectors, each of which has a nonnegative eigenvalue. The orthogonal decomposition of a PSD matrix is used in multivariate analysis, where the sample covariance matrices are PSD. This orthogonal decomposition is called principal component analysis (PCA) in statistics. PCA studies linear relations among variables. PCA is performed on the covariance matrix or the correlation matrix (in which each variable is scaled to have its sample variance equal to one). For the covariance or correlation matrix, the eigenvectors correspond to principal components and the eigenvalues to the variance explained by the principal components. Principal component analysis of the correlation matrix provides an orthogonal basis for the space of the observed data: In this basis, the largest eigenvalues correspond to the principal components that are associated with most of the covariability among a number of observed data.

Principal component analysis is used as a means of dimensionality reduction in the study of large data sets, such as those encountered in bioinformatics. In Q methodology, the eigenvalues of the correlation matrix determine the Q-methodologist’s judgment of practical significance (which differs from the statistical significance of hypothesis testing; cf. criteria for determining the number of factors). More generally, principal component analysis can be used as a method of factor analysis in structural equation modeling.

Vibration analysis[edit]

Eigenvalue problems occur naturally in the vibration analysis of mechanical structures with many degrees of freedom. The eigenvalues are the natural frequencies (or eigenfrequencies) of vibration, and the eigenvectors are the shapes of these vibrational modes. In particular, undamped vibration is governed by

or

that is, acceleration is proportional to position (i.e., we expect to be sinusoidal in time).

In dimensions, becomes a mass matrix and a stiffness matrix. Admissible solutions are then a linear combination of solutions to the generalized eigenvalue problem

where is the eigenvalue and is the (imaginary) angular frequency. The principal vibration modes are different from the principal compliance modes, which are the eigenvectors of alone. Furthermore, damped vibration, governed by

leads to a so-called quadratic eigenvalue problem,

This can be reduced to a generalized eigenvalue problem by algebraic manipulation at the cost of solving a larger system.

The orthogonality properties of the eigenvectors allows decoupling of the differential equations so that the system can be represented as linear summation of the eigenvectors. The eigenvalue problem of complex structures is often solved using finite element analysis, but neatly generalize the solution to scalar-valued vibration problems.

Eigenfaces[edit]

In image processing, processed images of faces can be seen as vectors whose components are the brightnesses of each pixel.^[52] The dimension of this vector space is the number of pixels. The eigenvectors of the covariance matrix associated with a large set of normalized pictures of faces are called eigenfaces; this is an example of principal component analysis. They are very useful for expressing any face image as a linear combination of some of them. In the facial recognition branch of biometrics, eigenfaces provide a means of applying data compression to faces for identification purposes. Research related to eigen vision systems determining hand gestures has also been made.

Similar to this concept, eigenvoices represent the general direction of variability in human pronunciations of a particular utterance, such as a word in a language. Based on a linear combination of such eigenvoices, a new voice pronunciation of the word can be constructed. These concepts have been found useful in automatic speech recognition systems for speaker adaptation.

Tensor of moment of inertia[edit]

In mechanics, the eigenvectors of the moment of inertia tensor define the principal axes of a rigid body. The tensor of moment of inertia is a key quantity required to determine the rotation of a rigid body around its center of mass.

Stress tensor[edit]

In solid mechanics, the stress tensor is symmetric and so can be decomposed into a diagonal tensor with the eigenvalues on the diagonal and eigenvectors as a basis. Because it is diagonal, in this orientation, the stress tensor has no shear components; the components it does have are the principal components.

Graphs[edit]

In spectral graph theory, an eigenvalue of a graph is defined as an eigenvalue of the graph’s adjacency matrix , or (increasingly) of the graph’s Laplacian matrix due to its discrete Laplace operator, which is either (sometimes called the combinatorial Laplacian) or (sometimes called the normalized Laplacian), where is a diagonal matrix with equal to the degree of vertex , and in , the th diagonal entry is . The th principal eigenvector of a graph is defined as either the eigenvector corresponding to the th largest or th smallest eigenvalue of the Laplacian. The first principal eigenvector of the graph is also referred to merely as the principal eigenvector.

The principal eigenvector is used to measure the centrality of its vertices. An example is Google’s PageRank algorithm. The principal eigenvector of a modified adjacency matrix of the World Wide Web graph gives the page ranks as its components. This vector corresponds to the stationary distribution of the Markov chain represented by the row-normalized adjacency matrix; however, the adjacency matrix must first be modified to ensure a stationary distribution exists. The second smallest eigenvector can be used to partition the graph into clusters, via spectral clustering. Other methods are also available for clustering.

Basic reproduction number[edit]

The basic reproduction number () is a fundamental number in the study of how infectious diseases spread. If one infectious person is put into a population of completely susceptible people, then is the average number of people that one typical infectious person will infect. The generation time of an infection is the time, , from one person becoming infected to the next person becoming infected. In a heterogeneous population, the next generation matrix defines how many people in the population will become infected after time has passed. is then the largest eigenvalue of the next generation matrix.^[53][54]

See also[edit]

• Antieigenvalue theory
• Eigenoperator
• Eigenplane
• Eigenmoments
• Eigenvalue algorithm
• Introduction to eigenstates
• Jordan normal form
• List of numerical-analysis software
• Nonlinear eigenproblem
• Normal eigenvalue
• Quadratic eigenvalue problem
• Singular value
• Spectrum of a matrix

Notes[edit]

Citations[edit]

Sources[edit]

Further reading[edit]

External links[edit]

• What are Eigen Values? – non-technical introduction from PhysLink.com’s “Ask the Experts”
• Eigen Values and Eigen Vectors Numerical Examples – Tutorial and Interactive Program from Revoledu.
• Introduction to Eigen Vectors and Eigen Values – lecture from Khan Academy
• Eigenvectors and eigenvalues | Essence of linear algebra, chapter 10 – A visual explanation with 3Blue1Brown
• Matrix Eigenvectors Calculator from Symbolab (Click on the bottom right button of the 2×12 grid to select a matrix size. Select an size (for a square matrix), then fill out the entries numerically and click on the Go button. It can accept complex numbers as well.)

Theory[edit]

• Computation of Eigenvalues
• Numerical solution of eigenvalue problems Edited by Zhaojun Bai, James Demmel, Jack Dongarra, Axel Ruhe, and Henk van der Vorst