Как найти событие а подробно

На этой странице вы узнаете

  • Как кот может быть одновременно жив и мертв? 
  • Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой? 
  • Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться. 

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов. 

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат. 

Как кот может быть одновременно жив и мертв? 

Ученый по имени Эрвин Шредингер провел мысленный эксперимент. Он поместил кота в закрытый ящик, в котором был расположен механизм, содержащий атомное ядро и ёмкость с ядовитым газом. 

По эксперименту с вероятностью 0,5 ядро распадется, емкость с газом откроется и кот умрет. Но при этом с вероятностью 0,5 ядро не распадается и кот останется жив. 

Пока ящик закрыт, мы не знаем результат эксперимента — такой эксперимент в математике можно назвать случайным.  Тем временем кот находится одновременно в двух состояниях: он и жив, и мертв. 

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

  • выпадет орел;
  • выпадет решка. 

Эти два события образуют множество элементарных событий. 

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента. 

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации. 

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран. 

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности. 

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу. 

(P = frac{m}{n})

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие. 

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой?

Можно, если хитро сформулировать условия. Например: «Орел — я выиграл, решка — ты проиграл». Вероятность выигрыша в этом случае будет равна (P = frac{2}{2} = 1), то есть мы точно выиграем спор. 

Однако вероятность не так проста, и даже здесь подготовила ловушку. 

В редких случаях есть и третий вариант событий — монетка встанет на ребро. Вероятность такого события составляет  (frac{1}{6000}). То есть за миллион бросков это может случиться 150 раз или 1 раз в 2 дня, если подкидывать монету каждый день по 8 часов в течение года. Чтобы монета встала на ребро два раза подряд, придется подбрасывать ее в том же темпе около 35 лет.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%. 

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна 
(frac{49}{140} = 0,35)

Выразим в процентах:  
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ. 

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой. 

(P = frac{m}{n} * 100%)

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными. 

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие. 

Вероятности появления событий равны. 

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий. 

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. 

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий. 

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка. 

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными. 

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}). 

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?

)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1) 

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1. 

(P(A) + P(overline{A}) = 1)

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить. 

Объединение и пересечение событий 

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим? 

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий. 

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег. 

Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B). 

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям. 

Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B). 

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно. 

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. 

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности. 

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий. 

Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

(P(A cup B) = P(A) + P(B))

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные. 

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. 

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят?  Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет. 

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”. 

Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}). 

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А. 

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги. 

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок. 

Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:

(P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B))

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике. 

Независимые и зависимые события 

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем. 

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95). 

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга? 

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми. 

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. 

Определим вероятность независимых событий. 

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95. 

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

(P(A cap B) = P(A) * P(B))

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025. 

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”. 

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой. 

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого. 

Но если автоматы стоят  рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого. 

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

  • сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
  • сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый. 

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}). 

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}). 

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы. 

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.   

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность. 

Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило:

(P(A cap B) = P(A) * P(B | A))

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}). 

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}). 

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k. 

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли. 

(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k}) 

Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики». 

Решим задачу, подставив значения в формулу:

(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1) 

Фактчек

  • Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 
  • События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 
  • События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
  • События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A). 
  • Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие события являются несовместными?

  1. Подбрасывание монетки.
  2. Брак батареек в одной упаковке.
  3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
  4. Случайное вытаскивание конфет из вазы. 

Задание 2. 
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

  1. 0,17
  2. 1
  3. 0,83
  4. 1,17 

Задание 3. 
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

  1. 1
  2. 0,216
  3. 0,45
  4. 1,5 

Задание 4. 
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут. 

  1. 0,3
  2. 0,001
  3. 2,7
  4. 0,729 

Задание 5. 
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой. 

  1. 0,77
  2. 0,135
  3. 0,23
  4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1


Для двух событий, A и B, «найти вероятность A или B» означает найти вероятность того, что произойдет либо событие A, либо событие B.

Обычно мы записываем эту вероятность одним из двух способов:

  • P (A или B) – Письменная форма
  • P(A∪B) – Форма записи

То, как мы вычисляем эту вероятность, зависит от того, являются ли события A и B взаимоисключающими или нет. Два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно.

Если A и B взаимоисключающие , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∪B):

Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B)

Если A и B не исключают друг друга , то формула, которую мы используем для вычисления P(A∪B):

Not Mutually Exclusive Events: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Обратите внимание, что P(A ∩ B) — это вероятность того, что событие A и событие B произойдут одновременно.

Следующие примеры показывают, как использовать эти формулы на практике.

Примеры: P(A∪B) для взаимоисключающих событий.

Пример 1: Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет либо 2, либо 5?

Решение: если мы определим событие A как получение 2, а событие B как получение 5, то эти два события являются взаимоисключающими, потому что мы не можем выбросить 2 и 5 одновременно. Таким образом, вероятность того, что выпадет либо 2, либо 5, рассчитывается как:

Р(А∪В) = (1/6) + (1/6) = 2/6 = 1/3.

Пример 2: Предположим, что в урне 3 красных шара, 2 зеленых шара и 5 желтых шаров. Если мы случайно выберем один шар, какова вероятность того, что вы выберете либо красный, либо зеленый шар?

Решение: если мы определим событие А как выбор красного шара, а событие В как выбор зеленого шара, то эти два события будут взаимоисключающими, потому что мы не можем выбрать одновременно красный и зеленый шар. Таким образом, вероятность того, что мы выберем красный или зеленый шар, рассчитывается как:

P(A∪B) = (3/10) + (2/10) = 5/10 = 1/2.

Примеры: P(A B) для не взаимоисключающих событий .

В следующих примерах показано, как вычислить P(A∪B), когда A и B не являются взаимоисключающими событиями.

Пример 1. Если мы случайно выберем карту из стандартной колоды из 52 карт, какова вероятность того, что вы выберете пику или даму?

Решение: В этом примере можно выбрать карту, которая является и пикой, и дамой, поэтому эти два события не исключают друг друга.

Если мы допустим, что событие A будет событием выбора пики, а событие B будет событием выбора ферзя, то мы получим следующие вероятности:

  • Р(А) = 13/52
  • Р(В) = 4/52
  • Р(А∩В) = 1/52

Таким образом, вероятность выбора пики или королевы рассчитывается как:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (13/52) + (4/52) – (1/52) = 16/52 = 4/13.

Пример 2. Если мы бросим игральную кость, какова вероятность того, что выпадет число больше 3 или четное число?

Решение. В этом примере кости могут выпасть на число, которое одновременно больше 3 и четно, поэтому эти два события не исключают друг друга.

Если мы допустим, что событие А будет событием выпадения числа больше 3, а событие В будет событием выпадения четного числа, то мы получим следующие вероятности:

  • Р(А) = 3/6
  • Р(В) = 3/6
  • Р(А∩В) = 2/6

Таким образом, вероятность того, что кубик выпадет на число больше 3 или на четное число, рассчитывается как:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = (3/6) + (3/6) – (2/6) = 4/6 = 2/3.

Операции над событиями. Теория вероятностей

Пересечение событий

Пусть есть события A и B, у каждого события есть набор элементарных исходов. Пересечением событий A и B называют то событие, в результате которого произошло и событие A и событие B, то есть случился некоторый элементарный исход, который одновременно принадлежит и событию A и событию B.

События не пересекаются

Если у событий A и B нет пересечения (отсутствует элементарный исход), то такая вероятность равна нулю.

События пересекаются

Если события A и B пересекаются (имеют некоторое общее количество элементарных исходов), то вероятность этого пересечения нельзя рассчитать по какой-то универсальной формуле. Эту вероятность нужно подсчитывать, рассматривая общие элементарные исходы.

Операции над событиями - Пересечение. Теория вероятностей

Объединение событий

Объединением событий A и B называют те события, в результате которых произошло или событие A, или событие B, то есть хотя бы одно из двух.

События не пересекаются

Если события A и B не пересекаются, то вероятность их объединения окажется равной = вероятность события P(A) + вероятность события P(B).

События пересекаются

Если события A и B пересекаются, то есть у них есть общие элементарные исходы, то вероятность их объединения окажется равной = вероятность события P(A) + вероятность события P(B) — вероятность пересечения событий P(A ∩ B)

Теория вероятностей. Операция над событиями: Объединение

Независимые события

События A и B независимы, если наступление одного события не влияет на другое событие.

Теория вероятностей. Независимые события

Практический пример

Будем рассматривать пример с игральным кубиком, для простоты и анализа нашего эксперимента введём следующие обозначения:

  • 1 очко = ω1;
  • 2 очка = ω2;
  • 3 очка = ω3;
  • 4 очка = ω4;
  • 5 очков = ω5;
  • 6 очков = ω6.

Событие A: выпало > 3 очков

Событие B: выпало нечетное число очков

Чтобы приступить к решению задачи выполняем анализ событий.

Анализ события A: этому событию соответствует три элементарных исхода { ω4, ω5, ω6}

Анализ события B: этому событию соответствует три элементарных исхода{ ω1, ω3, ω5}

После анализа событий приступаем к пошаговому решению.

Рассмотрим теперь пересечение события A и B, то есть у нас должно выпасть > 3 очков и при этом число должно быть нечётное. В этом случае у нас есть один элементарный исход: { ω5}.

Отсюда мы можем посчитать вероятность этого события:

Теория вероятностей. Пересечение событий A и B

  • n – элементарный исход, который удовлетворяет нашим условиям;
  • N – общее количество исходов.

Далее рассмотрим объединение событий A и B. В данном случае у нас будет следующий набор элементарных условий { ω1, ω3, ω4, ω5, ω6}

Обратите внимание: у нас отсутствует ω2, так как этот исход не фигурирует ни в событии A, ни в событии B.
Поэтому мы можем сказать, что вероятность объединения в этом случае будет:

Теория вероятностей. Объединение событий A и B

По факту мы решили задачу, но мы можем её решить намного быстрее, если воспользуемся формулой, которую изучили ранее:

Теория вероятностей. Операции над событиями: пересечение и объединение событий A и B

  • Вероятность P(A) – выпало > 3 очков
  • Вероятность P(B) – выпало нечётное число
  • Вероятность P(A ∩ B) – пересечение событий A и B

Метки: Математика, Теория вероятностей.

Как решать задачи на вероятность?

Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей – от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?

Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу

Вероятность. Что это?

Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.

Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события – явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах.

Вероятность – это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 – событие практически невозможно, 1 – событие практически достоверно, 0,5 (или “50 на 50”) – с равной вероятностью событие произойдет или нет.

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей

Алгоритм решения задач на вероятность

Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике.

А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем схему, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.

  • Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т.п.)
  • Найти основной вопрос задачи вроде “вычислить вероятность того, что …” и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
  • Событие записано. Теперь надо понять, к какой “схеме” теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:
    • происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
    • если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
    • событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).

    Чем больше опыт решения задач, тем легче будет определить, какие формулы подходят.

  • Выбрана формула (или несколько) для решения. Записываем все данные задачи и подставляем в данную формулу.
  • Вуаля, вероятность найдена.

Как решать задачи: классическая вероятность

Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

Начинаем решение по пунктам, описанным выше.

  • В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
  • Вводим основное событие $X$ = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
  • Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: $P=m/n$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих осуществлению события $X$, а $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов.
  • Теперь необходимо найти значения $m$ и $n$ для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов – число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3: $$n=C_{30}^3=frac{30!}{3!27!}=frac{28cdot 29 cdot 30}{1cdot 2 cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших “2”. Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=frac{5!}{3!2!}=frac{4 cdot 5}{1cdot 2}=10.$$
  • Получаем вероятность: $$P(X)=frac{m}{n}=frac{10}{4060}=0,002.$$ Задача решена.

Еще: Решенные задачи на классическое определение вероятности.

Некогда решать? Найди решенную задачу

Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:

Как решать задачи: формула Бернулли

Пример 2. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Снова по схеме решения задач на вероятность рассматриваем данную задачу:

  • В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний – бросаний монеты.
  • Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
  • Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз:
    $$ P_{n}(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}.$$
  • Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
  • Подставляем и получаем вероятность:
    $$ P(X)=P_{8}(5)=C_8^5 cdot 0,5^5 cdot (1-0,5)^{8-5}=frac{8!}{5!3!}cdot 0,5^8=frac{6cdot 7 cdot 8}{1cdot 2 cdot 3} cdot 0,5^8= 0,219.$$
    Задача решена.

Еще примеры: Решенные задачи на формулу Бернулли

И это все? Конечно, нет.

Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!

Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу

Полезные статьи по теории вероятностей

  • Как найти математическое ожидание случайной величины?
  • Как найти дисперсию случайной величины?
  • Как найти вероятность в задачах про выстрелы?
  • Как найти вероятность в задачах про подбрасывания монеты?
  • Как найти вероятность в задачах про подбрасывание игральных костей?
  • Как найти вероятность в задачах про станки?
  • Как найти вероятность в задачах про надежность схем и цепей?
  • Как найти вероятность наступления хотя бы одного события?

Содержание:

Алгебра событий:

С каждым испытанием связан ряд интересующих нас событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, пусть при бросании игральной кости (т. е. кубика, на гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие А есть выпадение одного очка, а событие В есть выпадение нечетного числа очков. Очевидно, эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга (так называемые элементарные события или элементарные исходы). Тогда:

  1. каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;
  2. всякое событие А, связанное с этим испытанием, есть множество (совокупность) конечного или бесконечного числа элементарных событий;
  3. событие А происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Пример:

Пусть событие А состоит в выпадении нечетного числа очков при однократном бросании игральной кости.

За элементарные события здесь могут быть приняты следующие результаты испытания: (1), (2), (3), (4), (5), (6). Событие А представляет собой множество событий {(1) (3), (5)}.

По аналогии с теорией множеств строится алгебра событий.

Определение: Под суммой двух событий А и В понимается событие

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

которое имеет место тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А и В.

В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример:

Пусть событие А есть выигрыш по займу I, а событие В — выигрыш по займу И. Тогда событие А + В есть выигрыш хотя бы по одному займу (возможно, по двум сразу!).

Определение: Произведением двух событий А и В называется событие

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

состоящее в одновременном появлении как события А, так и события В.

В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий.

Пример:

Пусть события А и В есть успешные прохождения соответственно туров I и II при поступлении в институт. Тогда событие АВ представляет собой успешное прохождение обоих туров.

События А и Б называются несовместными в данном испытании, если произведение их есть событие невозможное, т. е.

АВ = О,

где О — невозможное событие.

Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого и наоборот.

Предмет теории вероятностей

Цель изучения основ теории вероятностей –
математической науки, изучающей закономерности случайных явлений. Случайные явления, как вам известно, – это явления, которые при многократном повторении (например, некоторого опыта) протекают каждый раз по-другому.

Заметим, что этот материал качественно отличается от ранее изученных разделов. Как вы знаете, в курсе политехнического университета, кроме теории вероятностей, рассматривается математический аппарат, позволяющий исследовать так называемые детерминированные явления, т.е. известные явления не содержащие каких – либо неопределенностей. Так вот, эти детерминированные явления, как правило, исследуются с помощью дифференциальных уравнений, описывающих математические модели реальных процессов. При этом предполагается, что параметры, входящие в эти уравнения являются заданными постоянными величинами или меняются по заданным функциональным зависимостям. Внешние возмущения, если таковы имеются, также заданы детерминировано.

Однако при изучении многих явлений такая точка зрения неприемлема, так как может оказаться, что, например, внешние воздействия на систему не детерминированные, а случайные (различные шумы, помехи и т.п.), проявляющие свою закономерность не в единичном явлении, а в их совокупности. В этом случае говорят о массовых случайных явлениях. Это означает, что закономерности, свойственные случайным явлениям, могут проявляться только при большом числе однородных опытов. В этой связи большое значение уделяется методам изучения случайных явлений (эти методы, кстати сказать, называются вероятностными или
статистическими). Другими словами, предметом теории вероятностей, как математической науки, как раз и является изучение закономерностей в массовых случайных явлениях независимо от их природы. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Якова Бернулли. В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, связанными с азартными играми, определились постепенно такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание.

При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игр, предвидели и фундаментальную роль науки, изучающей случайные явления. Следующий этап в развитии теории вероятностей связан с именем Якова Бернулли. Его теорема – закон больших чисел – первое теоретическое обоснование накопленных фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону, им принадлежит развитие первых аналитических методов теории вероятностей. Новый, наиболее плодотворный период связан с именами Чебышева и его учеников – Маркова и Ляпунова. Этот период становления теории вероятностей стал началом раздела математики.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами советских математиков: Колмогорова, Хинчина, Гнеденко и др. В настоящее время роль теории вероятностей неоспорима.
 

Элементы теории множеств

Под множеством понимается любая (конечная или бесконечная) совокупность объектов с некоторой общей характеристикой (или, что то же самое – объектов одинаковой природы). Эти объекты, как вам известно еще со школы, называются элементами множества. Множества с конечным числом различных элементов могут быть описаны путем явного перечисления всех этих элементов: обычно, эти элементы заключаются в фигурные скобки. Например, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения множество степеней двойки, заключенных между 1 и 10. Как правило, множество обозначается прописной буквой какого – либо алфавита, а его элементы – строчными буквами того же или другого алфавита.

Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться.

Так, буквами

  • N – множество натуральных чисел
  • Z – множество целых чисел
  • Q – множество рациональных чисел
  • R – множество вещественных (или действительных) чисел

При заданном множестве S включениеАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения указывает на то, что a – элемент множества S; в противном случае, как вы знаете, пишутАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Множество можно описать, указав свойство, присущее только элементам именно этого множества. Множество всех объектов, обладающих свойством Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения обозначают через Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Например: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения– множество всех четных чисел; Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – множество натуральных чисел. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и его принято обозначать символом Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Говорят, что S – подмножество множества T или Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения если все элементы множества S являются также элементами множества T , то есть Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Два множества S и T совпадают (или равны), если у них одни и те же элементы.

Символически это выглядит так:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что пустое множество Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения (т.е. множество совсем не содержащее элементов) по определению входит в число подмножеств любого множества.
Если Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – называется собственным подмножеством в T . Для выделения подмножестваАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения часто используют какое – либо свойство, присущее только элементам из S .

Для множеств A,B,C справедливы следующие соотношения:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
( значок Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – это значок конъюнкции, т. е. логическое «и»). Конечное множество называется упорядоченным, если каждому элементу
этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n.
 

Операции над множествами

Для пояснения некоторых определений и свойств операций над множествами и различных соотношений между ними воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества, подлежащие рассмотрению, изображаются в виде совокупности точек на плоскости.
 

1. Под пересечением (произведение) двух множеств S и T понимается множество:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

2. Под объединением (сумма) двух множеств S и T понимается множество :
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

3. Разностью S T множеств S и T называется совокупность тех элементов, из S , которые не содержатся в T , то есть
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

4. Если Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения (здесь U – основное , универсальное множество) то Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения будем называть дополнением множества S относительно Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Можно еще много говорить о множествах, их свойствах, операциях над ними и т.п. Остановлюсь лишь на некоторых свойствах, указанных операций, после чего перейдем к новому разделу. Итак, для множеств A,B,C справедливы следующие соотношения:

1. Свойство коммутативности: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

2. Свойство дистрибутивности:Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

3. Свойство ассоциативности:Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, изучающий задачи о расположении или выборе элементов из множеств.

Группы, составленные из каких – либо предметов (любой, но одинаковой природы: буквы, числа, геометрические фигуры, детали и т. д.) называются соединениями (множествами). Сами предметы, их которых составляются соединения, называются элементами

Различают три основных типа соединений: размещения, перестановки и сочетания.
 

Размещениями из n различных элементов поАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые (соединения) отличаются друг от друга либо хотя бы одним элементом, либо порядком их расположения. Число размещений обозначается Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияи вычисляется по формуле:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Такие размещения называются размещениями без повторений.
 

Пример №1

В группе 25 студентов. Выбирают старосту, физорга и профорга. Каково число всех возможных вариантов выбора «треугольника» группы?
 

Решение. Получаемые комбинации (т.е. соединения) из 25 – и элементов по 3 в каждом являются размещениями, так как в них важен не только состав элементов «треугольника», но и расположение внутри него. Следовательно
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Размещение с повторениями из n элементов по k элементов в каждом может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, либо не содержать его вовсе. Другими словами, каждое размещение с повторениями из n элементов по k может состоять не только из k каких угодно, но и как угодно повторяющихся элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №2

Известно, что 4 студента сдали экзамен. Сколько возможно различных исходов экзамена (распределений оценок)?
 

Решение. Число элементов n=3 ( «3», «4», «5» ); k = 4. Последовательность, т. е. порядок элементов, существенна, повторения неизбежны.
Следовательно Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №3

Сколькими способами 10 пассажиров могут распределиться по 13 вагонам, если для каждого существенным является только № вагона, а не занимаемое место в нем?
 

Решение. Пусть Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – номер вагона, выбранного первым пассажиром, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – номер вагона, выбранного вторым пассажиром, . . . , Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – номер вагона,
выбранного десятым пассажиром. Соединение (комбинация) Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения полностью характеризует распределение пассажиров по вагонам. Здесь каждое из чиселАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияможет принимать любое целое значение от 1 до 13. Значит, различных распределений по вагонам будет столько, сколько подобных соединений (длиной 10) можно составить из элементов множества Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Следовательно Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Перестановками из n различных элементов называются такие соединения,
из которых каждое содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов. Число таких перестановок из n различных элементов обозначается Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения и вычисляется по формуле:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Так как число перестановок из n элементов – это то же самое, что и число размещений из n элементов по n в каждом, то можем записать:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №4

Для проведения испытаний выбрано 5 различных моделей автомобилей. Сколькими способами они могут быть распределены между пятью испытателями?
 

Решение. Число способов, которыми можно распределить 5 автомобилей, равно числу комбинаций из 5 элементов по пять. Причем, сами комбинации отличаются друг от друга только порядком элементов, т.е. применимы перестановки. Следовательно Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Если же среди n элементов имеются одинаковые, то такие перестановки называются перестановками с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди которых Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения, тогда число перестановок с повторениями
определяется по формуле
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Если из n элементов имеется две различные группы, состоящие соответственно из одинаковых элементов:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения тогда

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №5

Каким числом способов можно распределить 9 цитрусовых между 9 студентами, если имеются 4 мандарина, 3 апельсина и 2 лимона?

Решение. Пусть m – мандарины, a – апельсины и l – лимоны. Тогда

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Сочетаниями из n различных элементов по Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Число сочетаний из n различных элементов по k в каждом обозначают символом Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения и вычисляют по формуле:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Уверены, вы отлично понимаете, что это определение является определением числа сочетаний без повторений.

Число сочетаний обладает следующими свойствами:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Этим свойством удобно пользоваться в случаях, когда Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияНапример,

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №6

На строительство общежития из 25 студентов требуется выбрать 3 человек. Каково число всех возможных вариантов выбора этой тройки?
 

Решение. Число возможных вариантов равно числу комбинаций (соединений) из 25 элементов по 3 в каждом. Причем комбинации отличаются друг от друга только составляющими их элементами, а порядок их расположения не имеет
значения. Следовательно Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Сочетание с повторениями из n элементов по k в каждом может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, либо не содержать его вовсе. Другими словами, каждое сочетание с повторениями из данных n элементов по k элементов в каждом может состоять не только из k различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Два сочетания по k элементов не считаются различными сочетаниями, если они отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №7

Каким числом способов можно составить расписание занятий из 3-х пар на один день, если изучается 10 предметов, которые могут повторяться в расписании. Расписания считаются различными, если отличаются друг от друга, хотя бы одним предметом (т.е. порядок предметов в расписании роли не играет)?

Решение.Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Замечания.
 

Например. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, все цифры которого различны? Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

2. При большом n пользуются приближенной формулой Стирлинга
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Алгебра событий. Различные определения вероятности событий

Понятие события является первичным, как, например, в геометрии, понятие точки или прямой, а в математическом анализе – понятие множества.

Случайные события

Под случайным событием понимается все то, о чем имеет смысл говорить, что оно либо происходит, либо не происходит при выполнении определенной системы условий, то есть, всякий факт (явление), который в результате опыта может произойти или не произойти. Опытом (или – испытанием) называется выполнение некоторого комплекса условий. Случайное событие, состоящее только из одного исходы, называется элементарным событием. Элементарное событие, в свою очередь, являющееся результатом опыта, называется также исходом опыта.

Рассмотрим несколько примеров.

  1. При измерении некоторой величины, результат измерения окажется равным некоторому заданному числу. Это событие.
  2. В ящике находятся шары, различающиеся лишь цветом: белые, красные, синие. Из ящика наудачу извлекают один шар. Появление при этом шара, например, белого цвета – событие.
  3. Попадание и промах при выстреле является событием.

Событие называется достоверным (обозначается U ), если оно обязательно происходит в результате данного испытания, т. е. при выполнении определенной совокупности условий S . Например, при бросании игральной кости (всем известного кубика с указанием числа очков на его шести гранях) событие «выпадение на верхней грани по крайней мере одного из шести очков» есть достоверное событие.

Событие называется невозможным (обозначается V ), если оно не может произойти в результате данного опыта. В предыдущем примере событие «выпадение на верхней грани игральной кости дробного числа очков» –
невозможное событие.

События мы будем обозначать заглавными печатными буквами латинского алфавита: A,B,C,…

Пространством Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения элементарных событий будем называть всё множество исходов Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения , взаимно исключающих друг друга в данном испытании (естественно, при выполнении определенной системы условий S ), дополненное V и U, как подмножеством самого себя. Заметим, что Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения может быть как конечным, так и бесконечным множеством.

После этого определения, нетрудно сделать вывод, что случайным событием
называется любое подмножество пространства элементарных исходом Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения . Ясно почему. Потому что, случайное событие, по определению, – это то событие, которое в результате данного опыта может произойти или не произойти. Ему благоприятствуют только некоторые исходы данного опыта. Значит, случайное событие и определяется как подмножество множества всех исходов опыта.

В рассмотренных примерах события являются случайными, их, как уже отмечалось, обозначают заглавными печатными буквами латинского алфавита: A,B,C,… Далее, если рассматривать случай бросания игральной кости, то при одном бросании элементарных исходов всего шесть. Обозначим их через
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения . Пространством элементарных исходов в этом случае является множество

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Тогда, например, событие A – выпадение грани с четным числом очков можно записать в виде: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения  событие B выпадение грани с нечетным числом очков: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Геометрически событие будем обозначать (согласно Венну) множеством точек плоскости (см. рис.). Любое случайное событие есть подмножество множестваАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Отношения между событиями

1. Если при появлении события A событие B обязательно происходит, то говорят, что событие A влечет событие B . Обозначение Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
(Здесь и в дальнейшем будем пользоваться известными символами теории множеств). Например, A- выпадение на верхней грани игральной кости числа очков, кратного 3, а B – выпадение числа очков, кратного 2. Тогда, случай Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения– выпадение на верхней грани числа очков равного 6, влечет событие A и событие B .

2. Говорят, что события A и B эквивалентны (равноправны) и пишутАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

3. События A и B называются несовместными в данном испытании,если появление одного из них автоматически исключает появление другого.
 

В противном случае события A и B называются совместными. Другими словами, в результате испытания возможно их совместное осуществление, т. е. соответствующие множества A и B имеют общие элементы.

Например, при единичном бросании игральной кости событие A – выпадение грани с четным числом очков и событие B – выпадение грани с нечетным числом очков – н е с о в м е с т н ы, а событие C – выпадение числа очков, кратного 3 и D – выпадение числа очков, кратного 2 – с о в м е с т н ы, так как в пространстве элементарных исходов Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияесть случай Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияи Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

4. Противоположным событием Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения для события A называется дополнение множестваАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения , т.е.Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решениянаступает при условии, что A не происходит ( A состоит из элементов Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения , не вошедших в A). Другими словами,Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения состоит в непоявлении A. Так

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

очевидно, что событие B – выпадение грани с нечетным числом очков, является противоположным событием для события A – выпадение грани с четным числом очков, то есть Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Операции над событиями

1. Суммой (или объединением) двух событий A и B называется событие Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения и состоящее в том, что появляется (происходит) хотя бы одно из указанных событий A или B . Другими словами – появляется или A, или B , или A и B одновременно. Сумма совместных событий A и B показана на рис.1, а сумма несовместных событий – на рис.2.

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Сумма (объединение) событий Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения обозначается Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Замечу, чтоАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения– т. е. достоверное событие.
 

2. Произведением (или пересечением) нескольких событий Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения называется событие, представляющее собой совместное появление этих событий. Обозначается ( или )Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Например, если рассматривать два события A и B , то их произведение Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения обозначает появление и события A, и события B одновременно (см. Рис.3) Очевидно, если A и B несовместны, то Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения невозможное событие (или Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения. Кроме того, если вы вспомните свойства операций над множествами, то очевидно, что выполняется принцип двойственности: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

3. Разность событий A и B называется событие, обозначаемое AB и состоящее в том, что A происходит, а B при этом не происходит. Очевидно, что противоположное для A событие Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Введем теперь одно из важных понятий – понятие полной системы (или
полной группы) событий.
 

Определение: Система (или – группа) событийАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения называется полной, если она является несовместной (а именно – попарно несовместной), то есть

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

и сумма (объединение) этих событий составляет достоверное событие:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

т.е. в результате некоторого опыта хотя бы одно из них обязательно происходит.

Например, при бросании игральной кости события A – выпадение на верхней грани четного числа очков Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения-выпадение на верхней грани нечетного числа очков Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения составляет полную группу событий, так как Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения– невозможное событиеАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения достоверное событиеАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения При одном бросании монеты, события A – появление герба и B – появление цифры, также составляют полную систему событий. В опыте с единичным бросанием игральной кости события A – выпадение на верхней грани числа очков кратного «3»Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения  – выпадение на верхней грани числа очков кратного «2» Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения не составляют полную группу событий так как например Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Если теперь к событиям A и B добавить событие Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения то система событий A,
B и C будет такой, что их объединение (сумма) является достоверным событием: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Однако эта система событий по-прежнему не будет полной, так как Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения то есть события не являются попарно несовместными.
 

Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматическая теория вероятностей в её современном виде была создана А. Н. Колмогоровым ещё в 1933г. Определение: Вероятностью события A называется числовая функция Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющая следующим трем условиям (аксиомам вероятностей):
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

3). Для любой конечной или бесконечной последовательности событий Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения, таких, что Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения имеет место равенство 
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
(заметим, что последняя аксиома называется аксиомой сложения). Другими словами, вероятностью Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения события A называется числовая мера степени объективной возможности наступления этого события.

Введенные аксиомы определяют понятие «вероятность события» и
устанавливают основные свойства вероятности. Однако это определение слишком общее и не позволяет производить вычисления. Очевидно, что
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Относительная частота. Статистическое определение вероятности. Пусть опыт S повторяется n раз, при этом m раз произошло событие A, т.е. проведена серия из n испытаний.

Определение: Относительной частотой (частостью) Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения события A называется Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения то есть, отношение числа m появления данного события к общему числу n проведенных испытаний при одном и том же комплексе условий S .
 

Пример №8

Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали
из 100 случайно отобранных. ТогдаАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Заметим, что до проведения серии опытов частота Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияявляется числом случайным, которое нельзя точно определить ни для какого конечного числа испытаний n. Однако, закономерности, присущие случайным явлениям, таковы, что на практике по мере увеличения числа повторных серий испытаний различной длины n наблюдается тенденция относительной частоты становиться все менее случайной и стабилизироваться около некоторого постоянного (и неслучайного) значения Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решениясобытия A в данном эксперименте S . Это свойство относительной частоты называется свойством устойчивости.

Определение: Статистической вероятностью событияАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения называется число, около которого устойчиво колеблется частота Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения при повторении серий испытаний.
 

Пример №9

Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления герба. Результаты нескольких опытов приведены в таблице

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причём тем меньше, чем больше число испытаний. Например, при 4040 испытаниях отклонение равно 0,0069, а при 24 000 испытаний – лишь 0,0005. Приняв во внимание, что вероятность появления герба при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что относительная частота колеблется около вероятности. Статистический способ определения вероятности обладает тем преимуществом, что он опирается на эксперимент. Недостатком же этого определения является необходимость в большом числе опытов для получения достоверных данных.
 

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности случайного события вводится, когда пространство элементарных событийАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения конечно и представляет собой полную систему (группу) событий.

Говорят, что случай Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения благоприятен событию A (или благоприятствует появлению события A), если его появление влечет обязательное появление события Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения и не благоприятен событию A (или – не благоприятствует появлению события A), если его появление исключает появление события A.
 

Определение: Вероятностью (классической) события A называется число p Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения, равное отношению числа m исходов, благоприятствующих появлению события A, к общему числу n (единственно возможных и равновозможных) элементарных исходов, образующих полную систему событий:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Из этого определения следует, что элементарные случаи ,Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения являются равновероятными событиями, т.е. Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, классическая схема может служить моделью тех случайных явлений, для которых представляется естественным предположение «равновозможности» различных исходов, что часто следует из определенной симметрии и выполняется в области азартных игр, лотерей, при выборочном контроле, выборочных статистических исследованиях и т.п. Ограниченностью или недостатками классического определения
вероятности является то, что:

  1. Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – конечно. Всегда возникает стремление и желание обобщить это понятие;
  2. невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий;
  3. трудно указать основания, считать элементарные события равновозможными (равновероятными).

Наряду с недостатками есть и положительные стороны этого определения.
В частности то, что с помощью классического определения вероятность события можно вычислить, что очень важно, до начала проведения опыта.

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай непрерывных множеств с бесконечным числом элементарных исходов. Пусть Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения– некоторая область, имеющая меру, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияподобласти области
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения . Условия опыта таковы, что вероятность попадания в ту или иную область Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения не зависит от расположения подобласти в Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения и пропорциональна мере подобласти, то есть Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Так какАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияЗначит Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – это и есть геометрическое определение вероятности.
 

Пример №10

Два партнера договорились о встрече между 12 и 13 часами дня с условием ожидать друг друга не более 20 минут. Найти вероятность их встречи.

Решение. Пусть x – время прихода первого партнера; y – время прихода второго партнера. Тогда, очевидно,Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения, следовательно,
множество всех элементарных исходовАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – квадрат (см. рис.) Имеем: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения а так как каждый партнер ждет не более 20 минут, то область A встречи такая, что Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияПоследнее условие является необходимым и достаточным условием того, что встреча состоится. НайдемАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения и Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияквадр.  Таким образом, искомая вероятность Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – это означает, что если многократно договариваться о встрече на указанных условиях, то несколько чаще, чем в половине случаев, встреча будет происходить.

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №11

Монета подбрасывается два раза.

а) Опишите полную группу возможных элементарных событий.

б) Если событие А – выпало не менее одного  “орла”, В – выпало не менее одной  “решки”, укажите, что собой представляют события:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Решение.

В данной задаче испытанием является подбрасывание монеты дважды.

а) Обозначим события:  

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения − при первом подбрасывании выпал “орёл”, при втором − “решка”,  

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения − при первом подбрасывании выпала “решка”, при втором − “орёл”,  

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – оба раза выпал “орёл”,  

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – оба раза выпала “решка”.
Тогда перечисленные события  Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения образуют полную группу, так как при двух подбрасываниях монеты обязательно произойдёт одно из них. Значит, справедливо равенство:
 Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Кроме того, никакие два из указанных событий не могут наступить одновременно. Следовательно, имеет место равенство:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Таким образом, указанные события попарно несовместны. Причём наступление любого из событий  Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения не имеет преимущества перед остальными, а значит, эти события являются равновозможными.
Таким образом, события  Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий. Следовательно, они являются в данном испытании полной группой элементарных событий.

б) Так как Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения − не выпало ни одного “орла”, то Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – оба раза выпала “решка”. Аналогично,Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения  − не выпало ни одной “решки”, следовательно, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения − оба раза выпал “орёл”. А так как А означает, что выпадает не менее одного раза “орёл”, то Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Аналогично заключаем:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, по определению суммы и произведения событий получаем:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: а)  Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения б)Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
.
 

Пример №12

В ящике находится 10 шаров: 3 белых и 7 чёрных. Из ящика наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что этот шар:

а) белый,

б) чёрный?
 

Решение.

В данной задаче полную группу элементарных событий составляют 10 событий, так как выбор любого одного шара можно осуществить 10 способами. Из этих событий только 3 благоприятствуют выбору белого шара и 7 – выбору чёрного. Поэтому, если А – выбор белого шара, то  Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения если В – выбор чёрного шара, то Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: а) 0,3 ; б) 0,7.

Пример №13

Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад выбираются одна за другой три карточка и располагаются в ряд (в порядке появления) слева направо. Какова вероятность, что получится слово “ДВА”?
 

Решение.

Выбор трёх карточек из имеющихся пяти можно осуществить Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения способами, так как порядок карточек имеет значение в данной задаче. Вычисляем:  Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Значит, число всех возможных элементарных событий  n = 60. Из этих событий только одно благоприятствует событию – получению слова “ДВА”, следовательно, m = 1. Итак, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №14

В ящике 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Из ящика наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что

а) оба шара белые?

б) оба шара чёрные?

в) один шар белый, другой чёрный?
 

Решение.

Число выбора двух шаров из десяти имеющихся определяется  числом всевозможных сочетаний из 10 по Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Значит, полную группу элементарных событий рассматриваемого испытания (выбор двух шаров из десяти, находящихся в ящике) составляют 45 событий. Следовательно, n = 45.

а) Если из элементарных событий рассматривать только те, которые состоят в выборе двух белых шаров, то находим  Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Следовательно, вероятность того, что оба шара будут белыми, вычисляется по формуле:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
б) Если рассматривать событие – выбор двух чёрных шаров, то число благоприятствующих ему элементарных событий равно:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Значит, вероятность выбора двух чёрных шаров вычисляется по формуле:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения 
в) Если рассматривать событие – выбор одного белого и одного чёрного шаров, то для него число благоприятствующих элементарных событий равно:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Значит, вероятность выбора одного белого и одного чёрного шаров вычисляется по формуле:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения.
Ответ: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №15

Стрелок стреляет по мишени, разделённой на четыре области. Вероятность попадания в первую область 0,4, во вторую – 0,3.
Найдите вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт либо в первую область, либо во вторую.
 

Решение.

Обозначим события:

А – стрелок попадает в первую область, В – стрелок попадает во вторую область. Эти события несовместны, так как они не могут наступить одновременно (попадание пули в одну область мишени исключает её попадание в другую область). Поэтому воспользуемся теоремой 1 (вероятность суммы несовместных событий), откуда находим:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 0,7.

Пример №16

Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру (валет, дама, король, туз) любой масти или карту трефовой масти?
 

Решение.

Обозначим события: А – извлечение из колоды карты – фигуры, В – извлечение из колоды карты трефовой масти.
Необходимо найти вероятность суммы этих событий. События А и В совместны, так как они могут наступить одновременно, если будет извлечена карта – фигура трефовой масти. Поэтому для подсчёта вероятности суммы этих событий используем теорему 2 (вероятность суммы совместных событий):
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
В рассматриваемой задаче Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения, так как всего элементарных исходов 52, что равно числу карт в колоде, из них 16 благоприятствуют событию А, что равно числу карт – фигур в колоде. Аналогично вычисляем: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения(в колоде 13 карт трефовой масти). Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
(в колоде 4 карты – фигуры трефовой масти).
Итак, находим: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения.

Пример №17

Два орудия стреляют по одной цели. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,6, для второго вероятность попадания равна 0,5. Какова вероятность того, что в цель попадут оба орудия?
 

Решение.

Обозначим события:

А – попадание в цель первого орудия, В – попадание в цель второго орудия.
Отметим, что А и В – события независимые, то есть наступление одного из них не влияет на наступление или ненаступление другого.
Поэтому воспользуемся теоремой 3 (вероятность произведения независимых событий):

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Ответ: 0,3.

Пример №18

Для Московской области среднее число дождливых дней в августе равно 15. Какова вероятность, что первые два дня августа не будут дождливыми?
 

Решение.

Обозначим события: А – 1 августа не будет дождя, В – 2 августа не будет дождя.
Необходимо рассмотреть событие А · В – 1 и 2 августа не будет дождя.
В данной задаче Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения, так как в августе 31 день, а не дождливых дней из них 31 − 15 = 16.
При вычислении Р(В) результат зависит от того, будет ли дождь 1-го августа. Следовательно, необходимо найти условную вероятность Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – вероятность того, что 2-го августа не будет дождя в предположении, что 1 августа –день без дождя. Тогда получаем: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Так как в августе осталось 30 дней, начиная со 2 августа, из них не дождливых дней осталось 15 (ведь один не дождливый день пришёлся по предположению на 1 августа). Итак, по теореме 4 (вероятность произведения зависимых событий) получаем:
Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
ОтветАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
 

Пример №19

В ящике 10 деталей, среди которых 6 стандартных.
Какова вероятность того, что среди трёх наугад взятых деталей окажется хотя бы одна стандартная?
 

Решение.

События “среди  взятых деталей окажется хотя бы одна стандартная” и “среди  взятых деталей нет ни одной стандартной” – противоположные события, так как наступление одного из этих событий исключает наступление другого.
Обозначим:

А – среди трёх взятых деталей есть хотя бы одна стандартная, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения– среди трёх взятых деталей нет ни одной стандартной.
По следствию 2 из теоремы 1 известно, что Р(А) = 1 – Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Найдём Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Общее число элементарных событий в этой задаче – это число способов выбора трёх деталей из десяти, находящихся в ящике:

Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Число нестандартных деталей равно 10 – 6 = 4. Число элементарных исходов, благоприятствующих событиюАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
Тогда Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
.
Следовательно, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения
ОтветАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Что такое алгебра событий

Ранее мы познакомились со способами непосредственного вычисления вероятностей простых событий. Однако на практике чаще приходится иметь дело со сложными событиями, которые являются комбинацией простых событий. Для нахождения вероятностей таких событий применяются теоремы сложения и умножения вероятностей. Перед тем, как сформулировать эти теоремы введем понятия суммы событий и произведения событий.

Действия над событиями

Определение: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В – совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В – несовместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А, или события В.

Определение: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Если А, В, С – совместные события, то их произведение АВС означает одновременное наступление и события А, и события В, и события С.

Пример №20

Экзаменационный билет содержит три вопроса. Рассматриваются следующие события: А – студент, пришедший сдавать экзамен, ответил на первый вопрос, В – на второй вопрос, С – на третий вопрос. Что представляют события: а) А + В; б) АВС, в) А + ВС?

Решение:

а) Событие А + В состоит в том, что студент ответит либо на первый вопрос, либо на второй вопрос, либо на оба вопроса; б) Событие АВС состоит в том, что студент ответит на все три вопроса билета; в) Событие А + ВС состоит в том, что студент ответит либо на первый вопрос, либо на второй и третий вопросы, либо на все вопросы билета. ◄

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №21

В урне 10 шаров: 2 красных, 3 зеленых и 5 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение:

Появление цветного шара означает появление либо красного (событие А), либо зеленого шара (событие В). Вероятность появления красного шара Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения, вероятность появления зеленого шара Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

События А и В несовместны, т.к. появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета. Следовательно, теорема сложения применима. Искомая вероятность Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения, образующих полную группу, равна единице. Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено ввиду его большой важности для практического применения. При решении задач часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А , чем прямого события Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения В этом случае следствие 2 используется в виде Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №22

Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 18?

Решение:

В результате бросания трех игральных костей могут появиться 16 различных сумм очков от 3 до 18, которые образуют полную группу событий. Для решения задачи следует вычислить вероятность появления 15-ти сумм очков от 3 до 17, а затем сложить их. Это довольно трудоемкая операция.

Поступим по-другому. Событие «сумма выпавших очков меньше 18» и событие «сумма выпавших очков равна 18» являются противоположными. Обозначим их Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения .Очевидно, что проще найти вероятность противоположного события. При бросании трех игральных костей общее число исходов n = 6·6·6 = 216. 18 очков могут выпасть только в одном случае, когда на всех костях выпадет по 6 очков, т.е. число благоприятных исходов m = 1. Таким образом, вероятность противоположного события Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Зная вероятность противоположного события, находим вероятность интересующего нас события: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Прежде чем сформулировать теорему умножения вероятностей, введем понятие зависимых и независимых событий.

Зависимые и независимые события

Определение: Два события называют независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произойдет другое событие или нет.

Например, опыт состоит в бросании двух монет. Пусть А и В – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой и второй монете. В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Следовательно, событие А независимо от события В.

Определение: Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Например, опыт состоит в бросании трех монет. Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой, второй и третьей монете. В данном случае каждые два из рассматриваемых событий (т.е. А и В, А и С, В и С) – независимы. Следовательно, события А, В и С – попарно независимые. ◄

Определение: Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них меняется в зависимости от того, произойдет другое событие или нет.

Например, в урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу берут один шар, не возвращая его в урну. Если появился белый шар (событие А), то вероятность появления белого шара во втором испытании (событие В) Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Если же в первом испытании появился черный шар (т.е. событие А не произошло), то вероятностьАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Т.е. вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет. Следовательно, события А и В – зависимые. Отметим, что зависимость и независимость событий всегда взаимны, т.е. если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Сформулируем теорему умножения вероятностей независимых событий.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Определение: Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащих либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Например, если событияАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения независимые в совокупности, то независимыми являются события:Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то из этого еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Теперь мы можем сформулировать следствие из теоремы умножения вероятностей, обобщающее теорему умножения на несколько событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий. Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №23

Имеется три урны, содержащих по 10 шаров. В первой урне 5 шаров красного цвета, во второй – 4, в третьей – 6. Из каждой урны наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что все три шара окажутся красного цвета.

Решение:

Вероятность того, что из первой урны вынут шар красного цвета (событие А)Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Вероятность того, что из второй урны вынут шар красного цвета (событие В) Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Вероятность того, что из третьей урны вынут шар красного цвета (событие С) Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событийАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №24

Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8 и третьего – 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение:

Рассмотрим следующие события: А – хотя бы один стрелок попадет в мишень Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения– первый стрелок попадет в мишень, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – второй стрелок, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения– третий стрелок. Вероятность попадания в мишень каждым из стрелков не зависит от результатов стрельбы других стрелков, поэтому событияАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения (т.е. вероятности промахов), соответственно равны: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Искомая вероятность Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Частный случай. Если события Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения где q = 1 – p.

Условная вероятность

Пусть события А и В зависимые. Из определения зависимых событий следует, что вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого события. Поэтому, если нас интересует вероятность события В, то важно знать, наступило событие А или нет.

Определение: Условной вероятностью Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Например, в урне находится пять шаров. Два из них белого цвета, остальные три – черного. Наудачу один за другим берут два шара, не возвращая их обратно в урну. Рассмотрим событие А – «первый вынутый шар оказался белого цвета» и событие В – «второй вынутый шар оказался белого цвета». Найдем условную вероятность события В, при условии, что событие А уже наступило. Если в первый раз был вынут шар белого цвета, то в урне осталось четыре шара, из которых один белого цвета. Следовательно, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Если же вынутый шар возвращается назад в урну, то условия второго испытания остаются неизменными после проведения первого испытания. Тогда Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решеният.е. в этом случае вероятность события В и его условная вероятность совпадают.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Пусть события А и В зависимые, причем вероятности Р(А) и Р(В|А) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №25

В урне находится пять шаров. Один из них красного цвета, два – зеленого и два – синего. Наудачу один за другим извлекают три шара, не возвращая их обратно в урну. Найти вероятность того, что последовательно будут извлечены красный, зеленый и синий шар.

Решение:

Рассмотрим события: A – первым извлечен шар красного цвета, B – вторым извлечен шар зеленого цвета, C – третьим извлечен шар синего цвета. Вероятность события А: Р(А) = 1/5. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило: Р(В|А) = 2/4. Условная вероятность события С при условии, что события А и В уже наступили: Р(С|АВ) = 2/3. Вероятность совместного появления трех зависимых событий А, В и С: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Ранее мы сформулировали теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Пусть события А и В совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Пример №26

Два спортсмена-стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение:

Мишень будет поражена в том случае, если в нее попадет либо первый стрелок, либо второй, либо оба вместе, т.е. произойдет событие А + В (событие А – первый стрелок попадет в мишень, событие В – второй стрелок попадет в мишень). Тогда Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событийАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решениякоторые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения …, Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событийАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Эту формулу называют «формулой полной вероятности», а событияАлгебра событий - определение и вычисление с примерами решения … ,Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения – гипотезами.

Пример №27

На трех станках различной марки изготавливается определенная деталь. Производительность 1-го станка составляет 40 деталей в смену, 2-го – 35 деталей, 3-го – 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5% продукции этих станков, соответственно, имеют отклонение от стандарта. В конце смены на контроль взята одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется нестандартной?

Решение:

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь окажется нестандартной. Здесь возможны следующие три гипотезы:

  • деталь изготовлена на 1-м станке (гипотеза Н1);
  • деталь изготовлена на 2-м станке (гипотеза Н2);
  • деталь изготовлена на 3-м станке (гипотеза Н3).

Вероятности этих гипотез: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Условные вероятности события А при этих гипотезах: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Вероятность события А находим по формуле полной вероятности: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияобразующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие А уже наступило? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример №28

Взятая на контроль деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке?

Решение:

По условию необходимо переоценить вероятность гипотезы Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения т.е. найти ее условную вероятность Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решенияРанее было получено:Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения. По формуле Байеса получаем: Алгебра событий - определение и вычисление с примерами решения

  • Свойства вероятности
  • Многомерные случайные величины
  • Случайные события – определение и вычисление
  • Системы случайных величин
  • Непрерывные случайные величины
  • Закон больших чисел
  • Генеральная и выборочная совокупности
  • Интервальные оценки параметров распределения

Добавить комментарий