Как найти соотношение объемов пирамид

Как найти соотношение объемов пирамид

Содержание

  1. Как найти отношение объемов пирамид
  2. Что такое пирамида и какие виды бывают
  3. Формулы для нахождения объема пирамиды
  4. Как найти отношение объемов пирамид
  5. Примеры решения задач
  6. Пример 1
  7. Пример 2
  8. Общий итог
  9. Как найти отношение объемов пирамид
  10. Формула объема пирамиды
  11. Как найти отношение объемов пирамид
  12. Пример нахождения отношения объемов пирамид
  13. Итог
  14. Как найти отношение объемов пирамид?
  15. Определение понятия «пирамида»
  16. Формула объема пирамиды
  17. Как найти отношение объемов пирамид
  18. Пример
  19. Итог

Как найти отношение объемов пирамид

Найти отношение объемов пирамид может показаться сложной задачей, однако все очень просто, если знать несколько основных правил и формул.

Что такое пирамида и какие виды бывают

Пирамида – это геометрическое тело, которое состоит из многоугольника (основания) и треугольных граней, которые конвергируют в одну точку (вершину). В зависимости от формы основания пирамиды могут быть:

  • Треугольные пирамиды (основание – треугольник)
  • Квадратные пирамиды (основание – квадрат)
  • Правильные многоугольные пирамиды (основание – правильный многоугольник)

Также пирамиды могут быть прямыми (вершина лежит на перпендикуляре, опущенном из вершины на плоскость основания) и наклонными (вершина лежит не на перпендикуляре к основанию).

Формулы для нахождения объема пирамиды

Для нахождения объема пирамиды есть специальная формула, которая зависит от формы основания. Для треугольной и квадратной пирамиды используются следующие формулы:

Vтр = (1/3)*Sосн*h

Vкв = (1/3)*a^2*h

где:

  • V – объем пирамиды
  • Sосн – площадь основания
  • h – высота пирамиды (расстояние от вершины до плоскости основания)
  • a – длина стороны квадрата

Для правильных многоугольных пирамид формула выглядит сложнее:

VПМ = (1/3)*Sосн*h

где:

  • n – количество сторон основания
  • s – длина стороны правильного многоугольника
  • h – высота пирамиды

Как найти отношение объемов пирамид

Для того, чтобы найти отношение объемов двух пирамид, нужно вычислить их объемы и поделить один на другой:

Отношение объемов = V1/V2

где:

  • V1 – объем первой пирамиды
  • V2 – объем второй пирамиды

Важно помнить, что для корректного нахождения отношения объемов, пирамиды должны иметь одинаковые основания или взаимно повернуты на какой-то угол.

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько примеров задач на нахождение отношения объемов пирамид:

Пример 1

Даны две треугольные пирамиды с высотами 2 м и 3 м. Основания пирамид имеют площадь 10 кв. м и 6 кв. м. Найдите отношение объемов этих пирамид.

Решение:

  1. Найдем объем первой пирамиды:

    2. V1 = (1/3)*Sосн*h1 = (1/3)*10*2 = 6.67 м^3

  2. Найдем объем второй пирамиды:

    3. V2 = (1/3)*Sосн*h2 = (1/3)*6*3 = 6 м^3

  3. Найдем отношение объемов:

    4. Отношение объемов = V1/V2 = 6.67/6 = 1.11

Ответ: отношение объемов равно 1.11.

Пример 2

Даны две квадратные пирамиды с высотой 5 м. Длина стороны основания первой пирамиды равна 4 м, а второй – 6 м. Найдите отношение объемов этих пирамид.

Решение:

  1. Найдем объем первой пирамиды:

    2. V1 = (1/3)*a^2*h = (1/3)*4^2*5 = 26.67 м^3

  2. Найдем объем второй пирамиды:

    3. V2 = (1/3)*a^2*h = (1/3)*6^2*5 = 60 м^3

  3. Найдем отношение объемов:

    4. Отношение объемов = V1/V2 = 26.67/60 = 0.44

Ответ: отношение объемов равно 0.44.

Общий итог

Найти отношение объемов пирамид – это простая задача, которая решается с помощью формулы объема пирамиды и делением одного объема на другой. Важно помнить, что для корректного нахождения отношения, пирамиды должны иметь одинаковые основания или быть повернуты друг относительно друга. Зная базовые формулы и правила, можно легко решить задачи на нахождение отношения объемов пирамид.

Как найти отношение объемов пирамид

Пирамида — это геометрическое тело, которое имеет основание и вершину. Кроме того, все грани пирамиды являются треугольниками. Как найти отношение объемов пирамид? Для этого нужно знать формулу объема пирамиды.

Формула объема пирамиды

Объем пирамиды можно вычислить по формуле V = 1/3 * S * h, где V — объем пирамиды, S — площадь основания, а h — высота пирамиды.

Допустим, у нас есть две пирамиды. Первая имеет площадь основания S1 и высоту h1, а вторая имеет площадь основания S2 и высоту h2. Как найти отношение их объемов?

Как найти отношение объемов пирамид

Для того, чтобы найти отношение объемов двух пирамид, нужно подставить их значения в формулу объема пирамиды. Получится следующее:

V1 = 1/3 * S1 * h1

V2 = 1/3 * S2 * h2

Чтобы найти отношение объемов пирамид, нужно поделить объем первой пирамиды на объем второй:

Отношение объемов: V1 / V2 = (1/3 * S1 * h1) / (1/3 * S2 * h2)

Отношение объемов: V1 / V2 = S1 * h1 / S2 * h2

Таким образом, мы получили формулу для нахождения отношения объемов двух пирамид. Она основана на формуле объема пирамиды.

Пример нахождения отношения объемов пирамид

Давайте рассмотрим пример. У нас есть две пирамиды. Первая имеет площадь основания 10 кв. ед. и высоту 5 ед. Вторая имеет площадь основания 20 кв. ед. и высоту 10 ед. Какое отношение объемов этих пирамид?

Решение:

Отношение объемов: V1 / V2 = S1 * h1 / S2 * h2

Отношение объемов: V1 / V2 = (10 * 5) / (20 * 10) = 0,25

Отношение объемов первой пирамиды к второй составляет 0,25. Это означает, что объем первой пирамиды вчетверо меньше объема второй.

Итог

Отношение объемов пирамид можно найти, зная формулу объема пирамиды. Для этого нужно подставить значения площади основания и высоты каждой пирамиды в формулу объема и вычислить отношение. Результат будет показывать, во сколько раз объем первой пирамиды меньше или больше объема второй.

  • пирамида
  • объем пирамиды
  • отношение объемов
  • площадь основания
  • высота пирамиды

Как найти отношение объемов пирамид?

Пирамиды являются одними из самых простых конструкций в математике. Они обладают особенностью, что объемы двух пирамид различной формы не могут быть выражены одним и тем же числом. Как же можно найти отношение объемов пирамид? Давайте разберемся.

Определение понятия «пирамида»

Пирамида — это многогранник, который имеет многоугольную основу и треугольные грани, сходящиеся в вершине.

Пример: пирамида с основанием в виде четырехугольника и треугольными боковыми гранями.

Обозначим основание пирамиды через A и ее высоту через h.

Формула объема пирамиды

Формула объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h

где V — объем, S — площадь основания, h — высота.

Как найти отношение объемов пирамид

Давайте предположим, что у нас есть две пирамиды с основаниями A и B и высотами h1 и h2 соответственно, где площади оснований S1 и S2 различны.

Обозначим объем первой пирамиды через V1 и второй через V2.

Тогда отношение объемов двух пирамид выражается следующим уравнением:

V1 / V2 = (S1 * h1)/(S2 * h2)

Таким образом, чтобы найти отношение объемов пирамид, нужно умножить площадь основания первой пирамиды на ее высоту, и затем поделить это на произведение площади основания второй пирамиды и ее высоты.

Пример

Рассмотрим две пирамиды:

  • Первая пирамида: основание — квадрат со стороной 5 см, высота — 10 см
  • Вторая пирамида: основание — треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см, высота — 6 см

Чтобы найти отношение объемов этих пирамид, мы будем использовать уравнение:

V1 / V2 = (S1 * h1)/(S2 * h2)

Значения V1, S1 и h1 мы можем получить с помощью формулы объема пирамиды:

V1 = (1/3) * 5 * 5 * 10 = 83.33 см^3

Значения V2, S2 и h2 мы можем получить с помощью формулы площади треугольника:

S2 = (1/2) * 3 * 4 = 6 см^2

V2 = (1/3) * 6 * 6 = 12 см^3

Тогда мы можем найти отношение объемов:

V1 / V2 = (5 * 10) / (6 * 6) = 4.17

Ответ: отношение объемов первой пирамиды к второй равно 4.17.

Итог

Таким образом, чтобы найти отношение объемов двух пирамид, нужно умножить площадь основания первой пирамиды на ее высоту, и затем поделить это на произведение площади основания второй пирамиды и ее высоты. Формула объема пирамиды позволяет быстро и легко вычислять объем конструкции и сравнивать его с другими пирамидами.

Источник

Слайд 1

Задачи на сравнение объемов многогранников. Выполнил: Раздобарин Дмитрий, 11ИМ, лицей «Дубна». Учитель: Рычкова Татьяна Викторовна. 2009г. Дубна

Слайд 2

Оглавление. Введение. Теоретический материал. Ключевые задачи на сравнение объемов многогранников. Задачи из ЕГЭ части C4. Литература.

Слайд 3

Теоретический материал.

Слайд 4

2 . Объемы пирамид с общим основанием пропорциональны проведенным к нему высотам . 1 . Объемы пирамид с общей высотой пропорциональны площадям их оснований : B C D A K S H L A B C D S S 1 H 2 H 1

Слайд 5

3 . Если вершины S и T пирамид SA 1 …A n и TA 1 …A n лежат по одну сторону от плоскости A 1 …A n , то эти пирамиды равновелики тогда и только тогда, когда прямая ST параллельна плоскости A 1 …A n . S T T T A 1 A 4 A 3 A 2

Слайд 6

4 . Если тетраэдры SABC и SA 1 B 1 C 1 имеют общий трехгранный угол при вершине S, то 5 . Отношение объемов подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия. S A B C C 1 B 1 A 1 A A 1 D C B D 1 C 1 B 1 A 2 C 2 B 2 B 3 C 3 D 3 A 3 D 2

Слайд 7

Ключевые задачи на сравнение объемов.

Слайд 8

Задача 1 . Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Точка F – середина ребра BC. Найдите, в каком отношении делит объем пирамиды плоскость DSF. Решение . Поскольку пирамида и части, на которые она разбивается плоскостью сечения, имеют одинаковую высоту, то отношение объемов частей равно отношению площадей оснований: Диагональ квадрата ABCD делит его на два равных треугольника ABD и BDC, а прямая DF делит треугольник BDC на две равновеликие части (высоты треугольников равны CD, основания тоже равны). Следовательно, квадрат ABCD прямой DF делится на части, отношение которых равно 3:1. A B D C S F

Слайд 9

∆ COS подобен ∆ CMF Проведем FM ┴ AC. FM = h. Задача 2 . В правильной четырехугольной пирамиде SABCD через середину бокового ребра SC – точку F – и диагональ основания BD проведено сечение. Найдите отношение объемов фигур, на которые плоскость сечения делит пирамиду. Решение. Пусть AB = a, OS = H. B C D A F S O a H M

Слайд 10

В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, параллельная основанию и пересекающая боковые ребра пирамиды? Решение. Исходная и отсекаемая пирамиды подобны с коэффициентом подобия Следовательно, отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия. Две плоскости, параллельные основанию пирамиды, делят ее на три равновеликие части. В каком отношении эти плоскости делят высоту пирамиды? Два сечения делят фигуру на три подобных фигуры с объемами V, 2V, 3V.

Слайд 11

Олимпиадные задачи на сравнение объемов многогранников.

Слайд 12

C B A S L K M N Решение. Многогранники, на которые делит тетраэдр плоскость KMN, не поддаются стандартной классификации, поэтому хотя бы один из них, например, M KC NLB , разрежем на части: проведем L C и LM , тогда он окажется составленным из двух пирамид – LMNBC и LMKC . Будем сравнивать их объемы с объемом тетраэдра SABC . В треугольно пирамиде SABC проведена плоскость, параллельная ребрам SA и BC. Эта плоскость пересекает ребро AC в точке M так, что AM : MC = 1 : 2. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? 1 . LMNBC LABC (имеют общую высоту , ∆ANM подобен ∆АВС ) . 2 . LABC SАВС (имеют общий трехгранный угол при вершине В, основание АВС, высоту, проведенную из вершины С). 3 . LMKC LA SC SABC. Итак, Ответ: 20 /7 .

Слайд 13

P B L A C M N E T K В пирамиде TABC AB : BC = 3 : 5, точка K – середина ребра TA, точка M расположена на ребре AC, AM : MC = 3 : 1. Плоскость проходит через точки K и M параллельно биссектрисе BE треугольника ABC и делит пирамиду на две части. Вычислите отношение их объемов. A E C N B P 3b 5b 3a 2a 3a P B A T K L 1. Многогранник B LNAKM удобно рассматривать как часть тетраэдра PAKM с «отколотым куском» – тетраэдром PBLN. (Тетраэдры имеют общий трехгранный угол при вершине P, значит, надо найти отношения отрезков PL : PK, P B : PA и PN : PM ). 2 . Тетраэдры PAKM и TABC имеют общий трехгранный угол при вершине Р, поэтому нужно знать отношение АК:АТ, АМ:АС и АВ:АР. AE = 3a EC = 5a, AC = 8a. MC = 2a, EM = 3a. следовательно, Далее: тогда В итоге Ответ: 11 /9.

Слайд 14

S C B Y X A M L J D N K C X D B M A Y В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Через середину ребер AB, AD и SC проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые эта плоскость делит пирамиду. 1 . Многогранник MNJKLBCD представляет собой часть тетраэдра с отколотыми кусками XJDN и YMBL в форме тетраэдров (Тетраэдры имеют с ним по общему трехгранному углу, нужно вычислить XJ : XK, XD : XC, XN : XY, YL : YK, YB : YC, YM, YX). 2 . Тетраэдр CXKY имеет общий трехгранный угол с тетраэдром CSBD, объем которого равен половину объема пирамиды SABCD ( Нужно вычислить CX : CD, CY : CB, CK : CS). XD : XC = 1:3, CX : CD = 3 : 2, YB : YC = 1 : 3, CY : CB = 3 : 2 Y B T K S L C a 2a YB = a, YC = 3a, BC = 2a, YL : YK = 1 : 2. Аналогично , XJ: XK = 1 : 2. BT = TC = a. Ответ: 1.

Слайд 15

Задачи из ЕГЭ части C4.

Слайд 16

В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором угол C = 60°, AC = 14, BC = 8. Боковые грани DAC и DAB перпендикулярны плоскости основания, а ребро AD = 4 √ 3 . Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BD параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды, вершина которой в точке C. Найдите объем второй пирамиды. В основании пирамиды DABC лежит треугольник ABC, в котором угол C = 30°, AC = 20, BC = 8/√ 3 . Боковое ребро AD равно 6 √ 3 и перпендикулярно плоскости ABC. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BD параллельно прямым BC и AD, является основанием второй пирамиды. Ее вершина T – основание высоты BT треугольника ABC. Найдите объем второй пирамиды. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . На его боковых ребрах AA 1 и BB 1 лежат точки M и N соответственно так, что AM : MA 1 = 8 : 11, B 1 P : PB = 2 : 1. Во сколько раз объем данного параллелепипеда больше объема пирамиды с вершиной в точке P, основанием которой является сечение данного параллелепипеда плоскостью BMD 1

Слайд 17

Основанием пирамиды является треугольник АВС , в котором АВ = 4, АС =6 и угол АВС =90 ° Ребро AF перпендикулярно АВС и равно 12. Отрезок АL является биссектрисой треугольника FАВ, а отрезок АN является высотой треугольника FАС. Найдите объем пирамиды АLNC. A C B N L F 1 . Заметим, что пирамиды ALNC и ALNF имеют общую высоту из вершины L, поэтому отношение объемов этих пирамид равно отношению их граней ANC и ANF: Отношение площадей треугольников ANC и ANF равно отношению отрезков NC и NF ( высота треугольников из вершины A является общей): Таким образом: Аналогично: Перемножая (1) и (2) получаем: 2. Найдем отношения Так как AL – биссектриса треугольника AFB, то По условию AF = 12, AB = 4 FL = 3BL Так как AN – высота к гипотенузе прямоугольного треугольника AFC, то Воспользовавшись (3) получим: Ответ: 2 ,4√5.

Слайд 18

Литература. Туманов С. И. «Поиски решения задач». Зеленский А. С. «Сборник конкурсных задач по математике». Куланин Е. Д., Федин С. Н., Федяев О. И. «Геометрия 10-11 класс». Шарыгин И. Ф., Голубев В. И., «Решение задач. 11 класс». Готман Э. Г., Скопец З. А. «Задача одна – решения разные: Геометрические задачи. Книга для учащихся». Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев «Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений». Погорелов А. В. «Геометрия: учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений». Потоскуев Е. В. Звавич Л. И. «Геометрия 11 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики». В. И. Мусатов «Сборник задач по геометрии. Стереометрия. Для 10 – 11-х классов ФМШ». Судаков Д. А. «Методическое пособие». Шарыгин И.Ф., Гордин Р. К. «Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений.

Источник

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Столкнулся со следующей задачей о пирамиде:
У правильной пирамиды $PABCD$ с вершиной $P$ проведено сечение через сторону $AB$ и середину бокового ребра $PC$. В каком отношении это сечение делит объем пирамиды?

Мой рисунок:
Изображение

Свои шаги сейчас напишу :-)

— 29.03.2015, 10:08 —

Итак, поскольку пирамида правильная, то в основе лежит квадрат. Введем обозначения:
$$AB=BC=CD=AD=a$$
$$PA=PB=PC=PD=l$$
Таким образом, объем всей пирамиды:
$$V = frac{1}{3}a^2sqrt{l^2-frac{a^2}{2}}$$

— 29.03.2015, 10:21 —

Теперь, как я понимаю, нужно найти объем пирамиды $ABFEP$.
В ее основе лежит трапеция $ABFE$.
По условию: $PF=FC=l/2$. Видно также, что $PE=ED=l/2$.
$EF=a/2$ – как средняя линия треугольника $DPC$.

Из треугольника $APD$:
$$cos{ADP}=frac{a}{2l}$$

Из треугольника $AED$ по теореме косинусов:
$$AE=sqrt{a^2+l^2/4-2la/2cos{ADP}} = sqrt{frac{a^2}{2}+frac{l^2}{4}}$$

— 29.03.2015, 10:29 —

Высота $LK$ трапеции:
$$LK=sqrt{AE^2-frac{a^2}{16}} = sqrt{frac{7a^2}{16}+frac{l^2}{4}}$$
Таким образом, можем уже найти площадь трапеции:
$$S_{ABFE}=frac{3a}{8}sqrt{7a^2+4l^2}$$

— 29.03.2015, 10:34 —

Итак, остается только найти высоту пирамиды $ABFEP$, или, что то же самое, высоту треугольника $LPK$.

Но что-то это все мне кажется очень сложным. Нет ли у вас какой нибудь идеи получше? Как решить задачу более элегантно?

Источник

2

Miste­r Lu
[119K]

более года назад 

Вспоминаем как определяется объем пирамиды, отталкиваемся от этой формулы.

Объём пирамиды вычисляется по формуле

А уже соотношение объемов наших пирамид с учетом условия задачи будет выглядеть как

И уже не составит труда выразить из выше приведенного соотношения объём второй пирамиды, который будет равен 54, так как 9 · 6 = 54.

Вот собственно и решение поставленной задачи.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

комментировать

в избранное

ссылка

отблагодарить

Источник

05
Дек 2013

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиВидеоурокиСтереометрияТ/P A. Ларина

С2 (№16) на нахождение отношения объемов многогранников

2013-12-05
2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Видеорешение задачи категории С2 ЕГЭ по математике. Задача из тренировочной работы № 53 А. Ларина.

Решайте сначала сами! 🙂

Условие:

Дана пирамида SABC, точки D и E лежат на ребрах SA и SB, причем SD:DA=1:2 и SE:EB=1:2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Задача для самостоятельного решения:
Плоскость проходит через вершину A основания треугольной пирамиды SABC, делит пополам медиану SK треугольника SAB , а медиану SL треугольника SAC пересекает в такой точке D , для которой SD:DL = 1:2 . В каком отношении делит эта плоскость объём пирамиды?

Ответ: + показать

Смотрите также задачи С4(№18), С5(№20) из этой же тренировочной работы.

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Источник

Добавить комментарий