Как найти соотношение площадей квадратов

Если вам необходимо получить ответ на вопрос Как найти отношение площадей квадратов?, относящийся
к уровню подготовки учащихся 5 – 9 классов, вы открыли нужную страницу.
В категории Математика вы также найдете ответы на похожие вопросы по
интересующей теме, с помощью автоматического «умного» поиска. Если после
ознакомления со всеми вариантами ответа у вас остались сомнения, или
полученная информация не полностью освещает тематику, создайте свой вопрос с
помощью кнопки, которая находится вверху страницы, или обсудите вопрос с
посетителями этой страницы.

Задача 8 в ЕГЭ по математике посвящена стереометрии и обычно вызывает у ребят панику. Да, нужно знать много формул и свойств пирамид, призм и тел вращения. Но сегодня мы предлагаем тебе лайфхак, делающий подобные задачи элементарными. Ты знаешь, что такое подобные фигуры? Сразу вспоминается планиметрия восьмого и девятого класса, где вы подробно проходили подобные треугольники. Наверняка ты помнишь, как найти коэффициент подобия, посмотрев на соотношения сторон. Также должно быть известно, что отношение площадей равно коэффициенту подобия в квадрате. 

Внимание! Новость! В стереометрии тоже существуют подобные фигуры. Отношение радиусов – это коэффициент подобия. Отношение площадей поверхности – это квадрат коэффициента подобия, а отношение объемов – это коэффициент подобия в кубе. Посмотри на картинку: видишь в задаче дано отношение объемов? Получи коэффициент подобия (линейное соотношение), а из него найди отношение площадей. Ты получил балл за задачу по грозной стереометрии. 

Обрати внимание, что это отношение будет верно не только для площадей поверхности, но и одинаковых сечений и граней подобных фигур. Сказанное справедливо в том случае, когда мы имеем дело с подобными фигурами. Без этого простого правила нам бы пришлось составлять уравнения, находить отношения. А это бывает долго и муторно.

Сдай ЕГЭ на максимальный балл!

1


Площади подобных фигур Теорема. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следствие. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты их сходственных сторон.

2


Упражнение 1 Найдите отношение площадей двух квадратов, если отношение сторон этих квадратов равно: а) 2:3; б) ; в) 1 : 1,5. Ответ: а) 4 : 9; б) 2 : 3; в) 1 : 2,25.

3


Упражнение 2 Как относятся стороны двух квадратов, если отношение площадей этих квадратов равно: а) 4 : 9; б) 3 : 4; в) 0,5 : 2? Ответ: а) 2 : 3; в) 1 : 2. б) : 2;

4


Упражнение 3 Стороны равносторонних треугольников равны 6 см и 7 см. Чему равно отношение их площадей? Ответ: 36 : 49.

5


Упражнение 4 Периметры двух подобных многоугольников относятся как 1 : 2. Как относятся их площади? Ответ: 1 : 4.

6


Упражнение 5 Как изменится площадь круга, если его диаметр: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз? Ответ: а) Увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 25 раз.

7


Упражнение 6 Одна из сторон треугольника разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные другой стороне. Найдите отношения площади данного треугольника к площадям треугольников, отсеченных построенными прямыми. Ответ: 9 : 4 : 1.

8


Упражнение 7 Прямая, параллельная стороне треугольника, делит его на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит другие стороны треугольника? Ответ: : 1.

9


Упражнение 8 Площадь данного многоугольника равна 45 см 2. Чему равна площадь многоугольника, ему подобного, если сходственные стороны многоугольников равны 15 см и 10 см? Ответ: 20 см 2.

10


Упражнение 9 Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь большего многоугольника равна 40 м 2. Найдите площадь второго многоугольника. Ответ: 14,4 м 2.

11


Упражнение 10 Как изменится площадь многоугольника, если каждая из его сторон: а) увеличится в n раз; б) уменьшится в m раз (а величины углов не изменятся)? Ответ: а) Увеличится в n 2 раз; б) уменьшится в m 2 раз.

12


Упражнение 11 Периметры двух правильных n – угольников относятся как a:b. Как относятся их площади? Ответ: a 2 : b 2.

13


Упражнение 12 Найдите отношение площадей правильных шестиугольников, вписанного и описанного около данной окружности. Ответ: 3:4.

14


Упражнение 13 В круге с центром O проведена хорда AB. На радиусе OA, как на диаметре, описана окружность. Докажите, что площади двух сегментов, отсекаемых хордой AB от обоих кругов, относятся как 4 : 1. Решение: Заметим, что большая окружность получается из малой гомотетией с центром в точке A и коэффициентом 2. При этой гомотетии сегмент малой окружности переходит в сегмент большой окружности. Следовательно, отношение их площадей равно 4 : 1.

15


Упражнение 14 Две окружности, радиусов R и r касаются внутренним образом. Через точку касания проведена хорда, которая отсекает от внешней окружности сегмент площади S. Найдите площадь сегмента, отсекаемого этой хордой от внутренней окружности. Ответ:

16


Упражнение 15 Фигура Ф’ получена из фигуры Ф сжатием к прямой a в k раз. Чему равно отношение площадей фигур Ф’ и Ф? Ответ: 1 : k.

17


Упражнение 16 На рисунке изображена фигура Ф, полученная сжатием окружности радиуса R в 2 раза. Чему равна ее площадь? Ответ: