Как найти соотношение сторон параллелограмма – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Задача. Дан параллелограмм с острым углом, равным 60º. Квадраты длин диагоналей d и D параллелограмма относятся как 1:3. Необходимо найти отношение длин сторон а и b параллелограмма. Решение: Опустим из вершин В и С параллелограмма высоты на сторону АД и на её продолжение ДЕ. Получим два прямоугольных треугольника ДВК и АСЕ. Поскольку у этих треугольников равные высоты ВК и СЕ, то применим для их решения теорему Пифагора. В треугольнике АВК примем АВ за а, тогда, поскольку угол А равен 60º по условию, угол В в этом треугольнике будет равен 30º.

А мы знаем, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Т.е. АК=а/2. По этой же причине ДЕ = а/2. Так как АД=b, то КД = b — a/2. ВД = d, AC = D d²/D² = 1/3 3d² = D² Решаем уравнение: D² — (b + a/2)² = d² — (b — a/2)² D² — (b² + ab + a²/4) = d² — (b² — ab + a²/4) D² — b² — ab — a²/4 = d² — b² + ab — a²/4 D² — d² = 2ab 3d² — d² = 2ab d² = ab Из треугольника АВК ВК = а√3/2. Теперь решим треугольник ВКД по теореме Пифагора. d² = (а√3/2)² + (b — a/2)² ab = 3a²/4 + b² — ab + a²/4 b² — 2ab + a² = 0 (b — a)² = 0 b — a = 0 b = a Ответ: отношение длин сторон a и b равно 1.

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства параллелограмма:

(blacktriangleright) Противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ).

Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

(blacktriangleright) если противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) если две стороны равны и параллельны;

(blacktriangleright) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) если противоположные углы попарно равны.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.

Задание
1

#1783

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (100), его большая сторона равна (32). Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна (100 : 2 = 50), значит, меньшая сторона параллелограмма равна (50 – 32 = 18).

Ответ: 18

Задание
2

#1784

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (15). При этом одна сторона этого параллелограмма на (5) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть (BC = AB +
5), тогда периметр параллелограмма (ABCD) равен (AB + BC + CD + AD =
AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4cdot AB + 10 = 15), откуда находим (AB
= 1,25). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна (1,25).

Ответ: 1,25

Задание
3

#273

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (BE) – высота, (BE = ED = 5). Площадь параллелограмма (ABCD) равна 35. Найдите длину (AE).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда (35 = BE cdot AD = 5cdot(5 + AE)), откуда находим (AE = 2).

Ответ: 2

Задание
4

#1785

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки (C) параллелограмма (ABCD) опустили перпендикуляр на продолжение стороны (AD) за точку (D). Этот перпендикуляр пересёк прямую (AD) в точке (E), причём (CE = DE). Найдите (angle B) параллелограмма (ABCD). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle EDC = angle DCE). Так как (angle DEC = 90^{circ}), а сумма углов треугольника равна (180^{circ}), то (angle EDC =
45^{circ}), тогда (angle ADC = 180^{circ} – 45^{circ} =
135^{circ}). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle B = angle ADC = 135^{circ}).

Ответ: 135

Задание
5

#1686

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагональ (BD) параллелограмма (ABCD) перпендикулярна стороне (DC) и равна (4). Найдите площадь параллелограмма (ABCD), если (AD=5).

По теореме Пифагора находим: (AB^2=AD^2 – BD^2 = 25 – 16 = 9) (Rightarrow) (AB = 3). (S_{ABCD} = 4cdot3 = 12).

Ответ: 12

Задание
6

#1685

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (P_{triangle AOB} = 8), (P_{triangle AOD} = 9), а сумма смежных сторон равна (7). Найдите произведение этих сторон параллелограмма (ABCD).

(P_{triangle AOB} = AO + OB + AB), (P_{triangle AOD} = AO + OD + AD), (BO = OD) (Rightarrow) (P_{triangle AOD} – P_{triangle AOB} = AD – AB = 1), но (AD + AB = 7) (Rightarrow) (AD = 4), (AB = 3) (Rightarrow) (ADcdot AB = 12).

Ответ: 12

Задание
7

#3617

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Стороны параллелограмма равны (9) и (15). Высота, опущенная на первую сторону, равна (10). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь (S=9cdot 10), с другой стороны, (S=15cdot h), где (h) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, [9cdot 10=15cdot hquadLeftrightarrowquad h=6]

Ответ: 6

Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.

Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.

a, b – стороны параллелограмма

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α, β – углы между диагоналями

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), (a, b):

Длина стороны параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, (a, b):

Длина стороны параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма , (a, b):

Длина стороны параллелограмма

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

a, b – стороны параллелограмма

H_b – высота на сторону b

Ha – высота на сторону a

α, β – углы параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через высоту, (a, b):

Длина стороны параллелограмма через высоту

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

a, b – стороны параллелограмма

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α – острый угол между диагоналями

Формула суммы квадратов диагоналей:

Формула суммы квадратов диагоналей

Формула разности квадратов сторон:

Формула разности квадратов сторон параллелограмма

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 31 октября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

24
Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

2013-07-24
2015-09-16

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Свойства параллелограмма

свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

свойства параллелограмма

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

свойства параллелограмма 5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Автор: egeMax |

комментариев 7

Источник

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος «параллельный» + γραμμή «линия») — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (См. другие определения )

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства[править | править код]

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Противолежащие углы параллелограмма равны.
Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:

$left|AOright|=left|OCright|,left|BOright|=left|ODright|$ .
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть

$a$ — длина стороны $AB$ ,

$b$ — длина стороны $BC$ ,

$d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей; тогда

$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$

Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма[править | править код]

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB=CD,ABparallel CD$ .
Все противоположные углы попарно равны: $angle A=angle C,angle B=angle D$ .
У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB = CD, BC=DA$ .
Все противоположные стороны попарно параллельны: $AB parallel CD, BC parallel DA$ .
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: ${displaystyle AO=OC,BO=OD}$ .
Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: ${displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}}$ .